PUNTO 1

Para tener un mejor manejo de estas variables y facilitar el procedimiento del parcial, vamos a utilizar las siguientes bibliotecas.

# por medio del comando install.packages("tidyverse") descargamos la libreria
# Utilizamos el comando library() para utilizar la libreria
library("tidyverse")
## ── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
## ✔ dplyr     1.1.4     ✔ readr     2.1.5
## ✔ forcats   1.0.0     ✔ stringr   1.5.1
## ✔ ggplot2   3.5.2     ✔ tibble    3.2.1
## ✔ lubridate 1.9.4     ✔ tidyr     1.3.1
## ✔ purrr     1.0.4     
## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
## ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors
library("ggplot2")
library("ggpmisc")
## Cargando paquete requerido: ggpp
## Registered S3 methods overwritten by 'ggpp':
##   method                  from   
##   heightDetails.titleGrob ggplot2
##   widthDetails.titleGrob  ggplot2
## 
## Adjuntando el paquete: 'ggpp'
## 
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     annotate
library("ggpubr")
## 
## Adjuntando el paquete: 'ggpubr'
## 
## The following objects are masked from 'package:ggpp':
## 
##     as_npc, as_npcx, as_npcy
## Cargamos el conjunto de datos "mtcars" y le asignamos una variable para facilitar su manejo.

data("mtcars")

Una vez cargada la base de datos y de asignarle un nombre, procedemos a cargarlo para visualizar sus variables

## En el resultado podemos oberservar que hay un total de 11 variables para 32 objetos.
mtcars
##                      mpg cyl  disp  hp drat    wt  qsec vs am gear carb
## Mazda RX4           21.0   6 160.0 110 3.90 2.620 16.46  0  1    4    4
## Mazda RX4 Wag       21.0   6 160.0 110 3.90 2.875 17.02  0  1    4    4
## Datsun 710          22.8   4 108.0  93 3.85 2.320 18.61  1  1    4    1
## Hornet 4 Drive      21.4   6 258.0 110 3.08 3.215 19.44  1  0    3    1
## Hornet Sportabout   18.7   8 360.0 175 3.15 3.440 17.02  0  0    3    2
## Valiant             18.1   6 225.0 105 2.76 3.460 20.22  1  0    3    1
## Duster 360          14.3   8 360.0 245 3.21 3.570 15.84  0  0    3    4
## Merc 240D           24.4   4 146.7  62 3.69 3.190 20.00  1  0    4    2
## Merc 230            22.8   4 140.8  95 3.92 3.150 22.90  1  0    4    2
## Merc 280            19.2   6 167.6 123 3.92 3.440 18.30  1  0    4    4
## Merc 280C           17.8   6 167.6 123 3.92 3.440 18.90  1  0    4    4
## Merc 450SE          16.4   8 275.8 180 3.07 4.070 17.40  0  0    3    3
## Merc 450SL          17.3   8 275.8 180 3.07 3.730 17.60  0  0    3    3
## Merc 450SLC         15.2   8 275.8 180 3.07 3.780 18.00  0  0    3    3
## Cadillac Fleetwood  10.4   8 472.0 205 2.93 5.250 17.98  0  0    3    4
## Lincoln Continental 10.4   8 460.0 215 3.00 5.424 17.82  0  0    3    4
## Chrysler Imperial   14.7   8 440.0 230 3.23 5.345 17.42  0  0    3    4
## Fiat 128            32.4   4  78.7  66 4.08 2.200 19.47  1  1    4    1
## Honda Civic         30.4   4  75.7  52 4.93 1.615 18.52  1  1    4    2
## Toyota Corolla      33.9   4  71.1  65 4.22 1.835 19.90  1  1    4    1
## Toyota Corona       21.5   4 120.1  97 3.70 2.465 20.01  1  0    3    1
## Dodge Challenger    15.5   8 318.0 150 2.76 3.520 16.87  0  0    3    2
## AMC Javelin         15.2   8 304.0 150 3.15 3.435 17.30  0  0    3    2
## Camaro Z28          13.3   8 350.0 245 3.73 3.840 15.41  0  0    3    4
## Pontiac Firebird    19.2   8 400.0 175 3.08 3.845 17.05  0  0    3    2
## Fiat X1-9           27.3   4  79.0  66 4.08 1.935 18.90  1  1    4    1
## Porsche 914-2       26.0   4 120.3  91 4.43 2.140 16.70  0  1    5    2
## Lotus Europa        30.4   4  95.1 113 3.77 1.513 16.90  1  1    5    2
## Ford Pantera L      15.8   8 351.0 264 4.22 3.170 14.50  0  1    5    4
## Ferrari Dino        19.7   6 145.0 175 3.62 2.770 15.50  0  1    5    6
## Maserati Bora       15.0   8 301.0 335 3.54 3.570 14.60  0  1    5    8
## Volvo 142E          21.4   4 121.0 109 4.11 2.780 18.60  1  1    4    2

Con esta informacion realizamos una visualización general de como se distribuyen las variables continuas de los datos mtcars. apartir de este grafico, seleccionamos las variables a manejar, que son mtg, wt, hp y drat. Estos diagramas sirven para identifcar la forma de la distribución como simetrica o sesgada a la derecha o a la izquierda,permitiendo identificar los valores atipicos y puede verificar si los datos siguen una distribución normal, que es importante para aplicar los metodos estadisticos, como las regresiones y compara la dispersión de los datos.

mtcars %>% 
  select_if(is.numeric) %>% #Selecciona unicamente las columnas numericas del dataset mtcars
  pivot_longer(cols = everything(), names_to = "variable", values_to = "valor") %>% #Transforma el dataset de formato ancho a formato largo creando dos columnas (variable y valor) 
  ggplot(aes(x = valor)) + 
  geom_histogram(fill = "orange", color = "black", bins = 10) + ##definimos la estética, usando valores numéricos en el eje x para generar un histograma por cada variable con 10 intervalos, color de bore y relleno
  facet_wrap(~variable, scales = "free") + #Creamos un grafico por cada variable numerica en un panle separado, tambien permitimos que cada histograma tenga su propia escala de eje x
  theme_minimal() #Aplicamos un tema de estilo simple pero limpio.

A partir de esta grafica,, se puede evidenciar lo siguiente, de cada variable:

  1. cyl (número de cilindros)

    • Distribución discreta con tres valores comunes: 4, 6 y 8 cilindros.
    • Esto sugiere tres grupos bien definidos de motores, que podrían diferenciarse también en consumo (mpg), peso y potencia.
    • Se puede considerar como un valor categorico, y no como uno continuo.

  2. disp (desplazamiento del motor en pulgadas cúbicas)

    • Distribución sesgada positivamente (hacia la derecha).
    • Muchos autos tienen motores de tamaño medio entre 150–300, pero hay pocos con motores muy grandes >400.
    • El tamaño del motor se asocia con mayor peso y menor eficiencia en mpg.

  3. hp (caballos de fuerza)

    • sesgado a la derecha.
    • Muestra que la mayoría de los autos tiene entre 50 y 150 HP, con unos pocos mucho más potentes.

  4. drat (relación del eje trasero)

    • Distribución más simétrica, centrada alrededor de 3.5.
    • No hay extremos visibles. Puede influir en la aceleración (qsec) o en el consumo de combustible.

  5. wt (peso del auto en miles de libras)

    • Peso concentrado entre 2 y 4 toneladas.
    • Relación clara esperada: más peso = menor mpg.
    • Está sesgada a la derecha: hay autos muy pesados que no son frecuentes.

  6. gear (número de marchas)

    • Valores más frecuentes: 3 y 4 marchas.
    • Pocos autos con 5 marchas. Indica que la mayoría son transmisiones más convencionales.
    • Esta variable podría estar relacionada con el tipo de transmisión (am) y eficiencia.

  7. vs (tipo de motor: 0 = en V, 1 = en línea)

    • Distribución binaria.
    • La mayoría de autos tienen motor en V, asociado con más potencia y consumo.

  8. carb (número de carburadores)

    • Multimodal: muchos autos tienen 1, 2 o 4 carburadores.
    • Este valor discreto indica diversidad tecnológica entre los autos.

  9. mpg (millas por galón)

  1. qsec (tiempo en segundos para recorrer 1/4 de milla)

Utilizamos la función glimpse() para ver la estructura de los datos y calculamos las estadisticas resumidas de todas las variables de mtcars.

glimpse(mtcars)
## Rows: 32
## Columns: 11
## $ mpg  <dbl> 21.0, 21.0, 22.8, 21.4, 18.7, 18.1, 14.3, 24.4, 22.8, 19.2, 17.8,…
## $ cyl  <dbl> 6, 6, 4, 6, 8, 6, 8, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 4, 4, 4, 4, 8,…
## $ disp <dbl> 160.0, 160.0, 108.0, 258.0, 360.0, 225.0, 360.0, 146.7, 140.8, 16…
## $ hp   <dbl> 110, 110, 93, 110, 175, 105, 245, 62, 95, 123, 123, 180, 180, 180…
## $ drat <dbl> 3.90, 3.90, 3.85, 3.08, 3.15, 2.76, 3.21, 3.69, 3.92, 3.92, 3.92,…
## $ wt   <dbl> 2.620, 2.875, 2.320, 3.215, 3.440, 3.460, 3.570, 3.190, 3.150, 3.…
## $ qsec <dbl> 16.46, 17.02, 18.61, 19.44, 17.02, 20.22, 15.84, 20.00, 22.90, 18…
## $ vs   <dbl> 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0,…
## $ am   <dbl> 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0,…
## $ gear <dbl> 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 3, 3,…
## $ carb <dbl> 4, 4, 1, 1, 2, 1, 4, 2, 2, 4, 4, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 1, 2, 1, 1, 2,…

Con este resumen de la estructura de los datos podemos hacer comparaciones mas adelante entre autos con diferente transmisión para ver si en verdad hay diferencia en el rendimiento, esto gracias a que los valores de mpg son muy variados que van desde autos muy eficientes hasta muy ineficientes.

Ahora calculamos la estadistica resumida para todas las variables numericas de mtcars

mtcars %>% # usamos dplyr para resumir todas las columnas numericas
  summarise(across(where(is.numeric),list(   #seleccionamos las variables numericas automaticamente
    media = mean,  #deinimos que funciones se van a aplicar para cada columna seleccionada
    mediana = median,
    sd = sd,
    min = min,
    max = max
  ), na.rm = TRUE)) #ignoramos los valores NA si los hubiera
## Warning: There was 1 warning in `summarise()`.
## ℹ In argument: `across(...)`.
## Caused by warning:
## ! The `...` argument of `across()` is deprecated as of dplyr 1.1.0.
## Supply arguments directly to `.fns` through an anonymous function instead.
## 
##   # Previously
##   across(a:b, mean, na.rm = TRUE)
## 
##   # Now
##   across(a:b, \(x) mean(x, na.rm = TRUE))
##   mpg_media mpg_mediana   mpg_sd mpg_min mpg_max cyl_media cyl_mediana   cyl_sd
## 1  20.09062        19.2 6.026948    10.4    33.9    6.1875           6 1.785922
##   cyl_min cyl_max disp_media disp_mediana  disp_sd disp_min disp_max hp_media
## 1       4       8   230.7219        196.3 123.9387     71.1      472 146.6875
##   hp_mediana    hp_sd hp_min hp_max drat_media drat_mediana   drat_sd drat_min
## 1        123 68.56287     52    335   3.596563        3.695 0.5346787     2.76
##   drat_max wt_media wt_mediana     wt_sd wt_min wt_max qsec_media qsec_mediana
## 1     4.93  3.21725      3.325 0.9784574  1.513  5.424   17.84875        17.71
##    qsec_sd qsec_min qsec_max vs_media vs_mediana     vs_sd vs_min vs_max
## 1 1.786943     14.5     22.9   0.4375          0 0.5040161      0      1
##   am_media am_mediana     am_sd am_min am_max gear_media gear_mediana   gear_sd
## 1  0.40625          0 0.4989909      0      1     3.6875            4 0.7378041
##   gear_min gear_max carb_media carb_mediana carb_sd carb_min carb_max
## 1        3        5     2.8125            2  1.6152        1        8

una vez calculamos la estdistica de las variables numericas de mtcars podemos hacer la comparación grafica por el rendimiento de mpg entre carros automaticos y manuales.

mtcars <- mtcars %>%
  mutate(am=factor(am, labels = c("Automatica", "Manual")))

por medio de este codigo convertimos la variable am, en factor con etiquetas legibles. Luego de estp, realizamos graficos boxplot para ver la comparación del rendimiento entre carros automaticos y manuales dentro de las variables de interes, dependiendo del tipo de transmisión del vehiculo (am).

mtcars %>%
  ggplot(aes(x = am, y = mpg, fill = am)) +
  geom_boxplot(alpha = 0.7, outliner.color = 
                 "red") +
  labs (title = "Comparación de mpg según tipo de transmisión",
        x = "tipo de transmisión",
        y = "Rendimiento (mpg)"
        ) + theme_minimal()
## Warning in geom_boxplot(alpha = 0.7, outliner.color = "red"): Ignoring unknown
## parameters: `outliner.colour`

Con el boxplot ya podemos interpretar que en la transmisión automatica (rojo) la mediana tiene alrededor de 17mpg que es bajo consumo, ilustrando una caja pequeña que indica menos variabilidad y con menor rendimiento promedio. EN la trnasmisión Manual (azul), la mediana esta cerca de 23 mpg con una caja mas grande indicando mayor disperción con mejores valores maximos y la tendencia hacia una mayor eficiencia.

ggplot(mtcars, aes(x = am, y = wt, fill = am)) +
  geom_boxplot() +
  labs(title = "Comparación de peso por tipo de transmisión",
       x = "Transmisión", y = "Peso (wt)") +
  theme_minimal()

En la interpretacion de este boxplot en la transmicion automatica la media es de aproximadamente 3,5 con un rango intercuartilico que esta entre 3,3 y 4,0 con valores atipicos mayores a 5, indicando que los autos automaticos tienden a ser mas pesados. En la transmicion manual la mediana es de aproximadamente 2,3 con valores atipicos bien definidos, por lo que los autos manuales son mas ligeros.

ggplot(mtcars, aes(x = am, y = hp, fill = am)) +
  geom_boxplot() +
  labs(title = "Comparación de caballos de fuerza por tipo de transmisión",
       x = "Transmisión", y = "Caballos de fuerza (hp)") +
  theme_minimal()

En la transmicion automatica la mediana es aproximadamente de 180hp con la mayoria de datos entre 120 y 210 hp con una mayor concentracion de autos potentes sin valores atipicos tan marcados. En la transmicion manual la mediana es aproximadamente 110hp con valores atipicos mayores a 220 y hasta 330 hp. Estos autos son menos potentes pero pocos con una potencia alta .

ggplot(mtcars, aes(x = am, y = drat, fill = am)) +
  geom_boxplot() +
  labs(title = "Comparación de relación diferencial por tipo de transmisión",
       x = "Transmisión", y = "Relación diferencial (drat)") +
  theme_minimal()

en la interpretacion de la transmicion automatica la mediana es de aproximadamente 3.1 sin valores atipicos con una distribucion con valores mas concentrados en un rango pequeño. En la transmicion manual la mediana es de aproximadamente 4,2 con valores atipicos casi en 5.

PUNTO 2

a)

El planteamiento de las hipotesis es sobre la diferencia de medias o medianas mediante el uso de boxplots para la comparación de grupos, evaluando si el consumo de combustible (mpg) varia segun la variable categorica como el tipo de transmisión (am) o el numero de cilindros (cyl).

Al comparar mpg según el am, tenemos que:

el am = 0 es transmisión automatica
el am = 1 es transmisión manual

Hipotesis 0: En los autos con transmision automatica o manual, no se presenta una diferencia significativa en el rendimiento del combustible. Hipotesis 1: En los autos con transmisión automatica o manual, hay una gran diferencia en el rendimiento del combustible entre los dos tipos de transmisión.

b)

Para poder comparar el consumo de combustible entre los carros de transmisión automatica o manual de la variable am, se debe establecer si se puede suponer igualdad de varianzas entre estos grupos, para determinar el tipo de prueba t que se debe aplicar.

Al observar los boxplots de mpg segun am, se evidencia que la dispersión de los datos en los grupos es diferente. El rango intercuartilico y los bigotes muestran una diferencia considerable, aunque al hacer la prueba de fisher para comparar las varianzas, se puede evidenciar un valor p superior a 0.05, lo que indica que las varianzas son iguales.

Para confrimar esta información, vamos a realizar una prueba de fisher, donde se compare la homogeneidad de las varianzas.

var.test(mpg ~ am, data = mtcars)
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  mpg by am
## F = 0.38656, num df = 18, denom df = 12, p-value = 0.06691
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.1243721 1.0703429
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.3865615

El valor p, dio un resultado de 0.067, por lo que al ser mayor a 0.05, no se descarta la hipotesis nula (0) y se asume que tienen igualdad de varianzas, por lo cual, si se pueden asumir varianzas iguales y realizar la prueba t-student con el argumento TRUE.

t.test(mpg ~ am, data = mtcars, var.equal = TRUE)  # o FALSE según var.test
## 
##  Two Sample t-test
## 
## data:  mpg by am
## t = -4.1061, df = 30, p-value = 0.000285
## alternative hypothesis: true difference in means between group Automatica and group Manual is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -10.84837  -3.64151
## sample estimates:
## mean in group Automatica     mean in group Manual 
##                 17.14737                 24.39231

Al obervar los resultados de la prueba t student, podemos observar que:

t = -4.1061 indicando que la media del grupo 0 es considerablemente menor que la del grupo 1, en comparación con la variación de los datos.
df = 30 indicando que entre los datos de ambos grupos, hay 30 valores independientes que aportan información para calcular la diferencia entre medias
p-value = 0.000285, que al ser un valor muy pequeño, indica que la diferencia entre medias es altamente significativa.

El intervalo de confianza es del 95%, por lo que la diferencia real de medias está entre -10.85 y -3.64, por lo que todo el intervalo es por debajo de 0, reforazando que el grupo 1 tiene un mayor redimiento de combustible de millas por galon que el grupo 0.

PUNTO 3

comparamos la variacion de medidas de wt segun su tipo de transmisión, se evaluan las diferencias significativas en el peso de los vehiculos, primero se ejecuta la varianza y luego la prueba t.

var.test(wt ~ am, data = mtcars)
## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  wt by am
## F = 1.5876, num df = 18, denom df = 12, p-value = 0.4177
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.5107978 4.3959133
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           1.587613
t.test(wt ~ am, data = mtcars, var.equal = FALSE)
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  wt by am
## t = 5.4939, df = 29.234, p-value = 6.272e-06
## alternative hypothesis: true difference in means between group Automatica and group Manual is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.8525632 1.8632262
## sample estimates:
## mean in group Automatica     mean in group Manual 
##                 3.768895                 2.411000

PUNTO 4

calculamos la regresión lineal de mpg, en función de hp, este analisis puede identificar, si la potencia del vehiculo predice en parte su consumo de combustible.

modelo_hp <- lm(mpg ~ hp, data = mtcars)
summary(modelo_hp)
## 
## Call:
## lm(formula = mpg ~ hp, data = mtcars)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.7121 -2.1122 -0.8854  1.5819  8.2360 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 30.09886    1.63392  18.421  < 2e-16 ***
## hp          -0.06823    0.01012  -6.742 1.79e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.863 on 30 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6024, Adjusted R-squared:  0.5892 
## F-statistic: 45.46 on 1 and 30 DF,  p-value: 1.788e-07
ggplot(mtcars, aes(x = hp, y = mpg)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(method = "lm", se = TRUE, color = "blue") +
  stat_poly_eq(aes(label = paste(..eq.label.., ..rr.label.., sep = "~")),
               formula = y ~ x, parse = TRUE, label.x = "right") +
  labs(title = "Regresión: mpg ~ hp", x = "Caballos de fuerza", y = "Rendimiento (mpg)") +
 theme_minimal()
## Warning: The dot-dot notation (`..eq.label..`) was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `after_stat(eq.label)` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.
## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

PUNTO 5

demuestra la regresión lineal de mpg en funcion de drat, los resultados se interpretan a traves de los graficos y el valor de R^2.

modelo_drat <- lm(mpg ~ drat, data = mtcars)
summary(modelo_drat)
## 
## Call:
## lm(formula = mpg ~ drat, data = mtcars)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -9.0775 -2.6803 -0.2095  2.2976  9.0225 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   -7.525      5.477  -1.374     0.18    
## drat           7.678      1.507   5.096 1.78e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.485 on 30 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.464,  Adjusted R-squared:  0.4461 
## F-statistic: 25.97 on 1 and 30 DF,  p-value: 1.776e-05
ggplot(mtcars, aes(x = drat, y = mpg)) +
  geom_point(color = "purple") +
  geom_smooth(method = "lm", se = TRUE, color = "darkred") +
  stat_poly_eq(
    aes(label = paste(..eq.label.., ..rr.label.., sep = "~")),
    formula = y ~ x, parse = TRUE, label.x = "right"
  ) +
  labs(
    title = "Regresión lineal: mpg ~ drat",
    x = "Relación del eje diferencial (drat)",
    y = "Rendimiento (mpg)"
  ) +
 theme_minimal()
## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

PUNTO 6

summary(modelo_hp)
## 
## Call:
## lm(formula = mpg ~ hp, data = mtcars)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.7121 -2.1122 -0.8854  1.5819  8.2360 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 30.09886    1.63392  18.421  < 2e-16 ***
## hp          -0.06823    0.01012  -6.742 1.79e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.863 on 30 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6024, Adjusted R-squared:  0.5892 
## F-statistic: 45.46 on 1 and 30 DF,  p-value: 1.788e-07
summary(modelo_drat)
## 
## Call:
## lm(formula = mpg ~ drat, data = mtcars)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -9.0775 -2.6803 -0.2095  2.2976  9.0225 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   -7.525      5.477  -1.374     0.18    
## drat           7.678      1.507   5.096 1.78e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.485 on 30 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.464,  Adjusted R-squared:  0.4461 
## F-statistic: 25.97 on 1 and 30 DF,  p-value: 1.776e-05