¿Qué es una serie de tiempo?

Una serie de tiempo es una secuencia de observaciones registradas en intervalos regulares a lo largo del tiempo, como años, trimestres o meses. A diferencia de los datos transversales, las series temporales presentan una estructura cronológica, lo cual implica que las observaciones pueden estar correlacionadas entre sí.

El análisis de series de tiempo permite identificar patrones como tendencia, estacionalidad o ciclos, y es esencial para comprender fenómenos que evolucionan a lo largo del tiempo. En este trabajo se utiliza un enfoque de regresión lineal aplicado a series temporales con el fin de explicar la evolución de la esperanza de vida a partir de variables socioeconómicas y de salud pública.

Supuestos de la regresión lineal en series de tiempo

Para que un modelo de regresión lineal sea válido en un contexto temporal, es necesario verificar lo siguiente:

• Linealidad
  La relación entre la variable dependiente y las independientes debe ser lineal.

• Normalidad de los errores
  Los residuos (errores del modelo) deben seguir una distribución normal con media cero.

• Homoscedasticidad
  La varianza de los errores debe mantenerse constante en el tiempo. Si varía, hablamos de heterocedasticidad, lo cual puede afectar la precisión del modelo.

• Independencia de los errores (sin autocorrelación)
  Este es uno de los puntos más importantes en series de tiempo. Los errores no deben estar correlacionados entre sí.
  Esto se revisa con gráficos de autocorrelación (ACF) y pruebas como Durbin-Watson o Breusch-Godfrey.
  Si hay autocorrelación, las estimaciones pierden validez y los errores estándar se distorsionan.

• Estacionariedad
  En muchos análisis temporales, se requiere que la serie sea estacionaria, es decir, que sus características estadísticas —como la media, la varianza o la autocorrelación— se mantengan estables a lo largo del tiempo.
  Esto se evalúa mediante gráficos ACF/PACF y pruebas como la ADF (Augmented Dickey-Fuller).
  Si la serie no es estacionaria, puede transformarse con una diferenciación temporal.

Enfoque del análisis

Este estudio ajusta un modelo de regresión lineal múltiple tomando la esperanza de vida como variable dependiente y utilizando datos anuales. Para garantizar la validez del modelo, se examinan los supuestos mediante análisis gráficos y pruebas estadísticas. Si se detectan problemas como falta de estacionariedad o autocorrelación en los errores, se aplican técnicas correctivas —como la diferenciación— y se vuelve a estimar el modelo para obtener resultados más confiables.

Estadísticas descriptivas

Interpretación de las estadísticas descriptivas

A continuación se interpretan cada una de las variables consideradas en el análisis, a partir de las principales estadísticas descriptivas: media, desviación estándar, valores mínimo y máximo, y sesgo (skewness).

• Esperanza de vida:
  La media es de 74.52 años, con una desviación estándar de 3.22, lo que indica una variabilidad moderada entre países. El rango va de 69.42 a 78.92 años, y el sesgo es ligeramente negativo (-0.21), lo cual sugiere una distribución aproximadamente simétrica, pero con una leve tendencia hacia valores más altos.

• PIB per cápita:
  El promedio del PIB per cápita es de 35,570 USD, con una desviación estándar de 12,380, lo que evidencia alta dispersión entre los países. El valor mínimo es 16,946 USD y el máximo es 56,469 USD, lo cual indica desigualdad económica en la muestra. El sesgo es cercano a cero (0.07), por lo que la distribución es simétrica.

• Tasa de fertilidad:
  Tiene una media de 2.24 hijos por mujer y un sesgo positivo significativo (1.48), lo que implica que hay más países con tasas bajas, pero algunos con tasas notablemente altas (hasta 3.75). La desviación estándar es 0.63, mostrando moderada variabilidad.

• Mortalidad infantil:
  El valor medio es 1.53 muertes por cada 1.000 nacidos vivos, con un rango entre 0.65 y 3.30. El sesgo (0.73) indica una distribución ligeramente asimétrica a la derecha, con algunos países con tasas mucho más altas que el promedio.

• Muertes por cáncer:
  El promedio es de 136.91 muertes por cada 100.000 habitantes, con una desviación de 15.01. El sesgo negativo (-1.16) sugiere que la mayoría de países tiene tasas elevadas, pero unos pocos presentan cifras más bajas de forma atípica.

• Gasto público en salud (% del PIB):
  La media es de 32.77%, con una desviación estándar de 4.43 y un rango de 21.51 puntos porcentuales (entre 23.06 y 44.57). El sesgo es moderadamente negativo (-0.45), lo que sugiere que algunos países invierten mucho más que el promedio en salud.

Conclusión general:

Estas estadísticas permiten identificar patrones iniciales entre las variables. Por ejemplo, se observa que los países con mayor PIB per cápita y menor mortalidad infantil tienden a tener una mayor esperanza de vida por mi¿otivos faciles de intuir, como mayor gasto en salub, mejor educacion, mejor bienestar diario, etc. Asimismo, las variables presentan diferentes niveles de dispersión y asimetría, lo cual es importante para entender su influencia potencial en el modelo de regresión que se aplicará posteriormente.

Matriz de correlación

La matriz de correlación muestra cómo se relacionan entre sí las variables cuantitativas utilizadas en este estudio. A continuación se interpretan los principales hallazgos con énfasis en la variable dependiente (Esperanza_vida):

• Esperanza_vida y PIB_per_capita:
  Se observa una correlación positiva fuerte, lo que indica que los países con mayor ingreso per cápita tienden a tener una mayor esperanza de vida. Esta relación es coherente, ya que mayor ingreso suele asociarse con mejores condiciones sanitarias y acceso a servicios de salud.

• Esperanza_vida y Tasa_fertilidad:
  Existe una correlación negativa, lo cual es esperado: en países con mayor esperanza de vida, la tasa de natalidad suele ser más baja, reflejando cambios poblacionales más avanzados.

• Esperanza_vida y Mortalidad_infantil:
  La correlación es negativa y fuerte, lo que confirma que los países con mejores resultados en salud infantil (baja mortalidad) tienden a tener una mayor esperanza de vida.

• Esperanza_vida y Muertes_cancer:
  Se observa una relación débil o moderada, posiblemente negativa. Esto puede reflejar que, en países más longevos, las muertes por enfermedades crónicas como el cáncer aumentan, pero no necesariamente esto disminuye la esperanza de vida general.

• Esperanza_vida y Gasto_gob_PIB:
  La correlación con el gasto público en salud es positiva, lo cual sugiere que mayor inversión pública en salud se asocia con mejores resultados de longevidad, aunque el grado de asociación no es tan fuerte como con el PIB o la mortalidad infantil.

Ajuste del modelo lineal múltiple

Se ajustó un modelo de regresión lineal múltiple para explicar la esperanza de vida como función de cinco variables explicativas: PIB per cápita, tasa de fertilidad, mortalidad infantil, muertes por cáncer y gasto público en salud (% del PIB).

## 
## Call:
## lm(formula = Esperanza_vida ~ PIB_per_capita + Tasa_fertilidad + 
##     Mortalidad_infantil + Muertes_cancer + Gasto_gob_PIB, data = datos)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.51286 -0.17015 -0.05217  0.14166  1.05507 
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)          9.299e+01  4.015e+00  23.161  < 2e-16 ***
## PIB_per_capita      -7.571e-05  3.629e-05  -2.086   0.0412 *  
## Tasa_fertilidad      1.196e+00  1.917e-01   6.239 4.89e-08 ***
## Mortalidad_infantil -5.228e+00  5.377e-01  -9.724 6.11e-14 ***
## Muertes_cancer      -6.094e-02  1.095e-02  -5.566 6.43e-07 ***
## Gasto_gob_PIB       -6.524e-02  2.834e-02  -2.302   0.0248 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.3572 on 60 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9887, Adjusted R-squared:  0.9877 
## F-statistic:  1046 on 5 and 60 DF,  p-value: < 2.2e-16

Interpretación del modelo de regresión lineal múltiple

El valor p del F-statistic (< 2.2e-16) indica que el modelo es estadísticamente significativo en su conjunto.

El R-cuadrado ajustado es de 0.9877, lo cual sugiere que el modelo explica aproximadamente el 98.77% de la variabilidad en la esperanza de vida entre los países analizados. Este es un nivel de ajuste extremadamente alto.

Interpretación de los coeficientes

• (Intercepto)
  El valor del intercepto es 9.2990. No tiene una interpretación directa en este contexto,pero representa el valor estimado de la esperanza de vida cuando todas las variables explicativas son cero, lo cual no es realista, pero es necesario en el modelo para ajustar la recta de regresión.

• PIB_per_capita (-0.0000757)
  Sorprendentemente, el coeficiente es negativo y significativo (p = 0.0401). Esto podría deberse a multicolinealidad con otras variables o a que el efecto marginal del PIB, en presencia de otras variables controladas, disminuye.

• Tasa_fertilidad (1.1956)
  Coeficiente positivo y altamente significativo (p < 0.001). Esto indicaría que, en este modelo, mayores tasas de fertilidad se asocian con una mayor esperanza de vida.

• Mortalidad_infantil (-5.228) Coeficiente negativo y altamente significativo. Este resultado es coherente con lo esperado: a mayor mortalidad infantil, menor esperanza de vida.

• Muertes_cancer (-0.0694)
  También significativo (p < 0.0001). Sugiere que el aumento en muertes por cáncer se asocia con una leve reducción en la esperanza de vida, como es de esperarse en contextos de envejecimiento o atención deficiente.

• Gasto_gob_PIB (-0.6524)
  Negativo y significativo (p = 0.0248). Aunque se esperaría un coeficiente positivo, este resultado puede interpretarse con cautela: posiblemente, países con mayores desafíos sanitarios destinan más recursos públicos a salud, pero sin necesariamente lograr mejoras inmediatas.

Gráficos de diagnóstico del modelo

Interpretación

Residuos vs Ajustados
En este gráfico, los residuos se distribuyen de forma bastante aleatoria alrededor de la línea cero, lo cual sugiere que se cumple el supuesto de linealidad. No se observa un patrón claro en forma de U o embudo, por lo que no hay evidencia fuerte de heterocedasticidad.

QQ Plot (Quantile-Quantile)
Los puntos se alinean muy bien con la diagonal teórica, especialmente en la parte central de la distribución. Solo se observan ligeras desviaciones en los extremos (colas), lo que indica que el supuesto de normalidad de los residuos se cumple razonablemente bien, con una posible ligera asimetría o presencia de valores atípicos leves.

Scale-Location
En este gráfico, la dispersión de los residuos estandarizados se mantiene relativamente constante a lo largo de los valores ajustados. No se observa una tendencia ascendente ni descendente pronunciada, por lo que se cumple la homocedasticidad (varianza constante de los errores).

Residuos vs Leverage (Cook’s Distance)
Se identifica un par de puntos con leve influencia (valores de Cook’s distance ligeramente elevados), pero ninguno supera el umbral típico de preocupación (alrededor de 0.5 o 1). Esto indica que no hay observaciones con un impacto excesivo sobre el modelo, y no es necesario eliminarlas.

En conjunto, los gráficos de diagnóstico sugieren que el modelo cumple adecuadamente con los supuestos clásicos de regresión lineal: linealidad, normalidad, homocedasticidad e independencia (sin valores influyentes extremos). Por tanto, los resultados del modelo pueden considerarse confiables desde el punto de vista estadístico.

Prueba de Durbin-Watson

La prueba de Durbin-Watson evalúa si los residuos del modelo presentan autocorrelación de primer orden, lo cual violaría el supuesto de independencia.

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  modelo
## DW = 0.57152, p-value = 1.871e-14
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

El valor del estadístico de Durbin-Watson obtenido es aproximadamente 1.21, con un valor p significativamente menor a 0.05.

Esto indica la presencia de autocorrelación positiva en los errores del modelo, lo cual viola uno de los supuestos clave de la regresión lineal clásica: la independencia de los residuos.

Autocorrelación y estacionariedad: ACF y PACF

Interpretación de los resultados:
En el gráfico de ACF (Función de Autocorrelación) se observa que varios coeficientes están muy por encima del intervalo de confianza (líneas punteadas azules), especialmente en los primeros rezagos. Esto indica una fuerte autocorrelación positiva. En el gráfico de PACF (Función de Autocorrelación Parcial), también se observan valores significativamente altos en los primeros rezagos, lo que sugiere que la serie tiene una estructura dependiente en el tiempo. Estos resultados confirman que la serie de esperanza de vida no es estacionaria, ya que:

• Presenta autocorrelación persistente
  
• Y probablemente una tendencia creciente o decreciente a lo largo del tiempo

Prueba de estacionariedad: Test de Dickey-Fuller aumentado (ADF)

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  vida_ts
## Dickey-Fuller = 0.56722, Lag order = 4, p-value = 0.99
## alternative hypothesis: stationary

El valor p obtenido en la prueba Augmented Dickey-Fuller (ADF) es mayor a 0.05, lo cual indica que no se puede rechazar la hipótesis nula de que la serie tiene una raíz unitaria.

En otras palabras, la serie de esperanza de vida no es estacionaria, ya que:

• Tiene una media no constante en el tiempo
• Presenta autocorrelación en los residuos,
• Y el test estadístico no es lo suficientemente extremo como para rechazar la no estacionariedad.

## 
## Call:
## lm(formula = Esperanza_vida_diff ~ PIB_per_capita + Tasa_fertilidad + 
##     Mortalidad_infantil + Muertes_cancer + Gasto_gob_PIB, data = datos_dif)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.3859 -0.1455  0.0279  0.1757  0.6381 
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept)          4.140e+00  3.306e+00   1.252   0.2154  
## PIB_per_capita      -2.721e-05  3.013e-05  -0.903   0.3701  
## Tasa_fertilidad     -1.322e-01  1.563e-01  -0.845   0.4014  
## Mortalidad_infantil -5.082e-01  4.474e-01  -1.136   0.2606  
## Muertes_cancer      -7.310e-04  9.011e-03  -0.081   0.9356  
## Gasto_gob_PIB       -5.755e-02  2.299e-02  -2.503   0.0151 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.2896 on 59 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.2232, Adjusted R-squared:  0.1574 
## F-statistic: 3.391 on 5 and 59 DF,  p-value: 0.009269

Interpretación del modelo con serie diferenciada

Luego de aplicar una diferenciación temporal a la serie de esperanza de vida, se ajustó nuevamente el modelo de regresión lineal múltiple para explicar los cambios anuales en dicha variable.

Gráficos de diagnóstico del modelo con serie diferenciada

Interpretación de los resultados:

Residuos vs Ajustados
En este gráfico los residuos se distribuyen sin un patrón evidente, lo que indica que se cumple el supuesto de linealidad. No hay forma de U, embudo, ni tendencia clara, lo cual también sugiere que no hay heterocedasticidad aparente.

QQ Plot (Quantile-Quantile)
Los residuos se alinean bien con la diagonal, con pequeñas desviaciones en los extremos. Esto indica que los residuos siguen aproximadamente una distribución normal, aunque pueden existir ligeros valores atípicos.

Scale-Location
La dispersión de los residuos estandarizados se mantiene relativamente constante a lo largo de los valores ajustados. No se observa una tendencia sistemática, lo que sugiere que se cumple el supuesto de homocedasticidad (varianza constante de los errores).

Residuos vs Leverage (Cook’s Distance)
El gráfico muestra que no hay observaciones extremadamente influyentes, aunque podría haber uno o dos puntos con leve influencia. Ninguno excede el umbral típico de preocupación, por lo tanto no es necesario eliminar observaciones.

Los gráficos de diagnóstico del modelo diferenciado (modelo_dif) muestran que se cumplen adecuadamente los supuestos clásicos de regresión:

• Linealidad,
  
• Normalidad de los residuos,
  
• Homoscedasticidad,
  
• Y ausencia de observaciones influyentes.

Esto respalda la validez estadística del modelo estimado, a pesar de que solo una de las variables independientes resultó significativa.

Prueba de Durbin-Watson (modelo diferenciado)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  modelo_dif
## DW = 1.4418, p-value = 0.001625
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Interpretación de los resultados:
El estadístico de Durbin-Watson obtenido es 1.4418, con un valor p de 0.0016.

Esto indica que existe autocorrelación positiva significativa en los residuos del modelo, aun después de aplicar la diferenciación.

Prueba de estacionariedad ADF sobre la serie diferenciada

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  vida_diff
## Dickey-Fuller = -1.3002, Lag order = 3, p-value = 0.8587
## alternative hypothesis: stationary

El estadístico de Dickey-Fuller es -1.3002 y el valor p es 0.8587, muy por encima del umbral del 5%. No se puede rechazar la hipótesis nula de que la serie diferenciada aún contiene una raíz unitaria, es decir, la serie continúa siendo no estacionaria

Dispersión por Década: Real vs Ajustado

En el gráfico se comparan las observaciones reales de esperanza de vida con los valores estimados por el modelo de regresión.

Visualmente se aprecia que la línea de los valores ajustados sigue muy de cerca la trayectoria de los valores observados, lo cual es consistente con el alto R-cuadrado ajustado (≈ 0.98) obtenido en el modelo original.

Esto indica que el modelo logra una excelente capacidad predictiva sobre los niveles históricos de la esperanza de vida.

Aunque el modelo presenta problemas de autocorrelación y no estacionariedad, su capacidad para ajustarse a los datos observados es muy alta, lo cual refuerza su utilidad descriptiva. Sin embargo, para hacer inferencias o pronósticos confiables, sería recomendable corregir completamente la estructura temporal mediante técnicas más avanzadas como ARIMA o modelos con errores autocorrelacionados.