A continuación se desarrolla el parcial número 2 de la materia Probabilidad y Estadistica realizado por el docente y mentor Nelson D´aza en el año 2024.

Ejercicios

Ejercicio 1: Distribución de Poisson

Un café en una concurrida calle de la ciudad recibe en promedio 12 clientes por hora durante las horas pico. Utilizando la distribución de Poisson, calcula la probabilidad de que lleguen más de 5 clientes en media hora dentro de una franja pico.

La probabilidad de que lleguen más de 5 clientes en media hora es:

Como \(λ = 12 clientes/hora\)

para media hora:

   $𝜆 _media hora_ = 12 × 0.5 = 6$

Entonces, el número de clientes en media hora sigue una Poisson con λ = 6

lambda <- 12 * 0.5
probabilidad_mas_de_5 <- 1 - ppois(5, lambda)
cat("La probabilidad de que lleguen más de 5 clientes en media hora es:", round(probabilidad_mas_de_5, 4), "\n")
## La probabilidad de que lleguen más de 5 clientes en media hora es: 0.5543
# Crear secuencia de posibles valores de clientes
x <- 0:15
y <- dpois(x, lambda)

# Graficar la distribución
barplot(y, names.arg = x,
        col = "skyblue",
        main = "Distribución Poisson (λ = 6)",
        xlab = "Número de clientes en media hora",
        ylab = "Probabilidad")

Ejercicio 2: Hipergeométrica

Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado, en una botella, 6 tabletas con cierto narcótico junto a 9 píldora de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?

Total: 6 narcóticos + 9 vitaminas = 15 Selección de 3 Se busca P(al menos 1 narcótico) = 1 - P(ningún narcótico)

Distribución Hipergeométrica m = narcóticos, n = vitaminas, k = seleccionadas prob_ningun_narcotico <- dhyper(0, m = 6, n = 9, k = 3) prob_al_menos_uno <- 1 - prob_ningun_narcotico prob_al_menos_uno

Selección de pastillas

\(N=6 (narcoticas)+9 (vitaminas)=15\)

narcoticos <- 6
vitaminas <- 9
muestra <- 3
prob_sin_narcoticos <- dhyper(0, narcoticos, vitaminas, muestra)
prob_arresto <- 1 - prob_sin_narcoticos
cat("La probabilidad de que el viajero sea arrestado es:", round(prob_arresto, 4), "\n")
## La probabilidad de que el viajero sea arrestado es: 0.8154
# Posibles valores: 0, 1, 2, 3 narcóticos seleccionados
x <- 0:3
y <- dhyper(x, m = narcoticos, n = vitaminas, k = muestra)

# Graficar la distribución
barplot(y, names.arg = x,
        col = "tomato",
        main = "Distribución Hipergeométrica",
        xlab = "Número de narcóticos encontrados",
        ylab = "Probabilidad")

# Añadir valores encima de las barras
text(x = x + 1, y = y + 0.02, labels = round(y, 3), cex = 0.9)

Ejercicio 3: Distribución normal

Un centro de atención a la ciudadanía recibe llamadas. Se sabe que los operadores tardan en atender una llamada. Supongamos que tienes datos históricos y sabes que el tiempo que se debe esperar para ser atendido sigue una distribución normal.

Llamada a atención P(X < 3.3) = P(X > 4.7) = 0.08076 → Simétrico respecto a la media

  1. Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo que se debe esperar para ser atendido. Determine µ y u si se sabe que p(X < 3,3) = 0,08076 y P(X > 4,7) = 0,08076.

  2. Determine la probabilidad de que al hacer una llamada a esta entidad el tiempo de espera sea inferior a 3,5.

a: Encontrar media y desviación estándar

z1 <- qnorm(0.08076)
z2 <- qnorm(0.91924)
x1 <- 3.3
x2 <- 4.7
sigma <- (x2 - x1) / (z2 - z1)
mu <- x1 - z1 * sigma
cat("La media (mu) es:", round(mu, 4), "\n")
## La media (mu) es: 4
cat("La media (mu) es:", round(mu, 4), "\n")
## La media (mu) es: 4

b: Determine la probabilidad

prob_menor_3_5 <- pnorm(3.5, mean = mu, sd = sigma)
cat("La probabilidad de que el tiempo de espera sea menor a 3.5 minutos es:", round(prob_menor_3_5, 4), "\n")
## La probabilidad de que el tiempo de espera sea menor a 3.5 minutos es: 0.1587
# Crear valores para el eje X
x <- seq(mu - 3*sigma, mu + 3*sigma, length.out = 300)
y <- dnorm(x, mean = mu, sd = sigma)

# Graficar curva normal
plot(x, y, type = "l", lwd = 2, col = "steelblue",
     main = "Distribución Normal N(4, 0.5²)",
     xlab = "Tiempo de espera (min)", ylab = "Densidad")

# Rellenar área bajo la curva hasta 3.5
x_fill <- x[x <= 3.5]
y_fill <- dnorm(x_fill, mean = mu, sd = sigma)
polygon(c(x_fill, rev(x_fill)), c(y_fill, rep(0, length(y_fill))),
        col = "skyblue", border = NA)

# Línea vertical en 3.5
abline(v = 3.5, col = "red", lty = 2)
text(3.5, 0.1, "3.5", pos = 4, col = "red")

Ejercicio 4: Binomial

Mi amigo Yezid practica futbol a nivel profesional, una de sus prácticas consiste en cobrar 50 cobros consecutivos de tiro penal. La efectividad de Yezid en este tipo de cobros es bien sabida por su club pero guardada con recelo.

a.) Estime la probabilidad que guarda celosamente el club a sabiendas de que la probabilidad de que Yezid acierte todos los cobros de tiro penal es de 0,00515

b.) ¿Cuál es la probabilidad de que Yezid acierte más de la mitad más de la mitad de los cobros?_

a: Estimar p tal que P(X = 50) = 0.00515 P(X=50) = dbinom(50, 50, p)

prob_todos_aciertos <- 0.00515
n <- 50
p_estimada <- prob_todos_aciertos^(1/n)
cat("La probabilidad de que Yezid acierte un penal (p) es aproximadamente:", round(p_estimada, 4), "\n")
## La probabilidad de que Yezid acierte un penal (p) es aproximadamente: 0.9

b: P(X > 25) prob_mas_mitad <- 1 - pbinom(25, size = 50, prob = p) prob_mas_mitad

prob_mas_de_la_mitad <- 1 - pbinom(25, size = n, prob = p_estimada)
cat("La probabilidad de que Yezid acierte más de la mitad de los penales es:", round(prob_mas_de_la_mitad, 4), "\n")
## La probabilidad de que Yezid acierte más de la mitad de los penales es: 1
# Vector de valores posibles
x <- 0:n
y <- dbinom(x, size = n, prob = p_estimada)

# Graficar
barplot(y, names.arg = x, border = NA,
        col = ifelse(x > 25, "darkgreen", "gray"),
        main = "Distribución Binomial - Penales de Yezid",
        xlab = "Número de penales acertados", ylab = "Probabilidad")

# Agregar línea vertical en 25
abline(v = 26, col = "red", lty = 2)
text(27, max(y)*0.9, "Más de 25", col = "red", pos = 4)

Ejercicio 5: Binomial, geométrica y negativa binomial

Un grupo de empleados de la empresa de energía tiene la misión de hallar irregularidades en las conexiones eléctricas de las casas de una ciudad conocida por el manejo inadecuado e irregular en estas. Si por anteriores inspecciones se estima que la probabilidad de que una casa tenga una conexión irregular es del 30%.

a.) Si un equipo de la empresa visita 20 casas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna tenga conexiones irregulares?

b.) En promedio cuántas casas deberían ser visitadas para hallar la quinceava casa con conexiones irregulares.

c.) ¿Cuál es la probabilidad de que la décima casa visitada sea la primera en ser registrada por su conexión indebida a la red eléctrica?

a: Probabilidad de que ninguna tenga conexiones (P = 0.3, n = 20, X = 0)

p_irregular <- 0.3 prob_ninguna <- dbinom(0, size = 20, prob = p_irregular) prob_ninguna

n <- 20
p <- 0.30
prob_ninguna_irregular <- dbinom(0, size = n, prob = p)
cat("a) La probabilidad de que ninguna de las 20 casas tenga conexión irregular es:", round(prob_ninguna_irregular, 4), "\n")
## a) La probabilidad de que ninguna de las 20 casas tenga conexión irregular es: 8e-04
  1. Esperanza de la distribución binomial negativa (esperar 15 casos con p = 0.3)

[r]<- 15 esperanza_visitas <- r / p_irregular esperanza_visitas

r <- 15
esperanza_visitas <- r / p
cat("b) En promedio, se deben visitar", esperanza_visitas, "casas para hallar la 15ª con irregularidades.\n")
## b) En promedio, se deben visitar 50 casas para hallar la 15ª con irregularidades.
  1. Probabilidad de que la primera irregularidad ocurra en la casa #10

prob_casa10 <- dgeom(9, prob = p_irregular) # 9 fracasos, éxito en la 10 prob_casa10

k <- 10
prob_primera_en_10 <- dgeom(k - 1, prob = p)
cat("c) La probabilidad de que la décima casa sea la primera con conexión irregular es:", round(prob_primera_en_10, 4), "\n")
## c) La probabilidad de que la décima casa sea la primera con conexión irregular es: 0.0121
# Valores posibles para la posición de la primera casa irregular (hasta la 20)
x <- 1:20
y <- dgeom(x - 1, prob = p)

# Graficar barras
barplot(y, names.arg = x,
        col = ifelse(x == 10, "tomato", "skyblue"),
        main = "Distribución Geométrica (p = 0.3)",
        xlab = "Casa visitada donde ocurre la primera conexión irregular",
        ylab = "Probabilidad")

# Etiqueta adicional
text(10, y[10] + 0.01, paste("P(10) =", round(y[10], 3)), col = "red", pos = 3)