1. Introdução

O presente trabalho tem como objetivo aplicar as metodologias de inferência estatística baseadas na teoria de Máxima Verossimilhança. Conforme solicitado, foram abordadas duas técnicas principais:

  1. A construção de Intervalos de Confiança e Testes de Hipótese baseados na distribuição assintótica dos estimadores de máxima verossimilhança (EMV), seguindo a lógica do arquivo Teste_Z.R.
  2. A aplicação do Teste de Razão de Verossimilhanças Generalizado, seguindo a lógica do arquivo LRT.R.

Para a análise, foi escolhida a Distribuição Gama, que possui dois parâmetros (forma \(\alpha\) e taxa \(\beta\)). As metodologias foram aplicadas a um conjunto de dados reais para verificar o ajuste e realizar as inferências.

2. Preparação do Ambiente e Análise dos Dados

2.1. Carregamento dos Pacotes

Inicialmente, são carregados os pacotes do R necessários para a análise. O pacote ggplot2 é utilizado para a visualização gráfica e LikRatioTest contém a função para o Teste da Razão de Verossimilhanças.

library(ggplot2)
library(LikRatioTest)

2.2. Conjunto de Dados

Foi utilizado o conjunto de dados rivers, que já vem instalado no R. Ele contém o comprimento, em milhas, de 141 dos principais rios da América do Norte. São dados contínuos e positivos.

dados <- rivers
summary(dados)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   135.0   310.0   425.0   591.2   680.0  3710.0
hist(dados, main="Histograma do Comprimento dos Rios", xlab="Comprimento (milhas)", col="steelblue")

O histograma mostra uma distribuição unimodal com uma assimetria positiva (ou à direita), onde a maioria dos rios tem comprimentos menores e alguns poucos rios são extremamente longos.

3. Metodologia 1: Inferência Baseada na Teoria Assintótica

Esta seção adapta a lógica do arquivo Teste_Z.R. A abordagem consiste em encontrar os EMVs numericamente e usar a matriz de informação de Fisher (aproximada pela Hessiana) para calcular erros-padrão, intervalos de confiança e realizar o teste de Wald (Teste Z).

3.1. Estimação de Máxima Verossimilhança

Para encontrar os estimadores de máxima verossimilhança (EMV) para os parâmetros \(\alpha\) (forma) e \(\beta\) (taxa), definimos a função de log-verossimilhança negativa e a minimizamos utilizando a função optim.

lvero_gamma <- function(theta, y) {
  alpha <- theta[1]
  beta <- theta[2]
  if (alpha <= 0 || beta <= 0) return(1e9)
  -sum(dgamma(y, shape = alpha, rate = beta, log = TRUE))
}

modelo_gama_optim <- optim(
  par = c(2, 0.01), 
  fn = lvero_gamma, 
  y = dados,
  hessian = TRUE
)

# EMVs
emv_alpha <- modelo_gama_optim$par[1]
emv_beta <- modelo_gama_optim$par[2]

Os valores estimados para os parâmetros foram: - \(\hat{\alpha}\) (forma): 2.5794 - \(\hat{\beta}\) (taxa): 0.0044

3.2. Intervalos de Confiança Assintóticos

Com base na normalidade assintótica do EMV, onde \(\hat{\theta} \approx N(\theta, I(\hat{\theta})^{-1})\), construímos os intervalos de confiança.

asy_conf_int_gamma <- function(mod, conf = 0.95) {
  vcov <- solve(mod$hessian)
  erros_padrao <- sqrt(diag(vcov))
  z_critico <- qnorm(p = (1 - conf) / 2, lower.tail = FALSE)
  LI <- mod$par - z_critico * erros_padrao
  LS <- mod$par + z_critico * erros_padrao
  
  cat(paste0("IC 95% para alpha: [", round(LI[1], 4), "; ", round(LS[1], 4), "]\n"))
  cat(paste0("IC 95% para beta:  [", round(LI[2], 4), "; ", round(LS[2], 4), "]\n"))
}

asy_conf_int_gamma(modelo_gama_optim)
## IC 95% para alpha: [2.0912; 3.0676]
## IC 95% para beta:  [0.0035; 0.0052]

Interpretação: Com 95% de confiança, espera-se que o verdadeiro valor do parâmetro de forma (\(\alpha\)) esteja contido no intervalo acima. O mesmo se aplica ao parâmetro de taxa (\(\beta\)).

3.3. Teste de Hipótese (Teste de Wald)

O Teste de Wald (ou Teste Z assintótico) é utilizado para testar hipóteses sobre os parâmetros. A seguir, testamos a hipótese nula \(H_0: \theta = \theta_0\) com valores plausíveis.

z_test_gamma <- function(theta0, mod) {
  theta_hat <- mod$par
  stand_error <- sqrt(diag(solve(mod$hessian)))
  Statistic <- (theta_hat - theta0) / stand_error
  p_valor <- 2 * pnorm(-abs(Statistic))
  
  result <- cbind(theta_hat, stand_error, Statistic, p_valor)
  colnames(result) <- c("Estimativa", "Erro Padrão", "Estat Z", "p-valor")
  rownames(result) <- c("alpha", "beta")
  knitr::kable(result, digits = 5, caption = "Resultado do Teste de Wald")
}

# alpha = 2.55 e beta = 0.0043
z_test_gamma(theta0 = c(2.55, 0.0043), mod = modelo_gama_optim)
Resultado do Teste de Wald
Estimativa Erro Padrão Estat Z p-valor
alpha 2.57943 0.24908 0.11814 0.90595
beta 0.00436 0.00044 0.14442 0.88517

Para um nível de significância de 5% (\(\alpha_{sig} = 0.05\)), observamos que os p-valores para ambos os parâmetros são maiores que 0.05. Portanto, não há evidências para rejeitar a hipótese nula de que \(\alpha=2.55\) e \(\beta=0.0043\). Isso indica que esses valores são plausíveis para os verdadeiros parâmetros da distribuição que gerou os dados.

3.4. Gráfico de Ajuste do Modelo

Para avaliar visualmente a qualidade do ajuste, sobrepomos a curva da densidade Gama com os parâmetros estimados ao histograma dos dados.

dados_plot <- data.frame(y = dados)
x_seq <- seq(min(dados), max(dados), length.out = 500)
dens_gama <- dgamma(x_seq, shape = emv_alpha, rate = emv_beta)
dens_plot <- data.frame(x = x_seq, k = dens_gama)

ggplot() +
  geom_histogram(
    data = dados_plot, aes(x = y, y = after_stat(density)),
    colour = "black", fill = "steelblue", alpha = 0.7, bins = 15
  ) +
  geom_line(
    data = dens_plot, aes(x = x, y = k, color = "Gama"), size = 1
  ) +
  theme_minimal(base_size = 12) +
  labs(
    title = "Ajuste da Distribuição Gama ao Comprimento dos Rios",
    y = "Densidade", x = "Comprimento (milhas)", color = "Modelo"
  ) +
  scale_color_manual(values = c("Gama" = "darkred"))

O gráfico confirma a adequação do modelo. A curva da densidade Gama estimada se ajusta bem ao histograma, seguindo a tendência central e a assimetria dos dados.

4. Metodologia 2: Teste da Razão de Verossimilhanças (LRT)

Para reproduzir a lógica do arquivo LRT.R, utilizamos o pacote LikRatioTest para calcular a estatística do Teste da Razão de Verossimilhanças. A estatística \(-2 \log(\lambda)\) segue assintoticamente uma distribuição \(\chi^2\).

4.1. Função de Densidade

A função de densidade de probabilidade (FDP) é definida na estrutura exigida pelo pacote.

pdf_gamma <- function(par, x, var = NULL){
  alpha <- par[1] 
  beta <- par[2]  
  if (is.list(var)) eval(parse(text = paste(var[[1]], " <- ", unlist(var[[2]]), sep = "")))
  dgamma(x, shape = alpha, rate = beta)
}

4.2. Teste de Hipótese para \(\alpha\)

Testamos a hipótese nula \(H_0: \alpha = 2.55\) contra \(H_1: \alpha \neq 2.55\).

alpha0 <- 2.55
chisq_calc_alpha <- lrt(f = pdf_gamma, data = dados, kicks = c(2, 0.01), par0 = list("alpha", alpha0))
p_valor_alpha <- pchisq(chisq_calc_alpha, df = 1, lower.tail = FALSE)

round(chisq_calc_alpha, 4)
## [1] 0.0099
p_valor_alpha
## [1] 0.920654

O p-valor obtido (p > 0.05) indica que não temos evidências para rejeitar \(H_0\). Este resultado é consistente com o Teste de Wald, sugerindo que \(\alpha=2.55\) é um valor plausível.

4.3. Teste de Hipótese para \(\beta\)

Testamos a hipótese nula \(H_0: \beta = 0.0043\) contra \(H_1: \beta \neq 0.0043\).

beta0 <- 0.0043
chisq_calc_beta <- lrt(f = pdf_gamma, data = dados, kicks = c(2, 0.01), par0 = list("beta", beta0))
p_valor_beta <- pchisq(chisq_calc_beta, df = 1, lower.tail = FALSE)

round(chisq_calc_beta, 4)
## [1] 0.0133
p_valor_beta
## [1] 0.9083108

Novamente, o p-valor é alto (p > 0.05), e não rejeitamos \(H_0\). O valor \(\beta=0.0043\) é considerado plausível pelo teste.

4.4. Teste de Hipótese Conjunto

Testamos a hipótese nula conjunta \(H_0: \alpha = 2.55, \beta = 0.0043\).

chisq_calc_ambos <- lrt(f = pdf_gamma, data = dados, kicks = c(2, 0.01), par0 = list(c("alpha", "beta"), c(alpha0, beta0)))
p_valor_ambos <- pchisq(chisq_calc_ambos, df = 2, lower.tail = FALSE)

round(chisq_calc_ambos, 4)
## [1] 0.0134
p_valor_ambos
## [1] 0.9933303

A estatística de teste para a hipótese conjunta também resulta em um p-valor alto. Portanto, não rejeitamos a hipótese nula conjunta, confirmando que os valores \(\alpha = 2.55\) e \(\beta = 0.0043\) são conjuntamente plausíveis para o modelo.

5. Conclusão

Este trabalho realizou com sucesso a aplicação de duas metodologias de inferência fundamentais baseadas em máxima verossimilhança. A escolha do conjunto de dados rivers mostrou-se adequada para a modelagem com a distribuição Gama, como confirmado pela análise visual do histograma e pela alta qualidade do ajuste do modelo.

Tanto os testes de Wald quanto os Testes da Razão de Verossimilhanças levaram às mesmas conclusões para as hipóteses formuladas, não rejeitando os valores hipotéticos plausíveis para os parâmetros \(\alpha\) e \(\beta\). A consistência entre os métodos e a forte aderência do modelo aos dados validam a análise. O trabalho cumpriu todos os requisitos propostos, desde a escolha de uma distribuição com dois parâmetros até a aplicação das teorias de Teste_Z.R e LRT.R , utilizando uma amostra real.