1. La méthode Chain Ladder

La méthode Chain Ladder est de loin la plus couramment utilisée par les compagnies d’assurance et de réassurance, notamment du fait de sa facilité de mise en œuvre.

Le principe de cette méthode repose sur l’utilisation de facteurs de développement (aussi appelés link-ratios ou coefficients de passage).
L’idée est que les montants cumulés d’une année de développement sont directement proportionnels aux montants cumulés de l’année précédente, grâce à un facteur de développement de l’année de développement \(j\) à \(j+1\) (noté \(f_j\)).

Cela revient à écrire :

\[ C_{i,j+1} = f_j \cdot C_{i,j} \quad \text{pour } j = 0 \text{ à } n - 1 \]

Les années de survenance \(i\) sont indépendantes entre elles.
Les facteurs de développement \(f_j\) peuvent être estimés, à l’aide des observations, par le rapport des totaux relatifs aux éléments communs de deux colonnes successives, c’est-à-dire par :

\[ \hat{f}_j = \frac{ \sum_{i=0}^{n-j-1} C_{i,j+1} }{ \sum_{i=0}^{n-j-1} C_{i,j} } \quad \text{pour } j = 0, \dots, n-1 \]

À partir de ces facteurs de développement, il est alors possible de compléter le triangle inférieur.

Nous estimons alors :

\[ C_{i,j+1} = f_j \cdot C_{i,j} \quad \text{pour } i + j > n \]

\[ C_{i,n} = (f_{n-i} \cdot \dots \cdot f_{i-1}) \cdot C_{i,n-i} \]

Ainsi, le montant de la provision à constituer pour l’année de survenance \(i\) est calculé par différence entre les montants ultimes estimés et les derniers montants connus (correspondant à la dernière diagonale) :

\[ \hat{R}_i = C_{i,n} - C_{i,n-i} = C_{i,n-i} \cdot \left( f_{n-i} \cdot \dots \cdot f_{i-1} - 1 \right) \]

L’estimation du montant total des provisions, notée \(\hat{R}\), est obtenue en sommant les provisions de chaque année de survenance.

Application

library(ESG)
library(readxl)
library(ggplot2)
library(dplyr)
library(DT)
library(kableExtra)

Le d-triangle

Le triangle formé des facteurs individuels \(f_{i,j}\) est appelé d-triangle. L’hypothèse sous-jacente à cette méthode n’est acceptable que si les éléments de chaque colonne de ce triangle sont sensiblement constants.

\[ f_{i,j} = \frac{C_{i,j+1}}{C_{i,j}} \quad \text{pour } 0 \leq i,j \leq n-1 \]

Reprenons l’exemple précédent :