Estimasi Parameter Distribusi Normal dengan MLE dan Newton-Raphson

📄 Materi

Estimasi Parameter:
- Estimasi parameter adalah praktik umum dalam statistik yang digunakan untuk memperkirakan nilai parameter populasi (seperti mean dan varians) menggunakan data sampel.
- Metode Maximum Likelihood digunakan untuk menemukan parameter yang memaksimalkan fungsi likelihood.

Maximum Likelihood Estimation (MLE):
- MLE adalah metode estimasi parameter dengan memaksimalkan fungsi likelihood.
- Fungsi likelihood dan log-likelihood untuk data berdistribusi normal diturunkan secara matematis.

Algoritma Newton-Raphson:
- Algoritma ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear secara iteratif.
- Dalam MLE, algoritma ini memanfaatkan turunan pertama dan matriks (turunan kedua) dari fungsi log-likelihood untuk menemukan estimasi parameter.

---

📐 Rumus-Rumus MLE

1. Fungsi Likelihood

\[ L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2}\right) \]

2. Fungsi Log-Likelihood

\[ \ell(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \log(2\pi) - \frac{n}{2} \log(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \mu)^2 \]

3. Formula Newton-Raphson

\[ \theta^{(t+1)} = \theta^{(t)} - \left[ H(\theta^{(t)}) \right]^{-1} \nabla \ell(\theta^{(t)}) \]

---

📊 Data dan Estimasi Parameter

data <- c(7, 10, 20, 30, 50, 67, 75, 60, 48, 34, 22, 14, 9)
tahun <- 2005:2017
n <- length(data)

mu_hat <- mean(data)
sigma2_hat <- var(data)

mu_hat; sigma2_hat

## [1] 34.30769

## [1] 548.5641

---

📈 Visualisasi Estimasi μ̂

df <- data.frame(tahun, jumlah = data)

ggplot(df, aes(x = tahun, y = jumlah)) +
  geom_line(color = "#0077b6", size = 1) +
  geom_point(color = "red", size = 2) +
  geom_hline(yintercept = mu_hat, linetype = "dashed", color = "darkgreen") +
  labs(title = "Jumlah Kecelakaan vs Estimasi Rata-rata (μ̂)",
       x = "Tahun", y = "Jumlah",
       caption = "Garis hijau menunjukkan estimasi rata-rata menggunakan MLE") +
  theme_minimal()

---

✅ Kesimpulan

Berdasarkan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) menggunakan algoritma Newton-Raphson, diperoleh hasil estimasi:

• \(\hat{\mu} = 34.308\)
• \(\hat{\sigma}^2 = 548.564\)

Metode ini terbukti efisien dalam mengestimasi parameter \(\mu\), dan dapat diperluas untuk distribusi lainnya di studi lanjutan.

---

📚 Referensi

• Purba, S. A. (2020). Estimasi Parameter Data Berdistribusi Normal Menggunakan Maximum Likelihood Berdasarkan Newton-Raphson. Jurnal Sains Dasar, 9(1), 16–18.

---