{r setup, include=TRUE} knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE, results='markup')
Un cafe en una concurrida calle de la ciudad recibe en promedio 12 clientes por hora durante las horas pico. Utilizando la distribución de Poisson, calcula la probabilidad de que lleguen más de 5 clientes en media hora dentro de una franja pico.
La distribución de Poisson es \[P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\]
Ya que nos dan el dato de que en 1 hora se recibe un promedio de 12 clientes, entonces en media hora es \(\lambda= 12 clientes/hora × 0.5\)
Nos piden la probabilidad de que lleguen más de 5 clientes, lo que significa P(X>5). Es más fácil calcular esto como:
\(P(X>5)=1−P(X≤5)\)
Donde \(P(X≤5)\) es la sumatoria de la probabilidad desde X=0 hasta X=5
\[P(X = 0) = \frac{e^{-6}6^0}{0!} = \frac{0.002479 \times 1}{1} = 0.002479\]
\[P(X = 1) = \frac{e^{-6}6^1}{1!} = \frac{0.002479 \times 6}{1} = 0.014874\]
\[P(X = 2) = \frac{e^{-6}6^2}{2!} = \frac{0.002479 \times 36}{2} = 0.044622 \\ P(X = 3) = \frac{e^{-6}6^3}{3!} = \frac{0.002479 \times 216}{6} = 0.089244 \\ P(X = 4) = \frac{e^{-6}6^4}{4!} = \frac{0.002479 \times 1296}{24} = 0.133866 \\ P(X = 5) = \frac{e^{-6}6^5}{5!} = \frac{0.002479 \times 7776}{120} = 0.160639\]
Sumamos cada una de las probabilidades \[P(X \le 5) = 0.002479 + 0.014874 + 0.044622 + 0.089244 + 0.133866 + 0.160639 = 0.445724\]
Entonces \(P(X > 5)\) es
\[P(X > 5) = 1 - P(X \le 5) = 1 - 0.445724 = 0.554276\]
Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado, en una botella, 6 tabletas con cierto narcótico junto a 9 píldora de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?
Total de tabletas: El viajero tiene 6 tabletas de narcótico + 9 pastillas de vitamina = 15 tabletas en total.
Selección: Se seleccionan 3 tabletas aleatoriamente.
\[ C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
\[ C(15,3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 7 \times 13 = 455 \]
Hay 455 formas diferentes de seleccionar 3 tabletas de las 15.
\[ C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
\[ \left( \begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 \\ 6 \end{matrix} \right) = 84 \]
Hay 84 formas diferentes de seleccionar 3 vitaminas de las 9 disponibles.
\[ P(\text{no arrestado}) = \frac{\text{# de formas de seleccionar 3 vitaminas}}{\text{# total de formas de seleccionar 3 tabletas}} = 0,1846 = \frac{84}{455} \]
\[ P(\text{ser arrestado}) = 1 - P(\text{no arrestado}) = 1 - 0,1846 = 0,81538 \] La probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos es 0.8154 o 81.54%
Un centro de atención a la ciudadanía recibe llamadas. Se sabe que los operadores tardan en atender una llamada. Supongamos que tienes datos históricos y sabes que el tiempo que se debe esperar para ser atendido sigue una distribución normal. - a.) Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo que se debe esperar para ser atendido. Determine μ y σ si se sabe que P(X < 3,3) = 0,08076 y P(X > 4,7) = 0,08076. - b.) Determine la probabilidad de que al hacer una llamada a esta entidad el tiempo de espera sea inferior a 3,5.
Implica una distribución simétrica, entonces:
La media del tiempo de espera: \(\mu = \frac{3,3 + 4,7}{2} = 4\).
Para hallar \(\sigma\), estandarizamos. Sabemos que \(P(X < 3,3) = 0,08076\).
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
\[ Z_{3,3} = \frac{3,3 - 4}{\sigma} \rightarrow \text{Con la tabla sabemos que } Z = -1,4 \]
\[ \sigma = \frac{3,3 - 4}{-1,4} = \frac{-0,7}{-1,4} = 0,5 \]
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
\[ Z_{3,3} = \frac{3,3 - 4}{\sigma} \rightarrow \text{Con la tabla sabemos que } Z = -1,4 \]
\[ \sigma = \frac{3,3 - 4}{-1,4} = \frac{-0,7}{-1,4} = 0,5 \]
\[ P(X < 3,5) \]
\[ Z = \frac{3,5 - \mu}{\sigma} = \frac{3,5 - 4}{0,5} = \frac{-0,5}{0,5} = -1 \]
Buscamos en la tabla y para \(Z = -1\) es \(P(Z < -1) = 0,15866\). La probabilidad de que el tiempo de espera sea inferior a 3.5.
\[ P(X < 3,5) \]
\[ Z = \frac{3,5 - \mu}{\sigma} = \frac{3,5 - 4}{0,5} = \frac{-0,5}{0,5} = -1 \]
Buscamos en la tabla y para \(Z = -1\) es \(P(Z < -1) = 0,15866\).
La probabilidad de que al hacer una llamada a esta entidad el tiempo de espera sea inferior a 3.5 es aproximadamente 0.1587 o 15.87% .
Mi amigo Yezid, practica futbol a nivel profesional, una de sus prácticas consiste en cobrar 50 cobros consecutivos de tiro penal. La efectividad de Yezid en este tipo de cobros es bien sabida por su club pero guardada con recelo.
a.) Estime la probabilidad que guarda celosamente el club a sabiendas de que la probabilidad de que Yezid acierte todos los cobros de tiro penal es de 0,00515
b.) ¿Cuál es la probabilidad de que Yezid acierte más de la mitad de la mitad de los cobros?
a.) Sea p la probabilidad de que Yezid acierte un tiro penal. La probabilidad de acertar 50 tiros penales consecutivos es p=50.Se nos da que \(p(50) =0.00515\) Para encontrar p, tomamos:
\(p=(0.00515) ^{(1/50)}\)
prob_todos_aciertos <- 0.00515
n_cobros <- 50
# Calcular p
p_estimada <- prob_todos_aciertos^(1/n_cobros)
p_redondeada <- round(p_estimada, 2)
cat(paste("La probabilidad estimada (p) de que Yezid acierte un tiro penal es: ", p_estimada, "\n"))
cat(paste("Redondeada a dos decimales, p es aproximadamente: ", p_redondeada, "\n"))b.) Los parámetros para la distribución binomial son:
n <- 50
p <- p_estimada # Usamos el valor más preciso de p
# Queremos P(X >= 13)
# Esto es 1 - P(X <= 12)
prob_x_le_12 <- pbinom(12, size = n, prob = p)
prob_x_ge_13 <- 1 - prob_x_le_12
cat(paste("La probabilidad de acertar 12 o menos cobros es: ", prob_x_le_12, "\n"))
cat(paste("La probabilidad de acertar 13 o más cobros (más de la mitad de la mitad) es: ", prob_x_ge_13, "\n"))Un grupo de empleados de la empresa de energía tiene la misión de hallar irregularidades en las conexiones eléctricas de las casas de una ciudad conocida por el manejo inadecuado e irregular en estas. Si por anteriores inspecciones se estima que la probabilidad de que una casa tenga una conexión irregular es del 30%.
a.) Si un equipo de la empresa visita 20 casas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna tenga conexiones irregulares?
b.) En promedio cuántas casas deberían ser visitadas para hallar la quinceava casa con conexiones irregulares.
c.) ¿Cuál es la probabilidad de que la décima casa visitada sea la primera en ser registrada por su conexión indebida a la red eléctrica?
a.) Distribución binomial.
La fórmula de la distribución binomial es \[P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^{n-k}\]
\(n = 20\) ensayos (casas visitadas) \(k = 0\)
\(P(X=0) = C(20,0) * (0,30)^0 * (0,7)^{20}\) \(P(X=0) = 1 * 1 * (0,7)^{20}\) \(P(X=0) = 0,0007979\)
b.) Distribución binomial negativa. \(E[X] = \frac{r}{p} = \frac{15}{0,30}\)
c.) Distribución geometrica La fórmula de distribución geometrica es \[P(X=k) = (1-p)^{k-1} * p\] Donde k=10 (Caso de exito de la decima casa visitada) p=0.3
\[P(X=10)= (1-0,3)^{10-1} * 0,3=0.012106\] La probabilidad de que la décima casa visitada sea la primera en ser registrada por su conexión indebida es aproximadamente 0.0121 o 1.21% .