CASOS    DE    MODELOS    ESTOCÁSTICOS

El proyecto analiza el desempeño de un centro de atención al cliente que atiende llamadas telefónicas para soporte o información general.
Actualmente enfrenta problemas debido a la cantidad limitada de agentes y la variabilidad en los tiempos de atención.
Se busca mejorar métricas como el tiempo promedio de espera y la utilización de los agentes, que no cumplen los estándares deseados.
Para ello, se aplica un modelo matemático basado en la teoría de colas M/M/c, que permite evaluar el sistema y proponer mejoras en la asignación de recursos

Evaluar el rendimiento actual del centro de atención al cliente
mediante un modelo de teoría de colas M/M/c,
con el fin de:

• Reducir los tiempos de espera de los clientes
  
• Mejorar la utilización de los agentes
  
• Optimizar la asignación de recursos
  
• Proponer mejoras que incrementen la eficiencia del sistema

• Llegadas \((\lambda)\). Siguen un proceso de Poisson, con intervalos entre llamadas independientes.

• Tiempos de servicio \((\mu)\). Tienen una distribución exponencial con tasa promedio constante.

• Servidores \(c\). Hay un número fijo de agentes trabajando simultáneamente.

Se calculan las siguientes métricas clave:

• Probabilidad de que no haya clientes:

\[ P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{c-1} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!} + \frac{(\lambda/\mu)^c}{c!(1 - \rho)} \right]^{-1} \]

• Probabilidad de que un cliente espere:

\[ P_w = \frac{(\lambda/\mu)^c}{c! (1 - \rho)} \cdot P_0 \]

• Tiempo promedio de espera en cola:

\[ W_q = \frac{P_w \cdot (\lambda/\mu)}{c \mu (1 - \rho)^2} \]

• Utilización del sistema:

\[ \rho = \frac{\lambda}{c \mu} \]

Datos:

• Tasa de llegadas: \(\lambda = 15\) llamadas/hora
  
• Tasa de servicio: \(\mu = 15\) llamadas/hora/agente
  
• Número de agentes: \(c = 3\)

1. Utilización del sistema:

\[ \rho = \frac{\lambda}{c \mu} = \frac{15}{3 \cdot 15} = 0.3333 \quad (33.33\%) \]

Los agentes están ocupados un tercio del tiempo, lo que indica capacidad disponible.

2. Probabilidad de que no haya clientes (\(P_0\)):

\[ P_0 = \left[1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{0.6667} \right]^{-1} = \frac{1}{2.75} \approx 0.3636 \]

Esto representa que el 36.36% del tiempo no hay clientes en el sistema.

3. Probabilidad de que un cliente espere (\(P_w\)):

\[ P_w = \frac{(15/15)^3}{3! (1 - 0.3333)} \cdot 0.3636 \approx 0.0909 \]

4. Tiempo promedio de espera en cola (\(W_q\)):

\[ W_q = \frac{P_w \cdot (\lambda / \mu)}{c \mu (1 - \rho)^2} = \frac{0.0909}{45 \cdot 0.4444} \approx 0.00455\ \text{horas} \approx 0.273\ \text{minutos} \]

5. Tiempo total en el sistema (\(W\)):

\[ W = W_q + \frac{1}{\mu} = 0.00455 + 0.0667 = 0.0712\ \text{horas} \approx 6.27\ \text{minutos} \]

6. Tabla resumen:

Se propone:

1. Incrementar el número de agentes (\(c = 4\))
   
2. Aumentar la tasa de servicio (\(\mu = 20\) llamadas/hora)

Nuevos parámetros:

• \(\lambda = 15\) llamadas/hora
  
• \(\mu = 20\) llamadas/hora
  
• \(c = 4\) agentes

Utilización:

\[ \rho = \frac{15}{4 \cdot 20} = 0.1875\quad (18.75\%) \]

Probabilidad sin clientes:

\[ P_0 \approx \left[1 + 0.75 + 0.28125 + 0.07031 + 0.0132\right]^{-1} \approx 0.4728 \]

Probabilidad de espera:

\[ P_t \approx 0.0062 \quad (0.62\%) \]

Tiempo en cola:

\[ W_q \approx 0.0000954\ \text{h} \approx 0.34\ \text{segundos} \]

Tiempo total:

\[ W = W_q + \frac{1}{\mu} \approx 3.01\ \text{minutos} \]

Las mejoras reducen significativamente los tiempos de espera
y aumentan la eficiencia del sistema.

El modelo mejorado muestra una optimización clara del sistema:

• La probabilidad de espera se reduce a 0.62%
  
• El tiempo en cola se reduce casi a cero (0.34 seg)
  
• Mejora considerable en la experiencia del cliente
  
• Tiempo total en el sistema baja a 3.01 minutos

Sin embargo, la utilización de los agentes cae a 18.75%, lo que puede indicar sobrecapacidad si la demanda no aumenta.
Esto implica un posible uso ineficiente de recursos humanos.

En resumen, el modelo mejorado cumple con los objetivos de eficiencia y calidad, pero requiere seguimiento continuo.

• El modelo M/M/c permitió evaluar el rendimiento del centro de atención.
  
• El sistema original era funcional, pero presentaba tiempos de espera mejorables.
  
• Las mejoras aplicadas lograron una experiencia más eficiente y fluida para el usuario.
  
• La baja utilización en el modelo mejorado sugiere revisar la relación entre servicio y costos.

Recomendaciones:

• Monitorear la demanda de llamadas en tiempo real.
  
• Ajustar dinámicamente el número de agentes según la carga.
  
• Evaluar si la mejora en el servicio justifica el costo adicional.
  
• Considerar esquemas híbridos o escalables para equilibrar eficiencia y rentabilidad.

Las máquinas industriales críticas están expuestas a fallas debido al desgaste por uso continuo, lo que genera paradas costosas e ineficiencias.
Este caso estudia una máquina bajo un enfoque estocástico usando Cadenas de Markov y distribuciones exponenciales para modelar su deterioro progresivo.
Se calculan métricas clave como la probabilidad de falla, tiempos esperados y tasa de fallos, con el fin de diseñar una estrategia de mantenimiento preventivo que mejore la confiabilidad y disponibilidad del sistema. - Objetivo: estimar métricas y proponer mantenimiento preventivo.

• Se usa una Cadena de Markov en tiempo discreto.
• Estados de la máquina:
  • S₀: Óptimo
  • S₁: Deterioro mínimo
  • S₂: Deterioro mayor
  • S₃: Fuera de servicio

Matriz de Transición:

\[ P = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.2 & 0.1 & 0.0 \\\\ 0.0 & 0.6 & 0.3 & 0.1 \\\\ 0.0 & 0.0 & 0.5 & 0.5 \\\\ 0.6 & 0.0 & 0.0 & 0.4 \\ \end{bmatrix} \]

Desde S₀:

• 70% permanece igual
  
• 20% pasa a S₁
  
• 10% a S₂

\(\lambda = 0.2\) fallas/hora
Tiempo esperado: \(T_i = \pi_i \cdot \frac{1}{\lambda}\)

Tasa de Fallos:

Tasa:
\(\lambda = \frac{1}{\text{MTBF}} = 0.2\)/hora

Equivale a una falla cada 5 horas en promedio.

Matriz Modificada con Mantenimiento Preventivo

La nueva matriz de transición \(P'\), incorporando el mantenimiento en el estado \(S_2\), es:

\[ P' = \begin{bmatrix} 0.7 & 0.2 & 0.1 & 0.0 \\\\ 0.0 & 0.6 & 0.3 & 0.1 \\\\ 0.6 & 0.0 & 0.3 & 0.1 \\\\ 0.6 & 0.0 & 0.0 & 0.4 \\ \end{bmatrix} \]

Se introduce una probabilidad del 60% de que al llegar a S₂, la máquina regrese a S₀ gracias al mantenimiento preventivo.

Con esta modificación, cuando la máquina alcanza el estado S₂:

• Existe un 60% de probabilidad de que se realice mantenimiento y regrese al estado óptimo S₀.
  
• Esto reduce significativamente la probabilidad de que la máquina pase al estado de falla S₃.
  
• Se mejora así la disponibilidad del sistema y se disminuyen los tiempos de inactividad no planificada.

Se busca reducir el riesgo de falla al mínimo posible mediante inspecciones oportunas y costo-efectivas.

a) Frecuencia Óptima de Inspección :

Según la matriz de transición:
- Probabilidad de pasar de S₁ a S₂: 30%

Recomendación:
- Inspeccionar cada vez que se detecte S₁ o S₂

Propuesta:
- Realizar inspecciones cada 10 horas si la máquina está en deterioro, antes de que evolucione a falla (S₃).

b) Comparación de Costos

Implementar mantenimiento preventivo puede reducir el tiempo fuera de servicio por debajo del 5%.

• Monitoreo continuo con sensores para detectar deterioro temprano
  

• Programar mantenimientos preventivos al entrar en S₂
  

• Evaluar políticas de reemplazo o inspección periódica
  

• Implementar mantenimiento predictivo basado en datos
  

• Capacitar al personal técnico en diagnóstico y prevención de fallos Impacto del Mantenimiento en S₂

• La estrategia de intervenir en S₂ antes de llegar a S₃:

  • Reduce la probabilidad de fallos
    
  • Mejora la disponibilidad
    
  • Extiende la vida útil del equipo
    
  • Disminuye los costos imprevistos