Modelado de la epidemia COVID-19 en R

Este problema tiene como objetivo guiarte en el desarrollo y análisis de un modelo dinámico empleando el lenguaje de programación R. El objetivo es que te familiarices con las herramientas de análisis en R y que inicies el desarrollo de tus propios modelos dinámicos. Para este efecto tomaremos como referencia el caso de la epidemia COVID-19, basándonos en el modelo básico de SARS descrito por Sterman (2013).

Descripción del caso:

Para iniciar tomaremos como referencia el diagrama “stock-flow” de Sterman (2013) mostrado en la siguiente figura.

Como primer paso haremos un listado del tipo de variables en el modelo:

Variables de Estado (Stock variables)

Variables de flujo (flow variables)

Variables auxiliares endógenas (endogenous auxiliary variables)

Parámetros de simulación (variables en la frontera del sistema o exogenous auxiliary variables)

Esta clasificación es útil para organizar el espacio de trabajo en Rstudio.

Tutorial de modelado del caso en R:

Iniciaremos por definir este modelo dinámico como una función definida por el usuario siguiendo los siguientes pasos.

#Carga la librería deSolve empleando la función library() 
library("deSolve")

Declara el espacio de trabajo como una función definida por el usuario. En este caso sólo tienes que cambiar el nombre de la función, manteniendo el template que hemos usado en otros modelos

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.toCOVID
      
    list(c())
  })
}

Ahora agregaremos las variables de estado y los flujos asociadas a ellas. Iniciaremos con la variable de estado “Population Susceptible to COVID” como se muestra en el chunk siguiente.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID <- (-1)*infection.rate
    
    dpopultaion.infected.wCOVID <- Infection.Rate
      
    list(c())
  })
}

Nota que en R las variables no pueden ser nombradas con espacios. De manera que esta variable de estado es nombrada como: “population.susceptible.to.COVID” nota también que las variables de estado son precedidas por el símbolo diferencial “d” para indicar que esta es una variable de estado, la sintaxis completa es: “dpopulation.susceptible.to.COVID”. Después de este paso habrás creado exitosamente la primera variable de estado del modelo.

Una práctica muy recomendable es documentar tus modelos. En R puedes hacer esto empleando el símbolo “#” y escribiendo delante de éste una breve descripción de la variable que estas representando. Además de describir la variable que estas creando es muy recomendable escribir también las unidades de medición de tu variable. El siguiente chunk muestra un ejemplo:

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    #The population susceptible to COVID is equal to the 
    #population susceptible prior to the onset of the disease
    #less all of those that have contracted it
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    #Esta linea indica que variables se imprimen como 
    #resultado de la integración del modelo, todas las
    #variables de estado deben estar listadas
    list(c())
  })
}

Como se muestra en el stock-flow diagram, la variable “Infection.Rate” está conectada a la variable de estado como un flujo de salida (i.e. outflow variable), esta estructura se modela como se muestra en el chunk anterior. Nota que esta variable de flujo afecta con signo negativo a la variable de estado. Este signo negativo específica a esta variable de flujo como un flujo de salida.

Podemos seguir un proceso similar para modelar y documentar la segunda variable de estado “population.infected.with.COVID” como se muestra en la siguiente figura. Nota que en este caso la variable de flujo “Infection.Rate” es modelada como un flujo de entrada (i.e. inflow variable) y por esta razón no se incluye un signo negativo y nota también que la variable de estado “population.infected.with.COVID” es especificada precedida del signo diferencial “d”.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Como se muestra en el stock-flow diagram, en este modelo solo existe una sola variable de flujo que está conectada a las variables de estado. Esta variable de flujo es determinada por dos variables auxiliares: “Contacts between Infected and Uninfected People” e “Infectivity”. Para este caso especificamos la variable de flujo “Infection.Rate” como la multiplicación simple de estas dos variables auxiliares tal como se muestra en la siguiente figura. Nota que al agregar esta nueva variable también hemos incluido la documentación que describe esta variable y sus unidades de medición.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Al definir la variable de flujo “Infection.Rate” hemos agregado dos nuevas variables que debemos especificar. La variable “Contacts between Infected and Uninfected People” es una variable auxiliar endógena que es determinada por la variable “Susceptible Contacts” y la variable “Probability of Contact with Infected Person” esta interacción es especificada de la siguiente manera:

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Al definir esta nueva variable hemos agregado dos nuevas variables auxiliares endógenas que debemos definir. La primera variable “Susceptible Contacts” es determinada por la variable de estado “Population Susceptible to COVID” y por la variable “Contact Frequency” y es especificada como se muestra en la figura siguiente. Nota que en esta ocasión al emplear la variable de estado para definir otra variable endógena auxiliar no es necesario usar el símbolo diferencial antes de la variable de estado.

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

La última variable endógena auxiliar por modelar es la variable “Probability of Contact with Infected Person”. De manera similar al caso anterior, esta variable es determinada por la variable de estado “population infected with COVID” dividida por la variable exógena auxiliar “Total Population”

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c())
  })
}

Esto concluye la especificación de todos los elementos endógenos del modelo. El siguiente paso es especificar los valores de los parámetros (i.e. variables auxiliares exógenas), las condiciones iniciales de las variables de estado, el horizonte temporal de análisis y el método de integración para la simulación.

En nuestro modelo hemos especificado tres parámetros: “Contact Frequency”, “Total Population” e “Infectivity”.

En R podemos especificar los parámetros del modelo empleando un vector como se muestra en la siguiente figura. Nota que el nombre de los parámetros es idéntico al nombre empleando en la especificación descrita en los pasos anteriores. También nota que cada parámetro está asociado a un valor numérico único para el cual correremos el modelo de simulación. Finalmente nota que para cada parámetro se especifican sus unidades de medición.

parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

De igual manera podemos emplear un vector en R para definir las condiciones iniciales de cada variable de estado, esto se muestra en la siguiente figura. Nuevamente el nombre de las variables de estado es idéntico al empleado en la especificación de la modelo y cada variable de estado es inicializada a un valor único.

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1)

Ahora es necesario especificar el vector de tiempo que será usado para simular el modelo. Esta especificación se lleva a cabo como se muestra en la siguiente figura. Nota que para especificar este vector de tiempo empleamos la función seq(). Esta función crea una secuencia numérica y requiere tres parámetros: valor inicial, valor final e intervalo de crecimiento. En nuestro modelo dinámico estos tres parámetros representan el tiempo inicial de la simulación, el tiempo final de la simulación y la resolución temporal de la simulación. Nota que para cada parámetro hemos indicado la unidad de tiempo correspondiente.

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

Aún no discutimos con detalle las propiedades de los diferentes métodos de integración que podemos emplear para simular nuestro modelo. Por lo pronto, para este ejercicio, elegiremos el método Runge-Kutta de Orden 4, en clases subsecuentes estudiaremos las propiedades de otros métodos de integración. La figura siguiente muestra la forma de especificar este método de integración.

intg.method<-c("rk4")

El último paso en el proceso de especificación del modelo es elegir las variables que serán “impresas” por la simulación. Este es un paso muy importante ya que nos permite elegir las variables que deseamos analizar. La figura siguiente muestra la forma de especificar las variables a imprimir por el modelo. Nota que esto es especificado en la última línea de código de la función contiene nuestro modelo dinámico. Nota también que en este caso hemos elegido imprimir sólo las variables de estado y que ambas están precedidas por el signo diferencial “d” y son concatenadas empleando la función c().

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
           dpopulation.infected.with.COVID),
         Infection.Rate=Infection.Rate)
  })
}

Esto concluye la especificación del modelo de simulación. El siguiente paso es ejecutar este código y llevar a cabo la simulación. Corre los chunks que contienen la librería deSolve, los vectores que guardamos como parameters, InitialConditions, times e intg.method, y también corre el chunk de la función covid.epidemic.

Una vez realizado esto, en la consola de R ya están cargados tanto el modelo como todos los parámetros necesarios para llevar a cabo la simulación, pero aún no hemos generado datos de la simulación. Para hacer esto, crearemos una base de datos “out” que contiene los resultados de la simulación empleando la función “ode”. Nota que la función “ode” emplea como parámetros de entrada condiciones iniciales de las variables de estado del modelo, el vector de tiempo, la función covid.epidemic que describe nuestro modelo, las variables exógenas (i.e. parámetros) y el método de integración. Todos estos elementos los hemos definido ya en los pasos anteriores.

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters,
           method =intg.method )

Si has hecho esto correctamente verás un nuevo objeto llamado “out” listado en el panel superior derecho.

El paso final es analizar gráficamente los resultados para esto emplea la función “plot”

plot(out,
     col=c("blue"))

Preguntas del caso:

  1. Incluye tu modelo en un sólo chunk de código en el que se utilice la función plot para ver el comportamiento de las variables de estado. Toma en cuenta que el modelo que envíes será revisado en términos de las sintaxis del código, pero fundamentalmente en términos de su funcionalidad. Un modelo que no funcione al ser ejecutado será penalizado notablemente (5 puntos, productos: chunk con el modelo).
library(deSolve)

InitialConditions <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1)

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

covid.epidemic <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<-Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID<-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate #Stock units: People/time
    
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
           dpopulation.infected.with.COVID),
         Infection.Rate=Infection.Rate)
  })
}

parameters<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

intg.method<-c("rk4")

out <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out,
     col=c("blue"))

  1. ¿Qué sucede cuando inicializas la variable de estado “Population Infected with COVID” en cero? Explica brevemente que origina el comportamiento que observas, emplea la estructura del modelo para cimentar tu argumentación (5 puntos, productos: grafico de simulación y breve descripción).
InitialConditions_2 <- c(population.susceptible.to.COVID = 350 ,
                       population.infected.with.COVID = 0)

out_2 <- ode(y = InitialConditions_2,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters,
           method =intg.method )

plot(out_2,
     col=c("blue"))

# Respuesta:
# El sistema queda estático. No hay contagios, no hay transmisión. Las variables se mantienen constantes a lo largo del tiempo, lo que se refleja en las gráficas como líneas planas (pendiente igual a cero). Esto sucede porque la variable de flujo Infection.Rate se calcula como el producto de la cantidad de contactos entre personas susceptibles y la probabilidad de que uno de esos contactos sea con alguien infectado. Pero si no hay infectados, entonces esa probabilidad es cero y la tasa de infección también lo es, sin importar la frecuencia de contactos o la infectividad.

  1. ¿Cómo cambia la dinámica de comportamiento del modelo si inicializas esta variable de estado a un valor positivo diferente de cero? (5 puntos, productos: gráfico de simulación y breve descripción).
plot(out,
     col=c("blue"))

# Respuesta
# Las gráficas muestran claramente cómo evoluciona la epidemia en el tiempo: la población susceptible disminuye rápidamente a medida que ocurren contagios, mientras que la población infectada crece hasta estabilizarse cerca del total. La tasa de infección (Infection.Rate) sigue una forma de campana: comienza en cero, alcanza un pico cuando hay suficientes susceptibles e infectados interactuando, y luego cae cuando ya casi no quedan personas por contagiar.

  1. ¿Cómo cambia la dinámica del sistema si aumenta el valor del parámetro “Contact Frequency”? ¿El valor de este parámetro modifica el valor final de la variable de estado “Population Infected with COVID”? Explica porque sí o porque no haciendo referencia a la estructura del modelo y a los resultados de la simulación (15 puntos, productos: gráfico con resultados de simulación y descripción de resultados).
parameters_4<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless
              Contact.Frequency = 4, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

out_4 <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters_4,
           method =intg.method )

plot(out_4,
     col=c("blue"))

# Respuesta:
# Al comparar estas nuevas gráficas con las de la pregunta anterior, se observa que la epidemia ocurre de forma más acelerada: la población susceptible disminuye antes, la población infectada crece más rápidamente y la tasa de infección alcanza su pico en menos tiempo. Esto indica que el cambio realizado en el modelo —como aumentar la frecuencia de contacto o la infectividad— hizo que el contagio ocurriera más intensamente desde el inicio. En resumen, el brote es más agresivo y se propaga en menos tiempo, aunque el resultado final (toda la población infectada) sigue siendo el mismo.

5. ¿Cómo cambia el comportamiento del modelo si la variable de flujo “Infection Rate” cambia? Sigue los siguientes lineamientos para dar tu respuesta: Responde a esta pregunta describiendo brevemente los cambios que identificas al cambiar el valor de esta variable. Emplea un par de gráficos de comportamiento del modelo para dar soporte a tu respuesta (15 puntos, productos: gráfico con resultados de simulación y descripción de resultados).

parameters_5<-c(Infectivity = .05, # [1] dimmensionless
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

out_5 <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters_5,
           method =intg.method )

plot(out_5,
     col=c("blue"))

parameters_5_2 <-c(Infectivity = 0.2, # [1] dimmensionless
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350 ) #people)

out_5_2 <- ode(y = InitialConditions,
           times = times,
           func = covid.epidemic,
           parms = parameters_5_2,
           method =intg.method )

plot(out_5_2,
     col=c("blue"))

# Respuesta:
# En el escenario en donde el valor de la variable infectivity es igual a 0.05, lo que hace que el contagio ocurra más lentamente. Se observa que la población susceptible disminuye de forma gradual, extendiéndose por más tiempo antes de llegar a valores bajos. A su vez, la población infectada crece de manera más lenta, alcanzando su punto de estabilización mucho después que en escenarios anteriores. La tasa de infección también tiene una curva más aplanada y el pico ocurre más tarde. Esto confirma que una menor infectividad reduce la velocidad de propagación del virus, aunque el resultado final —una población mayormente infectada— sigue siendo similar.
# Al aumentar la infectividad a 0.2, la propagación del virus se acelera notablemente en comparación con el escenario anterior. Las curvas muestran que la población susceptible cae más rápido, la población infectada crece con mayor rapidez y la tasa de infección alcanza un pico más alto y más temprano. En resumen, un mayor valor de infectivity intensifica y adelanta el brote epidémico.

  1. El modelo que has desarrollado siguiendo el tutorial anterior es demasiado simple. Brevemente critica la formulación y estructura del modelo y lista las suposiciones del modelo que consideras son irrealistas. Uno o dos párrafos son más que suficientes para responder este punto (5 puntos, productos: respuesta textual).

En el punto anterior identificaste algunas suposiciones irrealistas. Las siguientes preguntas tienen como objetivo que explores que sucede cuando se expanda el modelo para atender sus limitaciones.

Hasta el momento hemos asumido que la población se mantiene infectada con el virus COVID de manera indefinida. En epidemiologia esto se conoce como el modelo SI (i.e. Susceptible-Infectious). El modelo SI es apropiado para representar enfermedades crónicas para las que no existe una cura. Sin embargo, en el caso de muchas enfermedades infecciosas, incluyendo COVID, SARS, viruela o influenza, las personas infectadas pueden recuperarse o en los casos más lamentables morir.

El siguiente diagrama stock-flow expande la estructura del modelo base para describir el proceso de recuperación de la población infectada con COVID. Esta expansión del modelo en epidemiología es conocida como el modelo SIR (i.e. la “R” indica “Recovery”). Sigue las instrucciones siguientes para expandir el modelo del tutorial.

El diagrama stock-flow muestra que debes agregar tres variables nuevas: una nueva variable de estado “Population Recovered from COVID”, una nueva variable de flujo “Recovery Rate” (por simplicidad no distinguiremos entre los pacientes que se recuperan y aquellos que mueren) y un nuevo parámetro “Average Duraction of Infection”.

El parámetro “Average Duraction of Infection” indica el tiempo promedio (i.e. en días) que una persona permanece infectada con el virus COVID. Los epidemiólogos estiman que la fase de infección del COVID tiene una duración promedio de 7 a 21 días. Emplea tu criterio para elegir el valor de este parámetro.

Existen muchas formas de modelar la variable de flujo “Recovery Rate” pero la especificación empleada con mayor frecuencia es la siguiente: Recovery Rate=Population Infected with COVID/Average Duration of Infectivity

Para implementar exitosamente esta estructura en el modelo es necesario que especifiques que esta nueva variable de flujo afecta también a la variable de estado existente “Population Infected with COVID” de la siguiente manera (i.e. sintaxis en R):

dpopulation.infected.with.COVID<-Infection.Rate - Recovery.Rate

También es necesario agregar nueva variable de estado “Population Recovered from COVID”, esto lo puedes lograr empleando la siguiente especificación:

dpopulation.recovered.from.COVID<- Recovery.Rate

Recuerda que al agregar una nueva variable de estado es necesario que indiques en el vector de condiciones iniciales el valor inicial de esta variable y también indicar en la última línea de código de la función “covid.epidemic” que esta nueva variable de estado será impresa por la simulación:

list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID, dpopulation.infected.with.COVID, dpopulation.recovered.from.COVID))

Emplea esta nueva versión del modelo para responder a las siguientes preguntas:

# Respuesta:
# Este modelo simple muestra cómo una epidemia puede propagarse rápidamente en una población cerrada, dependiendo de cuán contagiosa sea la enfermedad y de cuántos contactos ocurran entre las personas. Aunque el modelo no incluye recuperación ni mortalidad, permite ver con claridad cómo el número de personas infectadas crece a costa de la población susceptible, y cómo la tasa de infección se comporta como un puente entre ambas.

# Lo que más me ayudó a entender fue cómo las condiciones iniciales y los parámetros del modelo (como la infectividad) influyen directamente en la velocidad y el momento del brote. Visualizar las gráficas hizo mucho más claro lo que las ecuaciones por sí solas no muestran tan fácilmente. Esto refuerza los comentarios de los profesores, sobre el uso de dinámica de sistemas no solo para representar un problema, sino también para explorar escenarios y entender mejor cómo las variables se relacionan entre sí con el paso del tiempo.
  1. ¿De qué manera cambia el comportamiento de la epidemia una vez que agregas estas nuevas variables al modelo? (30 puntos, productos: nueva versión del modelo, gráficos con comportamiento de las tres variables de estado).
library(deSolve)

InitialConditions_7 <- c(population.susceptible.to.COVID = 349 ,
                       population.infected.with.COVID = 1,
                       population.recovered.from.COVID = 0)

times <- seq(0 , #initial time, days
             120 , #end time, days
             0.25 ) #time step, days

covid.epidemic_7 <- function(t, state, parameters) {
  with(as.list(c(state,parameters)), {
    #Endogenous auxiliary variables
    Probability.of.Contact.with.Infected<-population.infected.with.COVID/Total.Population #dimensionless
    Susceptible.Contacts<-population.susceptible.to.COVID*Contact.Frequency #[people/time]
    Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People<-Susceptible.Contacts*Probability.of.Contact.with.Infected #[people/time]
      
    #Flow variables
    Infection.Rate<- Infectivity*Contacts.bt.Infected.and.Uninfected.People #[people/time]
    Recovery.Rate <- population.infected.with.COVID/average.duration.infectivity
      
    #State (stock) variables
    dpopulation.susceptible.to.COVID <-(-1)*Infection.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.infected.with.COVID <-Infection.Rate - Recovery.Rate #Stock units: People/time
    dpopulation.recovered.from.COVID <- Recovery.Rate
    
    list(c(dpopulation.susceptible.to.COVID,
           dpopulation.infected.with.COVID,
           dpopulation.recovered.from.COVID),  # Variables en el orden que se resuelven
         Infection.Rate=Infection.Rate)
  })
}

parameters_7<-c(Infectivity = 0.1, # [1] dimmensionless
              Contact.Frequency = 2, # people/day
              Total.Population = 350, #  people
              average.duration.infectivity = 14) #days

intg.method<-c("rk4")

out_7 <- ode(y = InitialConditions_7,
           times = times,
           func = covid.epidemic_7,
           parms = parameters_7,
           method =intg.method )

plot(out_7,
     col=c("blue"))

# Respuesta:
# Al incorporar la variable de personas recuperadas, el comportamiento del sistema cambia de forma significativa. Ahora la población infectada crece hasta cierto punto y luego disminuye, ya que las personas se recuperan y dejan de contagiar. La curva de infectados toma una forma más pronunciada, y aparece una nueva dinámica donde las personas “salen” del sistema de contagio. La gráfica de recuperados muestra una subida continua, reflejando cómo se acumulan los casos superados. En conjunto, el modelo se vuelve más realista al mostrar no solo el crecimiento del contagio, sino también su eventual disminución.
  1. ¿Describe gráficamente y con un breve texto el efecto en el sistema de cambios (i.e. incremento y decremento) de las siguientes variables: “contact frequency” y “infectivity”? Enfatiza en las diferencias que percibes con respecto del comportamiento del modelo base. Usa una concisa y breve descripción textual y gráfica (20 puntos, productos: descripción de comportamiento, gráficos describiendo el comportamiento del modelo).
parameters_8.1<-c(Infectivity = 0.05, # [1] dimmensionless
              Contact.Frequency = 1, # people/day
              Total.Population = 350, #  people
              average.duration.infectivity = 14) #days

parameters_8.2<-c(Infectivity = 0.2, # [1] dimmensionless
              Contact.Frequency = 4, # people/day
              Total.Population = 350, #  people
              average.duration.infectivity = 14) #days


out_8.1 <- ode(y = InitialConditions_7,
           times = times,
           func = covid.epidemic_7,
           parms = parameters_8.1,
           method =intg.method )

plot(out_8.1,
     col=c("blue"))

out_8.2 <- ode(y = InitialConditions_7,
           times = times,
           func = covid.epidemic_7,
           parms = parameters_8.2,
           method =intg.method )

plot(out_8.2,
     col=c("blue"))

# Respuesta:
# En el escenario con una infectividad de 0.05 y una frecuencia de contacto de solo 1, la propagación del virus ocurre de forma muy lenta. Las curvas son suaves y poco pronunciadas: los susceptibles apenas disminuyen, los infectados crecen lentamente, mientras que la tasa de infección se mantiene baja y decreciente. También se observa que la población recuperada crece de manera muy gradual. Este comportamiento muestra que, con poca transmisibilidad y pocos contactos, el brote no llega a expandirse significativamente, y el contagio se mantiene casi controlado.
# En este segundo escenario, con una infectividad de 0.2 y una frecuencia de contacto de 4 (personas por día), el contagio ocurre de manera mucho más rápida y agresiva. Las gráficas muestran que la población susceptible cae bruscamente al inicio, mientras que los infectados alcanzan un pico alto en muy poco tiempo. La tasa de infección también sube rápidamente y luego se reduce, reflejando un brote corto pero intenso. Al final, casi toda la población se recupera. Este comportamiento contrasta con el escenario anterior.