Estadística Básica
JTilano
2025-06-16
Probabilidades Simples
Se entiende por probabilidad simple aquella que deriva de un experimento sencillo como lanzar un dado ó escoger una ficha al azar de un grupo de 10 fichas rotuladas.
Para entender la idea de evento simple y experimento sencillo se trabaja el enfoque de probabilidad clásica con experimentos de una sola clase, sin combinaciones.
Se consideran ejemplos de éstos: el lanzamiento de un dado corriente, la selección aleatoria de una ficha de una mochila que contiene fichas numeradas de 1 a 10.
Ejemplo: Considere que se lanza un dado corriente. Obtenga los siguientes eventos y sus probabilidades:
A: “Obtener un puntaje impar”.
B: “Obtener un puntaje múltiplo de 3”.
C: “Obtener un puntaje menor que 4”.
D: “Obtener un puntaje divisor de 20”.
E: “Obtener un puntaje de 5”.
Solución
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento A es \(A=\{1, 3, 5\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(A)=\frac{\#A}{\#S}\), esto origina \(P(A)=\frac{3}{6}\), la probabilidad de A es \(\frac{1}{2}\). Se espera que el 50% de las veces caiga impar.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento B es \(B=\{3, 6\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(B)=\frac{\#B}{\#S}\), esto origina \(P(B)=\frac{2}{6}\), la probabilidad de B es \(\frac{1}{3}\). Se espera que la tercera parte de las veces caiga múltiplo de 3.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento C es \(C=\{1, 2, 3\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(C)=\frac{\#C}{\#S}\), esto origina \(P(C)=\frac{3}{6}\), la probabilidad de C es \(\frac{1}{2}\). Se espera que el 50% de las veces caiga un puntaje inferior a 4.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento D es \(D=\{1, 2, 4, 5\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(D)=\frac{\#D}{\#S}\), esto origina \(P(D)=\frac{4}{6}\), la probabilidad de D es \(\frac{2}{3}\). Se espera que las dos terceras partes de las veces caiga un puntaje divisor de 20.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento E es \(E=\{5\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(E)=\frac{\#E}{\#S}\), esto origina \(P(E)=\frac{1}{6}\), la probabilidad de E es \(\frac{1}{6}\). Se espera que la sexta parte de las veces caiga 5.
Los eventos A y C son equiprobables.
Ejemplo: Considere que se lanza un dado corriente. Obtenga los siguientes eventos y sus probabilidades:
A: “Obtener un puntaje impar y mayor que 2”.
B: “Obtener un puntaje múltiplo de 3 y menor que 5”.
C: “Obtener un puntaje menor que 4 o impar”.
D: “Obtener un puntaje divisor de 20 y de 25”.
E: “Obtener un puntaje mayor de 4 ó impar”.
Solución
La Conjunción “y” de dos proposiciones implica las dos condiciones al tiempo o simultáneamente. La disyunción “o” de dos proposiciones se usa para la unión de los dos eventos definidos por las mismas. De este modo, se tiene:
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento A es \(A=\{3, 5\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(A)=\frac{\#A}{\#S}\), esto origina \(P(A)=\frac{2}{6}\), la probabilidad de A es \(\frac{1}{3}\). Se espera que el 33.33% de las veces caiga impar y mayor que 2.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento B es \(B=\{3\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(B)=\frac{\#B}{\#S}\), esto origina \(P(B)=\frac{1}{6}\), la probabilidad de B es \(\frac{1}{6}\). Se espera que la sexta parte de las veces caiga múltiplo de 3 y menor que 5.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento C es \(C=\{1, 2, 3, 5\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(C)=\frac{\#C}{\#S}\), esto origina \(P(C)=\frac{4}{6}\), la probabilidad de C es \(\frac{2}{3}\). Se espera que el 66.66% de las veces caiga un puntaje inferior a 4 ó impar.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento D es \(D=\{1, 5\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(D)=\frac{\#D}{\#S}\), esto origina \(P(D)=\frac{2}{6}\), la probabilidad de D es \(\frac{1}{3}\). Se espera que la tercera parte de las veces caiga un puntaje divisor de 20 y de 25.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). El evento E es \(E=\{1, 3, 5, 6\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(E)=\frac{\#E}{\#S}\), esto origina \(P(E)=\frac{4}{6}\), la probabilidad de E es \(\frac{2}{3}\). Se espera que las dos terceras partes de las veces caiga puntaje mayor de 4 ó impar.
Los eventos A y D son equiprobables, también C y E.
Ejercicio 1: En el siguiente listado de eventos, forme grupos de eventos equiprobables y diga en forma organizada, la probabilidad por grupos.
Evento A: Obtener un número par no primo
Evento B: Obtener un número impar y múltiplo de 3
Evento C: Obtener un número mayor que 4
Evento D: Obtener un número menor o igual a 3
Evento E: Obtener un múltiplo de 3
Evento F: Obtener un número primo
Evento G: Obtener un número igual a 1
Evento H: Obtener un número diferente de 6
Evento I: Obtener un número entre 2 y 5 (inclusive)
Evento J: Obtener un número mayor o igual que 6
Evento K: Obtener un número igual a 4
Evento L: Obtener un número mayor que 2
Evento M: Obtener un número divisible por 2 o 3
Evento N: Obtener un número menor que 5
Evento O: Obtener un número mayor que 1 y menor que 6
Evento P: Obtener un número par mayor que 3
Evento Q: Obtener un número impar menor que 5
Evento R: Obtener un número que sea cuadrado perfecto
Evento S: Obtener un número mayor que 1 y divisible por 5
Evento T: Obtener un número menor o igual que 1
Ejemplo: Considere que se selecciona al azar una cánica de un grupo de 10, marcadas del 1 al 10. Obtenga los siguientes eventos y sus probabilidades:
A: “Obtener un puntaje impar”.
B: “Obtener un puntaje múltiplo de 3”.
C: “Obtener un puntaje menor que 4”.
D: “Obtener un puntaje divisor de 20”.
E: “Obtener un puntaje de 5”.
Solución
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\). El evento A es \(A=\{1, 3, 5, 7, 9\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(A)=\frac{\#A}{\#S}\), esto origina \(P(A)=\frac{5}{10}\), la probabilidad de A es \(\frac{1}{2}\). Se espera que el 50% de las veces caiga impar.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\). El evento B es \(B=\{3, 6, 9\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(B)=\frac{\#B}{\#S}\), esto origina \(P(B)=\frac{3}{10}\), la probabilidad de B es \(\frac{3}{10}\). Se espera que 30 % de las veces caiga múltiplo de 3.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\). El evento C es \(C=\{1, 2, 3\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(C)=\frac{\#C}{\#S}\), esto origina \(P(C)=\frac{3}{10}\), la probabilidad de C es \(\frac{3}{10}\). Se espera que el 30% de las veces caiga un puntaje inferior a 4.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\). El evento D es \(D=\{1, 2, 4, 5, 10\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(D)=\frac{\#D}{\#S}\), esto origina \(P(D)=\frac{5}{10}\), la probabilidad de D es \(\frac{1}{2}\). Se espera que la mitad de las veces caiga un puntaje divisor de 20.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\). El evento E es \(E=\{5\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(E)=\frac{\#E}{\#S}\), esto origina \(P(E)=\frac{1}{10}\), la probabilidad de E es \(\frac{1}{10}\). Se espera que la decima parte de las veces caiga 5.
Los eventos B y C son equiprobables. Los eventos A y D son equiprobables.
Ejemplo: Considere que se selecciona aleatoriamente, de una bolsa que contiene 10 fichas marcadas del 3 al 12, una ficha. Obtenga los siguientes eventos y sus probabilidades:
A: “Obtener un puntaje impar y mayor que 2”.
B: “Obtener un puntaje múltiplo de 3 y menor que 5”.
C: “Obtener un puntaje menor que 4 o impar”.
D: “Obtener un puntaje divisor de 20 y de 25”.
E: “Obtener un puntaje mayor de 4 ó impar”.
Solución
La Conjunción “y” de dos proposiciones implica las dos condiciones al tiempo o simultáneamente. La disyunción “o” de dos proposiciones se usa para la unión de los dos eventos definidos por las mismas. De este modo, se tiene:
El espacio muestral del experimento es \(S=\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\). El evento A es \(A=\{3, 5, 7, 9, 11\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(A)=\frac{\#A}{\#S}\), esto origina \(P(A)=\frac{5}{10}\), la probabilidad de A es \(\frac{1}{2}\). Se espera que el 50% de las veces caiga impar y mayor que 2.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\). El evento B es \(B=\{3\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(B)=\frac{\#B}{\#S}\), esto origina \(P(B)=\frac{1}{10}\), la probabilidad de B es \(\frac{1}{10}\). Se espera que la decima parte de las veces caiga múltiplo de 3 y menor que 5.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\). El evento C es \(C=\{3, 5, 7, 9, 11\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(C)=\frac{\#C}{\#S}\), esto origina \(P(C)=\frac{5}{10}\), la probabilidad de C es \(\frac{5}{10}\). Se espera que el 50% de las veces caiga un puntaje inferior a 4 ó impar.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\). El evento D es \(D=\{5\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(D)=\frac{\#D}{\#S}\), esto origina \(P(D)=\frac{1}{10}\), la probabilidad de D es \(\frac{1}{10}\). Se espera que la decima parte de las veces caiga un puntaje divisor de 20 y de 25.
El espacio muestral del experimento es \(S=\{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\). El evento E es \(E=\{3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\). La probabilidad del evento es la fracción de sucesos elementales favorables, esto es, \(P(E)=\frac{\#E}{\#S}\), esto origina \(P(E)=\frac{9}{10}\), la probabilidad de E es \(\frac{9}{10}\). Se espera que en el 90 % de las veces caiga puntaje mayor de 4 ó impar.
Los eventos A y C son equiprobables, también B y D.
Ejercicio 2: En el siguiente listado de eventos, forme grupos de eventos equiprobables y diga en forma organizada, la probabilidad por grupos. Asuma que se trata de la selección de una ficha de un conjunto de 12, numeradas con los números del 6 al 17.
Evento A: Obtener un número par no primo
Evento B: Obtener un número impar y múltiplo de 3
Evento C: Obtener un número mayor que 9
Evento D: Obtener un número menor o igual a 9
Evento E: Obtener un múltiplo de 3
Evento F: Obtener un número primo
Evento G: Obtener un número igual a 10
Evento H: Obtener un número diferente de 11
Evento I: Obtener un número entre 8 y 12 (inclusive)
Evento J: Obtener un número mayor o igual que 11
Evento K: Obtener un número igual a 8
Evento L: Obtener un número mayor que 8
Evento M: Obtener un número divisible por 2 o 3
Evento N: Obtener un número menor que 11
Evento O: Obtener un número mayor que 10 y menor que 14
Evento P: Obtener un número par mayor que 9
Evento Q: Obtener un número impar menor que 12
Evento R: Obtener un número que sea cuadrado perfecto
Evento S: Obtener un número mayor o igual que 10 y divisible por 60
Evento T: Obtener un número menor o igual que 13
Probabilidades Compuestas
Al definir experimentos compuestos de varios subexperimentos los resultados se complejizan y se usa el principio fundamental del conteo ó de la multiplicación.
Se define el principio de la multiplicación como aquel conteo de la combinación de k experimentos simples, en los que el primero ocurre de \(n_1\) formas, el segundo de \(n_2\) formas, el tercero de \(n_3\) formas, y así sucesivamente hasta el k-ésimo que ocurre de \(n_k\) formas; entonces el experimento global compuesto de k subexperimentos puede ocurrir en \(n_1*n_2*n_3*...*n_k\) combinaciones.
Ejemplo: Considere el lanzamiento de dos dados corrientes. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:
A:“Sacar una suma mayor que 8”.
B:“Sacar una diferencia de 3 entre el segundo resultado y el primero”
C:“Sacar una suma de menos de 6”.
D:“Sacar una diferencia entre el segundo y el primero entre 1 y 3, ambos inclusive”.
E:“Sacar una suma de 5, 6 ó 7”.
Solución
En principio, el experimento de lanzamiento de dos dados, se trata de un experimento compuesto que ocurre de \(6*6=36\) resultados
(1,1), (1,2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2, 4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3, 4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4, 4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5, 4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6, 4), (6,5), (6,6)
- El evento A: “Sacar una suma mayor que 8” se puede dar por extensión, en la siguiente forma
\(A=\{(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}\)
\(P(A)=\frac{\#A}{\#S}\), es decir, \(P(A)=\frac{10}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{5}{18}\).
- El evento B: “Sacar una diferencia de 3 entre el segundo resultado y el primero” se puede dar por extensión, en la siguiente forma
\(B=\{(1,4), (2,5), (3,6)\}\)
\(P(B)=\frac{\#B}{\#S}\), es decir, \(P(B)=\frac{3}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{1}{12}\).
- El evento C: “Sacar una suma de menos de 6” se puede dar por extensión, en la siguiente forma
\(C=\{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}\)
\(P(C)=\frac{\#C}{\#S}\), es decir, \(P(C)=\frac{10}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{5}{18}\).
- El evento D: “Sacar una diferencia entre el segundo resultado y el primero, entre 1 y 3, ambos inclusive” se puede dar por extensión, en la siguiente forma
\(D=\{(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)\}\)
\(P(D)=\frac{\#D}{\#S}\), es decir, \(P(D)=\frac{12}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{1}{3}\).
- El evento E: “Sacar una suma de 5, 6 ó 7” se puede dar por extensión, en la siguiente forma
\(E=\{(1,4),(1,5), (1,6), (2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(6,1)\}\)
\(P(E)=\frac{\#E}{\#S}\), es decir, \(P(E)=\frac{15}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{5}{12}\).
Ejemplo: Considere el lanzamiento de dos dados corrientes. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos:
A:“Sacar un producto mayor que 4 y menor que 9”.
B:“Sacar un cociente de 3 o mas entre el segundo resultado y el primero”
C:“Sacar un producto de menos de 6”.
D:“Sacar un cociente entre el segundo y el primero entre 1 y 3, ambos inclusive”.
E:“Sacar un producto de 5, 6 ó 8”.
Solución
En principio, el experimento de lanzamiento de dos dados, se trata de un experimento compuesto que ocurre de \(6*6=36\) resultados
(1,1), (1,2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2, 4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3, 4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4, 4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5, 4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6, 4), (6,5), (6,6)
- El evento A:“Sacar un producto mayor que 4 y menor que 9”. se puede dar por extensión, en la siguiente forma
\(A=\{(1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (3,2), (4,2), (5,1), (6,1)\}\)
\(P(A)=\frac{\#A}{\#S}\), es decir, \(P(A)=\frac{8}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{2}{9}\).
- El evento B:“Sacar un cociente de 3 o mas entre el segundo resultado y el primero” se puede dar por extensión, en la siguiente forma
\(B=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,6)\}\)
\(P(B)=\frac{\#B}{\#S}\), es decir, \(P(B)=\frac{5}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{5}{36}\).
- El evento C:“Sacar un producto de menos de 6” se puede dar por extensión, en la siguiente forma
\(C=\{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4),(1,5),(2,1), (2,2), (3,1),(4,1), (5,1)\}\)
\(P(C)=\frac{\#C}{\#S}\), es decir, \(P(C)=\frac{10}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{5}{18}\).
- El evento D:“Sacar un cociente entre el segundo y el primero entre 1 y 3, ambos inclusive” se puede dar por extensión, en la siguiente forma
\(D=\{(1,1),(1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (2,5),(2,6),(3,3),(3,4), (3,5), (3,6),(4,4),(4,5), (4,6), (5,5),(5,6), (6,6)\}\)
\(P(D)=\frac{\#D}{\#S}\), es decir, \(P(D)=\frac{17}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{17}{36}\).
- El evento E:“Sacar un producto de 5, 6 ó 8” se puede dar por extensión, en la siguiente forma
\(E=\{(1,5), (1,6),(2,3), (2,4),(3,2),(4,2),(5,1),(6,1)\}\)
\(P(E)=\frac{\#E}{\#S}\), es decir, \(P(E)=\frac{8}{36}\). Esta probabilidad da \(\frac{2}{9}\).
Probabilidades Empíricas
Las probabilidades empíricas se definen desde la frecuencia histórica, tambien conocidas como probabilidades frecuentistas. Se hace estudio del enfoque frecuentista en el caso de que se analizan las realizaciones de fenómenos históricos en eventuales repeticiones.
Ejemplo: Para los siguientes eventos históricos se encontraron las siguientes proporciones suministradas con IA.
- Fútbol
3 de 4 penaltis en competiciones FIFA terminan en gol. Probabilidad de marcar un penalti en competiciones FIFA. Históricamente, alrededor del 75% de los penales terminan en gol (FIFA World Cups y Eurocopas). Esto implica que de cada 1000 penales cobrados en estas competiciones 750 son goles. La probabilidad empírica de que un penal termine en gol es del 75%.
- Fútbol
Probabilidad de que el equipo local gane un partido de liga. En ligas como la Premier League, el equipo local gana alrededor del 45% de las veces, empata un 25%, y pierde un 30%. De 900 partidos jugados de local, un equipo de esa liga, ¿cuántos gana, cuántos empata y cuántos pierde? En ese caso se espera que gane de los 900 partidos 405 veces, empate 225 veces y pierda 270 veces (405+225+270=900).
- Baloncesto
Probabilidad de que un equipo que lidera al medio tiempo gane el partido (NBA). En promedio, un equipo que va ganando al medio tiempo tiene un 67.5% de probabilidad de ganar el juego completo. Si un equipo jugó x partidos y de los x iba ganado 200 partidos al acabarse el medio tiempo, entonces, de esos 200 partidos se espera que ganara 135 y no ganara 65.
- Baloncesto
Probabilidad de encestar un tiro libre en la NBA. Promedio histórico de efectividad: entre 75% y 78%, dependiendo de la temporada. Esta implica que al tirar a la cesta la probabilidad de encestar queda entre 0.75 y 0.78. Algo así como 3 de cada 4 tiros terminan dentro de la cesta.
- Fútbol Americano.
Probabilidad de anotar desde la yarda 1 (1st and Goal) Equipos de la NFL anotan un touchdown desde esa posición en aproximadamente el 70%–75% de las ocasiones. La probabilidad de anotar desde una yarda queda entre 0.70 y 0.75.
- Béisbol
Probabilidad de un hit en cada turno al bate (MLB). El promedio de bateo está entre 0.240 y 0.270, es decir, 24%–27% de probabilidad de lograr un hit.
- Beisbol
Probabilidad de que un equipo no deje que el otro equipo consiga al menos un hit en 9 entradas en MLB (no-hitters). Ha habido unos 320 no-hitters en más de 235000 juegos de MLB, lo que implica una probabilidad aproximada de 0.14% por juego. Esto indica que de cada 10000 juegos 14 terminan con no-hitters.
- Tenis
Probabilidad de que un sacador gane su servicio (ATP). En promedio, un jugador masculino gana su turno de saque el 75% de las veces. Los grandes sacadores (como Isner o Karlovic) superan el 85%. La diferencia de probabilidad de que Karlovic supere a un jugador masculino promedio es del 10%.
- Carreras de caballos
Probabilidad de que el favorito gane una carrera. En promedio, el caballo favorito gana solo en torno al 33% de las carreras. Una de cada 3 carreras serían ganadas por el caballo favorito.
- Hockey sobre hielo (NHL)
Probabilidad de anotar en un penalty shot Los jugadores convierten aproximadamente el 33% de los tiros penales en la NHL (mucho menos efectivo que el fútbol). En este orden de ideas aproximadamente 1 de cada 3 penales en Hockey sobre hielo terminan en anotación o gol.
Ejercicio 1: Un hombre realiza 600 disparos al blanco, en las mismas condiciones, manteniendo la distancia y el artefacto y acierta 450 veces.
¿Cuál es la probabilidad de que en el próximo disparo, pegue en el blanco?
¿Cuántos disparos se espera que falle en 1500 disparos?
¿Cuántos disparos al blanco aproximadamente ha realizado, si el hombre ha acertado en 1800 ocasiones?
Ejercicio 2: Un hombre vacuna reses y en 1400 veces que pone la ampolla 1190 veces protege al animal de un virus.
¿Cuál es la probabilidad de que una vaca en la próxima vacuna, quede protegida?
¿Cuántas vacunas se espera que fallen en 7700 ampollas colocadas a las reses?
¿Cuántas ampollas aproximadamente ha colocado, si el líquido ha hecho buen efecto en 3400 ocasiones?
Ejercicio 3: En la población de adultos a nivel mundial, 3 de cada 10 adultos seleccionados al azar padece miopía.
¿Cuál es el porcentaje de adultos, a nivel mundial, que padece el defecto visual de miopía?
¿Si esta proporción se mantiene en una localidad de 4000 miembros, cuántas personas se espera que no padezcan de miopía?
¿Cuántos adultos al azar se necesitan evaluar en forma aleatoria para encontrar 600 con el defecto visual mencionado?
Ejercicio 4: En el siguiente listado de eventos, forme grupos de eventos equiprobables y diga en forma organizada, la cantidad de veces que se espera que ocurra cada evento en 1200 lanzamientos de un dado no trucado o corriente.
Evento A: Obtener un número par no primo
Evento B: Obtener un número impar y múltiplo de 3
Evento C: Obtener un número mayor que 4
Evento D: Obtener un número menor o igual a 3
Evento E: Obtener un múltiplo de 3
Evento F: Obtener un número primo
Evento G: Obtener un número igual a 1
Evento H: Obtener un número diferente de 6
Evento I: Obtener un número entre 2 y 5 (inclusive)
Evento J: Obtener un número mayor o igual que 6
Evento K: Obtener un número igual a 4
Evento L: Obtener un número mayor que 2
Evento M: Obtener un número divisible por 2 o 3
Evento N: Obtener un número menor que 5
Evento O: Obtener un número mayor que 1 y menor que 6
Evento P: Obtener un número par mayor que 3
Evento Q: Obtener un número impar menor que 5
Evento R: Obtener un número que sea cuadrado perfecto
Evento S: Obtener un número mayor que 1 y divisible por 5
Evento T: Obtener un número menor o igual que 1
Eventos mutuamente excluyentes y eventos independientes
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen resultados comunes, es decir, la intersección entre los dos eventos es vacía. También, se dice que los eventos son disyuntos cuando no tienen resultados comunes. En forma matemática, se tiene que A y B son mutuamente excluyentes o disyuntos si y solo si \(A\bigcap B=\phi\).
Otra definición de eventos es la independencia de eventos. Cuando un evento es aislado de otro no influye no afecta, esto obedece a que los dos eventos son independientes. La regla de independencia de eventos dice que A y B son eventos independientes si \(P(A\bigcap B)=P(A)*P(B)\).
Ejemplo: Considere que se lanza un dado corriente. Diga de los siguientes eventos los que son disyuntos o mutuamente excluyentes y los que son independientes.
A: “Obtener un puntaje impar”, B: “Obtener un puntaje múltiplo de 3”, C: “Obtener un puntaje menor que 4”, D: “Obtener un puntaje divisor de 20” y E: “Obtener un puntaje de 5”.
Solución
El evento A es \(A=\{1, 3, 5\}\), el evento B es \(B=\{3, 6\}\), el evento C es \(C=\{1, 2, 3\}\), el evento D es \(D=\{1, 2, 4, 5\}\) y el evento E es \(E=\{5\}\).
Eventos disyuntos o mutuamente excluyentes
B y D, B y E, C y E.
Eventos independientes
A y B pues \(P(A\bigcap B)=\frac{1}{6}\) y \(P(A)*P(B)=\frac{1}{6}\).
A y D pues \(P(A\bigcap D)=\frac{1}{3}\) y \(P(A)*P(D)=\frac{1}{3}\).
B y C pues \(P(B\bigcap C)=\frac{1}{6}\) y \(P(B)*P(C)=\frac{1}{6}\).
C y D pues \(P(C\bigcap D)=\frac{1}{3}\) y \(P(C)*P(D)=\frac{1}{3}\).
Ejemplo: Considere que se lanza un dado corriente. Diga de los siguientes eventos los que son disyuntos o mutuamente excluyentes y los que son independientes.
A: “Obtener un puntaje impar y mayor que 2”, B: “Obtener un puntaje múltiplo de 3 y menor que 5”, C: “Obtener un puntaje menor que 4 o impar”, D: “Obtener un puntaje divisor de 20 y de 25” y E: “Obtener un puntaje mayor de 4 ó impar”.
Solución
El evento A es \(A=\{3, 5\}\), el evento B es \(B=\{3\}\), el evento C es \(C=\{1, 2, 3, 5\}\), el evento D es \(D=\{1, 5\}\) y el evento E es \(E=\{1, 3, 5, 6\}\).
Eventos disyuntos o mutuamente excluyentes
B y D.
Eventos independientes
No existe par de eventos, que cumpla la independencia, entonces todos los pares son eventos dependientes. Esto implica que la ocurrencia primitiva de un evento afecta a la ocurrencia de otro alterando su probabilidad.
En el caso, del ejemplo de los deportes y la probabilidad empírica; los eventos en deportes aislados no se afectan unos a otros, en ese caso serían independientes. Pero, aquellos eventos dentro de un mismo deporte pueden o no tener afectación, para averigualro se necesita más información probabilística. Lo cierto es que la independencia es una propiedad que puede no presentarse en análisis de eventos dentro del mismo experimento, que guardan relación.
Ejercicio 1: En el siguiente listado de eventos, forme grupos de eventos equiprobables y diga en forma organizada, la probabilidad por grupos. A continuación diga cuales son mutuamente excluyentes e independientes.
Evento A: Obtener un número par no primo
Evento B: Obtener un número impar y múltiplo de 3
Evento C: Obtener un número mayor que 4
Evento D: Obtener un número menor o igual a 3
Evento E: Obtener un múltiplo de 3
Evento F: Obtener un número primo
Evento G: Obtener un número igual a 1
Evento H: Obtener un número diferente de 6
Evento I: Obtener un número entre 2 y 5 (inclusive)
Evento J: Obtener un número mayor o igual que 6
Evento K: Obtener un número igual a 4
Evento L: Obtener un número mayor que 2
Evento M: Obtener un número divisible por 2 o 3
Evento N: Obtener un número menor que 5
Evento O: Obtener un número mayor que 1 y menor que 6
Evento P: Obtener un número par mayor que 3
Evento Q: Obtener un número impar menor que 5
Evento R: Obtener un número que sea cuadrado perfecto
Evento S: Obtener un número mayor que 1 y divisible por 5
Evento T: Obtener un número menor o igual que 1
Eventos Colectivamente Exhaustivos y Partición del Espacio
Ahora daré dos definiciones a cerca de los conceptos previos a la probabilidad total y regla de Bayes. La primera es la de eventos colectivamente exhaustivos y la segunda es la de Partición del Espacio.
En primer lugar, si tenemos n eventos, digamos, \(A_1, A_2,..., A_n\), se dice que los n eventos son colectivamente exhaustivos si cualquier resultado del experimento está en la unión de éstos eventos, es decir \(\bigcup_{i=1}^n A_i=S\), donde S es el espacio muestral.
La segunda definición, es la de partición, se dice que \(A_1, A_2,..., A_n\), forman una partición del espacio si estos eventos cumplen dos condiciones:
Los eventos son colectivamente exhaustivos.
Cualquier pareja de estos eventos son mutuamente excluyentes o disyuntos.
Ejemplo 1: Diga si al lanzar un dado corriente, los eventos A:“sacar un puntaje impar” y B:“sacar un puntaje par” son colectivamente exhaustivos, son disyuntos y forman una partición del espacio.
Solución
El evento A es \(A=\{1, 3, 5\}\) y el B es \(B=\{2, 4, 6\}\). La unión de estos eventos origina todos los resultados del espacio, por lo tanto, A y B son colectivamente exhaustivos.
Al ser complementarios A y B son disyuntos; y al ser disyuntos los eventos A y B forman una partición.
Ejemplo 2: Diga si los eventos A:“sacar en el lanzamiento de un dado un puntaje menor que 4”, B:“Sacar un múltiplo de 3” y C:“Sacar un divisor de 25”.
Solución
El evento A es \(A=\{1, 2, 3\}\), el B es \(B=\{3, 6\}\) y el C es \(C=\{1, 5\}\). La unión de estos eventos no origina todos los resultados del espacio porque falta el 4, por lo tanto, A, B y C no son colectivamente exhaustivos.
Tampoco son disyuntos dos a dos; y al no ser disyuntos ni colectivamente exhaustivos; los eventos A, B y C no forman una partición del espacio. (Al fallar una de estas condiciones deja de ser una partición del espacio el grupo de éstos eventos).
Ejemplo 3: Diga si los eventos A:“sacar en el lanzamiento de un dado un puntaje par menor que 5”, B:“Sacar un divisor de 6” y C:“Sacar un múltiplo de 5”.
Solución
El evento A es \(A=\{2, 4\}\), el B es \(B=\{1, 3, 6\}\) y el C es \(C=\{5\}\). La unión de estos eventos origina todos los resultados del espacio, que son los números enteros del 1 al 6, por lo tanto, A, B y C no son colectivamente exhaustivos.
Dos a dos los eventos son disyuntos; y al ser disyuntos y colectivamente exhaustivos; los eventos A, B y C forman una partición del espacio. (Al no fallar alguna de estas condiciones forman una partición del espacio el grupo de éstos eventos).
Ejercicio 1: Considere que se lanza un dado corriente. Diga de los siguientes eventos son colectivamente exhaustivos y forman una partición del espacio muestral.
A: “Obtener un puntaje impar y mayor que 2”, B: “Obtener un puntaje múltiplo de 3 y menor que 5”, C: “Obtener un puntaje menor que 4 o impar”, D: “Obtener un puntaje divisor de 20 y de 25” y E: “Obtener un puntaje mayor de 4 ó impar”.
Ejercicio 2: Considere que se lanza un dado corriente. Diga de los siguientes eventos son colectivamente exhaustivos y forman una partición del espacio muestral.
A: “Obtener un puntaje impar”, B: “Obtener un puntaje múltiplo de 3”, C: “Obtener un puntaje menor que 4”, D: “Obtener un puntaje divisor de 20” y E: “Obtener un puntaje de 5”.
Ejercicio 3: Considere que se lanza un dado corriente. Diga de los siguientes eventos son colectivamente exhaustivos y forman una partición del espacio muestral.
A: “Obtener un múltiplo de 3”, B:“Obtener un puntaje divisor de 20 menor que 5” y C: “Obtener un puntaje mayor de 4 e impar”.
Ejercicio 4: En el siguiente listado de eventos, forme grupos de eventos colectivamente exhaustivos y forme grupos que componen particiones del espacio.
Evento A: Obtener un número par no primo
Evento B: Obtener un número impar y múltiplo de 3
Evento C: Obtener un número mayor que 4
Evento D: Obtener un número menor o igual a 3
Evento E: Obtener un múltiplo de 3
Evento F: Obtener un número primo
Evento G: Obtener un número igual a 1
Evento H: Obtener un número diferente de 6
Evento I: Obtener un número entre 2 y 5 (inclusive)
Evento J: Obtener un número mayor o igual que 6
Evento K: Obtener un número igual a 4
Evento L: Obtener un número mayor que 2
Evento M: Obtener un número divisible por 2 o 3
Evento N: Obtener un número menor que 5
Evento O: Obtener un número mayor que 1 y menor que 6
Evento P: Obtener un número par mayor que 3
Evento Q: Obtener un número impar menor que 5
Evento R: Obtener un número que sea cuadrado perfecto
Evento S: Obtener un número mayor que 1 y divisible por 5
Evento T: Obtener un número menor o igual que 1
Teorema de la Probabilidad Total
Definición: Los eventos \(A_1, A_2, ..., A_k\) conforman una partición del espacio muestral E, si se cumplen dos condiciones
\(A_i\bigcap A_j=\phi\) para \(i\neq j\). Esto es los eventos son disyuntos.
\(A_1\bigcup A_2\bigcup...\bigcup A_k=E\). Esto es, la unión de los eventos que forman la partición es igual al espacio.
La propiedad (1) indica que los eventos de la partición, cumplen que la probabilidad de la intersección de cualesquieras dos de ellos es igual a cero.
La propiedad (2) indica que la suma de las probabilidades de los eventos de la partición es igual a 1. Es decir, \(\sum\limits_{i=1}^k P(A_i)=1\). Esta tambien se puede dar en porcentajes, para los cuales, la suma es el 100%.
La probabilidad total de un evento B, bajo la partición dada del espacio, es
\(P(B)=\sum\limits_{i=1}^k P(A_i)\times P(B/A_i)\).
Este teorema es fundamental para calcular probabilidades donde se tiene información de la probabilidad de las partes de E, y de las probabilidades condicionales de B dada cada parte.
El siguiente ejemplo, es un procedimiento de probabilidad total
Ejemplo: Suponga que en un lago el 50% son mojarras, el 30% son cachamas y el 20% son corvinas. De las mojarras, el 15% son de talla pequeña; de las cachamas, el 10% son de talla pequeña; y de las corvinas, el 5% son de talla pequeña. Encuentre la probabilidad de que al sacar un pez del lago, éste sea de talla pequeña.
Sean A_1: “Que se saque una mojarra”
A_2:“Que se saque una cachama”
A_3: “Que se saque una corvina”
B: “Que se saque un pez de talla pequeña”.
\(P(A_1)=0.5\), \(P(A_2)=0.3\), \(P(A_3)=0.2\),
\(P(B/A_1)=0.15\), \(P(B/A_2)=0.10\),\(P(B/A_3)=0.05\).
\(P(B)=\sum\limits_{i=1}^k P(A_i)\times P(B/A_i)\).
\(P(B)=0.50(0.15)+0.30(0.10)+0.20(0.05)\)
\(P(B)=0.075+0.03+0.01\)
\(P(B)=0.115\)
La probabilidad de que el próximo pez que se saque sea de talla pequeña es 0.115. Esto es, el 11.5% de los peces de ese lago son de talla pequeña.
Ejemplo: Suponga que en un Colegio; el 40% son licenciados, el 35% son normalistas y el resto son tecnológos. De los licenciados, el 75% ha asistido a capacitaciones sobre los lineamientos de calidad en los últimos 4 meses; de los normalistas el 70% ha asistido a capacitaciones sobre los lineamientos de calidad en los últimos 4 meses; y de los tecnológos, el 65% ha asistido a tales capacitaciones, en los últimos 4 meses. Encuentre la probabilidad de que al elegir un docente del Colegio, éste halla asistido a capacitación sobre lineamientos de calidad en los últimos 4 meses.
Sean A_1: “Que se elija un licenciado”
A_2:“Que se elija un normalista”
A_3: “Que se elija un tecnologo”
B: “Que se elija un docente que haya asistido al menos a una capacitación de calidad, en los últimos 4 meses”.
\(P(A_1)=0.4\), \(P(A_2)=0.35\), \(P(A_3)=0.25\),
\(P(B/A_1)=0.75\), \(P(B/A_2)=0.70\),\(P(B/A_3)=0.65\).
\(P(B)=\sum\limits_{i=1}^k P(A_i)\times P(B/A_i)\).
\(P(B)=0.40(0.75)+0.35(0.70)+0.25(0.65)\)
\(P(B)=0.30+0.245+0.1625\)
\(P(B)=0.7075\)
La probabilidad de que se escoja aleatoriamente un docente que haya asistido al menos a una capacitación durante los últimos cuatro meses es 0.7075. Esto es, el 70.75% de los docentes de dicho colegio ha asistido a capacitaciones sobre lineamientos de calidad en los últimos cuatro meses.
Reglas de Probabilidad
Al estudiar las reglas de probabilidad se estudian las operaciones básicas de tres o menos eventos. Antes de entrar en materia, se enuncian las reglas claves para obtener las probabilidades y el lenguaje coloquial usado en cada caso.
Los términos \(\bigcap\) implica la operación de intersección, que son los elementos comunes o repetidos en dos conjuntos.
La diferencia - indica la operación de conjuntos que define el conjunto sobrante después de quitar los elementos repetidos a un conjunto. Digamos \(A-B\) es quitar a A los elementos de B.
La diferencia simétrica entre dos conjuntos denotada \(A\triangle B\) denota el evento de ocurrencia de sólo A ó solo B.
Regla del Complemento
La no ocurrencia del evento A, se conoce como evento complemento de A, denotado \(\overline{A}\) y su probabilidad es tal que se cumple que \(P(A)+P(\overline{A})=1\). En forma empírica, los sucesos o eventos complementarios se asocian a porcentajes que suman 100% y homologan la probabilidad del espacio muestral.
El complemento se representa con una negación de la condición que define al conjunto por comprensión.
Regla de la Diferencia
La diferencia de A y B, denotada por \(A-B=A\bigcap \overline{B}\) denota el evento de que A ocurra y B no ocurra. Su probabilidad es \(P(A-B)=P(A)-P(A\bigcap B)\). En general, \(P(A-B)\neq P(B-A)\).
A menudo, se expresa como el evento que ocurra A y que B no ocurra. Tambien se dice que ocurra A pero que B no ocurra.
Regla de la Diferencia Simétrica
La diferencia simétrica de dos eventos A y B, denotada \(A\triangle B\) es el evento de que ocurra sólo uno de los dos eventos. Esto coincide para dos eventos con la siguiente formulación \(P(A\triangle B)=P(A\bigcup B)-P(A\bigcap B)\), que tambien es \(P(A\triangle B)=P(A-B)+P(B-A)\).
Cuando se aplica esta propiedad la pregunta se traduce en que ocurra uno sólo de los dos eventos. Por otra parte, esta propiedad de que ocurra un sólo evento es extensible pero como diferencia exclusiva, es decir, no como diferencia simétrica sino en el proceso de que ocurra uno sólo de los eventos involucrados.
Regla de la Unión de dos eventos
La union de dos eventos cualesquieras A y B, pertenencientes a la familia de eventos especificada, se denota con \(A\bigcup B\) y su probabilidad es \(P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)\).
Esta regla se puede extender como suma para eventos disyuntos y para eventos colectivamente exhaustivos. La unión maneja que ocurra esto o que ocurra aquello, que ocurra al menos uno de los dos eventos, tambien se dice que ocurra alguno de los dos eventos.
Regla de Morgan de la Union
La regla de Morgan de la union se traduce en la propiedad \(\overline{A}\bigcap\overline{B}=\overline{A\bigcup B}\), que implica que no ocurra A y tampoco ocurra B, se traduce en el complemento de la union.
Esta regla implica que \(P(\overline{A}\bigcap\overline{B})=1- P(A\bigcup B)\).
Regla de Morgan de la Interseccion
La regla de Morgan de la interseccion se traduce en la propiedad \(\overline{A}\bigcup\overline{B}=\overline{A\bigcap B}\), que implica que no ocurra A ó que no ocurra B, se traduce en el complemento de la interseccion.
Esta regla implica que \(P(\overline{A}\bigcup\overline{B})=1- P(A\bigcap B)\).
Ejercicio: Suponga que se lanza un dado corriente. Considere los eventos A:“Sacar un puntaje mayor que 3” y B:“Sacar un puntaje impar mayor o igual que 3”.
Encuentre e Interprete cada punto.
Por extensión A, B y \(A\bigcap B\).
Las probabilidades de A, B y \(A\bigcap B\).
La probabilidad de \(A-B=A\bigcap \overline{B}\), dada por \(P(A-B)=P(A)-P(A\bigcap B)\).
La probabilidad de \(B-A=B\bigcap \overline{A}\), dada por \(P(B-A)=P(B)-P(A\bigcap B)\).
La probabilidad de \(A\bigcup B\), dada por \(P(A\bigcup B)=P(A)+ P(B)-P(A\bigcap B)\).
La probabilidad de \(A\triangle B\), dada por \(P(A\triangle B)=P(A\bigcup B)-P(A\bigcap B)\).
La probabilidad de \(\overline{A}\bigcap \overline{B}=\overline{A\bigcup B}\).
La probabilidad de \(\overline{A}\bigcup \overline{B}=\overline{A\bigcap B}\).
Regla de Diferencia Específica de orden uno
Dados tres eventos A, B y C se define la probabilidad de que ocurra A pero que no ocurra B y no ocurra C como regla de diferencia específica de orden uno
\(P(A\bigcap\overline{B}\bigcap\overline{C})=P(A)-P(A\bigcap B)-P(A\bigcap C)+P(A\bigcap B\bigcap C)\)
Regla de Diferencia Específica de orden dos
Dados tres eventos A, B y C se define la probabilidad de que ocurra A y ocurra B pero no ocurra C como regla de diferencia específica de orden dos
\(P(A\bigcap B\bigcap\overline{C})=P(A\bigcap B)-P(A\bigcap B\bigcap C)\)
Regla de Diferencia General de orden uno
Dados tres eventos A, B y C se define la probabilidad de que ocurra sólo uno de tres eventos como regla de diferencia general de orden uno
\(P(A\triangle_1 B\triangle_1 C)=P(A)+P(B)+P(C)-2P(A\bigcap B)-2P(A\bigcap C)-2P(B\bigcap C)+3P(A\bigcap B\bigcap C)\)
Regla de Diferencia General de orden dos
Dados tres eventos A, B y C se define la probabilidad de que ocurran sólo dos de tres eventos como regla de diferencia general de orden dos
\(P(A\triangle_2 B\triangle_2 C)=P(A\bigcap B)+P(A\bigcap C)+P(B\bigcap C)-3P(A\bigcap B\bigcap C)\)
Regla de la Union
Dados tres eventos A, B y C se define la probabilidad de que ocurra alguno de tres eventos como regla de union
\(P(A\bigcup B\bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\bigcap B)-P(A\bigcap C)-P(B\bigcap C)+P(A\bigcap B\bigcap C)\)
Regla de Morgan de la Union
Dados tres eventos A, B y C se define la ley de Morgan de la union como \(\overline{A\bigcup B\bigcup C}=\overline{A}\bigcap\overline{B}\bigcap\overline{C}\). Esto es el complemento de la unión es la intersección de los complementos.
Por lo tanto \(P(\overline{A}\bigcap\overline{B}\bigcap\overline{C})=1-P(A\bigcup B\bigcup C)\)
Ley de Morgan de la Intersección
Dados tres eventos A, B y C se define la ley de Morgan de la interseccion como \(\overline{A\bigcap B\bigcap C}=\overline{A}\bigcup\overline{B}\bigcup\overline{C}\). Esto es el complemento de la interseccion es la unión de los complementos.
Por lo tanto \(P(\overline{A}\bigcup\overline{B}\bigcup\overline{C})=1-P(A\bigcap B\bigcap C)\)
Ejemplo: La probabilidad de que Alfonso pierda Matemáticas es 0.4, la probabilidad de que pierda Lenguaje es 0.35 y la probabilidad de que pierda Sociales es 0.3. La probabilidad de que pierda Matemáticas y Lenguaje es 0.21, la probabilidad de que pierda Matemáticas y Sociales es 0.18, y la probabilidad de que pierda Lenguaje y Sociales es 0.19. La probabilidad de que pierda las 3 asignaturas al tiempo es 0.09. Encuentre las siguientes probabilidades:
A:“Que Alfonso no pierda Matemáticas”
B:“Que Alfonso pierda Lenguaje pero no Matemáticas”
C:“Que Alfonso pierda sólo Lenguaje ó sólo Sociales”
D:“Que Alfonso pierda Lenguaje ó Sociales”
E:“Que Alfonso no pierda Lenguaje y no pierda Sociales”
F:“Que Alfonso Gane Matemáticas ó Gane Lenguaje”
G:“Que Alfonso pierda sólo Lenguaje”
H:“Que Alfonso pierda Lenguaje y Sociales, pero no Matemáticas”
I:“Que Alfonso pierda sólo una materia”
J:“Que Alfonso pierda sólo dos Materias.”
K:“Que Alfonso pierda alguna de las tres materias”
L:“Que Alfonso no pierda Matemáticas, no pierda Lenguaje y no pierda Sociales”
M:“Que Alfonso no pierda alguna de las tres materias”
Solución
Sean los eventos \(M_1\) que Alfonso pierda Matemáticas, \(L_1\) que Alfonso pierda Lenguaje y \(S_1\) que Alfonso pierda Sociales.
Tenemos \(P(M_1)=0.4\), \(P(L_1)=0.35\), \(P(S_1)=0.3\), \(P(M_1\bigcap L_1)=0.21\), \(P(M_1\bigcap S_1)=0.18\), \(P(L_1\bigcap S_1)=0.19\) y \(P(M_1\bigcap L_1\bigcap S_1)=0.09\).
A:“Que Alfonso no pierda Matemáticas” \(P(A)=1-P(M_1)\), esto es, \(P(A)=1-0.4\), es decir, \(P(A)=0.6\).
B:“Que Alfonso pierda Lenguaje pero no Matemáticas” \(P(B)=P(L_1\bigcap \overline{M_1})\). Luego, \(P(B)=P(L_1)-P(L_1\bigcap M_1)\), esto es, \(P(B)=0.35-0.21\), es decir, \(P(B)=0.14\).
C:“Que Alfonso pierda sólo Lenguaje ó sólo Sociales” \(P(C)=P(L_1\triangle S_1)\). Luego, \(P(C)=P(L_1)+P(S_1)-2P(L_1\bigcap S_1)\), esto es, \(P(C)=0.35+0.3-2*0.19\), es decir, \(P(C)=0.27\).
D:“Que Alfonso pierda Lenguaje ó Sociales” \(P(D)=P(L_1\bigcup S_1)\). Luego, \(P(D)=P(L_1)+P(S_1)-P(L_1\bigcap S_1)\), esto es, \(P(D)=0.35+0.3-0.19\), es decir, \(P(D)=0.46\).
E:“Que Alfonso no pierda Lenguaje y no pierda Sociales” \(P(E)=P(\overline{L_1}\bigcap\overline{S_1})\). Luego, \(P(E)=1-P(L_1\bigcup S_1)\), esto es, \(P(E)=1-0.46\), es decir, \(P(E)=0.54\).
F:“Que Alfonso Gane Matemáticas ó Gane Lenguaje” \(P(F)=P(\overline{L_1}\bigcup\overline{S_1})\). Luego, \(P(F)=1-P(L_1\bigcap S_1)\), esto es, \(P(F)=1-0.19\), es decir, \(P(F)=0.81\).
G:“Que Alfonso pierda sólo Lenguaje” \(P(L_1\bigcap\overline{M_1}\bigcap\overline{S_1})=P(L_1)-P(L_1\bigcap M_1)-P(L_1\bigcap S_1)+P(L_1\bigcap S_1\bigcap M_1)\). Por lo tanto, \(P(G)=0.35-0.21-0.19+0.09\), es decir, \(P(G)=0.04\)
H:“Que Alfonso pierda Lenguaje y Sociales, pero no Matemáticas” \(P(L_1\bigcap S_1\bigcap\overline{M_1})=P(L_1\bigcap S_1)-P(L_1\bigcap S_1\bigcap M_1)\). Por lo tanto, \(P(H)=0.19-0.09\), es decir, \(P(H)=0.10\)
I:“Que Alfonso pierda sólo una materia” \(P(L_1\triangle_1 M_1\triangle_1 S_1)=P(L_1)+P(M_1)+P(S_1)-2P(L_1\bigcap M_1)-2P(L_1\bigcap S_1)-2P(M_1\bigcap S_1)+3P(L_1\bigcap M_1\bigcap S_1)\). Por lo tanto, \(P(I)=0.35+0.4+0.3-2(0.21)-2(0.19)-2(0.18)+3(0.09)\). Esto es \(P(I)=0.16\).
J:“Que Alfonso pierda sólo dos Materias.” \(P(L_1\triangle_2 M_1\triangle_2 S_1)=P(L_1\bigcap M_1)+P(L_1\bigcap S_1)+P(M_1\bigcap S_1)-3P(L_1\bigcap M_1\bigcap S_1)\). Por lo tanto, \(P(J)=0.21+0.19+0.18-3(0.09)\). Esto es \(P(J)=0.31\).
K:“Que Alfonso pierda alguna de las tres materias” \(P(L_1\bigcup M_1\bigcup S_1)=P(L_1)+P(M_1)+P(S_1)-P(L_1\bigcap M_1)-P(L_1\bigcap S_1)-P(M_1\bigcap S_1)+P(L_1\bigcap M_1\bigcap S_1)\). Por lo tanto, \(P(K)=0.35+0.4+0.3-0.21-0.19-0.18+0.09\). Esto es \(P(K)=0.56\).
L:“Que Alfonso no pierda Matemáticas, no pierda Lenguaje y no pierda Sociales” \(P(\overline{M_1}\bigcap\overline{L_1}\bigcap\overline{S_1})=1-P(M_1\bigcup L_1\bigcup S_1)\). Por lo tanto, \(P(L)=1-0.56\), esto es \(P(L)=0.44\).
M:“Que Alfonso no pierda alguna de las tres materias” \(P(\overline{M_1}\bigcup\overline{L_1}\bigcup\overline{S_1})=1-P(M_1\bigcap L_1\bigcap S_1)\). Por lo tanto, \(P(M)=1-0.09\), esto es \(P(M)=0.91\).
Ejercicio 1: La probabilidad de que Alfonso pierda Matemáticas es 0.36, la probabilidad de que pierda Lenguaje es 0.31 y la probabilidad de que pierda Sociales es 0.27. La probabilidad de que pierda Matemáticas y Lenguaje es 0.18, la probabilidad de que pierda Matemáticas y Sociales es 0.16, y la probabilidad de que pierda Lenguaje y Sociales es 0.15. La probabilidad de que pierda las 3 asignaturas al tiempo es 0.07. Encuentre las siguientes probabilidades:
A:“Que Alfonso no pierda Matemáticas”
B:“Que Alfonso pierda Lenguaje pero no Matemáticas”
C:“Que Alfonso pierda sólo Lenguaje ó sólo Sociales”
D:“Que Alfonso pierda Lenguaje ó Sociales”
E:“Que Alfonso no pierda Lenguaje y no pierda Sociales”
F:“Que Alfonso Gane Matemáticas ó Gane Lenguaje”
G:“Que Alfonso pierda sólo Lenguaje”
H:“Que Alfonso pierda Lenguaje y Sociales, pero no Matemáticas”
I:“Que Alfonso pierda sólo una materia”
J:“Que Alfonso pierda sólo dos Materias.”
K:“Que Alfonso pierda alguna de las tres materias”
L:“Que Alfonso no pierda Matemáticas, no pierda Lenguaje y no pierda Sociales”
M:“Que Alfonso no pierda alguna de las tres materias”
Ejercicio 2: La probabilidad de que Alfonso pierda Matemáticas es 0.45, la probabilidad de que pierda Lenguaje es 0.38 y la probabilidad de que pierda Sociales es 0.35. La probabilidad de que pierda Matemáticas y Lenguaje es 0.25, la probabilidad de que pierda Matemáticas y Sociales es 0.19, y la probabilidad de que pierda Lenguaje y Sociales es 0.18. La probabilidad de que pierda las 3 asignaturas al tiempo es 0.11. Encuentre las siguientes probabilidades:
A:“Que Alfonso no pierda Matemáticas”
B:“Que Alfonso pierda Lenguaje pero no Matemáticas”
C:“Que Alfonso pierda sólo Lenguaje ó sólo Sociales”
D:“Que Alfonso pierda Lenguaje ó Sociales”
E:“Que Alfonso no pierda Lenguaje y no pierda Sociales”
F:“Que Alfonso Gane Matemáticas ó Gane Lenguaje”
G:“Que Alfonso pierda sólo Lenguaje”
H:“Que Alfonso pierda Lenguaje y Sociales, pero no Matemáticas”
I:“Que Alfonso pierda sólo una materia”
J:“Que Alfonso pierda sólo dos Materias.”
K:“Que Alfonso pierda alguna de las tres materias”
L:“Que Alfonso no pierda Matemáticas, no pierda Lenguaje y no pierda Sociales”
M:“Que Alfonso no pierda alguna de las tres materias”
Ejercicio 3: La probabilidad de que Alfonso pierda Matemáticas es 0.49, la probabilidad de que pierda Lenguaje es 0.39 y la probabilidad de que pierda Sociales es 0.37. La probabilidad de que pierda Matemáticas y Lenguaje es 0.26, la probabilidad de que pierda Matemáticas y Sociales es 0.22, y la probabilidad de que pierda Lenguaje y Sociales es 0.21. La probabilidad de que pierda las 3 asignaturas al tiempo es 0.13. Encuentre las siguientes probabilidades:
A:“Que Alfonso no pierda Matemáticas”
B:“Que Alfonso pierda Lenguaje pero no Matemáticas”
C:“Que Alfonso pierda sólo Lenguaje ó sólo Sociales”
D:“Que Alfonso pierda Lenguaje ó Sociales”
E:“Que Alfonso no pierda Lenguaje y no pierda Sociales”
F:“Que Alfonso Gane Matemáticas ó Gane Lenguaje”
G:“Que Alfonso pierda sólo Lenguaje”
H:“Que Alfonso pierda Lenguaje y Sociales, pero no Matemáticas”
I:“Que Alfonso pierda sólo una materia”
J:“Que Alfonso pierda sólo dos Materias.”
K:“Que Alfonso pierda alguna de las tres materias”
L:“Que Alfonso no pierda Matemáticas, no pierda Lenguaje y no pierda Sociales”
M:“Que Alfonso no pierda alguna de las tres materias”
Conteo Combinatorio
El conteo combinatorio se refiere a combinaciones y permutaciones. Las selecciones de n objetos de una población de N elementos puede hacerse de 4 formas: sin reemplazo sin orden, con reemplazo sin orden, sin reemplazo con orden y con reemplazo con orden.
El formato sin orden, el orden no interesa y no es relevante, se llaman \(\textbf{combinaciones}\) y el formato con orden, el orden si interesa y es relevante para la selección, se llaman \(\textbf{permutaciones}\).
Se define la combinación sin reemplazo como \({N\choose n}=\frac{N!}{n!(N-n)!}\).
Se define la combinación con reemplazo como \({N\choose n}_r={N+n-1\choose n}\).
Se define la permutación sin reemplazo como \(NPn=\frac{N!}{(N-n)!}\).
Se define la permutación con reemplazo como \(NP_rn=N^n\).
Medidas Estadísticas de Centralización
Las medidas estadísticas de tendencia central son, basicamente: la media aritmética, la mediana y la moda.
La media aritmética simple, de los valores \(x_1, x_2,..., x_n\), es la suma de los valores entre el total de valores; es decir, con su notación, puede escribirse \(\overline{x}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i}{n}\).
La mediana de ese mismo conjunto de datos, se obtiene primero ordenando los valores de menor a mayor, y luego se obtienen los valores \(y_{(1)}, y_{(2)},..., y_{(n)}\). La media de los valores \(x_1, x_2,..., x_n\), es \(\tilde{x}=y_{(\frac{n+1}{2})}\) si n es impar y \(\tilde{x}=\frac{y_{(\frac{n}{2})}+y_{(\frac{n}{2}+1)}}{2}\) si n es par.
La moda del conjunto de datos es el valor \(\widehat{x}\) que más se repite.
Ejemplo #1 En una familia se registró el consumo eléctrico en un total de 7 meses, en la siguiente tabla. f es la fecha, C es el consumo en Kw.h y Tf es la tarifa de pesos por Kw.h. Obtenga el valor de la media aritmética y de la mediana de los consumos en Kw.h, y de los valores del recibo en cada mes, y compute sus promedios.
f=c(0324,0424,0524,0624,0724,0824,0924)
C=c(235,307,277,311,314,315,302)
Tf=1072.78Solución
f=c(0324,0424,0524,0624,0724,0824,0924)
C=c(235,307,277,311,314,315,302)
Tf=1072.78
cbind(f,C, C*Tf)## f C
## [1,] 324 235 252103.3
## [2,] 424 307 329343.5
## [3,] 524 277 297160.1
## [4,] 624 311 333634.6
## [5,] 724 314 336852.9
## [6,] 824 315 337925.7
## [7,] 924 302 323979.6mean(C)## [1] 294.4286mean(C)*Tf## [1] 315857.1quantile(C,0.5)## 50%
## 307quantile(C,0.5)*Tf## 50%
## 329343.5“mean” es el comando para la media aritmética y “quantile” es el comando para la medida de posición relativa o localización, se especifica el 50% o 0.5.
Si ordenamos los valores se tiene 235, 277, 302, 307, 311, 314, 315. El valor central es el cuarto dato, ya que \(n=7\) y \(\frac{7+1}{2}=4\). Por lo tanto, la mediana es 307.
f=c(0324,0424,0524,0624,0724,0824,0924)
C=c(235,307,277,311,314,315,302)
Tf=1072.78
V=C*Tf
barplot(C~f, xlab="Mes de registro", ylab="Energía Electrica Kw.h", main="Comparación de consumos mensuales")
barplot(V~f, xlab="Mes de registro", ylab="Valor en pesos según tarifa", main="Comparación de valores mensuales")
Las gráficas sugieren que la moda se puede tomar como el promedio de los 4 valores similares, esto es, \(\widehat{x}=\frac{307+311+314+315}{4}\), esto es, \(\widehat{x}\approx 312\) en Kw.h y \(\widehat{V}=334707\) en pesos colombianos.
Diagnóstico de Centralización
El diagnóstico de centralización se realiza de la siguiente manera:
-Si las medidas de tendencia central anteriores son iguales la distribución de datos estudiada es simétrica.
-Si la media aritmetica es mayor que la mediana o la media aritmética es mayor que la moda la distribución es asimétrica a la derecha o sesgada positivamente.
-Si la media aritmetica es menor que la mediana o la media aritmética es menor que la moda la distribución es asimétrica a la izquierda o sesgada negativamente.
Ejemplo: Realice un diagnóstico de la distribución de consumo y especifique la forma de la distribución.
Solución
En el caso anterior, la cantidad de Kw.h consumidos tiene una media aritmética de 294.43, tiene una mediana de 307 y una moda de 312.
Con esto se tiene \(\overline{x}<\tilde{x}<\widehat{x}\). Esto indica que la media aritmetica es menor que la mediana o la media aritmética es menor que la moda la distribución es asimétrica a la izquierda o sesgada negativamente.
Ejercicio 1: Consiga el último recibo de aire de su casa y repita los ejercicios anteriores. Tenga en cuenta que su tarifa cambia y los consumos tambien, pero el procedimiento es el mismo.
Coeficiente de Asimetría de Pearson
El coeficiente de asimetría de Pearson, se define como
\(A_p=\frac{\overline{x}-\widehat{x}}{s_x}\), donde \(s_x\) es la desviación estándar, que se obtiene como la raíz cuadrada de la varianza. La varianza y la desviación estándar son medidas de dispersión. Para interpretar \(A_p\) se toma como referencia la distribución de holgura, del siguiente modo
-Si \(|A_p|<1\) la asimetría es baja.
-Si \(1\leq |A_p|<\sqrt{2}\) la asimetría es moderada.
-Si \(|A_p|\geq\sqrt{2}\) la asimetría es alta.
-El signo del sesgo puede ser positivo o negativo.
La varianza muestral se define \(S_x^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2-n\overline{x}^2}{n-1}\).
Para tener una idea del comportamiento de la varianza, se tiene en cuenta que si los datos son muy parecidos la variación es baja. Existe un coeficiente de variación relativa para comparar distribuciones de variables de magnitudes diferentes, este se define como \(CV_x=|\frac{s_x}{\overline{x}}|*100\%\). Este se interpreta así
-Si \(CV_x<0.5\) la distribución tiene baja variabilidad.
-Si \(0.5\leq CV_x<\frac{\sqrt{2}}{2}\) la distribución tiene variabilidad moderada.
-Si \(CV_x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\) la distribución tiene alta variabilidad.
Ejemplo #1 En una familia se registró el consumo eléctrico en un total de 7 meses, en la siguiente tabla. f es la fecha, C es el consumo en Kw.h y Tf es la tarifa de pesos por Kw.h. Obtenga el valor de los coeficientes de Pearson y de la variabilidad relativa. Interprete sus resultados.
f=c(0324,0424,0524,0624,0724,0824,0924)
C=c(235,307,277,311,314,315,302)
Tf=1072.78Solución
A continuación elevamos al cuadrado los valores y los sumamos, obtenemos la media y la varianza
f=c(0324,0424,0524,0624,0724,0824,0924)
C=c(235,307,277,311,314,315,302)
Tf=1072.78
n=7
Cd=C^2
C2=sum(Cd)
Cm=mean(C)
S_x2=(C2-n*Cm^2)/(n-1)
S_x2 ## [1] 855.2857## la varianza tambien puede calcularse como var(C).
S_x=sqrt(S_x2)
Ap=(Cm-312)/S_x
Ap## [1] -0.6008298## Una asimetría negativa y en valor absoluto menor de 1, es baja
CV_x=S_x/Cm*100
CV_x## [1] 9.932891## Un coeficiente de variación relativa de 9\% indica baja variabilidad.Ejercicio 2: Consiga el último recibo de aire de su casa y repita los ejercicios anteriores. Tenga en cuenta que su tarifa cambia y los consumos tambien, pero el procedimiento es el mismo.
Resumen de Cinco números
El resumen de 5 números consiste en hallar: valor minimo, los cuartiles (inferior (25%), mediana (50%) y superior (75%)) y el valor máximo. Con esto se construye el gráfico de caja y bigotes (boxplot).
Ejemplo #1 En una familia se registró el consumo eléctrico en un total de 7 meses, en la siguiente tabla. f es la fecha, C es el consumo en Kw.h y Tf es la tarifa de pesos por Kw.h. Obtenga el resumen de 5 números y trace el diagrama de caja y bigotes. Interprete sus resultados.
f=c(0324,0424,0524,0624,0724,0824,0924)
C=c(235,307,277,311,314,315,302)
Tf=1072.78Solución
A continuación hacemos el resumen de 5 números. (ver [1]).
f=c(0324,0424,0524,0624,0724,0824,0924)
C=c(235,307,277,311,314,315,302)
Tf=1072.78
n=7
min(C)## [1] 235max(C)## [1] 315quantile(C, c(0.25,0.5,0.75))## 25% 50% 75%
## 289.5 307.0 312.5boxplot(C, main="Gráfico de Caja y Bigotes")
En este caso se observa que el bigote superior es más pequeño que el inferior y la porción superior de la caja es más pequeña que la porción inferior; de este modo, la distribución es sesgada negativamente o asimétrica a la izquierda.
Ejercicio 3: Consiga el último recibo de aire de su casa y repita los ejercicios anteriores. Tenga en cuenta que su tarifa cambia y los consumos tambien, pero el procedimiento es el mismo.
Distribución Estadística
Una distribución estadística es la estructura de comportamiento de una variable.
A continuación, se esboza la gráfica de una densidad gamma con parámetro de forma \(\alpha=4\) y parámetro de escala \(\beta=\frac{1}{125}\).
x=seq(from=0,to=2000,by=0.1)
y=x^3*2.7182^(-x/125)/(125^4*6)
plot(x,y,xlab="Gastos en electricidad en miles de pesos", ylab="Proporción de Familias", main="Distribución Asimétrica a la derecha")
En esta gráfica, se observa el sesgo positivo de la distribución de gastos.
A continuación, se grafica la densidad normal con media 50 y desviación estándar de 7, de las calificaciones por materia, en un Colegio.
x=seq(from=0,to=100,by=0.01)
y=1/(2*3.14159*49)*2.7182^(-(x-50)^2/98)
plot(x,y,xlab="Calificaciones Definitivas en un Curso", ylab="Proporción de Estudiantes", main="Distribución Simétrica")
En esta gráfica se visualiza un comportamiento normal, propio de la campana de Gauss, para la calificación definitiva de un grupo. El hecho de que la calificación definitiva se compone del promedio de varias notas, hace que exista un comportamiento gaussiano. Un ejemplo de esto son las pruebas estandarizadas nacionales e internacionales, como la prueba I.C.F.E.S y la prueba PISA.
Ejemplo 1: Se selecciona una muestra de 16 estudiantes y se les pregunta la edad. Los datos se muestran a continuación.
x=c(14,15,16,17)
f=c(5,3,4,4)
mu=sum(x*f)/sum(f)
varx=(sum(x^2*f)/sum(f)-mu^2)*sum(f)/(sum(f)-1)
desv=(varx)^0.5
c(mu,varx,desv)## [1] 15.437500 1.462500 1.209339En orden, se visualizan la edad promedio, la varianza y la desviación típica estándar.
Fuentes de Información y Variables Estadísticas
Las fuentes de información son los medios por los cuales se recogen datos o hechos.
-primarias: la encuesta, la entrevista, el experimento y el estudio de caso.
-secundarias: la radio, la televisión, el internet, la revisión de literatura y el estado del arte.
Las variables estadísticas pueden ser de dos tipos:
-Cualitativas: códigos numéricos, códigos alfanuméricos y códigos alfabéticos.
-Cuantitativas: las cantidades.
Ejemplo 2: Escribe una definición de cada fuente de información y variable estadística.
-La encuesta: las encuestas estadísticas acostumbran a recolectar información cualitativa o cuantitativa sobre los elementos de una población.
Las encuestas se utilizan para obtener información sobre actividades, opiniones, comportamientos y otros aspectos.
f=c(6,5, 4,3,2)
x=c("Natacion", "Futbol", "Voleibol", "Tenis", "Baloncesto")
xf=c("Natacion", "Natacion", "Natacion","Natacion", "Natacion", "Natacion","Futbol","Futbol","Futbol","Futbol","Futbol", "Voleibol","Voleibol","Voleibol","Voleibol","Tenis","Tenis", "Tenis", "Baloncesto","Baloncesto")
xe=table(xf)
xe## xf
## Baloncesto Futbol Natacion Tenis Voleibol
## 2 5 6 3 4barplot(xe, xlab="Deporte favorito", ylab="Número de Estudiantes", main="Diagrama de barras", col=c("red", "orange", "yellow", "green", "blue"))
-Entrevista: la Entrevista es un método de recopilación de datos que implica la interacción directa entre un entrevistador y un encuestado. Durante la entrevista se hacen preguntas para recopilar información detallada sobre opiniones, experiencias y comportamientos del entrevistado.
Ejemplo 3: Se recogió la edad de 36 estudiantes que pertenecen a la escuela deportiva de la Universidad. La variable x es la edad y f es la cantidad de estudiantes, p el porcentaje absoluto y P el porcentaje acumulado.
x=c(21,22,23,24,25)
f=c(2,6,17,10,1)
p=f/sum(f)*100
P=c(p[1],p[1]+p[2],p[1]+p[2]+p[3],p[1]+p[2]+p[3]+p[4],100)
cbind(x,f,p,P )## x f p P
## [1,] 21 2 5.555556 5.555556
## [2,] 22 6 16.666667 22.222222
## [3,] 23 17 47.222222 69.444444
## [4,] 24 10 27.777778 97.222222
## [5,] 25 1 2.777778 100.000000-El Experimento: es un método de recopilación de datos, que implica una manipulación controlada de variables independientes para observar sus efectos en una o más variables respuestas.
Ojiva de porcentajes
La ojiva es una gráfica de linea poligonal acumulada.
Partimos de la tabla de frecuencias agrupadas
x=c("De 2 a menos de 2.5", "De 2.5 a menos de 3.0", "De 3.0 a menos de 3.5", "De 3.5 a menos de 4.0", "De 4.0 a 4.5")
f=c(4,10,6,3,2)
cbind(x,f)## x f
## [1,] "De 2 a menos de 2.5" "4"
## [2,] "De 2.5 a menos de 3.0" "10"
## [3,] "De 3.0 a menos de 3.5" "6"
## [4,] "De 3.5 a menos de 4.0" "3"
## [5,] "De 4.0 a 4.5" "2"xs=c(2,2.5,3,3.5,4,4.5)
P=c(0,16,56,80,92,100)
plot(xs,P,type="l",xlab="fronteras superiores", ylab="Porcentajes acumulados", main="Ojiva de porcentajes")
Para obtener la mediana, el septimo decil, el tercer decil y el 85-ésimo punto percentil; existen 3 maneras: el método gráfico, el método de interpolación y el método de medidas agrupadas.
En el método gráfico, se da un vistazo a la Ojiva y se busca el valor que corresponde al porcentaje acumulado señalado.
La mediana es \(Q_2=2.9\), el septimo decil es \(D_7=3.3\), el tercer decil es \(D_3=2.7\) y el 85-ésimo punto percentil es \(P_{85}=3.75\).
Para calcular el percentil mediante la tabla de frecuencias absolutas agrupadas, se utiliza la formulación
\(X_p=L_p + \frac{n\times p\%-F}{f_p}\times w\)
X_p es el p-ésimo punto percentil
L_p es el límite inferior de la clase que contiene a X_p.
p es el tanto por ciento que acumula el percentil
F es la frecuencia acumulada anterior a la clase donde se ubica el percentil
f_p es la frecuencia absoluta de la clase percentil
w es la amplitud de la clase percentil
Aplicando la fórmula, se tiene \(Me=L_{50}+\frac{n/2-F}{f_{50}}\times w\)
En este caso \(n=25\) y la mitad de n es 12.5.
El valor de \(L_{50}=2.5\) y \(F=4\) y \(w=0.5\).
\(Me=2.5+\frac{12.5-4}{10}\times 0.5\)
\(Me=2.5+0.425\), esto es, \(Me=2.925\).
El 50% de los estudiantes tiene una calificación de 2.925 o menos.
\(X_p=L_p + \frac{n\times p\%-F}{f_p}\times w\)
Aplicando la fórmula, se tiene \(D_7=L_{70}+\frac{n\times 70\%-F}{f_{70}}\times w\)
En este caso \(n=25\) y el 70% de n es 17.5.
El valor de \(L_{70}=3.0\) y \(F=14\) y \(w=0.5\).
\(D_7=3.0+\frac{17.5-14}{6}\times 0.5\)
\(D_7=3.0+0.2916\), esto es, \(D_7=3.2916\).
El 70% de los estudiantes tiene una calificación de 3.2916 o menos.
\(X_p=L_p + \frac{n\times p\%-F}{f_p}\times w\)
Aplicando la fórmula, se tiene \(D_3=L_{30}+\frac{n\times 30\%-F}{f_{30}}\times w\)
En este caso \(n=25\) y el 30% de n es 7.5.
El valor de \(L_{30}=2.5\) y \(F=4\) y \(w=0.5\).
\(D_3=2.5+\frac{7.5-4}{10}\times 0.5\)
\(D_3=2.5+0.175\), esto es, \(D_3=2.675\).
El 30% de los estudiantes tiene una calificación de 2.675 o menos.
\(X_p=L_p + \frac{n\times p\%-F}{f_p}\times w\)
Aplicando la fórmula, se tiene \(P_{85}=L_{85}+\frac{n\times 85\%-F}{f_{85}}\times w\)
En este caso \(n=25\) y el 85% de n es 21.25.
El valor de \(L_{85}=3.5\) y \(F=20\) y \(w=0.5\).
\(P_{85}=3.5+\frac{21.25-20}{3}\times 0.5\)
\(P_{85}=3.5+0.21\), esto es, \(P_{85}=3.71\).
El 85% de los estudiantes tiene una calificación de 3.71 o menos.
\(\textbf{Referencias}\)
[1] Llinás, Humberto. Estadística y Distribuciones de Probabilidad. Ediciones Uninorte. 2006.