Integrales y Derivadas

Integral Indefinida y Definida

Puedes obtener la primitiva (integral indefinida) de una función, o la integral definida, usando paquetes de álgebra computacional.

install.packages("Ryacas0") 

library(Ryacas0)

x <- Sym("x") # Declarar la variable simbólica
expr <- x^2 + 3*x + 1 # Definir la expresión

Integrate(expr, x) # Integral indefinida (primitiva)

## yacas_expression(x^3/3 + 3 * x^2/2 + x)

Integrate(expr, x, 0, 2) # Integral definida entre 0 y 2

## yacas_expression(32/3)

Integral Definida

En R podemos utilizar la función integrate para calcular integrales. Se puede observar lo facil que los calculos se pueden hacer en el lenguaje. lLa unica dificultad que supone trabajar con R es aprender la semantica del lenguaje.

\[∫_0^1xdx=\frac{x^2}{2}∣_0^1=1^2−0^2=1\]

integrate(function(x) x, lower = 0, upper = 1)

## 0.5 with absolute error < 5.6e-15

inte <- function(x) x
x1 <- seq(0,1,by = 0.01)
plot(x1, inte(x1),type='l', col = 'black',lwd=2)
polygon(c(0,x1,1),c(0,inte(x1),0), col ='pink')

\[∫_0^3 \frac{1}{\sqrt{3-x}}dx\]

integrate(function(x) 1 / sqrt(3 - x), lower = 0, upper = 3)

## 3.464102 with absolute error < 5e-13

inte <- function(x) 1 / sqrt(3 - x)
x1 <- seq(0,3,by = 0.01)
plot(x1, inte(x1),type='l', col = 'black',lwd=2)
polygon(c(0,x1,1),c(0,inte(x1),0), col ='pink')

Integrales con límites infinitos.

integrate(function(x) exp(-x), lower = 0, upper = Inf)

## 1 with absolute error < 5.7e-05

inte <- function(x) exp(-x)
x1 <- seq(0,100,by = 0.01)
plot(x1, inte(x1),type='l', col = 'black',lwd=2)
polygon(c(0,x1,1),c(0,inte(x1),0), col ='pink')

## Integral indefinida

Cálculo de Derivadas

Si no lo tiene instalado debe instalar el paquete. “Deriv”

install.packages("Deriv")

library(Deriv)

## 
## Attaching package: 'Deriv'

## The following object is masked from 'package:Ryacas0':
## 
##     Simplify

f<-function(x) 2*x^2+2 # Definir la función
Derivada<-Deriv(f, "x") # Calcular la derivada simbólica
Derivada

## function (x) 
## 4 * x

f <- function(x) x^3 + 2*x^2 + 3*x + 1 # Definir la función
df <- Deriv(f, "x") # Calcular la derivada simbólica
df

## function (x) 
## 3 + x * (3 * x + 4)

df(2)  # Evalúa la derivada en x = 2

## [1] 23

Deriv(expression(x^2 + sin(x)), "x") # derivar la expresión directamente

## expression(2 * x + cos(x))

otra forma de derivar

expresion1=expression(x^2)
D(expresion1,"x")

## 2 * x