Đây là bản tóm tắt nội dung chính từ bài báo cáo “cossette2011.pdf”. Lưu ý rằng đây là văn bản tóm tắt được định dạng theo cú pháp R Markdown, chứ không phải là mã R có thể chạy để phân tích dữ liệu hoặc tạo hình ảnh, vì các nguồn không cung cấp thông tin chi tiết về mã R. Để chạy các phép tính thực tế, bạn sẽ cần triển khai các công thức toán học được mô tả trong bài báo.
Tên bài báo: Risk models based on time series for count random variables
Tác giả: Hélène Cossette, Étienne Marceau, Florent Toureille
Tổ chức: École d’Actuariat, Université Laval, Québec, Canada và Université de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, Laboratoire SAF, Lyon, Pháp
Xuất bản: Insurance: Mathematics and Economics 48 (2011) 19–28
Keywords: Discrete time risk model, Dependence, Poisson MA(1) process, Poisson MA(q) process, Poisson AR(1) process
Bài báo này khái quát hóa mô hình rủi ro thời gian rời rạc cổ điển bằng cách đưa vào một mối quan hệ phụ thuộc theo thời gian giữa các tần suất yêu cầu bồi thường (số lượng yêu cầu bồi thường).
Trong mô hình rủi ro thời gian rời rạc cổ điển, tổng số tiền yêu cầu bồi thường trong mỗi kỳ (\(W_k\)) được giả định là các biến ngẫu nhiên độc lập và phân phối giống hệt nhau (i.i.d.) [3]. Tuy nhiên, bài báo này loại bỏ giả định độc lập này và tập trung vào việc nghiên cứu phân phối của tổng số tiền yêu cầu bồi thường (\(S_n\)) và tổng số tiền yêu cầu bồi thường đã chiết khấu (\(Z_n\)) trong các biến thể của mô hình cổ điển.
Các mô hình chuỗi thời gian được sử dụng để mô tả hành vi của số lượng yêu cầu bồi thường (\(N = \{N_k, k \in \mathbb{N}^+\}\)) là mô hình tự hồi quy Poisson (Poisson AR) và mô hình trung bình trượt Poisson (Poisson MA) [2, 5]. Các mô hình này dựa trên các phép toán làm mỏng (thinning operations) để thay thế các phép nhân vô hướng trong khuôn khổ ARMA Gauss cho dữ liệu liên tục.
Biến ngẫu nhiên \(W_k\) đại diện cho tổng số tiền yêu cầu bồi thường trong kỳ \(k\).
\(W_k\) được giả định tuân theo một phân phối phức hợp (compound distribution), có thể viết là \(W_k = \sum_{j=1}^{N_k} B_{k,j}\), trong đó \(N_k\) là số lượng yêu cầu bồi thường và \(B_{k,j}\) là số tiền yêu cầu bồi thường cá nhân.
Mục tiêu chính là nghiên cứu phân phối của \(S_n = W_1 + \cdots + W_n\) (tổng số tiền yêu cầu bồi thường) và \(Z_n = v_1 W_1 + \cdots + v_n W_n\) (tổng số tiền yêu cầu bồi thường đã chiết khấu), với \(v_t = e^{-\delta t}\) là giá trị hiện tại được tính toán tại lãi suất tức thời \(\delta\) tại thời điểm 0 cho 1 đơn vị tiền tệ trả tại thời điểm \(t\).
Một kết quả quan trọng là \(S_n\) và \(Z_n\), mặc dù là tổng của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc có phân phối Poisson phức hợp, bản thân chúng cũng tuân theo một phân phối Poisson phức hợp [6, 7]. Điều này cho phép áp dụng các phương pháp tổng hợp thông thường như thuật toán đệ quy Panjer hoặc phương pháp FFT để đánh giá hàm phân phối của chúng.
Phân phối biên của \(N_k\) trong các ví dụ được xem xét là Poisson với kỳ vọng \(\lambda\) [8].
\(W_k\) được giả định là được phân phối giống hệt nhau như \(W\).
Bài báo xem xét ba ví dụ về chuỗi thời gian biến rời rạc với cấu trúc phụ thuộc theo thời gian cụ thể cho \(N = \{N_k, k \in \mathbb{N}^+\}\):
Định nghĩa: \(N_k = \epsilon_k + \alpha \circ \epsilon_{k-1}\).
\(\epsilon = \{\epsilon_k, k \in \mathbb{N}\}\) là một chuỗi các biến ngẫu nhiên i.i.d. tuân theo phân phối Poisson với kỳ vọng \(\frac{\lambda}{1+\alpha}\), với \(\alpha \in [1]\).
Phép toán làm mỏng \(\alpha \circ \epsilon_{k-1}\) có nghĩa là tổng của \(\epsilon_{k-1}\) biến Bernoulli i.i.d. với kỳ vọng \(\alpha\) [9]. Điều này có thể được xem như số lần thành công trong \(\epsilon_{k-1}\) thử nghiệm độc lập, mỗi thử nghiệm có xác suất thành công là \(\alpha\).
\(N_k\) là tổng của các lượt yêu cầu bồi thường mới (\(\epsilon_k\)) và một tỷ lệ các yêu cầu bồi thường từ kỳ trước (\(\alpha \circ \epsilon_{k-1}\)).
Đặc điểm phụ thuộc: Các biến ngẫu nhiên \(N_k\) và \(N_{k-t}\) là độc lập nếu \(t > 1\).
Phân phối biên của \(N_k\): Poisson với kỳ vọng \(\lambda\).
Hàm sinh mô men (m.g.f.) của \(S_n\): \(M_{S_n}(t) = e^{\lambda_{S_n}\{M_{C_n}(t)-1\}}\), với \(\lambda_{S_n} = \frac{\lambda(n+\alpha)}{1+\alpha}\) và \(M_{C_n}(t)\) được cho bởi công thức (7).
Hàm sinh mô men của \(Z_n\): \(M_{Z_n}(t) = e^{\lambda_{Z_n}(M_{D_n}(s)-1)}\), với \(\lambda_{Z_n} = \frac{\lambda(n+\alpha)}{1+\alpha}\) và \(M_{D_n}(s)\) được cho bởi công thức (13) trong Box I.
Trường hợp đặc biệt: Số tiền yêu cầu bồi thường theo phân phối mũ (Exponential claim amounts): Hàm phân phối tích lũy (c.d.f.) \(F_{C^{(n)}}(x)\) và \(F_{D^{(n)}}(x)\) được biểu diễn dưới dạng hỗn hợp của các phân phối Erlang và Erlang tổng quát [20, Box III].
Tổng quát hóa: \(N_k = \epsilon_k + \alpha_1 \circ \epsilon_{k-1} + \alpha_2 \circ \epsilon_{k-2} + \cdots + \alpha_q \circ \epsilon_{k-q}\).
\(\epsilon = \{\epsilon_k, k \in \mathbb{Z}\}\) là một chuỗi các biến ngẫu nhiên i.i.d. tuân theo phân phối Poisson với kỳ vọng \(\frac{\lambda}{\alpha}\), trong đó \(\alpha = \sum_{i=0}^q \alpha_i\) và \(\alpha_0 = 1\), với \(\alpha_i \in [1]\).
Phân phối biên của \(N_k\) là Poisson với kỳ vọng \(\lambda\).
Hàm sinh mô men của \(S_n\): \(M_{S_n}(t) = e^{\lambda_{S_n}\{M_{C_n}(t)-1\}}\), với \(\lambda_{S_n} = \frac{\lambda\xi_0}{\alpha}\) và \(M_{C_n}(t)\) được cho bởi công thức (19).
Hàm sinh mô men của \(Z_n\): \(M_{Z_n}(t) = e^{\lambda_{Z_n}(M_{D_n}(s)-1)}\), với \(\lambda_{Z_n} = \frac{\lambda\zeta_0}{\alpha}\) và \(M_{D_n}(s)\) được cho bởi công thức (24).
Định nghĩa: \(N_1\) tuân theo phân phối Poisson với kỳ vọng \(\lambda\), và \(N_k = \epsilon_k + \alpha \circ N_{k-1}\) cho \(k = 2, 3, \ldots\).
\(\epsilon = \{\epsilon_k, k \in \mathbb{N}^+\}\) là một chuỗi các biến ngẫu nhiên i.i.d. tuân theo phân phối Poisson với kỳ vọng \((1-\alpha)\lambda\), với \(\alpha \in [1]\) [18]. Quá trình \(N\) là một quá trình dừng.
Diễn giải: \(N_k\) có thể được hiểu là tổng của các yêu cầu bồi thường mới trong kỳ \(k\) (\(\epsilon_k\)) và các yêu cầu bồi thường của kỳ \(k-1\) tạo ra một tai nạn khác (với xác suất \(p=\alpha\)) trong kỳ \(k\).
Hàm sinh mô men của \(S_n\): \(M_{S_n}(t) = e^{\lambda_{S_n}\{M_{C_n}(t)-1\}}\), với \(\lambda_{S_n} = \lambda(1+(n-1)\gamma)\) và \(M_{C_n}(t)\) được cho bởi công thức (26) trong Box IV.
Hàm sinh mô men của \(Z_n\): \(M_{Z_n}(t) = e^{\lambda_{Z_n}(M_{D_n}(t)-1)}\), với \(\lambda_{Z_n} = \lambda(1+(n-1)\gamma)\) và \(M_{D_n}(t)\) được cho bởi công thức (31) trong Box VI.
Bài báo minh họa tác động của cấu trúc phụ thuộc của các quá trình MA(1) và AR(1) Poisson lên phí bảo hiểm stop-loss (\(\pi_d\)) và hai thước đo rủi ro là Giá trị rủi ro (VaR) và Giá trị rủi ro đuôi (TVaR).
Thiết lập ví dụ: Số tiền yêu cầu bồi thường cá nhân (\(B\)) tuân theo phân phối mũ \(Exp(\beta)\), với \(\beta = 1/10\). Kỳ vọng của \(\epsilon\) được đặt là \(\lambda = 2\). Các tham số phụ thuộc \(\alpha\) được thử nghiệm ở 0 (độc lập), 0.5 (trung bình) và 1 (cao) [23, 24]. Thời gian xem xét là \(n=4\) kỳ và hệ số chiết khấu là \(v = e^{-0.04}\).
Kết quả chính (từ Bảng 1, 2, 3, 4):
Tham số phụ thuộc \(\alpha\) không ảnh hưởng đến phí bảo hiểm thuần (pure premium).
Tuy nhiên, đối với một ưu tiên \(d\) cố định, phí bảo hiểm stop-loss tăng lên khi \(\alpha\) tăng [41, Bảng 1, 58, Bảng 3].
Tương tự, đối với một mức \(\kappa\) cố định, giá trị của VaR và TVaR tăng lên theo mức độ phụ thuộc [42, Bảng 2, 58, Bảng 4].
Trong trường hợp độc lập (\(\alpha=0\)), các giá trị của phí bảo hiểm stop-loss và các thước đo rủi ro dưới cả quá trình AR(1) Poisson và MA(1) Poisson là bằng nhau.
Điều quan trọng, đối với \(\alpha > 0\) và một ưu tiên cố định, các đại lượng được đánh giá dưới quá trình AR(1) Poisson là cao nhất so với quá trình MA(1) Poisson, cho thấy sự gia tăng rủi ro lớn hơn.
Việc đưa vào mối quan hệ phụ thuộc theo thời gian (khi \(\alpha > 0\)) dẫn đến sự gia tăng đáng kể của các thước đo rủi ro (phí bảo hiểm stop-loss, VaR, TVaR) so với mô hình độc lập cổ điển (\(\alpha=0\)). Điều này nhấn mạnh rằng việc bỏ qua sự phụ thuộc theo thời gian có thể dẫn đến việc đánh giá thấp rủi ro [26]. Quá trình AR(1) Poisson nhìn chung cho thấy mức độ rủi ro cao hơn so với quá trình MA(1) Poisson ở cùng một mức độ phụ thuộc \(\alpha\).