Rancangan Faktorial 3^2

Pendahuluan

Rancangan faktorial adalah metode eksperimen yang digunakan untuk mengevaluasi pengaruh dari dua atau lebih faktor secara simultan terhadap variabel respon. Rancangan ini memungkinkan peneliti untuk mempelajari baik efek utama dari masing-masing faktor maupun interaksi antar faktor. Salah satu bentuk rancangan faktorial yang umum digunakan adalah rancangan faktorial 3^2.

Pada rancangan faktorial 3^2, terdapat dua faktor yang masing-masing dipertimbangkan pada tiga level. Level ini biasanya disebut dengan level rendah, sedang, dan tinggi.

Tujuan

Mengidentifikasi Efek Utama: mengetahui pengaruh masing-masing faktor terhadap respons yang diukur.
Memahami Interaksi Faktor: menganalisis apakah ada interaksi antara faktor A dan faktor B. Interaksi terjadi jika efek satu faktor tergantung pada level faktor lainnya.

Ilustrasi

Sebuah eksperimen dilakukan dalam proses kimia. Faktor desainnya adalah suhu dan tekanan. Adapun variabel responsnya adalah hasil (yield). Data yang dihasilkan dari eksperimen ini adalah sebagai berikut.

Rancangan yang digunakan adalah Rancangan Faktorial 3^2, yang mana terdapat dua faktor yang diuji dan masing-masing tiga level, yaitu:

Suhu (Faktor A) dengan tiga level (80, 90, dan 100)
Tekanan (Faktor B) dengan tiga level (100, 120, dan 140).

Jumlah kombinasi percobaan yang dilakukan adalah 3×3=9, dan Karena ulangan (𝑟) dilakukan 2 kali, total percobaan menjadi 9×2=18.

Persiapan Data

# data
suhu <- rep(c(80, 90, 100), each = 6)
tekanan <- rep(rep(c(100, 120, 140), each = 2), 3)
yield <- c(
  47.58, 48.77, 64.97, 69.22, 80.92, 72.60,  # suhu 80
  51.86, 82.43, 88.47, 84.23, 93.95, 88.54,  # suhu 90
  71.18, 92.77, 96.57, 88.72, 76.58, 83.04   # suhu 100
)

data <- data.frame(
  Suhu = factor(suhu),
  Tekanan = factor(tekanan),
  Yield = yield
)

data

##    Suhu Tekanan Yield
## 1    80     100 47.58
## 2    80     100 48.77
## 3    80     120 64.97
## 4    80     120 69.22
## 5    80     140 80.92
## 6    80     140 72.60
## 7    90     100 51.86
## 8    90     100 82.43
## 9    90     120 88.47
## 10   90     120 84.23
## 11   90     140 93.95
## 12   90     140 88.54
## 13  100     100 71.18
## 14  100     100 92.77
## 15  100     120 96.57
## 16  100     120 88.72
## 17  100     140 76.58
## 18  100     140 83.04

ANOVA

model_anova <- aov(Yield ~ Suhu * Tekanan, data = data)
summary(model_anova)

##              Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## Suhu          2 1503.6   751.8   8.251 0.00921 **
## Tekanan       2 1096.9   548.5   6.020 0.02190 * 
## Suhu:Tekanan  4  586.6   146.7   1.610 0.25364   
## Residuals     9  820.0    91.1                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Interpretasi

Suhu dan Tekanan masing-masing memiliki pengaruh signifikan terhadap respons yang diukur, karena keduanya memiliki p-value yang lebih kecil dari 0.05.
Interaksi antara Suhu dan Tekanan tidak signifikan, karena p-value lebih besar dari 0.05. Dengan kata lain, perubahan pada suhu dan tekanan tidak saling mempengaruhi dalam menentukan respons.

Perhitungan ANOVA Manual

Faktor Koreksi (FK)

a=3, b=3, dan r=3

\[\small FK = \frac{Y_{\dots}^2}{r \times a \times b} = \frac{1382.4^2}{3 \times 3 \times 2} = 106168.32 \]

Derajat Bebas (df)

Faktor A: \[\small db_A = 3 - 1 = 2 \]
Faktor B: \[\small db_B = 3 - 1 = 2 \]
interaksi antara A dan B: \[\small db_{AB} = (3 - 1) \times (3 - 1) = 4 \]
Galat (error): \[\small db_{\text{galat}} = 17 - 8 = 9 \]
Total: \[\small db_{\text{total}} = (3 \times 3 \times 2) - 1 = 17 \]

Jumlah Kuadrat (JK)

Jumlah Kuadrat A (JKA): \[\small JKA = \frac{\sum_{i=1}^{a} Y_{i..}^2}{br} - FK = \frac{384.06^2 + \dots + 508.86^2}{3 \times 2} - 106168.32 = 1503.5 \]
Jumlah Kuadrat B (JKB): \[\small JKB = \frac{\sum_{i=1}^{b} Y_{i..}^2}{ar} - FK = \frac{394.59^2 + \dots + 495.63^2}{3 \times 2} - 106168.32 = 1096.9 \]
Jumlah Kuadrat Interaksi AB (JKP): \[\small JKP = \frac{\sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} Y_{ij.}^2}{r} - FK = \frac{(47.8+48.77)^2 + \dots + (76.58+83.4)^2}{2} - 106168.32 = 3187.13 \]
Jumlah Kuadrat Interaksi AB (JKAB): \[ JKAB = JKP - JKA - JKB = 586.64 \]
Jumlah Kuadrat Total (JKT): \[\small JKT = \sum_{i=1}^{a} \sum_{j=1}^{b} \sum_{k=1}^{r} Y_{ijk}^2 - FK = \left( 47.58^2 + 48.77^2 + \dots + 83.04^2 \right) - 106168.32 = 4007.10 \]
Jumlah Kuadrat Galat (JKG): \[\small JKG = JKT - JKA - JKB - JKAB = 819.9769 \]

Kuadrat Tengah

Kuadrat Tengah Faktor A: \[\small KTA = \frac{JKA}{db_A} = \frac{1503.5}{2} = 751.78 \]
Kuadrat Tengah Faktor B: \[\small KTB = \frac{JKB}{db_B} = \frac{1096.9}{2} = 548.47 \]
Kuadrat Tengah Faktor AB: \[\small KTAB = \frac{JKAB}{db_{AB}} = \frac{586.64}{4} = 146.66 \]
Kuadrat Tengah Galat: \[\small KTG = \frac{JKG}{db_{\text{Galat}}} = \frac{819.98}{9} = 91.11 \]

F Hitung

F hitung A: \[\small F_{\text{hit A}} = \frac{KTA}{KTG} = \frac{751.78}{91.11} = 8.25 \]
F hitung B: \[\small F_{\text{hit B}} = \frac{KTB}{KTG} = \frac{548.47}{91.11} = 6.02 \]
F hitung AB: \[\small F_{\text{hit AB}} = \frac{KTAB}{KTG} = \frac{146.66}{91.11} = 1.61 \]

TABEL ANOVA

Berikut tabel ANOVA yang dihasilkan dari perhitungan manual:

Faktor	DB	JK	KT	F hitung	Ftabel
Suhu	2	1503.50	751.78	8.25	0.0092
Tekanan	2	1096.90	548.47	6.02	0.0219
Suhu * Tekanan	4	586.64	146.66	1.61	0.2536
Galat	9	819.98	91.11
Total	17	4007.10

Analisis Lanjut : Pendekatan Kontras

Setelah dilakukan analisis varians (ANOVA) secara keseluruhan, langkah berikutnya adalah menerapkan pendekatan kontras untuk mengevaluasi pengaruh masing-masing faktor secara lebih spesifik.

Penentuan koefisien kontras orthogonal dilakukan berdasarkan tabel diatas, untuk jumlah level (k) = 3 dapat dilihat efek secara linear dan kuadratik.

# Kontras orthogonal: Linear & Quadratik
kontras <- matrix(c(
  -1, 0, 1,    # Linear
   1, -2, 1    # Kuadratik
), ncol = 2)

# Nama Kolom pada Matriks Kontras
colnames(kontras) <- c("L", "Q")

#Menetapkan Kontras pada Faktor Suhu dan Tekanan
contrasts(data$Suhu) <- kontras
contrasts(data$Tekanan) <- kontras

Berikut penjelasan mengenai fungsi yang digunakan :

matrix(): Fungsi ini membuat matriks kontras, yang berisi dua jenis kontras: linier dan kuadratik.

Kontras Linier: -1, 0, 1 digunakan untuk menguji perbedaan linier antara level-level faktor.
Kontras Kuadratik: 1, -2, 1 digunakan untuk menguji apakah ada pola kuadratik (seperti kurva U atau terbalik U) dalam respons terhadap level faktor.

contrasts(data$Suhu): Menetapkan matriks kontras (linier dan kuadratik) pada faktor Suhu.

contrasts(data$Tekanan): Menetapkan matriks kontras (linier dan kuadratik) pada faktor Tekanan.

# Model ANOVA
model <- aov(Yield ~ Suhu * Tekanan, data = data)

# Melihat ANOVA terpisah Linear dan Kuadratik
summary.aov(model,
  split = list(
    Suhu = list("L" = 1, "Q" = 2),
    Tekanan = list("L" = 1, "Q" = 2),
    "Suhu:Tekanan" = list(
      "L x L" = 1,
      "L x Q" = 2,
      "Q x L" = 3,
      "Q x Q" = 4
    )
  )
)

##                       Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## Suhu                   2 1503.6   751.8   8.251 0.00921 **
##   Suhu: L              1 1297.9  1297.9  14.246 0.00439 **
##   Suhu: Q              1  205.6   205.6   2.257 0.16726   
## Tekanan                2 1096.9   548.5   6.020 0.02190 * 
##   Tekanan: L           1  850.8   850.8   9.338 0.01366 * 
##   Tekanan: Q           1  246.2   246.2   2.702 0.13463   
## Suhu:Tekanan           4  586.6   146.7   1.610 0.25364   
##   Suhu:Tekanan: L x L  1  472.8   472.8   5.189 0.04872 * 
##   Suhu:Tekanan: L x Q  1   79.1    79.1   0.868 0.37589   
##   Suhu:Tekanan: Q x L  1   33.8    33.8   0.371 0.55728   
##   Suhu:Tekanan: Q x Q  1    1.0     1.0   0.010 0.92081   
## Residuals              9  820.0    91.1                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

split: Argumen split memungkinkan kita untuk melihat hasil ANOVA yang terpisah berdasarkan jenis kontras yang telah diterapkan. Dalam hal ini, kita ingin melihat efek dari kontras linier (L) dan kontras kuadratik (Q) untuk masing-masing faktor dan interaksi. split digunakan untuk memecah hasil ANOVA berdasarkan kontras-kontras ini.

Interpretasi

Pengaruh Suhu Terhadap Yield:

Suhu berpengaruh signifikan terhadap yield, pada kontras linier. Artinya, peningkatan atau penurunan suhu menyebabkan perubahan yang konsisten pada yield.

Pengaruh Tekanan Terhadap Yield:

Tekanan berpengaruh signifikan terhadap yield, pada kontras linier. Artinya, peningkatan atau penurunan tekanan menyebabkan perubahan yang konsisten pada yield.

Suhu:Tekanan: Linier x Linier

Interaksi antara perubahan linier pada suhu dan tekanan menunjukkan pengaruh signifikan terhadap yield. Ini berarti bahwa pengaruh suhu terhadap yield dapat berbeda tergantung pada level tekanan, dan sebaliknya. meskipun interaksi non-linier/quadratik tidak signifikan.

Perhitungan Manual

Jumlah Kuadrat (JK)

Berikut adalah perhitungan Jumlah Kuadrat (JK) untuk berbagai faktor dan interaksi:

- JKA Linear

\[\small JK_{A_L} = \frac{[-1(96.35) - 1(134.19) + \dots + 1(159.62)]^2}{2(6)} = \frac{124.8^2}{12} = 1297.92 \]

- JKA Quadratik

\[\small JK_{A_Q} = \frac{[1(96.35) + 1(134.19) + \dots + 1(159.62)]^2}{2(18)} = \frac{(-86.04)^2}{36} = 205.6356 \]

- JKB Linear

\[\small JK_{B_L} = \frac{[-1(96.35) + 0(134.19) + \dots + 1(159.62)]^2}{2(6)} = \frac{101.04^2}{12} = 850.756 \]

- JKB Quadratik

\[\small JK_{B_Q} = \frac{[1(96.35) - 2(134.19) + \dots + 1(159.62)]^2}{2(18)} = \frac{(-94.14)^2}{36} = 246.176 \]

- JK A Linear - B Linear

\[\small JK_{A_L B_L} = \frac{[1(96.35) + 0(134.19) + \dots + 1(159.62)]^2}{2(4)} = \frac{(-61.5)^2}{8} = 472.781 \]

- JK A Linear - B Quadratik

\[\small JK_{A_L B_Q} = \frac{[-1(96.35) + 2(134.19) + \dots + 1(159.62)]^2}{2(12)} = \frac{(-28.5)^2}{24} = 33.843 \]

- JK A Quadratik - B Linear

\[\small JK_{A_Q B_L} = \frac{[-1(96.35) + 0(134.19) + \dots + 1(159.62)]^2}{2(12)} = \frac{(-43.56)^2}{24} = 79.061 \]

- JK A Quadratik - B Quadratik

\[\small JK_{A_Q B_Q} = \frac{[1(96.35) - 2(134.19) + \dots + 1(159.62)]^2}{2(36)} = \frac{(-8.28)^2}{72} = 0.952 \]

- JK Total

\[\small JK_{\text{Total}} = 4007.104 \]

- JK Galat:

\[\small JK_{\text{Galat}} = 4007.104 - 1297.92 - 205.635 - 850.756 - 246.176 - 472.781 - 33.843 - 79.061 - 0.952 = 819.98 \]

Derajat Bebas

\[\small db_{A_L} = db_{A_Q} = db_{B_L} = db_{B_Q} = db_{A_L B_L} = db_{A_L B_Q} = db_{A_Q B_L} = db_{A_Q B_Q} = 1 \]

Derajat bebas untuk Galat dihitung sebagai: \[\small db_{\text{Galat}} = 17 - 8 = 9 \]
Derajat bebas Total adalah: \[\small db_{\text{Total}} = 18 - 1 = 17 \]

Kuadrat Tengah (Mean Square):

Kuadrat Tengah dihitung dengan membagi Jumlah Kuadrat (JK) dengan Derajat Bebas (DB).

KTA_L: \[\small KTA_L = \frac{JK_{A_L}}{db_{A_L}} = \frac{1297.92}{1} = 1297.92 \]
KTA_Q: \[\small KTA_Q = \frac{JK_{A_Q}}{db_{A_Q}} = \frac{205.635}{1} = 205.635 \]
KTB_L: \[\small KTB_L = \frac{JK_{B_L}}{db_{B_L}} = \frac{850.756}{1} = 850.756 \]
KTB_Q: \[\small KTB_Q = \frac{JK_{B_Q}}{db_{B_Q}} = \frac{246.176}{1} = 246.176 \]
KTA_L B_L: \[\small KTA_L B_L = \frac{JK_{A_L B_L}}{db_{A_L B_L}} = \frac{472.781}{1} = 472.781 \]
KTA_L B_Q: \[\small KTA_L B_Q = \frac{JK_{A_L B_Q}}{db_{A_L B_Q}} = \frac{33.843}{1} = 33.843 \]
KTA_Q B_L: \[\small KTA_Q B_L = \frac{JK_{A_Q B_L}}{db_{A_Q B_L}} = \frac{79.061}{1} = 79.061 \]
KTA_Q B_Q: \[\small KTA_Q B_Q = \frac{JK_{A_Q B_Q}}{db_{A_Q B_Q}} = \frac{0.952}{1} = 0.952 \]
KTG (Kuadrat Tengah Galat): \[\small KTG = \frac{JK_{\text{Galat}}}{db_{\text{Galat}}} = \frac{819.98}{9} = 91.108 \]

F hitung:

Berikut adalah perhitungan F hitung untuk setiap faktor dan interaksi:

F hitung A_L: \[\small F_{\text{hit A_L}} = \frac{KTA_L}{KTG} = \frac{1297.92}{91.108} = 14.245 \]
F hitung A_Q: \[\small F_{\text{hit A_Q}} = \frac{KTA_Q}{KTG} = \frac{205.635}{91.108} = 2.257 \]
F hitung B_L: \[\small F_{\text{hit B_L}} = \frac{KTB_L}{KTG} = \frac{850.756}{91.108} = 9.337 \]
F hitung B_Q: \[\small F_{\text{hit B_Q}} = \frac{KTB_Q}{KTG} = \frac{246.176}{91.108} = 2.701 \]
F hitung A_L B_L: \[\small F_{\text{hit A_L B_L}} = \frac{KTA_L B_L}{KTG} = \frac{472.781}{91.108} = 5.189 \]
F hitung A_L B_Q: \[\small F_{\text{hit A_L B_Q}} = \frac{KTA_L B_Q}{KTG} = \frac{33.843}{91.108} = 0.371 \]
F hitung A_Q B_L: \[\small F_{\text{hit A_Q B_L}} = \frac{KTA_Q B_L}{KTG} = \frac{79.061}{91.108} = 0.867 \]
F hitung A_Q B_Q: \[\small F_{\text{hit A_Q B_Q}} = \frac{KTA_Q B_Q}{KTG} = \frac{0.952}{91.108} = 0.0104 \]

F tabel:

F tabel dihitung dengan rumus distribusi F untuk derajat bebas faktor dan galat. Dalam hal ini, α = 0.05, db_faktor = 1, dan db_galat = 9:

\[\small F_{\text{tabel}} = F(0.05, 1, 9) = 5.117 \]

ANOVA Kontras

Faktor	SK	db	JK	KT	Fhitung	Keterangan
A_L	1	1	1297.92	1297.92	14.246	Signifikan
A_Q	1	1	205.635	205.635	2.257	Tidak
B_L	1	1	850.756	850.756	9.338	Signifikan
B_Q	1	1	246.176	246.176	2.702	Tidak
A_L B_L	1	1	472.781	472.781	5.189	Signifikan
A_L B_Q	1	1	33.8437	33.8437	0.371	Tidak
A_Q B_L	1	1	79.061	79.061	0.868	Tidak
A_Q B_Q	1	1	0.952	0.952	0.010	Tidak
Galat	9	9	819.980	91.109
Total	17	17	4007.107