Cetteme ́thodepresente ́eparTaylorG.Cen1977[9],suppose:Yi,j
=Pj·μi+jouPjestlapartpaye ́elajemeanne ́edede ́veloppement
et μi+j est le couˆt total paye ́ lors de l’anne ́e calendaire i + j,
comme le montre le triangle 2.1.
| i,j | 0 | … | j | … | n |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | \(\mu_0 \cdot \mathbf{P}_0\) | … | \(\mu_j \cdot \mathbf{P}_j\) | … | \(\mu_n \cdot \mathbf{P}_n\) |
| … | … | … | … | \(\vdots\) | … |
| i | \(\mu_i \cdot \mathbf{P}_0\) | … | \(\mu_n \cdot \mathbf{P}_j\) | ||
| … | \(\vdots\) | \(\ddots\) | … | … | |
| n | \(\mu_n \cdot \mathbf{P}_0\) |
Formalisée pour la première fois en 1938 par E. Astesan [1], cette méthode est devenue une référence incontournable en assurance non-vie, comme le souligne une étude de l’Actuarial Studies in Non-life Insurance (ASTIN) [2]. Sa popularité s’explique principalement par sa facilité d’application et son efficacité empirique.
Le principe de la méthode repose sur l’utilisation de facteurs de développement (aussi appelés link-ratios ou coefficients de passage). L’idée est que les montants cumulés d’une année de développement sont directement proportionnels à ceux de l’année précédente, via un facteur de développement entre les années \(j\) et \(j+1\), noté \(f_j\).
Cela revient à écrire :
\[ C_{i,j+1} = f_j \cdot C_{i,j} \quad \text{pour } j = 0 \text{ à } n - 1 \]
Les années de survenance \(i\) sont
indépendantes entre elles.
Les facteurs de développement \(f_j\)
peuvent être estimés, à l’aide des observations, par le rapport des
totaux relatifs aux éléments communs de deux colonnes successives,
c’est-à-dire par :
\[ \hat{f}_j = \frac{ \sum_{i=0}^{n-j-1} C_{i,j+1} }{ \sum_{i=0}^{n-j-1} C_{i,j} } \quad \text{pour } j = 0, \dots, n-1 \]
À partir de ces facteurs de développement, il est alors possible de compléter le triangle inférieur.
Nous estimons alors :
\[ C_{i,j+1} = f_j \cdot C_{i,j} \quad \text{pour } i + j > n \]
\[ C_{i,n} = (f_{n-i} \cdot \dots \cdot f_{i-1}) \cdot C_{i,n-i} \]
Ainsi, le montant de la provision à constituer pour l’année de survenance \(i\) est calculé par différence entre les montants ultimes estimés et les derniers montants connus (correspondant à la dernière diagonale) :
\[ \hat{R}_i = C_{i,n} - C_{i,n-i} = C_{i,n-i} \cdot \left( f_{n-i} \cdot \dots \cdot f_{i-1} - 1 \right) \]
L’estimation du montant total des provisions, notée \(\hat{R}\), est obtenue en sommant les provisions de chaque année de survenance.
Cette méthode calcule un facteur de développement pour chaque année de développement et pour chaque exercice :
\[ f_{i,j} = \frac{C_{i,j+1}}{C_{i,j}} \quad \text{pour } 0 \leq i,j \leq n-1 \]
La méthode définit le facteur de développement \(f_j\) de l’année de développement \(j\) et pour toutes les survenances d’origine comme étant une fonction des facteurs individuels, c’est-à-dire :
\[ f_j = g(f_{0,j}, \dots, f_{n-j-1,j}) \]
La fonction \(g\) la plus utilisée
est le barycentre de la famille des facteurs individuels pondérés \((f_{i,j}, w_{i,j})\) où les pondérations
\((w_{i,j})_{i=0, \dots, n-j-1}\) sont
judicieusement choisies.
Ainsi, le facteur de développement \(f_j\) est défini par :
\[ f_j = \frac{ \sum_{i=0}^{n-j-1} w_{i,j} \cdot f_{i,j} }{ \sum_{i=0}^{n-j-1} w_{i,j} } \]
library(ESG)
library(readxl)
library(ggplot2)
library(dplyr)
library(DT)
library(kableExtra)On suppose qu’on a a notre disposition un triangle de paiement non cumulé.
Le triangle formé des facteurs individuels \(f_{i,j}\) est appelé d-triangle. L’hypothèse sous-jacente à cette méthode n’est acceptable que si les éléments de chaque colonne de ce triangle sont sensiblement constants.
\[ f_{i,j} = \frac{C_{i,j+1}}{C_{i,j}} \quad \text{pour } 0 \leq i,j \leq n-1 \]
Reprenons l’exemple précédent :
Références
[1] E. Astesan, Les réserves techniques des sociétés d’assurances contre les accidents d’automobiles, Thèse pour le doctorat, Ph.D. dissertation, Université de Paris, Faculté de droit, 1938.
[2] Section assurance non vie de l’AAI, Non-life reserving practices, préparé par le ASTIN Working Party on Non-Life Reserving, ASTIN Working Party on Non-Life Reserving, s.d.