Distribución de Probabilidad de Poisson
Distribución de Poisson
Erika Yamile Alvarez Navarro
29/5/2025
Distribución de Poisson
El objetivo es examinar las aplicaciones de la Distribución Poisson en casos simulados siguiendo los parámetros con los que el modelo teóricamente predice.
Introducción
La distribución Poisson expresa la probabilidad de ocurrencia de un determinado número de eventos discretos dentro de un intervalo fijo de tiempo; a partir de una frecuencia de ocurrencia media conocida.
Dentro de la estadística, tiene usos para la predicción de ocurrencia fenómenos naturales, en operaciones logísticas, empleando herramientas informáticas para la toma de decisiones, entre muchos otros.
La variable aleatoria \(X\) representa la cantidad de eventos observados y se cumple cuando \(0 <= X <= ∞\).
Probabilidad puntual
La función de masa de probabilidad \(f.m.p\) para una variable aleatoria \(X\sim Poisson(λ)\)
Donde:
\(X\) es una variable aleatoria discreta.
\(λ\) es la media o tasa esperada de ocurrencia de eventos en un intervalo fijo.
La función de probabilidad es: \[P(x) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^x}{x!}\]
# dpois(k, lambda) = P[X = k]Por ejemplo: Si \(X\sim P(2,15.2)\) se tiene \(P[X=2]\)
dpois(2, lambda = 15.2)## [1] 2.893217e-05Para \[P[X\leq x]\] Usamos la función ppois para probabilidad acumulada, o sumando las probabilidades puntuales. Por ejemplo \(P[X\leq 8]\)
ppois(8,lambda = 15.2)## [1] 0.03373445sum(dpois(0:8,lambda = 15.2))## [1] 0.03373445Se pueden obtener simultaneamente varias probabilidades. Por ejemplo \(P[X=3]\) y \(P[X=5]\).
x=c(3, 5)
dpois(x, lambda = 15.2)## [1] 0.0001465897 0.0016934040De forma similar se calculan los cuantiles con la función qpois y un lambda de 40 eventos por minuto
qpois(0.75, lambda= 40)## [1] 44Esto indica que \(P[Y \leq y]\approx 0.25, 0.50, 0.75\). También se pueden obtener varios \(\textit{cuantiles}\) como se indicó antes.
y=c(0.25, 0.50, 0.75)
qpois(y, lambda= 40)## [1] 36 40 44Para simular valores con la distribución y parámetros predeterminados se usa la función rpois. Por ejemplo, simulamos 20 y 1000 valores que siguen una distribución poisson con los parámetros predeterminados.
rpois(20, lambda=90.7)## [1] 111 84 103 101 96 95 99 93 102 101 93 86 87 81 91 81 88 100 93
## [20] 91rpois(1000,lambda = 90.7)## [1] 95 92 87 95 92 93 102 89 85 92 83 85 106 91 97 83 77 96
## [19] 94 81 76 95 81 98 107 106 85 100 88 93 92 97 97 109 98 72
## [37] 83 86 100 80 82 100 112 105 88 83 91 91 77 81 104 94 94 96
## [55] 70 88 89 84 94 87 105 81 99 77 94 110 103 87 104 87 86 90
## [73] 98 93 94 90 92 82 93 91 81 88 100 90 95 87 92 81 86 89
## [91] 85 92 77 91 81 91 106 97 95 98 104 97 88 95 94 89 96 92
## [109] 86 95 91 87 101 96 69 92 89 90 72 83 86 91 97 102 77 96
## [127] 93 94 86 84 87 95 87 80 93 90 82 85 107 94 109 94 86 100
## [145] 93 89 109 116 94 84 87 79 97 88 71 83 78 82 107 89 91 87
## [163] 78 91 84 87 81 79 90 83 92 101 98 88 87 106 81 106 103 96
## [181] 97 91 84 103 91 88 106 108 94 92 96 76 102 92 102 94 93 71
## [199] 83 93 84 81 98 98 86 83 95 77 85 81 98 96 88 93 83 94
## [217] 90 91 96 96 97 98 114 105 95 81 101 92 94 87 95 89 78 87
## [235] 83 105 81 102 103 94 102 116 100 98 88 92 91 95 98 99 72 86
## [253] 108 103 97 80 81 85 93 88 97 90 97 94 108 98 106 82 88 83
## [271] 80 103 88 98 99 97 115 94 96 81 97 89 82 88 100 90 112 86
## [289] 73 91 96 86 96 76 77 83 90 105 97 87 89 80 93 90 87 93
## [307] 90 107 75 88 84 72 97 76 88 98 89 98 87 101 102 89 76 84
## [325] 88 86 84 91 104 81 90 85 92 90 99 91 86 94 90 88 108 94
## [343] 78 93 72 87 88 94 95 109 97 70 79 92 97 102 80 85 86 89
## [361] 103 83 85 71 84 93 101 88 79 96 98 72 83 112 106 88 103 103
## [379] 77 82 95 82 87 97 86 99 95 70 103 89 97 82 98 93 104 86
## [397] 116 89 102 93 96 82 101 101 83 74 94 80 82 84 106 84 108 99
## [415] 92 93 90 99 88 109 85 84 85 71 90 78 78 84 82 78 89 90
## [433] 97 72 91 84 94 100 99 108 90 110 125 105 101 91 90 101 92 87
## [451] 101 77 88 112 83 99 91 86 102 76 92 90 91 99 88 101 86 80
## [469] 95 77 107 93 91 98 114 107 88 90 87 107 90 92 84 92 87 91
## [487] 85 94 75 99 77 87 94 79 114 78 96 89 92 82 70 72 89 83
## [505] 100 98 108 87 88 114 93 85 93 74 84 80 97 102 73 91 97 89
## [523] 103 89 97 88 82 91 80 81 87 76 75 77 111 98 85 89 76 86
## [541] 107 81 77 92 87 100 100 97 90 91 89 73 80 79 96 95 103 80
## [559] 82 85 104 88 78 94 93 89 98 89 87 82 90 69 83 95 91 92
## [577] 97 104 88 101 93 61 102 91 96 86 89 92 86 90 85 83 100 100
## [595] 101 82 99 92 91 88 82 83 84 105 98 87 90 97 91 103 91 96
## [613] 81 95 80 106 100 96 88 74 78 84 94 79 110 103 100 83 85 109
## [631] 96 79 70 96 94 94 97 81 103 89 95 77 89 98 89 82 77 95
## [649] 90 83 110 97 106 90 82 103 116 85 91 111 94 72 108 81 92 80
## [667] 89 93 90 94 91 98 79 81 74 87 73 91 83 91 75 110 102 109
## [685] 86 88 100 96 98 90 99 81 92 98 83 91 75 77 108 78 87 74
## [703] 83 95 108 75 99 96 89 110 95 85 102 84 78 89 81 93 97 99
## [721] 87 88 87 87 95 80 96 96 90 95 90 87 88 81 91 117 79 98
## [739] 91 102 82 96 92 95 100 84 95 100 78 77 92 90 102 86 103 96
## [757] 79 76 90 91 87 89 86 95 84 95 76 97 96 85 96 86 95 102
## [775] 93 90 90 92 104 88 80 82 80 105 101 87 91 92 75 93 110 95
## [793] 84 88 113 103 92 88 89 105 91 88 106 96 84 95 76 85 100 89
## [811] 88 81 88 83 88 80 88 80 100 69 85 95 89 101 90 100 79 79
## [829] 98 97 89 69 92 82 77 87 86 100 106 94 85 96 107 96 96 90
## [847] 99 87 90 96 88 77 88 109 81 87 86 81 102 90 92 97 88 90
## [865] 101 85 99 93 86 83 105 101 104 73 81 87 97 93 75 98 87 88
## [883] 99 78 103 91 103 103 81 91 103 96 87 80 88 84 102 94 83 94
## [901] 87 95 110 83 94 87 77 82 77 101 92 94 86 106 105 82 95 83
## [919] 92 91 88 76 81 102 80 96 77 87 90 90 107 118 104 100 86 90
## [937] 92 94 88 79 94 79 83 92 92 93 97 83 83 116 96 80 87 104
## [955] 82 103 83 112 83 107 110 89 92 88 109 92 92 92 93 78 74 99
## [973] 80 93 89 69 94 85 69 97 74 95 103 96 96 84 83 121 88 99
## [991] 76 94 100 100 91 85 96 114 99 84Se puede representar la función de masa de probabilidad f.d.p \(X\sim Poisson(λ)\) fácilmente.
valores=0:30
plot(valores,dpois(valores,lambda = 15.2), type="h", xlab="x", ylab="P[X=x]", main="f.m.p. Poisson (λ = 15.2)")
Cuando se simula una muestra muy grande, se puede ver como las frecuencias relativas se aproximan a las probabilidades teóricas.
k=rpois(10000,lambda = 15.2)
frec.abs=table(k)
frec.abs## k
## 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
## 3 5 17 33 107 175 315 433 640 792 923 1011 1025 944 871 724
## 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 31 33 34
## 601 430 339 216 167 104 65 27 15 9 6 1 1 1Para ver las frecuencias relativas:
frec.relativa=prop.table(frec.abs)
frec.relativa## k
## 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
## 0.0003 0.0005 0.0017 0.0033 0.0107 0.0175 0.0315 0.0433 0.0640 0.0792 0.0923
## 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
## 0.1011 0.1025 0.0944 0.0871 0.0724 0.0601 0.0430 0.0339 0.0216 0.0167 0.0104
## 25 26 27 28 29 31 33 34
## 0.0065 0.0027 0.0015 0.0009 0.0006 0.0001 0.0001 0.0001Comparemos las frecuencias relativas con las probabilidades teóricas.
df.prob=data.frame(k=0:30,f=dpois(0:30, lambda = 15.2))
df.prob## k f
## 1 0 2.504516e-07
## 2 1 3.806865e-06
## 3 2 2.893217e-05
## 4 3 1.465897e-04
## 5 4 5.570408e-04
## 6 5 1.693404e-03
## 7 6 4.289957e-03
## 8 7 9.315334e-03
## 9 8 1.769914e-02
## 10 9 2.989187e-02
## 11 10 4.543565e-02
## 12 11 6.278380e-02
## 13 12 7.952615e-02
## 14 13 9.298442e-02
## 15 14 1.009545e-01
## 16 15 1.023006e-01
## 17 16 9.718555e-02
## 18 17 8.689531e-02
## 19 18 7.337826e-02
## 20 19 5.870261e-02
## 21 20 4.461399e-02
## 22 21 3.229203e-02
## 23 22 2.231086e-02
## 24 23 1.474457e-02
## 25 24 9.338225e-03
## 26 25 5.677641e-03
## 27 26 3.319236e-03
## 28 27 1.868607e-03
## 29 28 1.014387e-03
## 30 29 5.316785e-04
## 31 30 2.693838e-04#dd=data.frame(df.prob,frec.relativa)#problemas con la dimensión en frec.relativa, además de no ser df.
frec.relativa=as.data.frame(frec.relativa)#convierte frec.relativa a df.
str(frec.relativa)#para comprobar que k es de tipo factor.## 'data.frame': 30 obs. of 2 variables:
## $ k : Factor w/ 30 levels "3","4","5","6",..: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
## $ Freq: num 0.0003 0.0005 0.0017 0.0033 0.0107 0.0175 0.0315 0.0433 0.064 0.0792 ...frec.relativa$k=as.integer(as.character(frec.relativa$k))#convierte k a entero, previamente hay que transformarlo en caractér.
comparar=merge(frec.relativa,df.prob, by = "k",all = T)
comparar## k Freq f
## 1 0 NA 2.504516e-07
## 2 1 NA 3.806865e-06
## 3 2 NA 2.893217e-05
## 4 3 0.0003 1.465897e-04
## 5 4 0.0005 5.570408e-04
## 6 5 0.0017 1.693404e-03
## 7 6 0.0033 4.289957e-03
## 8 7 0.0107 9.315334e-03
## 9 8 0.0175 1.769914e-02
## 10 9 0.0315 2.989187e-02
## 11 10 0.0433 4.543565e-02
## 12 11 0.0640 6.278380e-02
## 13 12 0.0792 7.952615e-02
## 14 13 0.0923 9.298442e-02
## 15 14 0.1011 1.009545e-01
## 16 15 0.1025 1.023006e-01
## 17 16 0.0944 9.718555e-02
## 18 17 0.0871 8.689531e-02
## 19 18 0.0724 7.337826e-02
## 20 19 0.0601 5.870261e-02
## 21 20 0.0430 4.461399e-02
## 22 21 0.0339 3.229203e-02
## 23 22 0.0216 2.231086e-02
## 24 23 0.0167 1.474457e-02
## 25 24 0.0104 9.338225e-03
## 26 25 0.0065 5.677641e-03
## 27 26 0.0027 3.319236e-03
## 28 27 0.0015 1.868607e-03
## 29 28 0.0009 1.014387e-03
## 30 29 0.0006 5.316785e-04
## 31 30 NA 2.693838e-04
## 32 31 0.0001 NA
## 33 33 0.0001 NA
## 34 34 0.0001 NAcomparar[is.na(comparar)]<-0#Transforma los NA en 0.
comparar## k Freq f
## 1 0 0.0000 2.504516e-07
## 2 1 0.0000 3.806865e-06
## 3 2 0.0000 2.893217e-05
## 4 3 0.0003 1.465897e-04
## 5 4 0.0005 5.570408e-04
## 6 5 0.0017 1.693404e-03
## 7 6 0.0033 4.289957e-03
## 8 7 0.0107 9.315334e-03
## 9 8 0.0175 1.769914e-02
## 10 9 0.0315 2.989187e-02
## 11 10 0.0433 4.543565e-02
## 12 11 0.0640 6.278380e-02
## 13 12 0.0792 7.952615e-02
## 14 13 0.0923 9.298442e-02
## 15 14 0.1011 1.009545e-01
## 16 15 0.1025 1.023006e-01
## 17 16 0.0944 9.718555e-02
## 18 17 0.0871 8.689531e-02
## 19 18 0.0724 7.337826e-02
## 20 19 0.0601 5.870261e-02
## 21 20 0.0430 4.461399e-02
## 22 21 0.0339 3.229203e-02
## 23 22 0.0216 2.231086e-02
## 24 23 0.0167 1.474457e-02
## 25 24 0.0104 9.338225e-03
## 26 25 0.0065 5.677641e-03
## 27 26 0.0027 3.319236e-03
## 28 27 0.0015 1.868607e-03
## 29 28 0.0009 1.014387e-03
## 30 29 0.0006 5.316785e-04
## 31 30 0.0000 2.693838e-04
## 32 31 0.0001 0.000000e+00
## 33 33 0.0001 0.000000e+00
## 34 34 0.0001 0.000000e+00Comparación gráfica:
with(comparar,{
plot(k,Freq, type="b",col="blue",main="Modelado de frecuencias relativas a través de la distribución Poisson",cex.main=0.9)#cex.main controla el tamaño del título.
points(k,f,col="red",pch=4)#pch cambia el símbolo de los puntos en el gráfico.
lines(k,f,col="red",lty=2,lwd=1)#lty es el típo de linea, lwd el grosor de la linea
legend("topleft",c("frec. relativa","probabilidad"),col=c("blue","red"),lty=1:2,pch=c(1,4))#pch=c(1,4).1 para frec relativa, 4 para la probabilidad.
})
Valor Esperado y Varianza:
Para una variable aleatoria \(X\sim P(λ)\) se tiene: \[E(X)=λ, \ \textit{λ} \ V(X)=λ.\] Como en este ejemplo: \(X\sim P(λ=15.2)\) se tiene \(E(X)= 15.2\) y \(V(X)= 15.2\).
Estos valores deben ser aproximados a la media y varianza de las distribuciones de frecuencia simuladas. En efecto:
mean(rpois(10000,lambda = 15.2))## [1] 15.2658var(rpois(10000,lambda = 15.2))## [1] 15.27733