Análisis del PIB per cápita y sus determinantes macroeconómicos en series de tiempo

Introducción

En este informe se analiza el PIB per cápita de Colombia como variable principal, considerando además otras variables relevantes como la esperanza de vida, la productividad laboral, el índice de desarrollo humano (HDI), el índice de capital humano, la inversión extranjera directa (FDI), la intensidad energética y el consumo de materiales.

Para ello, se aplica la técnica de series de tiempo, lo que permite evaluar con mayor precisión el comportamiento del PIB en Colombia en los años (1990 - 2020), así como compararlo con el desempeño de otros países.

Metodología

Una serie de tiempo es un conjunto de observaciones recogidas secuencialmente a lo largo del tiempo. Estas observaciones suelen estar espaciadas en intervalos regulares, como años, trimestres o meses. Las series de tiempo permiten estudiar el comportamiento dinámico de fenómenos económicos, sociales, ambientales o de salud pública, proporcionando información sobre sus tendencias, estacionalidades y posibles patrones cíclicos.

En este trabajo se emplean series de tiempo anuales, correspondientes al periodo comprendido entre 1990 y 2020, con el objetivo de modelar el comportamiento del PIB per cápita como variable respuesta en función de otras variables explicativas relacionadas con desarrollo humano, productividad, consumo y sostenibilidad.

Ecuacion: \[ \text{GDPpc}_{it} = \beta_0 + \beta_1 \cdot \text{LifeExpectancy}_{it} + \beta_2 \cdot \text{LaborProductivity}_{it} + \beta_3 \cdot \text{HDI}_{it} + \beta_4 \cdot \text{HCI}_{it} + \beta_5 \cdot \text{FDI}_{it} + \beta_6 \cdot \text{EnergyIntensity}_{it} + \beta_7 \cdot \text{MaterialConsumption}_{it} + \varepsilon_{it} \]

Cuando se aplica un modelo de regresión lineal sobre datos temporales, es importante considerar los supuestos clásicos del modelo, ya que su incumplimiento puede afectar la validez de las inferencias. Los principales supuestos son:

• Linealidad

• Independencia de los errores

• Homoscedasticidad

• Normalidad de los errores

• No multicolinealidad

Uno de los problemas más comunes en la modelación de series de tiempo es la autocorrelación de los residuos, especialmente cuando las variables están definidas en función del tiempo. La autocorrelación ocurre cuando el error en un período está correlacionado con el error en períodos anteriores. Esto viola el supuesto de independencia, lo que puede llevar a errores estándar incorrectos y, por ende, a conclusiones erróneas sobre la significancia de los coeficientes.

Para detectar la autocorrelación, se utilizan herramientas gráficas como:

Gráfico ACF: Permite visualizar la correlación de los residuos con sus rezagos.

Gráfico PACF: Muestra la autocorrelación de cada rezago controlando por los rezagos anteriores.

Prueba de Durbin-Watson: Es un test formal que evalúa si los residuos presentan autocorrelación de primer orden.

La detección de autocorrelación es fundamental para evaluar la validez del modelo. Si la autocorrelación está presente, se deben considerar modelos específicos para series de tiempo, como modelos ARIMA, modelos de regresión con errores autocorrelacionados, o el uso de técnicas como modelos de efectos fijos o aleatorios para paneles de datos.

Análisis descriptivo

Contexto histórico.

Entre 1990 y 1994, Colombia inició un proceso de apertura comercial y reducción de aranceles con el objetivo de modernizar su economía e integrarse al mercado global. Sin embargo, esta liberalización expuso a numerosos sectores industriales a una competencia internacional para la cual no estaban preparados, lo que generó dificultades en el aparato productivo nacional.

A comienzos de la década de 1990, el crecimiento económico fue relativamente estable, impulsado por el aumento de la inversión extranjera y el dinamismo del comercio. Sin embargo, entre 1998 y 1999, la economía colombiana atravesó una profunda recesión: el PIB cayó un -4,2%, la peor contracción registrada hasta entonces. Esta crisis fue provocada por una combinación de factores, como el elevado endeudamiento interno, la violencia generalizada, la inestabilidad política y el aumento del desempleo.

Durante la década de los 2000, la economía logró estabilizarse gracias a la implementación de reformas fiscales y monetarias. El PIB creció a un promedio anual entre el 5% y el 7%, y se fortaleció la inversión extranjera, especialmente en sectores como minería y petróleo. Aunque la crisis financiera global de 2008–2009 afectó a gran parte del mundo, en Colombia su impacto fue moderado: el crecimiento del PIB en 2009 se redujo al 1,7%, pero no se registró una recesión.

En los años posteriores, el país mantuvo una trayectoria de crecimiento relativamente sostenido, con tasas de entre el 4% y el 5% anual. Este período estuvo marcado por la expansión de la clase media y un mayor enfoque en la inversión en infraestructura, educación y salud.

Sin embargo, entre 2015 y 2016 se presentó una desaceleración económica, y el crecimiento del PIB se redujo a cerca del 2%, lo que generó presiones fiscales y menor capacidad de inversión pública.

Finalmente, en 2020, la economía colombiana sufrió su mayor caída desde 1990 debido al impacto de la pandemia de COVID-19. El PIB se contrajo en un -6,8% como resultado de estrictas cuarentenas, aumento del desempleo, cierre de negocios y una fuerte caída del turismo y la inversión.

Descripcion de las variables

Esperanza de vida: Indica los años que se espera que viva una persona al nacer, reflejando la calidad de los sistemas de salud, nutrición y condiciones de vida.

Productividad laboral: La productividad se mide como el producto interno bruto (PIB) por hora de trabajo. Este indicador evalúa la eficiencia económica, y un mayor nivel de productividad sugiere una mejor tecnología, capacitación laboral y gestión de recursos.

Índice de desarrollo humano (HDI): Es una medida resumida de las dimensiones clave del desarrollo humano: una vida larga y saludable, una buena educación y un nivel de vida digno. Esta variable combina la esperanza de vida, la educación y el PIB per cápita en una métrica compuesta, donde valores más altos indican un mayor desarrollo humano.

Índice de capital humano (HCI): Combina indicadores de salud y educación para estimar el potencial productivo de futuras generaciones. Un HCI alto indica una mejor preparación para el crecimiento económico sostenido, ya que valores más altos reflejan un mayor capital humano esperado.

GDP per cápita: Mide el valor económico promedio por persona en un país. Un GDP per cápita alto suele asociarse con mayor desarrollo, aunque no considera desigualdades internas ni diferencias en el costo de vida entre países y es crucial para comparar el bienestar económico entre países.

Inversión extranjera directa (FDI): Esta métrica refleja el flujo neto de capital de inversión que los países realizan hacia el exterior, incluyendo compras de empresas, participación accionaria significativa y establecimiento de operaciones. Un valor positivo indica que el país invierte más en el exterior de lo que recibe, mientras que un valor negativo implicaría que recibe más inversión extranjera directa de la que envía.

Intensidad energética: Mide cuánta energía se usa para producir una unidad de PIB. Menores valores indican mayor eficiencia energética, lo cual es clave para el desarrollo sostenible. Un valor más bajo significa que las economías producen valor económico de manera menos intensiva en energía.

Consumo de materiales: Este indicador refleja la cantidad total de recursos materiales (como biomasa, minerales, combustibles fósiles y metales) utilizados por un país para sostener su economía y su nivel de vida. Un valor alto indica una intensidad material elevada, característica común en países con grandes industrias extractivas, altos niveles de consumo y patrones de producción intensivos en recursos. Por el contrario, valores bajos pueden estar asociados a economías con menor industrialización, eficiencia material o niveles de vida más modestos.

Estadísticas descriptivas

A continuación se muestra una tabla la cual contiene los principales indicadores de tendencia central para cada variable.

Tabla análisis de regresión

Además también se mostraron gráficos descriptivos que demuestran cómo se relacionan algunas variables con otras.

Diagrama de dispersión entre GDP per Capita y Material Consumption

Primeramente, parece haber una relación positiva entre el Consumo de Material y el GDP per cápita para la mayoría de los puntos con menor consumo de material. Es decir, a medida que el consumo de material aumenta, el PIB per cápita también tiende a aumentar. Esto sugiere que, hasta cierto punto, un mayor consumo de recursos puede estar asociado con un mayor desarrollo económico. En el lado derecho del gráfico, no hay una correlación lineal fuerte a partir de cierto punto de consumo de material. Esto podría sugerir que, para algunos países, un incremento en el consumo de material ya no se traduce directamente en un incremento proporcional del PIB per cápita, o que hay países que logran un alto PIB per cápita con un consumo de material relativamente moderado en comparación con otros.

Diagrama de dispersión entre Life Expectancy y HDI

En este gráfico existe una clara correlación positiva entre el índice de Desarrollo Humano y la esperanza de vida. A medida que el HDI aumenta, la esperanza de vida también tiende a aumentar de manera consistente. Esto es esperable, ya que el HDI es un índice que incluye la esperanza de vida, la educación y el ingreso per cápita. Aunque hay cierta dispersión de los puntos. Esto indica que, para un mismo nivel de HDI, puede haber variaciones en la esperanza de vida entre diferentes países o entidades.

Diagrama de dispersión entre Labor Productivity y Human Capital Index

En el gráfico existe una tendencia general positiva, lo que sugiere que a medida que el índice de capital humano aumenta, la productividad laboral también tiende a ser mayor. Esto apoya la idea de que una fuerza laboral más educada, sana y capacitada es más productiva. Los puntos están bastante dispersos, lo que puede sugerir que, si bien el capital humano es importante, no es el único factor que determina la productividad laboral; otros factores también juegan un papel crucial.

Resultados Principales

Para comprender la evolución de las variables analizadas en el tiempo, se generaron dos visualizaciones clave. La primera muestra las tendencias globales promedio entre los años 1990 y 2020, mientras que la segunda presenta una comparación entre seis países seleccionados. A continuación, se detallan e interpretan ambos gráficos.

Gráfico. Tendencias globales (promedio por año)

Este grafico muestra las tendencias globales promedio de cada En este gráfico se observa cómo han evolucionado, en promedio, las ocho variables seleccionadas a lo largo del periodo 1990–2020 considerando todos los países disponibles en la base de datos. La información fue estandarizada por año, calculando el valor promedio global de cada variable, y presentada en pequeños paneles con escalas independientes (facetas) para facilitar la visualización de las dinámicas individuales.

Entre los hallazgos más relevantes se destacan:

PIB per cápita (gdp_per_capita) muestra una tendencia general creciente, con una ligera caída alrededor de la segunda mitad de la década de 2010, que puede relacionarse con eventos económicos globales como la crisis financiera o la desaceleración comercial.

Esperanza de vida (life_expectancy) evidencia una mejora sostenida en el tiempo, reflejando avances en salud pública, acceso a servicios y calidad de vida.

Índice de desarrollo humano (hdi) y capital humano (human_capital_index) también presentan mejoras estables, lo que refuerza la idea de un progreso en términos de capacidades y bienestar social.

Por el contrario, la intensidad energética (energy_intensity) y el consumo per cápita de materiales (material_consumption) tienden a disminuir, lo cual podría interpretarse como un signo de mayor eficiencia energética y avances hacia un desarrollo más sostenible, aunque también puede estar influenciado por cambios estructurales en las economías (paso de industrias pesadas a servicios, por ejemplo).

La productividad laboral (labor_productivity) ha tenido un comportamiento mixto, con ligeras variaciones pero sin grandes saltos, lo cual puede indicar que los incrementos de eficiencia han sido lentos o que existen diferencias significativas entre regiones.

Las salidas netas de inversión extranjera directa (fdi_outflows) presentan una tendencia ligeramente creciente, lo cual puede indicar una mayor integración financiera de los países a lo largo del tiempo.

Este gráfico permite identificar patrones estructurales y dinámicas de largo plazo a nivel mundial, ayudando a contextualizar la evolución conjunta de desarrollo económico, humano y ambiental.

Gráfico Por países (seleccionando algunos países representativos)

En esta visualaización se comparan directamente las trayectorias de las mismas variables para seis países representativos: Colombia, China, Brasil, India, Alemania y Estados Unidos. Esta selección permite contrastar tanto economías emergentes como desarrolladas, visibilizando desigualdades y divergencias en las trayectorias de desarrollo.

Entre los aspectos más destacados:

Estados Unidos y Alemania muestran los valores más altos en variables como PIB per cápita, productividad laboral, capital humano y esperanza de vida, reflejando altos niveles de desarrollo económico y social. Su consumo de materiales también es considerablemente elevado.

India y Colombia, por el contrario, se ubican en niveles más bajos en la mayoría de los indicadores, aunque muestran una tendencia de crecimiento paulatino, especialmente en capital humano y expectativa de vida. Estas trayectorias sugieren un proceso de convergencia lenta hacia niveles de desarrollo más altos.

China destaca por su fuerte aumento en productividad laboral, consumo de materiales y capital humano, reflejo de su proceso acelerado de industrialización, urbanización y expansión económica.

En cuanto a la intensidad energética, los países tienden a reducirla gradualmente, lo cual puede indicar políticas de eficiencia energética, aunque persisten diferencias notables: India y China muestran valores más altos, mientras que Alemania y Estados Unidos han logrado reducir su consumo energético relativo.

El índice de desarrollo humano muestra una brecha constante entre países desarrollados y en desarrollo, aunque la mayoría presenta una mejora general.

Este segundo gráfico es crucial para evidenciar que las dinámicas observadas en el promedio global esconden realidades nacionales muy diversas. Algunas economías han avanzado de forma acelerada en todos los frentes, mientras que otras enfrentan rezagos estructurales, lo que refuerza la necesidad de políticas adaptadas al contexto de cada país.

Modelación lineal de series de tiempo global

Se estimó un modelo de regresión lineal múltiple con el objetivo de explicar el comportamiento del PIB per cápita a partir de siete variables explicativas: esperanza de vida, productividad laboral, índice de desarrollo humano, índice de capital humano, inversión extranjera directa, intensidad energética y consumo de materiales. El modelo se estimó sobre la base de datos df_global, compuesta por múltiples países y años entre 1990 y 2020.

Desempeño global del modelo El modelo presenta un buen ajuste estadístico:

R² ajustado = 0.8199, lo que indica que aproximadamente el 82% de la variabilidad del PIB per cápita puede explicarse mediante las variables independientes incluidas.

El valor del estadístico F (121.3) con p-value < 2.2e-16 sugiere que el modelo es globalmente significativo, es decir, al menos una de las variables independientes tiene un efecto significativo sobre la variable dependiente.

Interpretación de los coeficientes A continuación, se describen los efectos individuales de cada variable sobre el PIB per cápita, basados en sus coeficientes y niveles de significancia:

Intercepto (-42650.03): Aunque no tiene una interpretación directa significativa en este contexto, sugiere el valor estimado del PIB per cápita cuando todas las variables independientes son cero (una situación teórica más que práctica).

Esperanza de vida (life_expectancy): Tiene un coeficiente positivo de 809.03 y es estadísticamente significativa (p = 0.03036). Esto indica que, manteniendo constantes las demás variables, un aumento de un año en la esperanza de vida se asocia con un incremento promedio de 809 dólares en el PIB per cápita. Este resultado tiene sentido, ya que una mayor longevidad suele correlacionarse con mejores condiciones de salud, educación y productividad.

Productividad laboral (labor_productivity): Es la variable más significativa del modelo (p < 2e-16) y con un coeficiente de 852.13, lo que implica que por cada punto adicional en productividad por hora trabajada, el PIB per cápita aumenta, en promedio, en 852 dólares. Esto resalta su papel fundamental en el desarrollo económico.

Índice de desarrollo humano (hdi): Aunque tiene un coeficiente negativo (-23773.60), no es estadísticamente significativo (p = 0.31522), lo cual puede deberse a su colinealidad con otras variables como la esperanza de vida o el capital humano. Por tanto, su efecto individual no puede ser interpretado de forma concluyente.

Índice de capital humano (human_capital_index): Similar al HDI, su coeficiente no es significativo (p = 0.40576), lo que sugiere que, en presencia de otras variables explicativas, su efecto marginal sobre el PIB per cápita no es estadísticamente distinto de cero.

Inversión extranjera directa (fdi_outflows): Con un coeficiente positivo (12.89) pero no significativo (p = 0.49548), lo cual indica que los flujos de inversión externa no tienen un efecto directo significativo sobre el PIB per cápita en este modelo, al menos no de forma lineal o inmediata.

Intensidad energética (energy_intensity): Tiene un coeficiente negativo (-344.85) y no significativo (p = 0.51295). Aunque el signo negativo sugiere que un mayor consumo de energía por unidad de PIB se asocia con un PIB per cápita más bajo (menos eficiencia), la evidencia estadística no es suficiente para confirmarlo.

Consumo de materiales (material_consumption): Presenta un coeficiente positivo de 217.60 y es significativo (p = 0.00849). Esto indica que un mayor consumo per cápita de materiales está asociado, en promedio, con mayores niveles de PIB per cápita. Este resultado puede reflejar la relación entre industrialización, urbanización y crecimiento económico.

El modelo sugiere que, entre las variables incluidas, la productividad laboral, la esperanza de vida y el consumo de materiales tienen efectos estadísticamente significativos sobre el PIB per cápita. Estas variables podrían considerarse palancas clave del crecimiento económico sostenible. Otras variables como el HDI, el índice de capital humano y la intensidad energética, aunque conceptualmente relevantes, no mostraron significancia estadística individual dentro del modelo, posiblemente por solapamiento de información o multicolinealidad. En conjunto, el modelo tiene un alto poder explicativo y ofrece evidencia empírica útil para entender los determinantes del ingreso económico per cápita en una perspectiva internacional y temporal.

Modelo con efectos fijos por país

Con el objetivo de capturar las diferencias estructurales entre países que no varían a lo largo del tiempo, se estimó un modelo lineal de efectos fijos utilizando el paquete plm en R. Este modelo permite controlar por factores no observados específicos de cada país (por ejemplo, instituciones, cultura económica o geografía), los cuales podrían sesgar los coeficientes si se omitieran.

En este caso, se utilizó un panel de datos no balanceado compuesto por 65 países con entre 2 y 3 observaciones cada uno (años), generando un total de 186 observaciones.

Interpretación de los coeficientes De los siete predictores incluidos, solo dos resultaron estadísticamente significativos:

Labor productivity (productividad laboral): Tiene un coeficiente positivo significativo (p < 0.001), lo que indica que, manteniendo constantes los factores estructurales de cada país, un aumento en la productividad por hora está asociado con un incremento en el PIB per cápita. Este hallazgo es coherente con la teoría económica, ya que una mayor productividad refleja un uso más eficiente del trabajo, lo cual tiende a elevar el ingreso nacional.

Energy intensity (intensidad energética): Tiene un coeficiente negativo altamente significativo (p < 0.001), lo que sugiere que una mayor intensidad energética (es decir, mayor consumo de energía por unidad de PIB) está asociada con un menor nivel de PIB per cápita. Este resultado puede interpretarse como una señal de ineficiencia energética, más común en economías menos desarrolladas, que limita su capacidad de crecimiento sostenible.

Los demás coeficientes —como esperanza de vida, índice de desarrollo humano, índice de capital humano, inversión extranjera y consumo de materiales— no resultaron significativos en este modelo. Esto puede deberse a la escasa variación temporal dentro de cada país para esas variables, o a que sus efectos ya están capturados por los efectos fijos (no observables) del país.

Bondad de ajuste y prueba global del modelo El modelo presenta un R² ajustado de 0.504, lo cual indica que cerca del 50.4% de la variación en el PIB per cápita dentro de cada país a lo largo del tiempo es explicada por las variables incluidas. Si bien este valor es moderado, es destacable considerando la limitada variación temporal y el número reducido de observaciones por país.

El estadístico F (F = 37.01, p < 2.22e-16) es altamente significativo, lo que indica que el modelo en su conjunto tiene capacidad explicativa estadísticamente significativa.

Autocorrelación de residuos (modelo global)

Una vez ajustado el modelo lineal global que relaciona el PIB per cápita con variables macroeconómicas y sociales, se procede a examinar los residuos con el fin de evaluar si cumplen con los supuestos fundamentales de independencia temporal. En particular, se analizan los residuos mediante los gráficos de la Función de Autocorrelación (ACF), la Función de Autocorrelación Parcial (PACF) y la prueba estadística de Durbin-Watson.

Gráfico ACF

El gráfico de la ACF (Autocorrelation Function) muestra el grado de correlación entre los residuos del modelo con sus propios rezagos en el tiempo. En este caso, el gráfico revela una autocorrelación extremadamente alta en el rezago 1, con un valor cercano a 1, lo cual indica que los errores del modelo actual están fuertemente correlacionados con los errores del período inmediatamente anterior. Esto es una clara señal de dependencia temporal no explicada por el modelo.

A partir del lag 2, la autocorrelación disminuye progresivamente, pero aún se observan algunos rezagos cuyos valores superan las bandas de confianza, lo cual indica que no se puede descartar la autocorrelación en esos puntos. Este patrón sugiere que hay una estructura persistente de correlación serial en los residuos, probablemente relacionada con una dinámica temporal no capturada por las variables independientes incluidas.

La presencia de autocorrelación en los residuos implica que el modelo no ha captado completamente la estructura temporal de los datos. En modelos de series de tiempo bien especificados, se espera que los residuos se comporten como “ruido blanco”, es decir, sin correlación entre ellos. Cuando esto no ocurre, como en este caso, las inferencias estadísticas pueden estar comprometidas.

Gráfico PACF

El gráfico de la PACF (Partial Autocorrelation Function) muestra la correlación entre los residuos y sus rezagos, eliminando el efecto de los rezagos intermedios. En otras palabras, mide la relación directa entre un valor de la serie y su valor en un rezago específico, descontando la influencia de los rezagos anteriores.

En este gráfico, también se observa un valor notablemente alto en el primer lag, lo cual confirma la existencia de autocorrelación directa en el primer rezago. A partir del lag 2, las barras caen rápidamente y en su mayoría se mantienen dentro de las bandas de confianza. Este patrón sugiere que el componente autoregresivo más relevante de los residuos está concentrado en el primer periodo.

Prueba de Durbin-Watson

La prueba de Durbin-Watson cuantifica esta dependencia serial. El estadístico DW obtenido fue 0.87858, un valor muy inferior al umbral crítico de 2 que indicaría ausencia de autocorrelación. Además, el valor p asociado a la prueba fue extremadamente pequeño (p < 2.2e-16), por lo que se rechaza la hipótesis nula de no autocorrelación en los residuos, y se concluye que existe autocorrelación positiva significativa. Esta evidencia estadística confirma lo observado en los gráficos ACF y PACF.

Conclusiones

• El análisis global y por efectos fijos demuestra que la productividad laboral es el principal determinante del PIB per cápita, mostrando coeficientes positivos y altamente significativos en ambos modelos. Esto refuerza la idea de que economías más eficientes en el uso de su fuerza laboral logran mayores niveles de ingreso por persona. Por tanto, invertir en mejoras tecnológicas, capacitación y condiciones laborales no solo incrementa la productividad, sino que también impulsa el crecimiento económico sostenible.

• Los resultados del análisis de autocorrelación mediante los gráficos ACF, PACF y la prueba de Durbin-Watson revelan una autocorrelación positiva significativa en los residuos, especialmente en el primer rezago. Esto indica que el modelo lineal global no capta completamente la dinámica temporal del PIB per cápita, lo cual puede afectar la validez de las inferencias estadísticas. En consecuencia, sería recomendable explorar modelos específicamente diseñados para series de tiempo, como ARIMA o modelos dinámicos multivariados, que integren explícitamente esta estructura temporal.

• Si bien las tendencias promedio entre 1990 y 2020 evidencian mejoras globales en variables como el PIB per cápita, la esperanza de vida, el HDI y la eficiencia energética, el análisis por países revela que existen grandes disparidades entre economías desarrolladas y emergentes. Países como Alemania y Estados Unidos muestran altos niveles en la mayoría de los indicadores, mientras que Colombia e India reflejan progresos más lentos pero sostenidos. Esta divergencia resalta la necesidad de políticas diferenciadas y específicas que respondan a los contextos locales para reducir las brechas en el desarrollo.