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1 Experimentos y tipos

  1. Experimento: Cualquier acción que genera observaciones. Todo experimento se puede clasificar en determinístico y aleatorio o estocástico (ver definiciones y figura de abajo).

  2. Experimento determinístico: Al repetirse bajo las mismas condiciones, genera siempre los mismos resultados.

  3. Experimento aleatorio (o estocástico): Al repertirse bajo las mismas condiciones, no genera siempre los mismos resultados.

2 Espacio muestral, evento y evento elemental

  1. Espacio muestral: Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Teóricamente se simbolizará con la letra griega omega: \(\Omega\).

  2. Evento: cualquier subconjunto de \(\Omega\).

  3. Evento elemental: evento con un solo elemento.

Revisaremos algunos ejemplos para encontrar los elementos de este conjunto.

3 Ejemplos (espacio muestral y eventos)

Consideremos los siguientes experimentos aleatorios:

Ejemplo 1: El lanzamiento de una moneda.

  1. Los posibles resultados son cara \((C)\) o sello \((S)\). Por tanto, \[\Omega=\{C,S\}\]

  2. \(A=\{S\}=\) “la moneda señala sello” es un evento elemental.

  3. \(B=\{C\}=\) “la moneda señala cara” es un evento elemental.

Ejemplo 2: Dos monedas diferentes se lanzan al mismo tiempo

  1. El espacio muestral correspondiente está dado por (en este caso \((C,S)\ne(S,C)\)): \[\Omega=\{(C,C),(C,S),(S,C),(S,S)\}\]

  2. \(A=\{(C,C)\}=\)``las monedas muestran cara” es un evento elemental.

  3. \(B\,=\,\{(S,S),(C,C)\}=\) “Ambas monedas muestran el mismo lado” es un ejemplo de un evento.

Ejemplo 3: Se observa el número de lanzamientos que muestran sello (\(S\)) antes de que aparezca, por primera vez, una cara (\(C\))

  1. En este caso, \[\Omega=\{0,1,2,\ldots,\infty\}\]

  2. \(A\,=\,\{6,7,8,\ldots,\infty\} =\) “aparece, por primera vez, una cara después del quinto lanzamiento” es un evento.

  3. \(B=\{3\}=\) “aparece cara, por primera vez, en el cuarto lanzamiento” es un evento elemental.

  4. \(C=\{\infty\}\) es el evento elemental de que “la moneda nunca muestre a \(C\)”.

Ejemplo 4: Se observa la edad en la que diferentes personas mueren.

  1. De esta forma, \(\Omega\) es el conjunto de todos los números reales menores o iguales que \(k\), donde \(k\) es la edad de la persona que más años ha vivido en la tierra.Es decir, \[\Omega = [0, k]\]

  2. \(A=\{59.7\} =\) “Una determinada persona murió a la edad de 59.7 años” es un evento elemental.

  3. \(B\, =\, [60,70]=\) “Alguien muere con edad entre 60 y 70 años” es un ejemplo de un evento de \(\Omega\).

4 Operaciones con eventos

Se deja como repaso al lector repasar lo relacionado con el diagrama de Venn y con las operaciones básicas entre conjuntos entre dos eventos \(A\) y \(B\). Para el repaso, se puede consultar la sección 2.1 de la bibliografía No. 1.

  1. Intersección (\(A\cap B\)).

  2. Unión (\(A\cup B\)).

  3. Diferencia entre conjuntos (por ejemplo, \(A-B\)).

  4. Diferencia entre conjuntos (por ejemplo, \(B-A\)).

  5. Eventos disyuntos.

  6. Eventos mutuamente excluyentes.

  7. \(\overline{A}\), el complemento de \(A\).

  8. Partición.

  9. Eventos colectivamente exhaustivos.

  10. Leyes de De Morgan.

## Using virtual environment "C:/Users/humbe/AppData/Local/R/cache/R/reticulate/uv/cache/archive-v0/y3wVrO4VxkpMVTtX2o7NG" ...

## (-0.1, 1.1)
## (-0.1, 1.1)
## (np.float64(-0.1), np.float64(1.1), np.float64(-0.1), np.float64(1.1))
## (-0.5, 7.0)
## (-0.5, 3.5)
## (np.float64(-0.5), np.float64(7.0), np.float64(-0.5), np.float64(3.5))
## (np.float64(-0.7467524963761943), np.float64(0.7467524963761945), np.float64(-0.5606588659617806), np.float64(0.5606588659617806))

## (-0.2, 6.2)
## (-0.2, 4.5)
## (np.float64(-0.2), np.float64(6.2), np.float64(-0.2), np.float64(4.5))
## (-0.2, 6.2)
## (-0.2, 4.5)
## (np.float64(-0.2), np.float64(6.2), np.float64(-0.2), np.float64(4.5))

5 Modelos de urnas

Se caracterizan por las siguientes dos codiciones:

Condición 1:

En una urna hay objetos distinguibles (por ejemplo, numeradas), no distinguibles (por ejemplo, rojas) o mixtas. Estos objetos se consideran como una población y pueden ser: fichas, bolas, letras, personas, etc.

Condición 2:

De esta urna se quiere sacar uno o más objetos, al mismo tiempo o no, reemplazando o no los objetos seleccionadas antes de seleccionar nuevamente otro(s) objetos(s) y observando el orden o no de objetos extraídos. Los objetos extraídos se consideran como una muestra. Para obtener estas muestras, podemos distinguir los siguientes casos:

  1. Seleccionar sin reemplazo. Cada objeto seleccionado se deposita fuera de la urna, y por eso puede seleccionarse una sola vez.

  2. Seleccionar con reemplazo. Cada objeto seleccionado se reemplaza en la urna, y por eso puede seleccionarse varias veces.

  3. Seleccionar considerando el orden. Se selecciona cierta cantidad de objetos, uno tras otro, y se considera el orden obtenido. En este caso, los objetos seleccionados se pueden considerar como tuplas ordenadas.

  4. Seleccionar sin considerar el orden. Se selecciona cierta cantidad de objetos a la vez (o también uno tras otro), pero sin que interese el orden de los objetos extraídos.

6 Modelos de urnas: ejemplo

Los cuatro casos se pueden combinar: los objetos se seleccionan con o sin reemplazo y con o sin orden (como se muestra en la figura de abajo).

7 Otros modelos de urnas

Podemos identificar otros tipos de modelo de urna con base en las situaciones anteriores, como, por ejemplo:

  1. Seleccionar formando una partición. Seleccionar grupos de objetos sin importar el orden y cada grupo se guarda, por ejemplo, en gavetas numeradas. Esto se hace hasta que no queden objetos en la urna.

8 Técnicas de conteo

Son:

  1. Conteo por enumeración de elementos.

  2. Conteo a través de diagramas de árbol.

  3. Principio de adición.

  4. Teorema fundamental del conteo.

  5. Conteo de permutaciones.

  6. Conteo de combinaciones.

8.0.1 Enumeración de elementos

Ejemplo 1

Ver ejemplo de la sección 6.

8.0.2 Diagrama de árbol

Ejemplo 2

El diagrama de árbol correspondiente al caso 2 del ejemplo de la sección 6 es:

8.0.3 Principio de adición

Siempre se cumple que

\[\#(A\cup B) \;=\; \#A \;+\; \#B \;-\; \#(A \cap B)\]

Ejemplo 3

En el lanzamiento de dos dados, ¿de cuántas formas se puede obtener que la suma de los números sea un siete o un ocho?

Solución. Sean \(A\) y \(B\) los eventos “obtener un siete” y “obtener un ocho” respectivamente. Entonces, \(A\cup B\) será el evento “obtener un siete o un ocho”. Debido a que

\[A =\{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}, \qquad B = \{(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)\}\] entonces \(A\) y \(B\) pueden ocurrir de 6 y 5 formas distintas respectivamente, y, además, son mutuamente excluyentes. Por consiguiente, por el principio de adición, el evento \(A∪B\) ocurrirá de 6 + 5 = 11 maneras distintas. Es decir,

\[\#(A\cup B) \;=\; \#A \;+\; \#B\;-\; \#(A \cap B) \;=\; 6+ 5- 0 \;=\; 11\]

8.0.4 Teorema fundamental del conteo

Si \(r\) experimentos se ejecutan de tal manera que:

  • El primero puede resultar en \(n_1\) posibles resultados.

  • Si para cada uno de estos \(n_1\) posibles resultados hay \(n_2\) posibles resultados del segundo experimento.

  • Si para cada uno de los posibles resultados de los dos primeros experimentos hay \(n_3\) posibles resultados del tercer experimento.

  • Y así sucesivamente.

Entonces, hay un total de \(n_1 \cdot n_2 \cdots n_r\) posibles resultados de los \(r\) experimentos.

Ejemplo 4

Considerando el caso 1 del ejemplo de la sección 6, el número posible de muestras de tamaño 2 (con orden y con reemplazo) que se pueden seleccionar de un total de 4 objetos es:

\[ 4\cdot 4 \;=\; 16 \] Ejemplo 5

Considerando el caso 2 del ejemplo de la sección 6, el número posible de muestras de tamaño 2 (con orden y sin reemplazo) que se pueden seleccionar de un total de 4 objetos es:

\[ 4\cdot 3 \;=\; 12 \]

9 Conteo de permutaciones

9.0.1 Preliminares

Definición

Una permutación es un arreglo ordenado de una cantidad finita de objetos.

Tipos de permutaciones

  1. Permutaciones sin repetición de \(n\) objetos tomados todos a la vez.

  2. Permutaciones sin repetición de \(n\) objetos tomados de \(k\) en \(k\) (\(k \leq n\)).

  3. Permutaciones con repetición de \(n\) objetos tomados de \(k\) en \(k\) (\(k\) es cualquier número natural).

  4. Permutaciones circulares.

  5. Permutaciones de \(n\) objetos de los cuales hay \(n_1\) de un primer tipo, \(n_2\) de un segundo tipo, \(\cdots\), \(n_k\) de un \(k\)-ésimo tipo, donde \(n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n\).

  6. Maneras de hacer una partición de un conjunto.

9.0.2 Permutaciones sin repetición de \(n\) objetos tomados todos a la vez

El número de permutaciones de un conjunto de \(n\) elementos distintos es igual a

\[n!:=1\cdot 2\cdots (n-1)\cdot n\]

El símbolo “\(!\)” se conoce con el nombre de factorial. Cuando escribamos, por ejemplo, \(5!\) leeremos “5 factorial”. Algunos valores factoriales son los siguientes:

\[\begin{eqnarray*} 0!&:=& 1 \\ 1!&=& 1, \\ 2!&=& 2\cdot 1 \;=\;2,\\ 3!&=& 3 \cdot 2\cdot 1\;=\;6, \\ 4!&=& 4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1 \;=\; 24, \qquad etc. \end{eqnarray*}\]

Ejemplo 6

Si se le pide a un consumidor que ordene, por orden de preferencia, el sabor de cinco marcas de cerveza, entonces el número de permutaciones que resultan será \(5! = 120\).

Ejemplo 7

Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. ¿De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

  1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.

  2. Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos?

Solución.

  1. Los libros de matemáticas pueden ordenarse de 4! formas, los de física de 6! formas, los de química de 2! formas y los tres grupos de 3! formas. Por consiguiente,

\[\mbox{Número de ordenaciones pedido = 4! 6! 2! 3! = 207.360}\]

  1. Considerar los cuatro libros de matemáticas como un solo libro. Entonces, se tienen 9 libros que pueden ordenarse de 9! formas. En todos estos casos, los libros de matemáticas están juntos, pero pueden ordenarse de 4! formas. Por consiguiente,

\[\mbox{Número de ordenaciones pedido = 9! 4! = 8.709.120}\]

9.0.3 Permutaciones sin repetición de \(n\) objetos tomados de \(k\) en \(k\) (\(k \leq n\))

El número de permutaciones de un conjunto de \(n\) elementos distintos tomados de \(k\) en \(k\) es igual a

\[nPk \;=\; \frac{n!}{(n-k)!}\]

Las permutaciones de este tipo también se pueden considerar como muestras seleccionadas sin reemplazo. Además, obsérvese que cuando \(k=n\), este resultado coincide siempre con $n!. Es decir,

\[nPn \;=\; n!\]

Ejemplo 8

Considerando el caso 2 del ejemplo de la sección 6, el número posible de muestras de tamaño \(k=2\) (con orden y sin reemplazo) que se pueden seleccionar de un total de \(n=4\) objetos es:

\[4P2 \;=\; \frac{4!}{(4-2)!} \;=\; \frac{24}{2} \;=\;12\]

9.0.4 Permutaciones con repetición de \(n\) objetos tomados de \(k\) en \(k\) (\(k\) es cualquier número natural)

El número de permutaciones de un conjunto de \(n\) elementos distintos tomados de \(k\) en \(k\) es igual a

\[n^k\]

Ejemplo 9

Considerando el caso 1 del ejemplo de la sección 6, el número posible de muestras de tamaño \(k=2\) (con orden y con reemplazo) que se pueden seleccionar de un total de \(n=4\) objetos es:

\[n^k \;=\; 4^2 \;=\; 16\]

9.0.5 Permutaciones circulares

El número de permutaciones de un conjunto de \(n\) elementos distintos acomodados en un círculo es igual a

\[(n-1)!\]

Ejemplo 10

Sabemos que si queremos sentar a cuatro personas A, B, C, D, una al lado de la otra en fila, el número de arreglos que podemos hacer es 4! = 24. Ahora bien, si los queremos sentar alrededor de una mesa circular, ¿de cuántas maneras lo podemos hacer?

Solución.

Al considerar a una persona en un lugar fijo (digamos A) y acomodar a las otras tres personas en 3! formas diferentes, se encuentra que hay 6 arreglos distintos alrededor de la mesa circular (compárese con la figura de abajo).

9.0.6 Permutaciones por tipos

El número de permutaciones de \(n\) objetos de los cuales hay \(n_1\) de un primer tipo, \(n_2\) de un segundo tipo, \(\cdots\), \(n_k\) de un \(k\)-ésimo tipo, donde

\[n_1 + n_2 + \cdots + n_k = n\]

es:

\[\frac{n!}{n_1! \, n_2!\cdots n_k!}\]

donde \(n_1, \ldots, n_k\) son números naturales.

Ejemplo 11

¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra “estadística”? (También cuentan palabras sin sentido como, por ejemplo, “setadistica”).

Solución.

Obsérvese que en la palabra “estadística” hay \(n=11\) letras, distribuidas así: 1 e", 2s”, 2 “t”, 2 “a”, 1 “d”, 2 “i” y 1 “c”. Por tanto, se concluye que podemos formar

\[\frac{11!}{1! \, 2!\, 2!\, 2!\, 1!\, 2! \, 1!} \;= \; 2.494.800\]

palabras distintas con las letras de la palabra mencionada anteriormente.

Ejemplo 12

¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer con 5 banderas de las cuales 2 son azules y 3, rojas?

Solución.

El número de señales que se pueden hacer es: \[\frac{5!}{2!\, 3!} = 10\]

9.0.7 Maneras de hacer una partición de un conjunto

El número de formas de partir \(n\) objetos distintos en donde en \(k\) celdas con \(n_1\) objetos en la primera celda, \(n_2\) en la segunda celda, \(\ldots\), \(n_k\) en la \(k\)-ésima celda, con \(n_1 + n_2 + \cdots + n_k =n\), es

\[{n\choose {n_1, n_2, \ldots, n_k}}\;= \; \frac{n!}{n_1! \, n_2!\cdots n_k!}\]

Se resalta el hecho que no importa el orden de los objetos dentro de cada celda.

Ejemplo 13

Doce estudiantes van a viajar en carros distintos a cierta ciudad. Si 3 de ellos van en un carro, 4 en otro carro y 5 en el otro, ¿de cuántas maneras se pueden acomodar si cualquiera puede conducir?

Solución.

Hay

\[{12\choose {3, 4, 5}}\;= \; \frac{12!}{3! \, 4!\, 5!} \;= \; 27.720\]

formas en que los 12 estudiantes se pueden acomodar en los tres carros, viajando 3, 4 y 5 estudiantes en carros distintos.

10 Conteo de combinaciones

Definición

Una escogencia de \(k\) objetos de un conjunto de n objetos distintos, sin importar el orden en que los \(k\) objetos son escogidos, se llama combinación.

Tipos de combinaciones

  1. El número de combinaciones de \(k\) objetos seleccionados (sin repetición) de un conjunto de \(n\) elementos es:

\[nCk = {n\choose k}:= \frac{n!}{k!(n-k)!},\quad \text{siendo}\quad {n\choose 0}:=1\]

  1. El número de combinaciones de \(k\) objetos seleccionados (con repetición) de un conjunto de \(n\) elementos es:

\[{n+k-1\choose k} = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!},\quad \text{siendo}\quad {n\choose 0}:=1\]

Comentario

Los números \({n\choose k}\) se conocen con el nombre de coeficiente binomial porque aparecen como coeficientes de \(a^kb^{n-k}\), con \(0\leq k\leq n,\), en el desarrollo binomial de \((a+b)^n\) como se muestra a continuación:

\[(a+b)^n= \sum\limits_{k=0}^n {n\choose k}a^kb^{n-k}, \qquad \text{para todo $a,b\in R$}.\]

Ejemplo 14

Ver casos 3 y 4 del ejemplo de la sección 6.

Ejemplo 15

De un total de 5 matemáticos y 7 físicos se forma un comité de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas maneras puede formarse si:

  1. Puede pertenecer a él cualquier matemático y físico.

  2. Un físico determinado debe pertenecer al comité.

  3. Dos matemáticos determinados no pueden pertenecer al comité?

Solución de la parte (a).

2 matemáticos, de un total de 5, pueden elegirse de \({5\choose 2}=10\) maneras. Ahora, 3 físicos de un total de 7 pueden elegirse de \({7\choose 3}=35\) maneras. Por consiguiente, \[\text{número total de selecciones posibles} \;= \; 10 \cdot 35 \; =\; 350.\]

Solución de la parte (b).

2 matemáticos, de un total de 5, pueden elegirse de \({5\choose 2}=10\) maneras. Ahora, 2 físicos restantes, de un total de 6, pueden elegirse de \({6\choose 2}=15\) maneras. Por consiguiente, \[\text{número total de selecciones posibles} \;= \; 10 \cdot 15 \; =\; 150.\]

Solución de la parte (c).

2 matemáticos, de un total de 3, pueden elegirse de \({3\choose 2}=3\) maneras. Ahora, 3 físicos, de un total de 7, pueden elegirse de \({7\choose 3}=35\) maneras. Por consiguiente,

\[ \text{número total de selecciones posibles} \;= \; 3 \cdot 35 \; =\; 105.\]

11 Ejemplos (asociación de los temas con la realidad)

Ejemplo 16 (Baloto)

Baloto es un juego novedoso de tipo loto en línea, de suerte y azar, donde el jugador, por 5.700 pesos, apuesta por un acumulado multimillonario eligiendo, de uno en uno, 5 números del 1 al 43 (sin repetición) y una súper balota con números del 1 al 16 a través de una terminal de venta.

El objetivo es determinar el número de posibilidades que tenemos en sacar las 6 balotas con las condiciones descritas anteriormente.

Solución.

Se deben escoger 6 números. Entonces:

  • Para el primer número, hay 43 opciones de elegir un número.

  • Para el segundo número, hay 42 opciones de escogencia, porque no pueden repetirse.

  • Para el tercer número, hay 41 opciones.

  • Para el cuarto, hay 40 opciones.

  • Para el quinto, hay 39 opciones.

  • Para el sexto 16 opciones.

Para conocer el número total de opciones se aplica el teorema fundamental del conteo: se multiplican las opciones por cada número. Es decir:

\[43 \cdot 42\cdot 41\cdot 40\cdot 39\cdot 16 \;=\; 1.848´188.160\]

Este resultado corresponde al número de casos posibles, el cual es muy grande, ya que debe seleccionar uno de esa cantidad. Esto indica lo difícil que es ganarse el baloto.

12 Ejercicios

12.0.1 Ejercicio 1

Dado el experimento aleatorio, encuentre los elementos de los eventos indicados abajo, el número de elementos que contiene y el tamaño de la muestra. Explique siempre sus afirmaciones e interprete los resultados hallados.

Experimento: Un dado se lanza dos veces.

  1. \(\Omega\): El espacio muestral.
  2. Evento B: La suma de los números es 7.
  3. Evento C: La suma de los números es por lo menos un 11.
  4. Evento D: La suma de los números es a lo más un 2.
  5. Evento E: Se obtiene un doble.
  6. Evento F: No se obtiene un doble.
  7. Unión de B y F.
  8. Interseción de C y E.
  9. Diferencia C-F.
  10. Evento J: Unión de E y F. Verifique si J es igual a \(\Omega\).
  11. Intersección de C y D.
  12. Diferencia de B y D.
  13. Evento M: Contiene los elementos de la forma (3,4), ordenados.
  14. Evento N: Contiene los elementos de la forma (3,4), no ordenados. Compare con el evento M.

12.0.2 Ejercicio 2

Dado el experimento aleatorio, encuentre los elementos de los eventos indicados abajo, el número de elementos que contiene y el tamaño de la muestra. Explique siempre sus afirmaciones e interprete los resultados hallados.

Experimento: Una moneda se lanza cuatro veces.

  1. \(\Omega\): El espacio muestral.
  2. Evento B: Los primeros 2 elementos.
  3. Evento C: Los primeros 5 elementos.
  4. Unión de B y C.
  5. Intersección de B y C.
  6. Diferencia B-C.
  7. Diferencia C-B.
  8. Evento H: El complemento de B.
  9. Evento I: El complemento de C
  10. Intersección de B y H.
  11. Evento K: Unión de C y I. Verifique si K es igual a \(\Omega\).
  12. Evento L: Salgan 2 caras.
  13. Evento M: Salgan 3 caras.

12.0.3 Ejercicio 3

Sea

\[\Omega=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\]

el espacio muestral correspondiente a un experimento aleatorio dado. Sean \(A\), \(B\), \(C\) y \(D\) eventos de \(\Omega\) definidos por

\[A=\{0,1, 2, 3\}, \quad B=\{4, 5, 6, 7\}, \quad C=\{2, 4, 6\}, \quad D=\{1, 8, 9\}\]

Liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los siguientes eventos:

  1. \(A\cup D\).

  2. \(B\cap C\).

  3. \(\overline{D}\).

  4. \((\overline{D}\cap A)\cup C\).

  5. \(\overline{\Omega\cap B}\).

  6. \(B\cap C\cap \overline{D}\).

12.0.4 Ejercicio 4

Señale la región de la figura de abajo que representa a cada evento:

  1. \(A\cup B\cup C\).

  2. \(A\cap B\cap C\).

  3. \(A\cap B\cap \overline{C}\).

  4. \(\overline{A}\cap B\cap C\).

  5. \(\overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C}\).

  6. \((\overline{A\cup B}) \cap C\).

  7. \(A\cup(\overline{B\cap C})\).

  8. \(\overline{A\cup B\cup C}\).

12.0.5 Ejercicio 5

Sean \(\Omega\) el evento de todos los turistas que visitaron a Barranquilla durante un fin de semana, y \(A\), \(B\) y \(C\) los eventos formados por los turistas que visitaron el Museo Romántico, el Zoológico y Bocas de Cenizas, respectivamente. Exprese con palabras las regiones indicadas a continuación teniendo en cuenta la figura de abajo:

  1. Región 1.

  2. Regiones 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 juntas.

  3. Región 8.

  4. Regiones 1 y 4 juntas.

  5. Regiones 4, 5, 7 y 8 juntas.

  6. Regiones 5, 6 y 7.

  7. Regiones 2, 3, y 4 juntas.

12.0.6 Ejercicio 6

En una encuesta realizada en un colegio de la ciudad a un total de 150 alumnos se encontró: 54 estudian álgebra; 89, inglés; 80, ciencias naturales; 60, ciencias naturales e inglés; 10, sólo álgebra; 20, álgebra y ciencias naturales; 15, las tres materias simultáneamente. Determine el número de alumnos que conforman los siguientes eventos:

  1. Estudian álgebra e inglés pero no ciencias naturales.

  2. Estudian sólo una materia.

  3. Estudian a lo sumo dos materias.

Sugerencia: Defina los eventos \(A\), \(B\) y \(C\) como se indican en el diagrama de Venn de abajo, complételo con las frecuencias correspondientes y aplique propiedades las operaciones con conjuntos para resolver cada inciso.

12.0.7 Ejercicio 7

Una universidad realiza tres tipos de pruebas a 100 aspirantes y obtiene los siguientes resultados: 2 fracasaron en las tres pruebas; 7, en la primera y en la segunda; 8, en la segunda y en la tercera; 10, en la primera y en la tercera; 25, en la primera; 30, en la segunda; 25, en la tercera. Determine el número de aspirantes que conforman los siguientes eventos: (a) Fracasaron exactamente en una prueba.

  1. Aprobaron las tres pruebas.

  2. Fracasaron en la primera y en la tercera pero no en la segunda.

  3. Fracasaron en la segunda y en la tercera pero no en la primera.

  4. Fracasaron en al menos una prueba.

  5. Aprobaron al menos una prueba.

  6. Aprobaron la segunda o la tercera pero no la primera.

Sugerencia: Defina los eventos \(A\), \(B\) y \(C\) como se indican en el diagrama de Venn de abajo, complételo con las frecuencias correspondientes y aplique propiedades las operaciones con conjuntos para resolver cada inciso.

12.0.8 Ejercicios 8 a 14

  1. Los estudiantes de un curso de estadística se clasifican como estudiantes de administración, economía o ingeniería; como repitente o no repitente y también como hombre o mujer. Encuentre el número total de clasificaciones posibles para los estudiantes de dicho curso.

  2. ¿De cuántas maneras diferentes se puede responder un cuestionario de falso-verdadero que tiene 10 preguntas?

  3. ¿De cuántas maneras pueden sentarse tres hombres y tres mujeres en una fila con seis puestos si se deben alternar?

  4. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con la palabra “Barranquilla” (las palabras no necesariamente deben tener sentido) si (a) no hay restricción alguna, (b) la primera letra debe ser una “q” y la última una “a”.

  5. Las placas para autos en Barranquilla antes tenían dos letras y cuatro números. El sistema de nomenclatura cambió y ahora son de tres letras y tres números. Con el sistema actual, ¿aumentó o disminuyó el número de placas que se pueden emitir? ¿En qué porcentaje?

  6. ¿De cuántas maneras se pueden parquear siete carros, de modelos distintos, en una calle si hay tres zonas disponibles en un lado de la calle y cuatro en el lado opuesto?

  7. La mayor accionista de una determinada empresa decide que en el futuro se divida el presupuesto de publicidad entre tres agencias. Seis son las agencias que están siendo consideradas para este trabajo. ¿Cuántas son las posibles elecciones de tres agencias?

12.0.9 Ejercicio 15

Dados los dígitos 0, 2, 4, 5, 6, 8 y 9. Si no se aceptan repeticiones:

  1. ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar?

  2. ¿Cuántos de esos números son múltiplos de 5?

12.0.10 Ejercicio 16

Supongamos que 7 personas se quieren organizar en una fila.

  1. ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacerlo?

  2. ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacerlo si una de ellas no debe estar al comienzo de la fila?

12.0.11 Ejercicio 17

Una persona ha visto un accidente de tránsito cuyo culpable huyó. A pesar de esto le dice a la Policía que la placa del carro en el que viajaba el culpable tenía tres letras (de las cuales las dos primeras eran C y A) y tres dígitos (de los cuales el último era 0). Encuentre el número máximo de placas de carro que la Policía debe verificar bajo cada una de las siguientes condiciones (nuestro alfabeto tiene 27 letras):

  1. Las tres letras son diferentes y los tres dígitos también.

  2. Las tres letras son diferentes y los dos dígitos que faltan son diferentes entre sí.

  3. La letra que hace falta es diferente de la A y los dígitos que hacen falta son diferentes e impares.

12.0.12 Ejercicio 15

Supongamos que se quieren formar números de tres dígitos con los dígitos 0, 2, 4, 5, 7, 8 y 9.

  1. ¿Cuántos números resultan si los dígitos pueden estar repetidos?

  2. ¿Cuántos números resultan si cada dígito puede usarse sólo una vez?

  3. ¿Cuántos números resultan si los números resultantes son impares y si los dígitos pueden estar repetidos?

  4. ¿Cuántos números resultan si los números resultantes son pares y si cada dígito puede usarse sólo una vez?

  5. ¿Cuántos números son menores que 440 y si los dígitos pueden estar repetidos?

  6. ¿Cuántos números resultan si el primer dígito es 5 y si cada dígito puede usarse sólo una vez?

12.0.13 Ejercicio 16

¿Son las siguientes afirmaciones verdaderas o falsas? Justifique cada respuesta.

  1. Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces también lo son sus complementos.

  2. Un evento y su complemento son mutuamente excluyentes.

  3. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces son colectivamente exhaustivos.

  4. Si dos sucesos son colectivamente exhaustivos, entonces son mutuamente excluyentes.

13 Otros ejercicios

  1. Tener en cuenta la Bibliografía No. 1 que se referencia abajo y realizar los ejercicios que aparecen en:

    • La Sección 2.1 (página 110): Experimentos, espacios muestrales y eventos.

    • La Sección 2.2 (página 133): Modelos de urna y técnicas de conteo.

    • La Sección de Ejercicios Complementarios (página 175).

  2. Al hacer click aquí, usted encontrará una serie de artículos publicados en diferentes áreas de aplicación. Seleccione algunos de ellos y aplique la teoría explicada en este documento.

Bibliografía

  1. LLinás, H., Rojas, C. (2005); Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. Barranquilla: Editorial Universidad del Norte.

  2. Consultar mis Notas de clase: Cap. 2 (Descriptiva).

  3. Consultar el documento RPubs :: Enlace y materiales de ayuda.

 

  
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