Paquetes
# Verificar, instalar y activar el paquete "tidyverse"
if (!require(tidyverse)) {
install.packages("tidyverse")
}
library(tidyverse)
# Verificar, instalar y activar el paquete "kableExtra"
if (!require(kableExtra)) {
install.packages("kableExtra")
}
library(kableExtra)Modelos Discretos de Probabilidad: Herramientas Matemáticas para Decisiones en la Incertidumbre
La teoría de la probabilidad constituye un pilar esencial en el análisis de fenómenos aleatorios, donde los resultados no son deterministas pero pueden cuantificarse mediante herramientas matemáticas. Los modelos discretos de probabilidad se enfocan en variables aleatorias que adoptan valores finitos o infinitos pero contables, como el número de éxitos en una serie de experimentos, la cantidad de fallas en un proceso productivo o las visitas a un sitio web en una hora determinada.
Estos modelos no solo son fundamentales en la investigación académica, sino también en aplicaciones prácticas dentro de campos como la inteligencia artificial, la logística, las finanzas y el control de calidad. En este contexto, exploraremos modelos probabilísticos clave, entre los que destacan:
Distribución Binomial: Para modelar conteos de éxitos en ensayos independientes con probabilidad fija.
Distribución de Poisson: Útil para analizar la frecuencia de eventos raros en intervalos de tiempo o espacio.
Distribución Hipergeométrica: Aplicable en escenarios de muestreo sin reemplazo.
Distribución Geométrica: Ideal para calcular el número de intentos hasta el primer éxito.
Cada uno de estos modelos ofrece un marco teórico robusto para interpretar la incertidumbre en datos discretos, facilitando la optimización de procesos y la predicción de comportamientos en entornos dinámicos. A lo largo de este estudio, profundizaremos en sus propiedades, aplicaciones y metodologías de cálculo, proporcionando así herramientas sólidas para la toma de decisiones basada en evidencia estadística.
Una variable aleatoria discreta} es aquella que solo puede tomar un número finito o numerable de valores. Su comportamiento se describe mediante la función de masa de probabilidad (fmp)}, que asigna a cada valor $x_i $ la probabilidad p_i de que la variable tome ese valor
P(X = x_i) = p_i
La suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1:
\sum_{i} p_i = 1
La función de distribución acumulada} permite calcular la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual a un cierto número:
F(x) = P(X \leq x)
Medidas Fundamentales: Esperanza y Varianza
Para describir el comportamiento de una variable aleatoria discreta se utilizan medidas como la esperanza matemática (media) y la (varianza:
Esperanza (media):
\mu = E[X] = \sum_i x_i p_i
-Varianza:
\sigma^2 = \sum_i (x_i - \mu)^2 p_i
Relevancia y Usos Prácticos
El manejo de estos modelos estadísticos posibilita abordar diversas situaciones cotidianas: desde determinar la probabilidad de asistencia estudiantil hasta evaluar la ocurrencia de incidentes, fallas en manufactura o emergencias médicas. La aplicación efectiva requiere:
Reconocer las características específicas de cada escenario
Seleccionar el modelo probabilístico correspondiente
Utilizar los cálculos apropiados para obtener resultados confiables
Estas técnicas representan instrumentos valiosos para interpretar y anticipar fenómenos aleatorios, brindando soporte cuantitativo para elegir las mejores opciones en entornos con variables impredecibles. Su aprendizaje resulta fundamental en la preparación técnica y en el ejercicio profesional basado en datos.
Se sabe que el 60% de los alumnos de una universidad asisten a clases el viernes. En una encuesta a 8 alumnos de la universidad.
Para $X = 7 $
P(X = 7) = \binom{8}{7} (0.60)^7 (0.40)^1 = 8 \times 0.0279936 \times 0.40 \approx 0.0896 Para $ X = 8 $
P(X = 8) = \binom{8}{8} (0.60)^8 (0.40)^0 = 1 \times 0.01679616 \times 1 \approx 0.0168
Probabilidad total
P(X \geq 7) = P(X = 7) + P(X = 8) \approx 0.0896 + 0.0168 = 0.1064
Respuesta: La probabilidad de que por lo menos siete alumnos asistan a clase el viernes es aproximadamente 10.64%.
Por lo menos dos no asistan” es equivalente a “a lo sumo seis asistan”, es decir, $ X≤6 $
Calculamos $ P(X≤6)$
P(X \leq 6) = 1 - P(X \geq 7) = 1 - 0.1064 = 0.8936
Respuesta: La probabilidad de que por lo menos dos alumnos no asistan a clase es aproximadamente 89.36%.
Representa el número de alumnos que asisten a clases el viernes de los 8 encuestados, siguiendo una distribución binomial con n=8 y p=0.60 a), se calculó P(X≥7) 10.64%, mientras que para el literal b), “por lo menos dos no asistan” equivale a P(X≤6) 89.36%. Estos resultados se derivan directamente de las propiedades de la distribución binomial.
Según los registros universitarios fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso. ¿cuál es la probabilidad de que, de 6 estudiantes seleccionados al azar, menos de 3 hayan fracasado?
Tenemos una distribución binomial donde:
n=6 (estudiantes seleccionados)
p=0.05 (probabilidad de fracasar)
X: Número de estudiantes que fracasan (X=0,1,2,…,6)
Se pide calcular: P(X < 3) = P(X \leq 2)
Fórmula de distribución binomial P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Para X = 0: P(X=0) = \binom{6}{0} (0.05)^0 (0.95)^6 = 1 \times 1 \times 0.7351 \approx 0.7351 \quad (73.51\%)
Para X = 1: P(X=1) = \binom{6}{1} (0.05)^1 (0.95)^5 = 6 \times 0.05 \times 0.7738 \approx 0.2321 \quad (23.21\%)
X = 2: P(X=2) = \binom{6}{2} (0.05)^2 (0.95)^4 = 15 \times 0.0025 \times 0.8145 \approx 0.0305 \quad (3.05\%)
Probabilidad total: P(X < 3) = 0.7351 + 0.2321 + 0.0305 = 0.9977
*La probabilidad de que menos de 3 estudiantes hayan fracasado es del 99.77%
En promedio, el 10% de las varillas de madera usadas en cierto producto presentan problemas para ser usadas. ¿cuál es la probabilidad de que en un paquete de 15 varillas
Distribución binomial
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
P(X=5) = \binom{15}{5} (0.10)^5 (0.90)^{10}
\begin{align*} \binom{15}{5} &= 3003 \\ (0.10)^5 &= 0.00001 \\ (0.90)^{10} &\approx 0.3487 \\ P(X=5) &= 3003 \times 0.00001 \times 0.3487 \approx 0.0105 \quad \boxed{1.05\%} \end{align*}
\begin{align*} P(X=10) &\approx 1.77 \times 10^{-7} \quad (0.0000177\%) \\ P(X=11) &\approx 8.95 \times 10^{-9} \quad (0.000000895\%) \\ P(X \geq 10) &\approx \boxed{1.86 \times 10^{-7}} \quad (0.0000186\%) \end{align*}
Suma total aproximada
P(X \geq 10) \approx 1.77 \times 10^{-7} + 8.95 \times 10^{-9} + 3.32 \times 10^{-10} \approx \boxed{1.86 \times 10^{-7}} = 0.0000186\%)
P(X \leq 4) = \sum_{k=0}^4 P(X=k)
\begin{align*} P(X=0) &= \binom{15}{0} (0.10)^0 (0.90)^{15} \approx 0.2059 \\ P(X=1) &= \binom{15}{1} (0.10)^1 (0.90)^{14} \approx 0.3432 \\ P(X=2) &= \binom{15}{2} (0.10)^2 (0.90)^{13} \approx 0.2669 \\ P(X=3) &= \binom{15}{3} (0.10)^3 (0.90)^{12} \approx 0.1285 \\ P(X=4) &= \binom{15}{4} (0.10)^4 (0.90)^{11} \approx 0.0428 \\ P(X \leq 4) &\approx 0.2059 + 0.3432 + 0.2669 + 0.1285 + 0.0428 = \boxed{98.73\%} \end{align*}
*La probabilidad de que no mas esten 4 nudosas es del 98.73%
El análisis confirma que, con una tasa de defectos del 10%, es altamente probable encontrar pocas varillas defectuosas en un paquete de 15, mientras que la probabilidad de encontrar muchas defectuosas es casi nula.
Una compañía de seguros considera que alrededor del 25% de los carros se accidentan cada año. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 de una muestra de 7 vehículos asegurados, se haya accidentado?
Fórmula de la distribución binomial
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
n=7 (número de vehículos)
p=0.25 (probabilidad de que un vehículo se accidente)
k es el número de vehículos accidentados
Queremos calcular la probabilidad de que por lo menos 3 vehículos se accidenten:
P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7)
Calcular cada termino
Para k = 3:
P(X = 3) = \binom{7}{3} \cdot (0.25)^3 \cdot (0.75)^4 = 35 \cdot 0.015625 \cdot 0.31640625 \approx 0.173
Para k = 4
P(X = 4) = \binom{7}{4} \cdot (0.25)^4 \cdot (0.75)^3 = 35 \cdot 0.00390625 \cdot 0.421875 \approx 0.058
Para k = 5
P(X = 5) = \binom{7}{5} \cdot (0.25)^5 \cdot (0.75)^2 = 21 \cdot 0.0009765625 \cdot 0.5625 \approx 0.012
Para k = 6
P(X = 6) = \binom{7}{6} \cdot (0.25)^6 \cdot (0.75)^1 = 7 \cdot 0.000244140625 \cdot 0.75 \approx 0.001 Para k = 7
P(X = 7) = \binom{7}{7} \cdot (0.25)^7 \cdot (0.75)^0 = 1 \cdot 0.00006103515625 \cdot 1 \approx 0.000
Suma de la probabilidad
P(X \geq 3) \approx 0.173 + 0.058 + 0.012 + 0.001 + 0.000 = 0.244
*La probabilidad de que por lo menos 3 de los 7 vehículos se hayan accidentado es aproximadamente 24.4%.
el número de vehículos accidentados en una muestra de 7, sigue una distribución binomial con parámetros n=7 (ensayos) y p=0.25 (probabilidad de éxito por ensayo). Esto permite calcular probabilidades específicas, como P(X≥3), utilizando propiedades de la distribución binomial.
Los registros muestran que 30% de los pacientes admitidos en una clínica, no pagan sus facturas y eventualmente se condona la deuda. Suponga que llegan 4 nuevos pacientes a la clínica.
A. , cual es la probabilidad de que se tenga que perdonar la deuda de uno de los cuatro.
P(X = 1) = \binom{4}{1} (0.30)^1 (0.70)^{3} = 4 \times 0.30 \times 0.343 = 0.4116 \quad \text{(41.16\%)} \boxed{P(X=1) = 0.4116}
La probabilidad de que 1 de 4 no paque es del 41.16 %
P(X = 0) = \binom{4}{0} (0.30)^0 (0.70)^{4}
= 1 \times 1 \times 0.2401 = 0.2401 \quad \text{(24.01\%)} \boxed{P(X=0) = 0.2401}
La probabilidad de que todos paquen es del 24.01%
El conmutador de un hospital recibe en promedio 20 llamadas cada dos minutos. Cuál es la probabilidad de que lleguen como máximo dos llamadas en un periodo de 15 segundos.
Promedio original: 20 llamadas cada 2 minutos (120 segundos).
Nuevo intervalo: 15 segundos.
\lambda = 20 \times \frac{15}{120} = 2.5 \text{ llamadas/15 segundos}
Formula de poisson
Para P(X \leq 2):
P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
Donde P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} Calculo de probabilidades
\begin{align*} P(X=0) &= \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^0}{0!} = e^{-2.5} \approx 0.0821 \\ P(X=1) &= \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^1}{1!} = 2.5e^{-2.5} \approx 0.2052 \\ P(X=2) &= \frac{e^{-2.5} \cdot 2.5^2}{2!} = \frac{6.25e^{-2.5}}{2} \approx 0.2565 \end{align*}
Suma de probabilidades P(X \leq 2) \approx 0.0821 + 0.2052 + 0.2565 = 0.5438 \quad (54.38\%)
La probabilidad de que lleguen como máximo 2 llamadas en 15 segundos es: \boxed{0.5438}
La variable aleatoria X representa el número de llamadas recibidas en 15 segundos y sigue una distribución de Poisson con parámetro λ=2.5. Esto permite calcular probabilidades de eventos raros (como P(X≤2)≈54.38%) en intervalos de tiempo fijos.
Ajustar la tasa (λ) a media hora:
\lambda = 6.8 \times 0.5 = 3.4 \text{ clientes/0.5 hora} Calcular P(X \geq 2)
P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)
Formula de poisson P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}
Calculamos \begin{align*} P(X=0) &= e^{-3.4} \approx 0.0334 \\ P(X=1) &= 3.4e^{-3.4} \approx 0.1134 \\ P(X \geq 2) &= 1 - 0.0334 - 0.1134 = 0.8532 \quad (85.32\%) \end{align*}
\boxed{0.8532}
Tasa (λ) para 1 hora:
\lambda = 6.8 \text{ clientes/hora}
Calcular P(X > 1) P(X > 1) = 1 - P(X=0) - P(X=1)
\begin{align*} P(X=0) &= e^{-6.8} \approx 0.0011 \\ P(X=1) &= 6.8e^{-6.8} \approx 0.0075 \\ P(X > 1) &= 1 - 0.0011 - 0.0075 = 0.9914 \quad (99.14\%) \end{align*}
\boxed{0.9914}
La variable aleatoria X representa el número de clientes que llegan a la exhibición en un intervalo de tiempo específico y sigue una distribución de Poisson con parámetro λ (tasa promedio ajustada al intervalo).
Para media hora: λ=3.4 → P(X≥2)≈85.3%.
Para una hora: λ=6.8 → P(X>1)≈99.1%.
El número promedio de urgencias que llega a un hospital en una hora es de 12. Cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen por lo menos 2 urgencias.
¿Cuál es el número de urgencias esperado por minuto?
Calcular la tasa (λ) por minuto
Promedio por hora: 12 urgencias/hora Promedio por minuto:
\lambda = \frac{12\ \text{urgencias/hora}}{60\ \text{minutos}} = 0.2\ \text{urgencias/minuto}
-Probabilidad de que lleguen ≥2 urgencias en 1 minuto
P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) donde
P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
calculamos cada terminos
\begin{align*} P(X=0) &= \frac{e^{-0.2} \cdot 0.2^0}{0!} = e^{-0.2} \approx 0.8187 \\ P(X=1) &= \frac{e^{-0.2} \cdot 0.2^1}{1!} = 0.2 \cdot e^{-0.2} \approx 0.1637 \\ P(X \geq 2) &= 1 - 0.8187 - 0.1637 = \boxed{0.0176} \quad (1.76\%) \end{align*}
Numero esperado de urgencia por minuto
E[X] = \lambda = \boxed{0.2}\ \text{urgencias/minuto}
La variable aleatoria X (número de urgencias por minuto) sigue una distribución de Poisson con λ=0.2. Los resultados muestran que:
La probabilidad de recibir 2 o más urgencias en un minuto es baja (≈1.76%).
El número esperado de urgencias por minuto es 0.2.
Las estadísticas indican que en una fábrica se presentan en promedio 10 accidentes por trimestre. Determine la probabilidad de que no haya más de 12 accidentes en el último trimestre
-Parámetros de la distribución Promedio de accidentes por trimestre (λ): 10
Variable aleatoria (X): Número de accidentes en un trimestre.
Distribución: X∼Poisson(λ=10)
Calculamos la probabilidad
Queremos encontrar P(X \leq 12). Para una distribución de Poisson:
P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda} \lambda^i}{i!}
Sustituyendo \lambda = 10 y k = 12:
P(X \leq 12) = \sum_{i=0}^{12} \frac{e^{-10} \cdot 10^i}{i!}
El calculo exacto requiere evaluar cada termino
\begin{align*} P(X=0) &= \frac{e^{-10} \cdot 10^0}{0!} \approx 0.000045 \\ P(X=1) &= \frac{e^{-10} \cdot 10^1}{1!} \approx 0.000454 \\ &\vdots \\ P(X=12) &= \frac{e^{-10} \cdot 10^{12}}{12!} \approx 0.094780 \\ \end{align*}
la suma de todas las probabilidades da P(X \leq 12) \approx \boxed{0.7916} \quad \text{(79.16\%)} -Interpretacción:
Con un promedio de 10 accidentes/trimestre, hay un 79.16% de probabilidad de que el número de accidentes no exceda 12.
Esto indica que es relativamente común que los accidentes se mantengan cerca del promedio (entre 10 y 12 por trimestre).
El número de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos de un hospital en un día cualquiera, es de 5 personas diarias.
¿Cuál es la probabilidad de que el número de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos en un día particular sea menor o igual a 2 personas?
-Cálculo de P(X≤2):
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!} Donde:
λ=5 (tasa promedio diaria).
k=0,1,2 (número de ingresos).
-Cálculo de probabilidades individuales:
\begin{align*} P(X=0) &= \frac{e^{-5} \cdot 5^0}{0!} = e^{-5} \approx 0.0067 \end{align*}
para k= 1 \begin{align*}P(X=1) &= \frac{e^{-5} \cdot 5^1}{1!} = 5e^{-5} \approx 0.0337 \end{align*}
para k = 2
\begin{align*} P(X=2) &= \frac{e^{-5} \cdot 5^2}{2!} = \frac{25e^{-5}}{2} \approx 0.0842 \end{align*}
-suma de probabilidades
P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \approx 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 = 0.1246
Interpretación
La probabilidad de que ingresen 2 o menos pacientes a cuidados intensivos en un día (con un promedio de 5/día) es del 12.46%, lo que indica que es un evento poco frecuente. Esto ayuda a anticipar días con baja demanda de recursos en la UCI.
Un jefe de almacén sabe que 6 de las 25 bicicletas que tiene para la venta presentan fallas en los frenos y necesitan ajuste. Si el vendedor que no tenía conocimiento de lo anterior vendió en el día 4 bicicletas
¿cuál es la probabilidad de que vendiera dos de las que requerían ajuste?
Fórmula de la Distribución Hipergeométrica:
P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \cdot \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}
Donde:
N=25 (total de bicicletas). K=6 (bicicletas con fallas). n=4 (bicicletas vendidas). k=2 (bicicletas con fallas vendidas).
-Cálculo de la Probabilidad:
Combinaciones posibles:
Número de formas de elegir 2 bicicletas con fallas de 6:
\begin{align*} \binom{6}{2} &= 15 \\\end{align*}
Número de formas de elegir 2 bicicletas sin fallas de 19:
\begin{align*}\binom{19}{2} &= 171 \\\end{align*}
Número total de formas de elegir 4 bicicletas de 25:
\begin{align*}\binom{25}{4} &= 12,\!650 \end{align*}
-Aplicar la fórmula:
P(X = 2) = \frac{15 \times 171}{12,\!650} = \frac{2,\!565}{12,\!650} \approx 0.2028
-Interpretación
Hay un 20.28% de probabilidad de que, al vender 4 bicicletas al azar, exactamente 2 de ellas requieran ajuste en los frenos
De un grupo de 20 ingenieros con doctorado, se seleccionan 10 para un alto cargo de una compañía.
¿Cuál es la probabilidad de que los 10 seleccionados incluya a los 5 ingenieros que tienen las mejores calificaciones del grupo de 20?
Datos:
Total de ingenieros: 20.
Seleccionados para el cargo: 10.
Mejores ingenieros (que deben ser incluidos): 5.
Cálculo de la Probabilidad:
Total de formas posibles de seleccionar 10 ingenieros de 20
P = \frac{\text{Número de casos favorables}}{\text{Número de casos totales}}
\text{Total} = \binom{20}{10} = 184,\!756
Casos favorables
Para incluir exactamente a los 5 mejores:
\text{Combinaciones favorables} = \binom{5}{5} \times \binom{15}{5} = 1 \times \binom{15}{5}
Explicación:
Se eligen los 5 mejores (solo hay 1 forma, pues \binom{5}{5} = 1)
Se eligen 5 adicionales de los 15 restantes.
Probabilidad:
P = \frac{\text{Favorables}}{\text{Totales}} = \frac{\binom{15}{5}}{\binom{20}{10}}
-Cálculo numérico:
\binom{15}{5} = 3,\!003 \quad \text{y} \quad \binom{20}{10} = 184,\!756
P = \frac{3,\!003}{184,\!756} \approx 0.01625 \quad (1.625\%)
La probabilidad de que los 10 seleccionados incluyan exactamente a los 5 mejores ingenieros es: 0.01625(1.625%)
Interpretación
Es un evento poco probable (aprox. 1.6% de probabilidad), lo que refleja la dificultad de seleccionar aleatoriamente a todos los mejores candidatos en un grupo grande.
Destaca la importancia de usar criterios de selección más allá del azar para cargos de alto nivel.
Un almacén contiene diez maquinas impresoras, cuatro de las cuales están defectuosas. Una compañía selecciona al azar cinco de las maquinas, pensando que todas están en condiciones de trabajar
¿cuál es la probabilidad de que las cinco maquinas estén en buen estado?
Datos:
Total de impresoras: 10
Defectuosas: 4
En buen estado: 6
Selección aleatoria: 5 máquinas
Cálculo de la Probabilidad: Total de formas posibles de seleccionar 5 máquinas de 10:
\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} = 252
Formas favorables (seleccionar 5 máquinas en buen estado de las 6 disponibles)
\begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix} = 6
Nota: \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix} = 1 para las defectuosas no seleccionadas).
-Probabilidad de que las 5 máquinas estén en buen estado:
P = \frac{\begin{pmatrix}6\\5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}} = \frac{6 \times 1}{252} = \frac{6}{252} = \frac{1}{42} \approx 0.0238 \quad (2.38\%)
La probabilidad de que las 5 máquinas seleccionadas estén en buen estado es:
≈0.0238(2.38%)
Intervación:
Es un evento poco probable (solo 2.38% de probabilidad), lo que refleja el alto riesgo de seleccionar máquinas defectuosas si no se verifica su estado.
Destaca la importancia de inspeccionar el almacén antes de realizar selecciones aleatorias.
En promedio una casa de cada 2000 en cierta zona de Barranquilla se incendia durante el año, si hay 6000 casas en dicha zona ¿Cuál es la probabilidad de que más de 3 casas se incendien durante el año?
Pasos para la solución: Determinar la tasa promedio (λ):
Promedio de incendios por casa al año: \frac{1}{2000}
Para 6000 casas:
\lambda = 6000 \times \frac{1}{2000} = 3 \text{ incendios/año}
Calcular P(X>3):
Usamos el complemento para simplificar
P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3)
Donde
P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
Cálculo de probabilidades individuales:
\begin{align*} P(X=0) &= \frac{e^{-3} \cdot 3^0}{0!} \approx 0.0498 \\\end{align*}
para k = 1 \begin{align*}P(X=1) &= \frac{e^{-3} \cdot 3^1}{1!} \approx 0.1494 \\\end{align*}
para k = 2 \begin{align*}P(X=2) &= \frac{e^{-3} \cdot 3^2}{2!} \approx 0.2240 \\\end{align*}
para k = 3 \begin{align*}P(X=3) &= \frac{e^{-3} \cdot 3^3}{3!} \approx 0.2240 \end{align*}
-Suma de probabilidades para P(X≤3):
P(X \leq 3) \approx 0.0498 + 0.1494 + 0.2240 + 0.2240 = 0.6472
-Probabilidad final
La probabilidad de que más de 3 casas se incendien durante el año es: \boxed{0.3528 \quad \text{(35.28\%)}}
La probabilidad de que más de 3 casas se incendien en un año es:
0.3528(35.28%)
Interpretación
La probabilidad del 35.28% indica un riesgo moderado de que ocurran más de 3 incendios al año en la zona.
Este resultado es útil para evaluar la necesidad de medidas preventivas o de seguros contra incendi
La probabilidad de que un estudiante de aviación pase la prueba escrita para obtener su licencia de piloto privado es de 0.7.
encuentre la probabilidad de que una persona pase la prueba antes del cuarto intento
-Datos: Probabilidad de éxito (pasar el examen): p=0.7
Probabilidad de fracaso (no pasar el examen): q=1−p=0.3
Objetivo: Calcular la probabilidad de que una persona pase el examen antes del cuarto intento (es decir, en el 1º, 2º o 3º intento).
Cálculo de la Probabilidad: Fórmula de la distribución geométrica:
P(X = k) = q^{k-1} \cdot p
donde k es el número de intentos hasta el primer éxito.
Probabilidad de pasar antes del 4º intento:
P(X \leq 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)
Para k = 1
P(X = 1) = (0.3)^0 \cdot 0.7 = 0.7
Para k = 2
P(X = 2) = (0.3)^1 \cdot 0.7 = 0.21
Para k = 3
P(X = 3) = (0.3)^2 \cdot 0.7 = 0.063
P(X \leq 3) = 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973 \quad (97.3\%)
La probabilidad de que una persona pase el examen antes del cuarto intento es:
0.973(97.3%)
Interpretación
Es muy probable (97.3%) que el estudiante pase el examen en uno de los primeros tres intentos.
La distribución geométrica captura perfectamente este escenario de “éxito en intentos sucesivos”.
La experiencia mostró que, en promedio, solamente uno de diez pozos perforados llega a producir petróleo.
Cuál es la probabilidad de que necesite ocho perforaciones para encontrar petróleo.
Este es un problema de distribución geométrica, que modela el número de intentos necesarios hasta obtener el primer éxito en una serie de ensayos independientes con probabilidad constante de éxito.
-Probabilidad de éxito (p): Dado que 1 de cada 10 pozos produce petróleo, la probabilidad de éxito en una perforación es
p = \frac{1}{10} = 0.1
Probabilidad de fracaso (q): q = 1 - p = 1 - 0.1 = 0.9 Fórmula de la distribución geométrica:
Para que el primer éxito ocurra en el intento k, la probabilidad es
P(X = k) = q^{k-1} \times p
Aplicación al problema ( k = 8 )Queremos que el primer éxito (encontrar petróleo) ocurra justo en la 8ª perforación. Esto significa que los primeros 7 intentos fueron fracasos, y el octavo es un éxito:
P(X = 8) = (0.9)^7 \times 0.1
-Calculamos
(0.9)^7 \approx 0.4783 \quad \Rightarrow \quad P(X = 8) = 0.4783 \times 0.1 = 0.04783 La probabilidad de necesitar exactamente 8 perforaciones para encontrar petróleo es aproximadamente 4.78%
Interpretación
La distribución geométrica es “sin memoria”, es decir, cada intento es independiente de los anteriores.
Este resultado refleja que, aunque la probabilidad de éxito en cada perforación es baja (10%), la probabilidad de que el éxito tarde hasta 8 intentos es del 4.78%.
En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una línea de ensamble. Se piensa que la proporción de unidades defectuosas es de 0.05.
¿Cuál es la probabilidad de que la vigésima unidad inspeccionada sea la segunda que se encuentre defectuosa?
-Identificar la distribución adecuada:
Distribución binomial negativa
Calcula la probabilidad de que se requieran k ensayos para obtener r éxitos.
Fórmula:
P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}
-Donde:
k= número total de ensayos (20). r= número de éxitos requeridos (2). p= probabilidad de éxito (defectuoso) = 0.05.
-Aplicar los valores al problema:
Queremos que la segunda unidad defectuosa aparezca exactamente en la 20ª inspección. Esto significa
En las primeras 19 unidades, hubo 1 defectuosa (éxito) y 18 no defectuosas (fracasos).
La 20ª unidad debe ser la segunda defectuosa.
Cálculo de combinaciones
\begin{pmatrix} 19 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{19!}{1! \cdot 18!} = 19
probabilidad
P(X = 20) = \begin{pmatrix} 19 \\ 1 \end{pmatrix} (0.05)^2 (0.95)^{18}
-Calcular numéricamente:
$$((0.05)^2 = 0.0025).
Multiplicando
P(X = 20) = 19 \times 0.0025 \times 0.3972 \approx 0.0189
La probabilidad de que la 20ª unidad sea la segunda defectuosa es: 1.89%
La distribución binomial negativa es útil para modelar “tiempos de espera” hasta un cierto número de éxitos.
Aquí, el 5% de defectos implica que es poco probable encontrar dos defectos en solo 20 unidades, de ahí la baja probabilidad (~1.89%).