Sebaran Peluang Acak Kontinu

Penelitian oleh Pratikno, A.S., Prastiwi, A.A., dan Ramahwati, S. (2020) membahas pentingnya konsep sebaran peluang acak kontinu dalam statistik, terutama untuk penelitian di bidang pendidikan dan ilmu sosial. Topik utama yang dibahas mencakup berbagai distribusi probabilitas yang sering digunakan untuk menganalisis data, yaitu:Distribusi Normal

1. Distribusi Peluang Acak Kontinu

Distribusi ini digunakan untuk menggambarkan variabel acak yang dapat bernilai di semua titik dalam rentang kontinu. Fungsi kerapatan peluangnya \(f(x)\) harus memenuhi dua syarat utama:

  • \(f(x) \geq 0\) untuk semua \(x \in \mathbb{R}\)

  • Luas total di bawah kurva \(f(x)\) adalah 1:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 \]

2. Distribusi Normal

Distribusi ini adalah distribusi kontinu paling populer, berbentuk lonceng simetris, digunakan untuk menggambarkan berbagai fenomena alami dan sosial. Distribusi ini berguna dalam inferensi statistik, karena banyak statistik sampel mengikuti distribusi ini berdasarkan Teorema Limit Central.

  • Sekitar 68% data berada dalam 1 simpangan baku (\(\sigma\)) dari rata-rata (\(\mu\))

  • 95.5% dalam 2 \(\sigma\), dan 99.7% dalam 3 \(\sigma\)

  • Fungsi distribusinya diberikan oleh:

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \]

3. Distribusi Normal Baku

Distribusi ini merupakan versi standarisasi dari distribusi normal dengan \(\mu = 0\) dan \(\sigma = 1\). Konversi skor ke skor-z dilakukan dengan:

\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

Distribusi ini mempermudah pencarian peluang karena tabel nilai Z tersedia luas.

4. Distribusi t

Distribusi t dipakai ketika ukuran sampel kecil dan σ populasi tidak diketahui.
Statistik dasarnya:

\[ t = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\,S/\sqrt{n}\,}, \qquad S^2 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{n-1} \]

Semakin besar derajat kebebasan \(\nu = n-1\), kurva t mendekati Normal(0,1).

5. Distribusi Chi-Square

Distribusi \(X^2\) merupakan distribusi peluang dari variabel acak kontinu. Distribusi ini berbentuk asimetris ke kanan, dan nilainya selalu positif. Distribusi \(X^2\) tergantung pada derajat kebebasan.

\[ X^2 = \sum_{i=1}^{k} Z_i^2 \] dengan \(Z_i\) adalah variabel acak yang terdistribusi normal baku. Distribusi ini sering digunakan dalam uji hipotesis, terutama untuk menguji varians dan independensi antar variabel.

6. Distribusi F

Distribusi F juga merupakan distribusi peluang dari variabel acak kontinu. Distribusi ini bernilai positif dan berbentuk mirip \(X^2\), namun cenderung lebih menyengat di ekor kanan. Nilai distribusi F tergantung pada dua parameter yaitu derajat kebebasan pembilang dan penyebut.

\[ F = \frac{X_1^2 / \nu_1}{X_2^2 / \nu_2} \] dengan \(X_1^2\) dan \(X_2^2\) adalah variabel acak yang terdistribusi Chi-Square dengan derajat kebebasan \(\nu_1\) dan \(\nu_2\). Distribusi F sering digunakan dalam analisis varians (ANOVA) dan regresi.

7. Contoh Grafik

Distribusi Normal

Distribusi t

Distribusi Chi-Square

Distribusi F

Contoh Soal

Diketahui variabel acak \(X\) berdistribusi normal dengan rata-rata \(\mu = 3\) dan variansi \(\sigma^2 = 16\). Hitunglah:

  1. \(P(X < 11)\)
  2. \(P(X > -2)\)
  3. \(P(2 < X < 7)\)

Rumus Distribusi Normal Rumus Z-Score \[ P(X < a) = P(Z < \frac{a - \mu}{\sigma}) \] Rumus Peluang \[ P(a < X < b) \;=\; P\!\left(\,\frac{a - \mu}{\sigma} \;<\; Z \;<\; \frac{b - \mu}{\sigma}\,\right) \] Distribusi normal standar memiliki:

  • \(\mu = 0\)
  • \(\sigma = 1\)

Penyelesaian Menggunakan R

# Parameter distribusi
mu <- 3
sigma <- sqrt(16)  # akar dari variansi

# 1. P(X < 11)
p1 <- pnorm(11, mean = mu, sd = sigma)

# 2. P(X > -2) = 1 - P(X ≤ -2)
p2 <- 1 - pnorm(-2, mean = mu, sd = sigma)

# 3. P(2 < X < 7) = P(X < 7) - P(X < 2)
p3 <- pnorm(7, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(2, mean = mu, sd = sigma)

data.frame(
  Soal = c("P(X < 11)", "P(X > -2)", "P(2 < X < 7)"),
  Hasil = round(c(p1, p2, p3), 4)
)

📚 Referensi

Pratikno, A. S., Prastiwi, A. A., & Ramahwati, S. (2020). Sebaran Peluang Acak Kontinu, Distribusi Normal. OSF Preprints.