1 . Instalar y activar paquetes

Ver código

if(!require(kableExtra)) {
  install.packages("kableExtra")}
library(kableExtra)

if(!require(tidyverse)) {
  install.packages("tidyverse")}
library(tidyverse)

if(!require(OneTwoSamples)) {
  install.packages("OneTwoSamples")}
library(OneTwoSamples)

if(!require(DescTools)) {
  install.packages("DescTools")}
library(DescTools)

2 . Intervalo de confianza

Los intervalos de confianza siguen la forma:

\hat{\Theta} \pm \text{MoE}

Donde

\begin{align*} \hat{\Theta} &= \text{estadístico o estimador} \\ \text{MoE} &= \text{margen de error} = SE \cdot \text{statcrit}_{1 - \alpha, \nu} \\ SE &= \text{error estándar} \\ 1 - \alpha &= \text{nivel de confianza} \\ \nu &= \text{grados de libertad} \end{align*}

Para distribuciones asimétricas los intervalos de confianza siguen la forma:

\hat{\theta}_i < \theta < \hat{\theta}_s

Donde

\begin{align*} \hat{\theta}_i &= \text{límite inferior} \\ \hat{\theta}_s &= \text{límite superior} \end{align*}

2.1 . Media de Varianza De Confianza

Una empresa fabricante de laptops afirma que la duración de las baterías de su modelo más reciente sigue una distribución normal con una desviación estándar poblacional de 1.2 horas. Para verificar esta afirmación, se toma una muestra aleatoria de 50 baterías y se obtiene una duración promedio muestral de 8.5 horas.

Datos

Desviación estándar poblacional (σ) = 1.2 horas.

Tamaño de la muestra (n) = 50 baterías.

Media muestral (x̄) = 8.5 horas.

Nivel de confianza = 95% → Z_{α/2} = 1.96 (valor crítico de la distribución normal estándar).

Fórmula del intervalo de confianza para la media (varianza conocida):

IC = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Cálculos:

Error estándar:

\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1.2}{\sqrt{50}} \approx 0.1697 \text{ horas.}

Margen de error:

Z_{\alpha/2} \cdot \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right) = 1.96 \times 0.1697 \approx 0.3326 \text{ horas.} Intervalo de confianza

IC = 8.5 \pm 0.3326 \Rightarrow (8.1674,\; 8.8326) \text{ horas.}

Ver código

# Configuración inicial
library(ggplot2)

# Datos del problema
media_muestral <- 8.5
sigma <- 1.2
n <- 50
error_estandar <- sigma / sqrt(n)
grados_libertad <- n - 1  # Para t-Student
nivel_confianza <- 0.95
alpha <- 1 - nivel_confianza

# Valores críticos
z_critico <- qnorm(1 - alpha/2)  # Normal (1.96)
t_critico <- qt(1 - alpha/2, df = grados_libertad)  # t-Student (~1.96 para n grande)

# Límites del intervalo de confianza
lim_inf <- media_muestral - t_critico * error_estandar
lim_sup <- media_muestral + t_critico * error_estandar

# Crear datos para las gráficas
x <- seq(media_muestral - 4 * error_estandar, 
         media_muestral + 4 * error_estandar, 
         length.out = 1000)

# Datos para la distribución normal (varianza conocida)
y_normal <- dnorm(x, mean = media_muestral, sd = error_estandar)

# Datos para la distribución t-Student (varianza desconocida, por comparación)
y_t <- dt((x - media_muestral) / error_estandar, df = grados_libertad) / error_estandar

# Dataframe para ggplot
df <- data.frame(x = x, y_normal = y_normal, y_t = y_t)

# Gráfica comparativa (t-Student vs Normal)
ggplot(df, aes(x = x)) +
  # Línea de la distribución normal
  geom_line(aes(y = y_normal, color = "Normal (σ conocida)"), linewidth = 1.2) +
  # Línea de la distribución t-Student
  geom_line(aes(y = y_t, color = "t-Student (σ desconocida)"), linewidth = 1.2, linetype = "dashed") +
  # Área sombreada para el IC (usando t-Student)
  geom_area(data = subset(df, x >= lim_inf & x <= lim_sup),
            aes(y = y_t, fill = "Intervalo de Confianza (95%)"), 
            alpha = 0.5) +
  # Líneas verticales para los límites del IC
  geom_vline(xintercept = c(lim_inf, lim_sup), linetype = "dotted", color = "red") +
  # Etiquetas y título
  labs(
    title = "Intervalo de Confianza del 95% para la Media",
    subtitle = paste("Media muestral =", media_muestral, "horas; n =", n),
    x = "Duración de baterías (horas)",
    y = "Densidad",
    color = "Distribución",
    fill = ""
  ) +
  scale_color_manual(values = c("blue", "darkgreen")) +
  scale_fill_manual(values = "skyblue") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "bottom")

Interpretación:

Con un 95% de confianza, se estima que la verdadera duración media (μ) de las baterías del modelo está entre 8.17 horas y 8.83 horas. Como el intervalo no incluye valores inferiores a 8.17 horas ni superiores a 8.83 horas, la empresa podría usar este resultado para validar o ajustar su afirmación sobre la duración promedio de las baterías.

2.2 . Media Varianza Desconocida

Una empresa desea estimar la duración promedio de las baterías de su nuevo modelo de laptop. No se conoce la desviación estándar poblacional. Se toma una muestra aleatoria de 30 baterías, obteniendo los siguientes resultados:

Duración promedio muestral (\bar{x}): 7.8 horas.

Desviación estándar muestral (s): 1.5 horas.

Se pide:

Calcular un intervalo de confianza del 95% para la verdadera duración media (μ) de las baterías.
Interpretar el resultado.

Datos:

Tamaño de muestra (n) = 30 (grados de libertad = n−1=29).

Media muestral (\bar{x}) = 7.8 horas.

Desviación estándar muestral (s) = 1.5 horas.

Nivel de confianza = 95% → α=0.05.

Intervalo de confianza para la media poblacional varianza desconocida

IC = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,n-1} \cdot \left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)

Cálculos:

Valor crítico t_{\alpha/2}:

Ver código

t_critico <- qt(0.975, df = 29)  # 2.04523

t_{0.025,\,29} \approx 2.045

Error estándar estimado:

\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{1.5}{\sqrt{30}} \approx 0.2739

Margen de error

t_{\alpha/2} \cdot \left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right) = 2.045 \times 0.2739 \approx 0.56 \text{ horas}

Intervalo de confianza

IC = 7.8 \pm 0.56 \Rightarrow (7.24,\; 8.36) \text{ horas}

Ver código

library(ggplot2)

# Datos del problema
media_muestral <- 7.8
s <- 1.5
n <- 30
grados_libertad <- n - 1
error_estandar <- s / sqrt(n)
t_critico <- qt(0.975, df = grados_libertad)  # 2.045

# Límites del IC
lim_inf <- media_muestral - t_critico * error_estandar
lim_sup <- media_muestral + t_critico * error_estandar

# Crear datos para la curva t-Student
x <- seq(media_muestral - 4 * error_estandar, 
         media_muestral + 4 * error_estandar, 
         length.out = 1000)
y_t <- dt((x - media_muestral) / error_estandar, df = grados_libertad) / error_estandar

# Dataframe para ggplot
df <- data.frame(x = x, y_t = y_t)

# Gráfica
ggplot(df, aes(x = x)) +
  geom_line(aes(y = y_t, color = "t-Student (σ desconocida)"), linewidth = 1.2) +
  geom_area(data = subset(df, x >= lim_inf & x <= lim_sup),
            aes(y = y_t, fill = "IC 95%"), alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = c(lim_inf, lim_sup), linetype = "dashed", color = "red") +
  geom_vline(xintercept = media_muestral, color = "blue") +
  labs(
    title = "Intervalo de Confianza del 95% (t-Student)",
    subtitle = paste("Media =", media_muestral, "horas; n =", n, "; s =", s),
    x = "Duración de baterías (horas)",
    y = "Densidad",
    color = "",
    fill = ""
  ) +
  scale_color_manual(values = "darkgreen") +
  scale_fill_manual(values = "skyblue") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "bottom")

Interpretación:

Con un 95% de confianza, la duración media real (μ) de las baterías está entre 7.24 y 8.36 horas. Como la empresa no conocía σ, usamos la distribución t-Student para mayor precisión.

2.3 . Proporción Poblacional

Una empresa de telecomunicaciones desea estimar la proporción de clientes satisfechos con su nuevo servicio. En una muestra aleatoria de 200 clientes, 140 reportaron estar satisfechos.

Se pide:

Calcular un intervalo de confianza del 95% para la verdadera proporción poblacional (p) de clientes satisfechos.

Interpretar los resultado

Intervalo de confianza para la proporción poblacional

\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Cálculos:

Proporción muestral

\hat{p} = \frac{140}{200} = 0.7

Valor crítico (Z\_{\alpha/2}) 95% de confianza

Z_{0.025} = 1.96

Error estandar

\sqrt{\frac{0.7 \times 0.3}{200}} \approx 0.0324

Margen de error 1.96 \times 0.0324 \approx 0.0635 Intervalo de confianza

IC = 0.7 \pm 0.0635 \Rightarrow (0.6365,\; 0.7635)

Ver código

library(ggplot2)

# Datos del problema
n <- 200
exitos <- 140
p_hat <- exitos / n
nivel_confianza <- 0.95
alpha <- 1 - nivel_confianza

# Valor crítico Z
z_critico <- qnorm(1 - alpha/2)

# Error estándar y margen de error
error_estandar <- sqrt(p_hat * (1 - p_hat) / n)
margen_error <- z_critico * error_estandar

# Límites del IC
lim_inf <- p_hat - margen_error
lim_sup <- p_hat + margen_error

# Crear datos para la curva normal aproximada
x <- seq(p_hat - 4 * error_estandar, 
         p_hat + 4 * error_estandar, 
         length.out = 1000)
y <- dnorm(x, mean = p_hat, sd = error_estandar)

# Dataframe para ggplot
df <- data.frame(x = x, y = y)

# Gráfica
ggplot(df, aes(x = x)) +
  # Curva normal
  geom_line(aes(y = y), color = "blue", linewidth = 1) +
  
  # Área sombreada del IC
  geom_area(data = subset(df, x >= lim_inf & x <= lim_sup),
            aes(y = y), fill = "skyblue", alpha = 0.5) +
  
  # Líneas verticales
  geom_vline(xintercept = c(lim_inf, lim_sup), 
             linetype = "dashed", color = "red") +
  geom_vline(xintercept = p_hat, color = "darkblue") +
  
  # Etiquetas
  labs(
    title = "Intervalo de Confianza del 95% para Proporción Poblacional",
    subtitle = paste("p̂ =", round(p_hat, 2), 
                    ", IC = [", round(lim_inf, 3), ", ", round(lim_sup, 3), "]"),
    x = "Proporción de clientes satisfechos (p)",
    y = "Densidad"
  ) +
  
  # Escala y tema
  scale_x_continuous(labels = scales::percent) +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5))

2.4 . Varianza Poblacional

Intervalo de confianza para la varianza poblacional

Li=\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}Ls= \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}

Una fábrica necesita verificar la uniformidad del diámetro de sus tornillos. Se toma una muestra aleatoria de 25 tornillos, obteniendo una varianza muestral ( s^{2}) de 0.04 mm². Construya un intervalo de confianza del 90% para la varianza poblacional (\sigma ^{2})

Datos:

Tamaño muestral (n) = 25

Grados de libertad (df) = n−1=24

Varianza muestral ( s^{2}) = 0.04 mm²

Nivel de confianza = 90% → α=0.10

Cálculos:

1 Valores críticos chi-cuadrado

\chi^2_{0.05, 24} = 13.848 \quad \text{y} \quad \chi^2_{0.95, 24} = 36.415

Límites del IC

\text{Límite inferior} = \frac{24 \times 0.04}{36.415} \approx 0.0263 \text{ mm²} \text{Límite superior} = \frac{24 \times 0.04}{13.848} \approx 0.0693 \text{ mm²}

Resultado Final IC_{90\%} = (0.0263,\; 0.0693) \text{ mm²}

Ver código

library(ggplot2)

# Datos del problema
n <- 25
df <- n - 1
s2 <- 0.04
alpha <- 0.10

# Valores críticos chi-cuadrado
chi2_inf <- qchisq(1 - alpha/2, df)
chi2_sup <- qchisq(alpha/2, df)

# Límites del IC
lim_inf <- (df * s2) / chi2_inf
lim_sup <- (df * s2) / chi2_sup

# Crear curva chi-cuadrado
x <- seq(0, 50, length.out = 1000)
y <- dchisq(x, df)

# Dataframe para ggplot
df_plot <- data.frame(x = x, y = y)

# Gráfica
ggplot(df_plot, aes(x = x)) +
  geom_line(aes(y = y), color = "darkgreen", linewidth = 1) +
  
  # Área sombreada (región de confianza)
  geom_area(data = subset(df_plot, x >= chi2_sup & x <= chi2_inf),
            aes(y = y), fill = "lightgreen", alpha = 0.5) +
  
  # Líneas críticas
  geom_vline(xintercept = c(chi2_sup, chi2_inf), 
             linetype = "dashed", color = "red") +
  
  # Etiquetas
  labs(
    title = "Intervalo de Confianza del 90% para Varianza Poblacional",
    subtitle = paste("Distribución Chi-cuadrado con", df, "grados de libertad"),
    x = expression(chi^2),
    y = "Densidad",
    caption = paste("IC para σ²: [", round(lim_inf, 4), ", ", round(lim_sup, 4), "] mm²")
  ) +
  
  theme_minimal() +
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5),
    plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5)
  )

Interpretación

Con un 90% de confianza, la verdadera varianza poblacional ( \sigma ^{2}) de los diámetros de los tornillos está entre 0.0263 mm² y 0.0693 mm².

2.5 . Diferencia de medias pareadas

Intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales muestras pareadas

\bar{X}_{d_i} \pm t_{(\alpha/2, n-1)} \cdot \frac{S_{d_i}}{\sqrt{n}}

\bar{X}_{d_i} = \frac{\sum d_i}{n}

S_{d_i}^2 = \frac{\sum (d_i - \bar{d}_i)^2}{n-1}

S_{d_i} = \sqrt{S_{d_i}^2}

d_i = X_{\text{antes}} - X_{\text{después}}

Un entrenador quiere evaluar si su nuevo programa de ejercicios mejora el rendimiento. Se miden los tiempos (en segundos) de 10 atletas en una carrera de 100m antes y después del programa:

Ver código

# Cargar librerías necesarias
library(knitr)
library(kableExtra)

# Crear los datos exactos del problema
datos <- data.frame(
  Atleta = 1:10,
  Antes = c(12.5, 11.8, 13.2, 14.0, 12.9, 11.5, 13.1, 12.7, 14.5, 12.3),
  Después = c(12.1, 11.5, 12.9, 13.7, 12.6, 11.2, 12.8, 12.4, 14.0, 12.0),
  Diferencia = c(-0.4, -0.3, -0.3, -0.3, -0.3, -0.3, -0.3, -0.3, -0.5, -0.3)
)

# Generar la tabla idéntica al formato original
kable(datos, format = "html", align = 'c', 
      col.names = c("Atleta", "Antes", "Después", "Diferencia"),
      caption = "Datos de tiempos de carrera (en segundos)") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "condensed"), 
                full_width = FALSE) %>%
  add_header_above(c(" ", "Tiempos" = 2, " " = 1)) %>%
  footnote(general = "Datos de ejemplo para análisis de diferencias pareadas")

Datos de tiempos de carrera (en segundos)
	Tiempos
Atleta	Antes	Después	Diferencia
1	12.5	12.1	-0.4
2	11.8	11.5	-0.3
3	13.2	12.9	-0.3
4	14.0	13.7	-0.3
5	12.9	12.6	-0.3
6	11.5	11.2	-0.3
7	13.1	12.8	-0.3
8	12.7	12.4	-0.3
9	14.5	14.0	-0.5
10	12.3	12.0	-0.3
Note:
Datos de ejemplo para análisis de diferencias pareadas

Calcular diferencias (s−Antes (columna derecha en la tabla).

Media de diferencias \bar{d}

\bar{d} = \frac{\sum d}{n} = \frac{-3.0}{10} = -0.3 \, \text{segundos}

Desviación estándar de diferencias (s_d)

s_d = \sqrt{\frac{\sum (d - \bar{d})^2}{n - 1}} \approx 0.0745 \, \text{segundos}

Valor crítico t (95% confianza, n - 1 = 9 grados de libertad)

t_{0.025,9} \approx 2.262 \, (\text{usando qt } (0.975, \, 9) \, \text{en R})

Margen de error

2.262 \times \left( \frac{0.0745}{\sqrt{10}} \right) \approx 0.0533 \, \text{segundos}

Intervalo de confianza

IC_{95\%} = -0.3 \pm 0.0533 \Rightarrow (-0.3533, -0.2467) \, \text{segundos}

Gráfico 1: Boxplot Comparativo

Ver código

library(ggplot2)
library(tidyr)

# Datos organizados
datos <- data.frame(
  Atleta = 1:10,
  Antes = c(12.5, 11.8, 13.2, 14.0, 12.9, 11.5, 13.1, 12.7, 14.5, 12.3),
  Después = c(12.1, 11.5, 12.9, 13.7, 12.6, 11.2, 12.8, 12.4, 14.0, 12.0)
)

# Transformar datos a formato largo
datos_largos <- pivot_longer(datos, 
                           cols = c(Antes, Después), 
                           names_to = "Momento", 
                           values_to = "Tiempo")

# Gráfico completo con estilo organizado
ggplot(datos_largos, aes(x = Momento, y = Tiempo)) +
  # Boxplot
  geom_boxplot(aes(fill = Momento), 
               alpha = 0.6, 
               width = 0.4,
               outlier.shape = NA) +
  
  # Líneas de conexión entre mediciones
  geom_line(aes(group = Atleta), 
            color = "gray60", 
            linewidth = 0.8) +
  
  # Puntos individuales
  geom_point(aes(color = Momento), 
             size = 3, 
             alpha = 0.8) +
  
  # Medias
  stat_summary(fun = mean, 
               geom = "point", 
               shape = 18, 
               size = 4, 
               color = "black") +
  
  # Escalas y colores
  scale_fill_manual(values = c("Antes" = "#FF6B6B", "Después" = "#4ECDC4")) +
  scale_color_manual(values = c("Antes" = "#FF6B6B", "Después" = "#4ECDC4")) +
  
  # Etiquetas y título
  labs(
    title = "Comparación de Tiempos Antes/Después del Entrenamiento",
    subtitle = "Análisis de mediciones pareadas con intervalos de confianza",
    x = "Momento de Medición",
    y = "Tiempo (segundos)",
    caption = "Líneas grises conectan mediciones del mismo atleta\nLos rombos negros representan las medias de cada grupo"
  ) +
  
  # Tema y estilo
  theme_minimal(base_size = 12) +
  theme(
    legend.position = "top",
    plot.title = element_text(face = "bold", hjust = 0.5),
    plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5, color = "gray40"),
    axis.title = element_text(face = "bold")
  )

Gráfico 2: Distribución t de Student

Ver código

library(ggplot2)

# 1. Datos originales
datos <- data.frame(
  Atleta = 1:10,
  Antes = c(12.5, 11.8, 13.2, 14.0, 12.9, 11.5, 13.1, 12.7, 14.5, 12.3),
  Después = c(12.1, 11.5, 12.9, 13.7, 12.6, 11.2, 12.8, 12.4, 14.0, 12.0)
)

# 2. Calcular diferencias (esto es esencial)
datos$Diferencia <- datos$Después - datos$Antes

# 3. Realizar test t pareado
t_test_resultado <- t.test(datos$Diferencia, conf.level = 0.95)

# 4. Extraer valores estadísticos
media_diff <- mean(datos$Diferencia)
error_std <- sd(datos$Diferencia)/sqrt(nrow(datos))  # Error estándar
gl <- nrow(datos) - 1  # grados de libertad

# 5. Extraer límites del IC correctamente (aquí estaba el error)
intervalo_conf <- t_test_resultado$conf.int
ic_inferior <- intervalo_conf[1]
ic_superior <- intervalo_conf[2]

# 6. Crear secuencia de valores para la gráfica
x_vals <- seq(media_diff - 3*error_std, 
              media_diff + 3*error_std, 
              length.out = 200)
y_vals <- dt((x_vals - media_diff)/error_std, df = gl)

# 7. Crear data frame para ggplot
df_grafico <- data.frame(x = x_vals, y = y_vals)

# 8. Gráfico corregido
ggplot(df_grafico, aes(x = x, y = y)) +
  geom_line(color = "#1E88E5", linewidth = 1.2) +
  geom_area(data = subset(df_grafico, x >= ic_inferior & x <= ic_superior),
            aes(x = x, y = y), fill = "#1E88E5", alpha = 0.3) +
  geom_vline(xintercept = media_diff, linetype = "dashed", color = "#D81B60") +
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = "dotted", color = "gray30") +
  annotate("text", x = media_diff, y = max(y_vals)*0.85,
           label = paste("Media:", round(media_diff, 2), "s"), 
           color = "#D81B60", vjust = -0.5) +
  annotate("text", x = mean(c(ic_inferior, ic_superior)), 
           y = max(y_vals)*0.65,
           label = paste("IC 95%: [", round(ic_inferior, 2), ",", 
                        round(ic_superior, 2), "]"),
           color = "#1E88E5") +
  labs(
    title = "Distribución t de Student para diferencias pareadas",
    subtitle = paste("Prueba t pareada | Grados libertad:", gl),
    x = "Diferencia de tiempos (Después - Antes) [segundos]",
    y = "Densidad de probabilidad",
    caption = "Intervalo de confianza del 95% sombreado"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 12) +
  theme(
    plot.title = element_text(face = "bold", hjust = 0.5),
    plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5, color = "gray40"),
    panel.grid.minor = element_blank()
  )

Interpretación

Con un 95% de confianza, el programa de entrenamiento reduce el tiempo promedio en la carrera entre 0.2467 y 0.3533 segundos.

2.6 . Diferencia de medias independientes

Diferencia de las medias de dos poblaciones varianzas poblacionales conocidas

( \bar{X}_{1} - \bar{X}_{2} ) \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{ \frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}} }

Un estudiante universitario quiere determinar cuál de dos restaurantes de comida rápida cercanos a su campus tiene un tiempo de entrega más rápido en promedio. Para ello, realiza un estudio registrando los tiempos de entrega (en minutos) de una muestra aleatoria de pedidos de cada restaurante.

Datos muestrales:

Restaurante A:

Tamaño de muestra n_{A}: 30 pedidos Tiempo promedio de entrega \bar{X}_{A}: 25 minutos Desviación estándar muestral s_{A}

Restaurante B:

Tamaño de muestra n_{B}: 35 pedidos Tiempo promedio de entrega \bar{X}_{B}: 28 minutos Desviación estándar muestral s_{B}

Supuestos:

Las muestras son independientes y provienen de poblaciones aproximadamente normales.

Las varianzas poblacionales son desconocidas pero se asumen distintas (caso no pareado).

Pregunta: Construye un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias poblacionales (\mu A -\mu B) e interpreta el resultado. ¿Hay evidencia de que uno de los restaurantes tenga un tiempo de entrega significativamente más rápido?

Cálculo de gl y valor crítico t:

\begin{align*} \text{gl} &\approx \frac{\left(\frac{s_A^2}{n_A} + \frac{s_B^2}{n_B}\right)^2}{\frac{(s_A^2/n_A)^2}{n_A-1} + \frac{(s_B^2/n_B)^2}{n_B-1}} \\ &\approx 60 \quad \text{(usando aproximación práctica)} \\ t_{0.025, 60} &\approx 2.000 \end{align*}

Intervalo

\begin{align*} (25 - 28) &\pm 2.000 \cdot \sqrt{\frac{4^2}{30} + \frac{5^2}{35}} \\ -3 &\pm 2.000 \cdot 1.128 \\ &\approx [-5.256,\ -0.744] \text{ minutos} \end{align*}

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# --------------------------------------------------
# ANÁLISIS COMPLETO: COMPARACIÓN DE TIEMPOS DE ENTREGA
# (Versión completamente corregida y verificada)
# --------------------------------------------------

# 1. Cargar librerías necesarias
library(ggplot2)

# 2. Generar datos simulados basados en el problema original
set.seed(123) # Para reproducibilidad
datos_A <- round(rnorm(30, mean = 25, sd = 4), 1)
datos_B <- round(rnorm(35, mean = 28, sd = 5), 1)

# 3. Cálculos estadísticos
media_A <- mean(datos_A)
media_B <- mean(datos_B)
sd_A <- sd(datos_A)
sd_B <- sd(datos_B)
n_A <- length(datos_A)
n_B <- length(datos_B)

diferencia <- media_A - media_B
error_std <- sqrt((sd_A^2/n_A) + (sd_B^2/n_B))

# Grados de libertad (Welch-Satterthwaite)
gl <- ((sd_A^2/n_A + sd_B^2/n_B)^2) / 
      ((sd_A^4/(n_A^2*(n_A-1))) + (sd_B^4/(n_B^2*(n_B-1))))

t_critico <- qt(0.975, gl)
IC_inf <- diferencia - t_critico*error_std
IC_sup <- diferencia + t_critico*error_std

# 4. Crear el gráfico (VERSIÓN CORREGIDA)
grafico <- ggplot(data.frame(x = seq(-8, 2, length.out = 500)), aes(x)) +
  stat_function(fun = function(x) dt((x - diferencia)/error_std, gl),
                geom = "area", fill = "#4E79A7", alpha = 0.3) +
  stat_function(fun = function(x) dt((x - diferencia)/error_std, gl),
                geom = "line", color = "#4E79A7", linewidth = 1.2) +
  
  # Área sombreada del IC
  stat_function(fun = function(x) dt((x - diferencia)/error_std, gl),
                geom = "area", fill = "#F28E2B", alpha = 0.5,
                xlim = c(IC_inf, IC_sup)) +
  
  # Líneas críticas
  geom_vline(xintercept = c(IC_inf, IC_sup), 
             color = "#E15759", linetype = "dashed", linewidth = 1) +
  geom_vline(xintercept = diferencia, color = "#4E79A7", linewidth = 1.5) +
  geom_vline(xintercept = 0, color = "#59A14F", linewidth = 1, linetype = "dotdash") +
  
  # Anotaciones
  annotate("text", x = diferencia, y = 0.3, 
           label = paste0("Diferencia observada\n", round(diferencia, 2), " min"), 
           color = "#4E79A7", size = 4) +
  annotate("text", x = mean(c(IC_inf, IC_sup)), y = 0.15,
           label = paste0("IC 95%: [", round(IC_inf, 2), ", ", 
                          round(IC_sup, 2), "]"), 
           color = "#E15759", size = 4.5) +
  annotate("text", x = 0, y = 0.25, 
           label = "Línea de no diferencia", 
           color = "#59A14F", angle = 90, vjust = -0.5) +
  
  # Formato
  labs(title = "Análisis de diferencia de tiempos de entrega",
       subtitle = paste0("Restaurante A (n=", n_A, ", μ=", round(media_A, 1), 
                        " min) vs. Restaurante B (n=", n_B, ", μ=", 
                        round(media_B, 1), " min)"),
       x = "Diferencia en tiempos de entrega (A - B) [minutos]",
       y = "Densidad de probabilidad",
       caption = paste0("Grados de libertad: ", round(gl, 2), 
                       " | Método: Welch-Satterthwaite")) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(plot.title = element_text(face = "bold", hjust = 0.5, size = 16),
        plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5, size = 12),
        panel.grid.minor = element_blank())

# Mostrar el gráfico
print(grafico)

Ver código

# 5. Resultados en consola (CORREGIDO)
cat("\n----------------------------------------\n")


----------------------------------------

Ver código

cat("   RESULTADOS ESTADÍSTICOS\n")

   RESULTADOS ESTADÍSTICOS

Ver código

cat("----------------------------------------\n")

----------------------------------------

Ver código

cat(sprintf("Tiempo promedio A: %.2f min (SD = %.2f, n = %d)\n", media_A, sd_A, n_A))

Tiempo promedio A: 24.81 min (SD = 3.92, n = 30)

Ver código

cat(sprintf("Tiempo promedio B: %.2f min (SD = %.2f, n = %d)\n", media_B, sd_B, n_B))

Tiempo promedio B: 28.40 min (SD = 4.16, n = 35)

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cat(sprintf("\nDiferencia (A - B): %.2f min\n", diferencia))


Diferencia (A - B): -3.60 min

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cat(sprintf("Intervalo de confianza 95%%: [%.2f, %.2f]\n", IC_inf, IC_sup))

Intervalo de confianza 95%: [-5.60, -1.59]

Ver código

cat(sprintf("Error estándar: %.3f\n", error_std))

Error estándar: 1.004

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cat(sprintf("Grados de libertad: %.2f\n", gl))

Grados de libertad: 62.40

Ver código

cat("\n----------------------------------------\n")


----------------------------------------

Ver código

cat("   CONCLUSIÓN\n")

   CONCLUSIÓN

Ver código

cat("----------------------------------------\n")

----------------------------------------

Ver código

if(IC_inf < 0 & IC_sup < 0) {
  cat("→ Evidencia estadística (p < 0.05) de que:\n")
  cat(sprintf("   El Restaurante A es entre %.1f y %.1f minutos más rápido que el B\n", 
              abs(IC_sup), abs(IC_inf)))
} else if(IC_inf > 0 & IC_sup > 0) {
  cat("→ Evidencia estadística (p < 0.05) de que:\n")
  cat(sprintf("   El Restaurante B es entre %.1f y %.1f minutos más rápido que el A\n", 
              IC_inf, IC_sup))
} else {
  cat("→ No hay evidencia significativa (p > 0.05) de diferencia\n")
}

→ Evidencia estadística (p < 0.05) de que:
   El Restaurante A es entre 1.6 y 5.6 minutos más rápido que el B

Con un 95% de confianza, la diferencia (\mu A -\mu ) −5.256 −0.744 minutos.

Como el intervalo no incluye el cero, hay evidencia de que el Restaurante A es más rápido en promedio que el Restaurante B.

2.6.1 . Intervalo de confianza para diferencia de medias con varianzas desconocidas e iguales

Un entrenador de atletismo quiere determinar si un nuevo método de entrenamiento (Método A) es más efectivo que el tradicional (Método B) para mejorar el tiempo en 100 metros planos. Se realizó un estudio con dos grupos aleatorios de atletas:

Datos muestrales:

Método A (nuevo):

Tamaño muestral: 20 atletas Mejora promedio: 0.85 segundos Desviación estándar: 0.15 segundos

Método B (tradicional):

Tamaño muestral: 18 atletas Mejora promedio: 0.72 segundos Desviación estándar: 0.13 segundos

Supuestos:

Las muestras son independientes y provienen de poblaciones normalmente distribuidas

Las varianzas poblacionales son desconocidas pero se asumen iguales (σ₁² = σ₂²)

Los datos representan la mejora en segundos (valor positivo = mejora)

Preguntas:

Construye un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias poblacionales (μ_A - μ_B)

Determina si hay evidencia de que el Método A sea significativamente mejor que el Método B

Calcula el valor p asociado a esta comparación

Solución teórica:

Estimación combinada de varianza (pooled variance): s_p^2 = \frac{(n_A - 1)s_A^2 + (n_B - 1)s_B^2}{n_A + n_B - 2}

s_p^2 = \frac{(19)(0.15)^2 + (17)(0.13)^2}{20 + 18 - 2} = \frac{(19)(0.0225) + (17)(0.0169)}{36} = \frac{0.4275 + 0.2873}{36} = 0.019

s_p = \sqrt{0.0199} \approx 0.141

Error estándar de la diferencia

SE = s_p\sqrt{\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}} = 0.141\sqrt{\frac{1}{20} + \frac{1}{18}} = 0.141 \times 0.324 = 0.046

Intervalo de confianza al 95%

Grados de libertad $ df = n_A + n_B - 2 = 36 $

Valor crítico t: t_{0.025, 36} \approx 2.028 (usando \texttt{qt(0.975, 36)} en R)

IC = (\bar{X}_A - \bar{X}_B) \pm t_{\alpha/2} \cdot SE

IC = (0.85 - 0.72) \pm 2.028 \times 0.046 = 0.13 \pm 0.093

Límite inferior = $0.13 - 0.093 = 0.037 $ segundos

Límite superior = 0.13 + 0.093 = 0.223 segundos

Intervalo de confianza del 95%: [0.037, 0.223] segundos.

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# LIBRERÍAS
library(ggplot2)

# DATOS DEL PROBLEMA (MÉTODOS DE ENTRENAMIENTO)
metodo_A <- list(n = 20, media = 0.85, sd = 0.15)
metodo_B <- list(n = 18, media = 0.72, sd = 0.13)

# CÁLCULOS ESTADÍSTICOS (VARIANZAS IGUALES)
var_pooled <- ((metodo_A$n-1)*metodo_A$sd^2 + (metodo_B$n-1)*metodo_B$sd^2)/(metodo_A$n + metodo_B$n - 2)
error_std <- sqrt(var_pooled*(1/metodo_A$n + 1/metodo_B$n))
gl <- metodo_A$n + metodo_B$n - 2
t_critico <- qt(0.975, gl)
diferencia <- metodo_A$media - metodo_B$media
IC_inf <- diferencia - t_critico*error_std
IC_sup <- diferencia + t_critico*error_std

# GRÁFICO CORREGIDO (VERSIÓN FUNCIONAL)
grafico <- ggplot(data.frame(x = seq(-0.1, 0.3, length.out = 500)), aes(x)) +
  # Distribución t
  stat_function(
    fun = function(x) dt((x - diferencia)/error_std, gl),
    geom = "area", fill = "#1f77b4", alpha = 0.2
  ) +
  # Área sombreada del IC
  stat_function(
    fun = function(x) dt((x - diferencia)/error_std, gl),
    geom = "area", xlim = c(IC_inf, IC_sup),
    fill = "#ff7f0e", alpha = 0.5
  ) +
  # Línea de distribución
  stat_function(
    fun = function(x) dt((x - diferencia)/error_std, gl),
    geom = "line", color = "#1f77b4", linewidth = 1
  ) +
  # Líneas críticas
  geom_vline(xintercept = c(IC_inf, IC_sup), 
             color = "#d62728", linetype = "dashed", linewidth = 0.8) +
  geom_vline(xintercept = diferencia, color = "#2ca02c", linewidth = 1.2) +
  geom_vline(xintercept = 0, color = "gray40", linetype = "longdash") +
  # Anotaciones
  annotate("text", x = diferencia, y = 1.5, 
           label = paste0("Diferencia = ", round(diferencia, 2), " s"), 
           color = "#2ca02c", size = 4) +
  annotate("text", x = mean(c(IC_inf, IC_sup)), y = 3,
           label = paste0("IC 95%: [", round(IC_inf, 2), ", ", round(IC_sup, 2), "]"), 
           color = "#d62728", size = 4) +
  annotate("text", x = 0, y = 1.5, 
           label = "No diferencia", 
           color = "gray40", angle = 90, vjust = -0.5) +
  # Formato
  labs(
    title = "Comparación de Métodos de Entrenamiento",
    subtitle = "Intervalo de confianza para la diferencia de mejoras (A - B)",
    x = "Diferencia en mejora de tiempo (segundos)",
    y = "Densidad de probabilidad",
    caption = paste0("Método A (n=", metodo_A$n, ") vs Método B (n=", metodo_B$n, ") | gl = ", gl)
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(
    plot.title = element_text(face = "bold", hjust = 0.5),
    plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5)
)

# MOSTRAR GRÁFICO
print(grafico)

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# RESULTADOS EN CONSOLA
cat("\n----------------------------------------\n")


----------------------------------------

Ver código

cat("   RESULTADOS ESTADÍSTICOS\n")

   RESULTADOS ESTADÍSTICOS

Ver código

cat("----------------------------------------\n")

----------------------------------------

Ver código

cat(sprintf("Diferencia de medias (A - B): %.3f segundos\n", diferencia))

Diferencia de medias (A - B): 0.130 segundos

Ver código

cat(sprintf("Intervalo de confianza 95%%: [%.3f, %.3f]\n", IC_inf, IC_sup))

Intervalo de confianza 95%: [0.037, 0.223]

Ver código

cat(sprintf("Valor p: %.4f\n", 2*pt(-abs(diferencia/error_std), df = gl)))

Valor p: 0.0074

Ver código

cat("\n----------------------------------------\n")


----------------------------------------

Ver código

cat("   CONCLUSIÓN\n")

   CONCLUSIÓN

Ver código

cat("----------------------------------------\n")

----------------------------------------

Ver código

if(IC_inf > 0) {
  cat("→ El Método A es significativamente mejor (p < 0.05)\n")
  cat(sprintf("→ La mejora está entre %.3f y %.3f segundos\n", IC_inf, IC_sup))
} else {
  cat("→ No hay evidencia de diferencia significativa (p > 0.05)\n")
}

→ El Método A es significativamente mejor (p < 0.05)
→ La mejora está entre 0.037 y 0.223 segundos

Hay evidencia estadísticamente significativa ( p<0.05) de que el Método A produce una mejora promedio entre 0.037 y 0.223 segundos mayor que el Método B.

2.6.2 . Intervalo de confianza para diferencia de medias con varianzas desconocidas y distintas

Un equipo de ingenieros industriales quiere comparar la eficiencia de dos métodos de ensamblaje (A y B) en una fábrica de automóviles. Se registra el tiempo (en minutos) que tardan los trabajadores en ensamblar una pieza clave utilizando cada método.

Para el Método A, se tomó una muestra de 15 trabajadores, obteniendo un tiempo promedio de 12.8 minutos con una desviación estándar muestral de 2.5 minutos.

Para el Método B, se evaluaron 12 trabajadores, con un tiempo promedio de 10.5 minutos y una desviación estándar muestral de 1.8 minutos.

Suponiendo que los tiempos siguen distribuciones normales con varianzas desconocidas y distintas, construye un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre los tiempos medios de ensamblaje (μ_A – μ_B)

¿Cuál es el intervalo de confianza para la diferencia de medias? ¿Existe evidencia significativa de que un método es más rápido que el otro?

Datos

Método A: $ {X}_A = 12.8, s_A = 2.5, n_A = 15 $
Método B: $ {X}_B = 10.5, s_B = 1.8, n_B = 12 $

Diferencia de medias:

$ {X}_A - {X}_B = 12.8 - 10.5 = 2.3 , $

Error estándar (varianzas distintas):

SE = \sqrt{\frac{s_A^2}{n_A} + \frac{s_B^2}{n_B}} = \sqrt{\frac{2.5^2}{15} + \frac{1.8^2}{12}} \approx \sqrt{0.4167 + 0.27} \approx 0.829 Grados de libertad (Welch-Satterthwaite):

\nu = \frac{\left( \frac{s_A^2}{n_A} + \frac{s_B^2}{n_B} \right)^2}{\frac{(s_A^2/n_A)^2}{n_A - 1} + \frac{(s_B^2/n_B)^2}{n_B - 1}} \approx \frac{(0.4167 + 0.27)^2}{\frac{0.4167^2}{14} + \frac{0.27^2}{11}} \approx 24.1 \approx 24

Valor crítico (t-Student, 95% confianza, ν ≈ 24):

t_{0.025, 24} \approx 2.064

Intervalo de confianza:

IC = (\bar{X}_A - \bar{X}_B) \pm t_{\alpha/2, \nu} \cdot SE = 2.3 \pm 2.064 \times 0.829 \approx 2.3 \pm 1.71

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# Cargar librerías
library(ggplot2)

# Parámetros del problema
df <- 24  # Grados de libertad (aproximación de Welch)
t_critico <- 2.064  # Valor crítico para 95% de confianza
diferencia_media <- 2.3  # Diferencia observada
error_estandar <- 0.829  # Error estándar

# Límites del intervalo de confianza
lim_inf <- diferencia_media - t_critico * error_estandar
lim_sup <- diferencia_media + t_critico * error_estandar

# Crear datos para la curva t
x <- seq(-4, 4, length.out = 200)
y <- dt(x, df = df)

# Datos para el área sombreada (cola izquierda)
x_shade_left <- seq(-4, -t_critico, length.out = 50)
y_shade_left <- dt(x_shade_left, df = df)
left_shade <- data.frame(x = c(-4, x_shade_left, -t_critico), 
                         y = c(0, y_shade_left, 0))

# Datos para el área sombreada (cola derecha)
x_shade_right <- seq(t_critico, 4, length.out = 50)
y_shade_right <- dt(x_shade_right, df = df)
right_shade <- data.frame(x = c(t_critico, x_shade_right, 4), 
                          y = c(0, y_shade_right, 0))

# Gráfico
ggplot(data.frame(x, y), aes(x, y)) +
  # Curva t-Student
  geom_line(color = "#1f77b4", linewidth = 1.2) +
  
  # Áreas de rechazo (sombreadas)
  geom_polygon(data = left_shade, aes(x, y), fill = "#ff7f0e", alpha = 0.5) +
  geom_polygon(data = right_shade, aes(x, y), fill = "#ff7f0e", alpha = 0.5) +
  
  # Líneas críticas
  geom_vline(xintercept = c(-t_critico, t_critico), 
             linetype = "dashed", color = "#d62728") +
  
  # Etiquetas
  annotate("text", x = -2.8, y = 0.1, 
           label = "2.5%", color = "black", size = 5) +
  annotate("text", x = 2.8, y = 0.1, 
           label = "2.5%", color = "black", size = 5) +
  annotate("text", x = 0, y = 0.2, 
           label = "95% de confianza", color = "black", size = 5) +
  
  # Línea central
  geom_vline(xintercept = 0, linetype = "solid", color = "gray50") +
  
  # Escala y temas
  scale_x_continuous(breaks = c(-t_critico, 0, t_critico),
                     labels = c("-2.064", "0", "2.064")) +
  labs(title = "Distribución t-Student (ν = 24) con Intervalo de Confianza del 95%",
       subtitle = "Áreas sombreadas representan las regiones de rechazo (α = 0.05)",
       x = "Valores t", y = "Densidad de probabilidad") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold"),
        plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5))

Conclusión: Con un 95% de confianza, la diferencia en tiempos medios de ensamblaje (A – B) está entre 0.59 y 4.01 minutos. Como el intervalo no incluye el cero, hay evidencia de que el Método B es significativamente más rápido que el Método A.

2.7 . Diferencia de dos proporciones poblacionales

Un hospital quiere comparar la efectividad de dos tratamientos para una misma enfermedad. Se realizó un estudio donde:

Tratamiento A (nuevo) fue aplicado a 150 pacientes, con 105 casos exitosos

Tratamiento B (tradicional) fue aplicado a 130 pacientes, con 78 casos exitosos

El equipo médico necesita determinar si existe diferencia significativa en la efectividad entre ambos tratamientos y, de existir, estimar su magnitud.

Datos Muestrales

Grupo A \begin{align*} n_1 &= 150, \\ \text{Éxitos} &= 105 \quad \Rightarrow \quad \hat{p}_1 = \frac{105}{150} \approx 0.70 \quad (70\%) \end{align*}

Grupo B \begin{align*} n_2 &= 130, \\ \text{Éxitos} &= 78 \quad \Rightarrow \quad \hat{p}_2 = \frac{78}{130} = 0.60 \quad (60\%) \end{align*}

Construye un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de proporciones poblacionales (p₁ - p₂)

Determina si hay evidencia de diferencia significativa entre tratamientos

Calcula el tamaño del efecto con su interpretación clínica

(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}

Valores:

Diferencia observada: 0.70−0.60=0.10

Error estándar:

\begin{align*} \text{Diferencia observada} &= 0.70 - 0.60 = 0.10 \\ \text{Error estándar} &= \sqrt{\frac{0.7 \times 0.3}{150} + \frac{0.6 \times 0.4}{130}} \\ &= \sqrt{0.0014 + 0.001846} \approx 0.053 \\ z_{0.975} &= 1.96 \quad (\text{para } \alpha = 0.05) \end{align*}

Intervalo de confianza al 95%:

0.10 \pm 1.96 \times 0.053 = [ -0.004,\ 0.204 ]4

Prueba de hipotesis

\begin{align*} H_0 &: p_1 - p_2 = 0 \\ H_1 &: p_1 - p_2 \neq 0 \\ Z &= \frac{0.10}{0.053} \approx 1.89 \\ \text{Valor }p &= 2 \times P(Z > 1.89) \approx 0.059 \end{align*}

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# LIBRERÍAS
library(ggplot2)

# DATOS DEL PROBLEMA
n1 <- 150
exitos1 <- 105
p1_hat <- exitos1/n1

n2 <- 130
exitos2 <- 78
p2_hat <- exitos2/n2

diferencia_obs <- p1_hat - p2_hat
error_std <- sqrt(p1_hat*(1-p1_hat)/n1 + p2_hat*(1-p2_hat)/n2)

# APROXIMACIÓN NORMAL (para proporciones grandes)
z_critico <- qnorm(0.975)
IC_inf <- diferencia_obs - z_critico*error_std
IC_sup <- diferencia_obs + z_critico*error_std

# GRÁFICO CON DISTRIBUCIÓN NORMAL (APROXIMACIÓN)
ggplot(data.frame(x = seq(-0.2, 0.4, length.out = 1000)), aes(x)) +
  # Curva normal
  stat_function(
    fun = function(x) dnorm(x, mean = diferencia_obs, sd = error_std),
    geom = "area", fill = "#4E79A7", alpha = 0.2
  ) +
  # Área sombreada del IC
  stat_function(
    fun = function(x) dnorm(x, mean = diferencia_obs, sd = error_std),
    geom = "area", xlim = c(IC_inf, IC_sup),
    fill = "#F28E2B", alpha = 0.5
  ) +
  # Línea de la distribución
  stat_function(
    fun = function(x) dnorm(x, mean = diferencia_obs, sd = error_std),
    geom = "line", color = "#4E79A7", linewidth = 1
  ) +
  # Líneas críticas
  geom_vline(xintercept = c(IC_inf, IC_sup), 
             color = "#E15759", linetype = "dashed", linewidth = 0.8) +
  geom_vline(xintercept = diferencia_obs, color = "#4E79A7", linewidth = 1.2) +
  geom_vline(xintercept = 0, color = "gray40", linetype = "longdash") +
  # Anotaciones
  annotate("text", x = diferencia_obs, y = 1.5, 
           label = paste0("Diferencia = ", round(diferencia_obs, 2)), 
           color = "#4E79A7", size = 4.5) +
  annotate("text", x = mean(c(IC_inf, IC_sup)), y = 2.5,
           label = paste0("IC 95%: [", round(IC_inf, 3), ", ", round(IC_sup, 3), "]"), 
           color = "#E15759", size = 4.5) +
  annotate("text", x = 0, y = 1.5, 
           label = "No diferencia (0)", 
           color = "gray40", angle = 90, vjust = -0.5) +
  # Formato
  labs(
    title = "Intervalo de Confianza para Diferencia de Proporciones",
    subtitle = "Tratamiento A (70% éxito) vs. Tratamiento B (60% éxito)",
    x = "Diferencia en proporción de éxitos (A - B)",
    y = "Densidad de probabilidad",
    caption = paste0("n(A) = ", n1, ", n(B) = ", n2, " | Aproximación normal")
  ) +
  theme_minimal(base_size = 14) +
  theme(
    plot.title = element_text(face = "bold", hjust = 0.5),
    plot.subtitle = element_text(hjust = 0.5),
    panel.grid.minor = element_blank()
  ) +
  scale_x_continuous(breaks = seq(-0.2, 0.4, by = 0.1))

Interpretación:

Con 95% de confianza, la verdadera diferencia en efectividad está entre -0.4% y +20.4%

Como el intervalo incluye el cero (punto de no diferencia), no hay evidencia estadísticamente significativa al 95% (p > 0.05)

La diferencia observada del 10% podría deberse al azar muestral

Conclución

Con un 95% de confianza, la verdadera diferencia en efectividad entre los tratamientos A y B se encuentra en el intervalo [−0.4%,20.4%]. Como este intervalo , no existe evidencia estadísticamente significativa (p=0.059>0.05) para afirmar que los tratamientos difieren en efectividad.

3 . Conclusión final del trabajo

A lo largo de este estudio, exploramos diversos casos de intervalos de confianza, aplicando técnicas estadísticas mediante el lenguaje R. Este proceso permitió afianzar tanto los conceptos teóricos como las habilidades prácticas necesarias para su implementación en contextos reales.

Se abordaron situaciones que incluyeron:

Estimación de medias poblacionales (con varianzas conocidas y desconocidas)

Comparación de medias entre grupos independientes

Análisis de proporciones y diferencias entre ellas

En cada escenario, se realizó no solo el cálculo numérico de los intervalos, sino también su representación gráfica, lo que facilitó la interpretación de los resultados. Se integraron herramientas complementarias como pruebas de normalidad y visualizaciones de distribuciones, lo que enriqueció el rigor del análisis.

Un aspecto clave fue comprender cómo los supuestos subyacentes (como la igualdad de varianzas o el tamaño muestral) influyen en la construcción de los intervalos. Esta comprensión es fundamental para seleccionar el método adecuado y validar las conclusiones.

Aportes principales:

Precisión en la estimación: Los intervalos de confianza proporcionaron rangos plausibles para parámetros desconocidos, destacando la importancia de cuantificar la incertidumbre en inferencia estadística.

Toma de decisiones informada: En casos como la comparación de tratamientos médicos, los resultados subrayaron que diferencias aparentes pueden no ser estadísticamente significativas, lo que tiene implicaciones prácticas.

Integración teoría-práctica: El uso de R permitió traducir fórmulas abstractas en resultados tangibles, reforzando el aprendizaje mediante la experimentación.

Perspectivas futuras: Este trabajo sienta las bases para abordar problemas más complejos, como diseños experimentales con múltiples grupos o análisis de regresión. Además, resalta la necesidad de comunicar resultados estadísticos de manera clara, especialmente en ámbitos donde las decisiones dependen de su correcta interpretación.

En conclusión, el dominio de los intervalos de confianza —desde su fundamento matemático hasta su aplicación computacional— es una competencia esencial para cualquier profesional que trabaje con datos. Este ejercicio no solo consolidó conocimientos estadísticos, sino que también desarrolló la capacidad para evaluar críticamente supuestos y resultados, preparando el terreno para análisis más avanzados.

Nota metodológica: Todos los cálculos y gráficos se realizaron verificando los supuestos requeridos, asegurando la validez de las conclusiones. Los ejemplos prácticos elegidos reflejan situaciones comunes en investigación aplicada.