Perbandingan Distribusi Binomial dan Poisson

Pendahuluan

Distribusi Binomial dan distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas diskrit yang sering digunakan dalam statistika. Makalah oleh Raini Manurung, Suwarno Ariswoyo, dan Pasukat Sembiring (2013) mengkaji sejauh mana distribusi Poisson dapat digunakan untuk mendekati distribusi Binomial, khususnya ketika jumlah percobaan besar dan probabilitas keberhasilan kecil.

Teori Dasar

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial berlaku pada percobaan Bernoulli sebanyak \(n\) kali, dengan probabilitas sukses \(p\) dan probabilitas gagal \(q = 1 - p\). Fungsi probabilitasnya adalah:

\[ f(x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n - x} \]

Dengan: - \(x\): jumlah keberhasilan - \(\mu = np\) - \(\sigma^2 = npq\)

Distribusi Poisson

Distribusi Poisson digunakan ketika kita mengamati jumlah kejadian dalam interval waktu atau ruang tertentu. Fungsi probabilitasnya:

\[ f(x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \]

Dengan \(\lambda = np\), yaitu rata-rata keberhasilan yang diharapkan.

Contoh Kasus

Misalkan sebuah perusahaan memproduksi 800 chip per hari, dan 0,5% di antaranya rusak. Berapa probabilitas bahwa terdapat 5 chip rusak dalam sehari?

Distribusi Binomial:

\[ P(X = 5) = \binom{800}{5} (0.005)^5 (0.995)^{795} \approx 0.157 \]

Distribusi Poisson (dengan \(\lambda = 800 \times 0.005 = 4\)):

\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \approx 0.156 \]

Perbedaan hasil sangat kecil, menunjukkan bahwa pendekatan Poisson cukup akurat untuk \(n\) besar dan \(p\) kecil.

Visualisasi

# Membandingkan distribusi Binomial dan Poisson
n <- 800
p <- 0.005
lambda <- n * p
x <- 0:15

binom_probs <- dbinom(x, size = n, prob = p)
pois_probs <- dpois(x, lambda = lambda)

barplot(rbind(binom_probs, pois_probs), beside = TRUE,
        col = c("skyblue", "orange"),
        legend = c("Binomial", "Poisson"),
        main = "Perbandingan Distribusi Binomial dan Poisson",
        names.arg = x)

Gambar Perbandingan Distribusi Binomial dan Poisson

Kesimpulan

Distribusi Poisson dapat digunakan sebagai pendekatan distribusi Binomial jika \(n > 45\) dan \(0.02 \leq p \leq 0.1\).

Distribusi Binomial cocok untuk eksperimen dengan jumlah percobaan terbatas, sedangkan Poisson lebih efisien untuk menghitung peluang keberhasilan saat \(n\) besar dan \(p\) kecil. Menurut kajian sebelumnya, distribusi Poisson bisa mendekati distribusi Binomial dengan baik (Manurung, Ariswoyo, and Sembiring 2013).

Referensi

Manurung, Raini, Suwarno Ariswoyo, and Pasukat Sembiring. 2013. “Perbandingan Distribusi Binomial Dan Distribusi Poisson Dengan Parameter Yang Berbeda.” Saintia Matematika 1 (3): 299–312.