Física Básica
JTilano
2025-05-30
library(tinytex) # Para el latex
library(knitr) # Para las tablas bonitas
library(kableExtra) # Para las tablas bonitas en html
library(tidyverse) # Para los pipelines %>%
library(ggplot2) # Para graficar
library(tidyr) # Gather, concatenar columnas y filasEventos Mecánicos
En este capítulo se detallan los elementos de la mecánica, teniendo en cuenta los fundamentos claves, abarcando las magnitudes de la Ciencia y los estándares, el movimiento en una dimensión, el movimiento rectilineo uniforme, el movimiento rectilineo uniformemente acelerado, la caída libre, el movimiento en dos dimensiones, el principio de conservación de la energía, las leyes de Newton y su importancia en la explicación de fenómenos y la indagación, la cantidad de movimiento y los tipos de colisiones, la rotación de cuerpos rígidos, juntamente con sus principos básicos, y las leyes de la mecánica de fluidos.
El presente estudio, se trata de un análisis rico en tablas y gráficas, que permitan comprender mejor los temas, y a su vez, se hace enfasis en el aprendizaje por competencias antes que en priorizar en los contenidos.
Elementos del Movimiento
En primera instancia, se busca desarrollar un conjunto de principios y escenarios posibles donde se pueden usar los principios de la Mecánica Clásica, para explicar el movimiento.
Los movimientos claves abordados, tratan los fundamentos útiles, en el tratado vectorial, dividiendo los movimientos en el plano en sus componentes.
En la sección de energía se simplifican las cosas, ya que el principio de conservación, permite a partir de una ecuación describir esos resultados ya conocidos.
Movimiento Rectílineo Uniforme
Al interpretar el movimiento rectilineo uniforme, a la luz de las leyes de Newton, se encuentra algo muy importante ligado a la ley de la inercia, que es el movimiento equilibrado sin presencia de aceleración. Todo cuerpo tiende a permanecer en movimiento rectilineo uniforme a no ser que haya una fuerza que lo haga cambiar ese estado. Por lo tanto, el movimiento a velocidad constante deriva tres características importantes: (1) El cuerpo sigue una trayectoria rectilinea. (2) La Rapidez del cuerpo es constante, esto es, el cuerpo recorre una distancia fija en el tiempo fijo (distancia y tiempo son proporcionales). (3) No existe aceleración ya que no hay cambios de ritmo en la velocidad del cuerpo. En el ejemplo que sigue se plantea el movimiento de un auto a velocidad de 80 Km/h en una carretera recta durante 7 horas.
t=c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
v=c(40, 80, 200)t=tiempo en horas; x=distancia en kilómetros
x1=v[1]*t; x2=v[2]*t; x3=v[3]*t
ts=c(t,t,t);x=c(x1,x2,x3)plot(ts, x, xlab="Tiempo en horas", ylab="Distancia recorrida en kilómetros", main="Grafica de posición tiempo", col=c("red","red","red","red","red","red","red","red","blue","blue","blue","blue","blue","blue","blue","blue", "green","green","green","green","green","green","green","green"))
A mayor velocidad, el auto recorre mayor distancia. Se puede esperar que tarde menos tiempo en recorrer una distancia fija, al incrementar su velocidad; con un control de la velocidad limite. La pendiente de cada recta da la velocidad, el color verde, en este caso representa la de mayor velocidad. Esto se expresa como v=d/t.
Problemas de Persecución
Supongamos que los autos A a 40 km/h y B a 200 km/h, van en una persecución sobre la misma carretera recta. Si los autos están separados 400 km al iniciar puede pasar que: (1) el auto de 40 persiga al de 200, y no podrá alcanzarlo, la distancia se aumenta a través del tiempo; (2) el auto de 200 persigue al de 40, y logra alcanzarlo despues de cierto tiempo.
Calcule la velocidad relativa del auto a 200 con respecto al auto a 40.
Calcule el tiempo que tarda en alcanzarlo.
Calcule la distancia que recorre cada uno.
Solución
\(v_R=V_B-V_A=(200-40)km/h=160km/h\)
\(t=d/V_R=400km/(160km/h)=2.5h\)
\(x_A=V_A.t=40km/hx2.5h=100km\)
\(x_B=V_B.t=200km/hx2.5h=500km\)
\(x_B-x_A=400km\)
t=c(0,0.5,1,1.5,2,2.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5);
x_A=c(0,20,40,60,80,100);x_B=c(0,100,200,300,400,500);
x=c(x_A+400,x_B)plot(t,x,xlab="Tiempo empleado en horas", ylab="Posición de los autos", main="Gráfico de posición tiempo autos A y B", col=c("red","red","red","red","red","red","blue","blue","blue","blue","blue","blue"))
Problemas de Cruce
Supongamos que los autos A a 40 km/h y B a 160 km/h, van en sentido opuesto, hacia el encuentro, en un cruce sobre la misma carretera recta. Si los autos están separados 400 km al iniciar, sucede que los autos se encuentran despues de cierto tiempo.
Calcule la velocidad relativa de proximidad de los autos.
Calcule el tiempo que tardan en encontrarse.
Calcule la distancia que recorre cada uno.
Solución:
La velocidad relativa de proximidad de los autos es \[v_R=V_B+V_A=(160+40)km/h=200km/h\]
el tiempo que tardan en encontrarse los autos es \[t=d/V_R=400km/(200km/h)=2h\]
Se obtiene que:
\[\begin{eqnarray*} x_A &=&V_A \cdot t=40km/hx2h = 80km \\ x_B &=& V_B \cdot t=160km/hx2h = 320km \end{eqnarray*}\]
Es decir,
\[x_B+x_A = 6400km \]
Consideremos los siguientes valores particulares de las variables anteriores:
t=c(0,0.5,1,1.5,2,0,0.5,1,1.5,2);
x_A=c(0,20,40,60,80);x_B=c(0,80,160,240,320);
x=c(400-x_A,x_B)Con lo anterior, la gráfica corresponidente es:
plot(t,x,xlab="Tiempo empleado en horas", ylab="Posición de los autos", main="Gráfico de posición tiempo autos A y B", col=c("red","red","red","red","red","blue","blue","blue","blue","blue"))
La distancia se va acortando entre ellos a razón de 200 km por cada hora de tiempo en movimiento.
Aplicaciones de M. R. U
Entre las aplicaciones importantes del movimiento rectilineo uniforme, se encuentran las que estudian la propagación de ondas como el sonido en un medio gaseoso, líquido ó sólido; y la luz ó la radiación electromagnética en el vacío o en un medio refringente como agua o vidrio.
Ejemplo: Considere que en aire a 15 °C, la velocidad del sonido es de 340 m/seg. Bien, como podemos usar esa información para hallar la distancia a la que se produce el trueno del observador, si la perturbación tarda 1.5 segundos en llegar a este.
En principio, la distancia recorrida es proporcional al tiempo, por lo que x=vt. Entonces, empleando los datos disponibles, se tiene x=340m/seg x 1.5 seg =510 metros. El trueno ocurre a una distancia cerca de medio kilómetro del observador.
A su vez, el relámpago tarda 1.7 microsegundos en ser percibido, lo que deja la sensación de que el destello de luz se produce de forma instantánea, pues, ese tiempo no puede ser discriminado por un ser humano.
Ejemplo: Considere una onda de sonido en el agua, esta se trata de una onda longitudinal que viaja alrededor de 1500 m/seg. En este se quiere medir el tiempo que tarda la onda sonora bajo el agua, en recorrer 600 metros.
Ahora, se trata de medir el tiempo; lo cual, está relacionado con distancia y velocidad en la forma t=d/v. En el caso, de problemas de posición, se tiene la precaución de que posición no es igual a distancia, así que se debe utilizar la relación entre la distancia y la velocidad, señalada anteriormente.
Por tanto, se tiene t=d/v=600m/(1500m/seg)=0.4 seg. Tarda debajo del agua 0.4 segundos, en el aire a 15°C hubiese tardado casi 2 segundos, lo cual, significa una gran diferencia entre la propagación del sonido en los dos medios.
Movimiento Rectilineo Uniformemente Acelerado
El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado desde la perspectiva de las leyes de Newton, es el movimiento de desequilibrio que se origina con una aceleración constante, y permite originar las 3 características:
Trayectoria rectilinea, es decir movimiento en un segmento recto.
Velocidad variable, y específicamente, en forma proporcional con el tiempo.
La posición de la partícula, en función del tiempo, puede ser descrita siguiendo una ecuación de segundo grado del tiempo. Su gráfica es una parábola.
Aquí no se estudian problemas de aplicar las ecuaciones, sino la interpretación de cada ecuación con los términos que intervienen en cada una de ellas.
Términos claves del M.R.U.A
Algunos términos básicos para entender esta lección son:
Tiempo: es la duración de un suceso. Se mide en segundos, minutos u horas.
Posición: es el punto que ocupa una partícula en su trayecto.
Distancia: es la longitud de trayectoria seguida por la partícula. No puede ser negativa y depende de una métrica.
Rapidez: es la distancia que recorre la partícula por unidad de tiempo.
Desplazamiento: Es un vector cuya magnitud es la magnitud de la diferencia entre dos posiciones.
Velocidad: es el cociente entre desplazamiento y tiempo. También es una cantidad vectorial como el desplazamiento.
Aceleración: es la cantidad vectorial que mide el cambio de velocidad por unidad de tiempo.
Ejemplos
Para los siguientes móviles, en sistema MKS
\(x_1(t)=3+4t+4t^2\), \(t<=3\)
\(x_2(t)=5+6t+3t^2\), \(t<4\)
\(x_3(t)=7+2t+t^2\), \(t<5\)
\(x_4(t)=10+3t+2t^2\), \(t<4\)
\(x_5(t)=5t^2\), \(t<=3\)
Encuentre:
Posición inicial, velocidad inicial y aceleración en [(1)].
La gráfica de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.
La posición a los 3 segundos.
La velocidad a los 3 segundos.
Si x(t)=20 m, determine el tiempo.
SOLUCIÓN:
Móvil No. 1:
En principio, se contrasta con la ecuación general de posición, dada por
\[X(t) =x_0+v_0t+1/2.a.t^2\]
Por lo tanto, se tiene
Parte (a):
Posición inicial \(X_1(0)=3m\),
velocidad inicial \(V_1(0)=4m/s\)
Teniendo en cuenta que \(1/2a_1=4m/s^2\), el término de la aceleración es \(a_1=8m/s^2\).
Parte (b):
Las gráficas de x y v simultáneas serían
t=seq(from=0, to=3, by=0.1)
x_1=3+4*t+4*t^2
x_2=5+6*t+3*t^2
x_3=7+2*t+t^2
x_4=10+3*t+2*t^2
x_5=5*t^2
plot(t,x_1,type="l",col="red",lwd=1,xlab="Tiempo transcurrido",ylab="Posición", main="Gráficas de Posición tiempo")
lines(t,x_2,col="blue",lwd=1)
lines(t,x_3,col="black",lwd=1)
lines(t,x_4,col="brown",lwd=1)
lines(t,x_5,col="green",lwd=1)
v_1=4+8*t; v_2=6+6*t; v_3=2+2*t; v_4=3+4*t; v_5=10*t;
plot(t,v_1,type="l",col="red",lwd=0.3, xlab="Tiempo transcurrido",ylab="Velocidad", main="Gráficas de Velocidad tiempo")
lines(t,v_2,col="blue",lwd=0.3)
lines(t,v_3,col="black",lwd=0.3)
lines(t,v_4,col="brown",lwd=0.3)
lines(t,v_5,col="green",lwd=0.3)
Todas las gráficas de velocidad en función del tiempo son lineales.
- Las posiciones a los 3 segundos, como se observa en la
gráfica respectiva, serían en metros
\[x_1=3+4(3)+4(3)^2=3+12+36=51\] \[x_2=5+6(3)+3(3)^2=5+18+27=50\] \[x_3=7+2(3)+(3)^2=7+6+9=22\] \[x_4=10+3(3)+2(3)^2=10+9+18=37\] \[x_5=5(3)^2=5(9)=45\] (d) La velocidad a los 3 segundos, serían en \(m/s\)
\[v_1=4+8(3)=4+24=28\] \[v_2=6+6(3)=6+18=24\] \[v_3=2+2(3)=2+6=8\] \[v_4=3+4(3)=3+12=15\] \[v_5=10(3)=30\] (e) Pongamos \(X=20\), en las ecuaciones de posición contra tiempo. De esto surgen las ecuaciones
\[t^2+t-17/4=0\]
\[t^2+2t-5=0\]
\[t^2+2t-13=0\]
\[t^2+3/2t-5=0\]
\[t^2-4=0\]
Si imaginamos la ecuación \(t^2+at+b=0\), entonces la solución válida es \(t=-a/2+\sqrt{a^2/4-b}\). Luego, las soluciones correctas, en segundos, son
\(t_1=-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{17}{4}}\)
\(t_2=-1+\sqrt{1+5}\)
\(t_3=-1+\sqrt{1+13}\)
\(t_4=-\frac{3}{4}+\sqrt{\frac{9}{16}+5}\)
y \(t_5=2\)
Compruebe que reemplazando estos valores en las ecuaciones originales se obtiene \(x=20\).
Movimiento Parabólico
A la luz de las leyes de Newton, el movimiento parabólico, es un movimiento combinado por dos movimientos: el movimiento horizontal es a velocidad constante, sin aceleración y es un movimiento rectilineo uniforme, es decir, un movimiento equilibrado; y el movimiento vertical es un movimiento de desequilibrio provocado por la aceleración de la gravedad, tiene velocidad variable (la velocidad vertical es una función lineal del tiempo) y su aceleración en cualquier punto es igual a la aceleración de la gravedad con magnitud 9.8 m/seg^2 y dirigida hacia abajo (se toma negativa y de esto surge la trayectoria parabólica con eje sobre la vertical y un punto máximo de altura). Esto indica la caída del cuerpo bajo la presencia del campo gravitatorio, la parábola abre hacia abajo.
En el primer ejemplo se estudia el lanzamiento del proyectil con condiciones iniciales: velocidad inicial, v_0, en m/seg y ángulo de tiro, A, en grados.
v_0=c(10,20,30,40,50,60,70,80);A=c(30,45,60,30,45,60,30,45)Sistema MKS; Altura maxima: H_m; Tiempo de vuelo: T_v; Alcance horizontal: R
H_m=v_0^2*(sin(A*3.14159/180))^2/(2*9.8);
T_v=2*v_0*sin(A*3.14159/180)/9.8;
R= v_0^2*sin(2*A*3.14159/180)/9.8
rs=cbind(v_0,A,H_m, T_v, R);rs## v_0 A H_m T_v R
## [1,] 10 30 1.275508 1.020407 8.836989
## [2,] 20 45 10.204068 2.886148 40.816327
## [3,] 30 60 34.438740 5.302194 79.533026
## [4,] 40 30 20.408132 4.081630 141.391830
## [5,] 50 45 63.775426 7.215371 255.102041
## [6,] 60 60 137.754961 10.604387 318.132106
## [7,] 70 30 62.499904 7.142852 433.012481
## [8,] 80 45 163.265090 11.544593 653.061224Graficos de trayectoria
Este es el gráfico que describe simultáneamente, las trayectorias seguidas por los proyectiles
x=cbind(0,R/20,2*R/20,3*R/20,4*R/20,5*R/20,6*R/20,7*R/20,8*R/20,9*R/20,10*R/20,11*R/20,12*R/20,13*R/20,14*R/20,15*R/20,16*R/20,17*R/20,18*R/20,19*R/20,R)
y=tan(A*3.14159/180)*x-4.9/(v_0*cos(A*3.14159/180))^2*x^2
plot(rbind(x[1,],x[2,],x[3,],x[4,],x[5,],x[6,],x[7,],x[8,]),rbind(y[1,],y[2,],y[3,],y[4,],y[5,],y[6,],y[7,],y[8,]),xlab="Recorrido horizontal, x",ylab="Altura alcanzada, y",main="Trayectoria real", col=c("gray","orange","brown", "black","blue","red","green", "purple"))
v_0=c(80,80,80,80,80,80,80,80);A=c(5,15,25,35,45,60,70,80)H_m=v_0^2*(sin(A*3.14159/180))^2/(2*9.8);
T_v=2*v_0*sin(A*3.14159/180)/9.8;
R1= v_0^2*sin(2*A*3.14159/180)/9.8
rs=cbind(v_0,A,H_m, T_v, R1);rs## v_0 A H_m T_v R1
## [1,] 80 5 2.480363 1.422950 113.4028
## [2,] 80 15 21.873367 4.225614 326.5304
## [3,] 80 25 58.320298 6.899885 500.2736
## [4,] 80 35 107.425124 9.364506 613.6766
## [5,] 80 45 163.265090 11.544593 653.0612
## [6,] 80 60 244.897709 14.139183 565.5682
## [7,] 80 70 288.333570 15.341915 419.7807
## [8,] 80 80 316.684378 16.078491 223.3615Graficos de trayectoria con Velocidad inicial fija
Este es el gráfico que describe simultáneamente, las trayectorias seguidas por los proyectiles
x1=cbind(0,R1/20,2*R1/20,3*R1/20,4*R1/20,5*R1/20,6*R1/20,7*R1/20,8*R1/20,9*R1/20,10*R1/20,11*R1/20,12*R1/20,13*R1/20,14*R1/20,15*R1/20,16*R1/20,17*R1/20,18*R1/20,19*R1/20,R1)
y=tan(A*3.14159/180)*x1-4.9/(v_0*cos(A*3.14159/180))^2*x1^2plot(rbind(x[1,],x[2,],x[3,],x[4,],x[5,],x[6,],x[7,],x[8,]),rbind(y[1,],y[2,],y[3,],y[4,],y[5,],y[6,],y[7,],y[8,]),xlab="Recorrido horizontal, x",ylab="Altura alcanzada, y",main="Trayectoria real a velocidad fija", col=c("gray","orange","brown", "black","blue","red","green", "purple"))
En el anterior gráfico, se observa que al aumentar el ángulo de tiro, la altura máxima aumenta, pero, el ángulo que produce el mayor alcance horizontal es el de 45 grados, cuando se mantiene constante la velocidad inicial.
v_0=c(20,30,40,50,60,70,80,90);A=c(45,45,45,45,45,45,45,45)H_m=v_0^2*(sin(A*3.14159/180))^2/(2*9.8);
T_v=2*v_0*sin(A*3.14159/180)/9.8;
R2= v_0^2*sin(2*A*3.14159/180)/9.8
rs=cbind(v_0,A,H_m, T_v, R2);rs## v_0 A H_m T_v R2
## [1,] 20 45 10.20407 2.886148 40.81633
## [2,] 30 45 22.95915 4.329222 91.83673
## [3,] 40 45 40.81627 5.772296 163.26531
## [4,] 50 45 63.77543 7.215371 255.10204
## [5,] 60 45 91.83661 8.658445 367.34694
## [6,] 70 45 124.99983 10.101519 500.00000
## [7,] 80 45 163.26509 11.544593 653.06122
## [8,] 90 45 206.63238 12.987667 826.53061Graficos de trayectoria con ángulo de tiro constante de 45°
Este es el gráfico que describe simultáneamente, las trayectorias seguidas por los proyectiles
x=cbind(0,R2/20,2*R2/20,3*R2/20,4*R2/20,5*R2/20,6*R2/20,7*R2/20,8*R2/20,9*R2/20,10*R2/20,11*R2/20,12*R2/20,13*R2/20,14*R2/20,15*R2/20,16*R2/20,17*R2/20,18*R2/20,19*R2/20,R2)
y=tan(A*3.14159/180)*x-4.9/(v_0*cos(A*3.14159/180))^2*x^2plot(rbind(x[1,],x[2,],x[3,],x[4,],x[5,],x[6,],x[7,],x[8,]),rbind(y[1,],y[2,],y[3,],y[4,],y[5,],y[6,],y[7,],y[8,]),xlab="Recorrido horizontal, x",ylab="Altura alcanzada, y",main="Trayectoria real con angulo fijo a 45°", col=c("gray","orange","brown", "black","blue","red","green", "purple"))
En el anterior gráfico, se observa que al aumentar la velocidad, la altura máxima aumenta así como el alcance horizontal del proyectil, cuando se mantiene constante el ángulo de lanzamiento.
v_0=c(20,30,40,50,60,70,80,90);A=c(30,30,30,30,30,30,30,30)H_m=v_0^2*(sin(A*3.14159/180))^2/(2*9.8);
T_v=2*v_0*sin(A*3.14159/180)/9.8;
R3= v_0^2*sin(2*A*3.14159/180)/9.8
rs=cbind(v_0,A,H_m, T_v, R3);rs## v_0 A H_m T_v R3
## [1,] 20 30 5.102033 2.040815 35.34796
## [2,] 30 30 11.479574 3.061222 79.53290
## [3,] 40 30 20.408132 4.081630 141.39183
## [4,] 50 30 31.887706 5.102037 220.92474
## [5,] 60 30 45.918297 6.122444 318.13162
## [6,] 70 30 62.499904 7.142852 433.01248
## [7,] 80 30 81.632528 8.163259 565.56732
## [8,] 90 30 103.316168 9.183666 715.79614Graficos de trayectoria con ángulo de tiro constante de 30°
Este es el gráfico que describe simultáneamente, las trayectorias seguidas por los proyectiles
x=cbind(0,R3/20,2*R3/20,3*R3/20,4*R3/20,5*R3/20,6*R3/20,7*R3/20,8*R3/20,9*R3/20,10*R3/20,11*R3/20,12*R3/20,13*R3/20,14*R3/20,15*R3/20,16*R3/20,17*R3/20,18*R3/20,19*R3/20,R3)
y=tan(A*3.14159/180)*x-4.9/(v_0*cos(A*3.14159/180))^2*x^2plot(rbind(x[1,],x[2,],x[3,],x[4,],x[5,],x[6,],x[7,],x[8,]),rbind(y[1,],y[2,],y[3,],y[4,],y[5,],y[6,],y[7,],y[8,]),xlab="Recorrido horizontal, x",ylab="Altura alcanzada, y",main="Trayectoria real con angulo fijo a 30°", col=c("gray","orange","brown", "black","blue","red","green", "purple"))
En el anterior gráfico, se observa que al aumentar la velocidad, la altura máxima aumenta así como el alcance horizontal del proyectil, cuando se mantiene constante el ángulo de lanzamiento. Se conserva el patrón sea cual sea el ángulo.
El Plano Inclinado
En esta sección, se discuten los elementos del plano inclinado, con sus características esenciales, realizando un enfásis especial en las propiedades importantes de este sistema mecánico, que permite estudiar en forma precisa la aceleración y velocidad, bajo los efectos de la aceleración de la gravedad local.
Esta clase de preparación, trata los aspectos puestos en común para el plano inclinado. Para ello, se realiza un abordaje de las competencias claves del uso comprensivo del conocimiento científico, la explicación de fenómenos y la indagación, con lo cual, se busca favorecer una Física Práctica basada en experiencias.
En esta gráfica, se observa el tiempo de descenso de un bloque y una esfera, por un plano inclinado de longitud fija, para distintos valores del desplazamiento horizontal o lado adyacente, en un plano inclinado. Esta gráfica corresponde a un diagrama de dispersión del tiempo, en el que se observa el tiempo que emplean bloque y esfera para descender sobre un plano inclinado. Al aumentar el desplazamiento horizontal, el tiempo de descenso tambien aumenta, pero la esfera avanza más rápido, con mayor velocidad y con mayor aceleración.
x=c(58,69,78)
t_b=c(0.470,0.526,0.604)
t_e=c(0.372,0.480,0.518)Velocidades y Aceleración CGS
Las velocidades medias y aceleración medias, en el sistema CGS (centimetros, gramos y segundos), se calculan: la velocidad media tomando la longitud del plano L en centímetros \(L=94\) y dividiendo esa cantidad por el tiempo de descenso, tanto del bloque como de la esfera, para cada valor de x, el lado adyacente; y la aceleración de bloque y esfera sería la razón entre dos veces la velocidad media entre el tiempo de descenso. Para ello, pongamos el índice
L=94
i=c(1,2,3)Se reemplaza i como indice para cada valor tabulado.
v_b=L/t_b
v_e=L/t_e
a_b=2*v_b/t_b
a_e=2*v_e/t_e## Velocidad media del bloque:## [1] 200.00 178.71 155.63## [1] 252.69 195.83 181.47## [1] 851.06 679.51 515.33## [1] 1358.55 815.96 700.66En este caso, las salidas de esta formulación, son las siguientes
ss=cbind(x,v_b,v_e,a_b,a_e)
ss <- data.frame(ss)
kable(ss, align="c") %>% #Knitr Puedes utilizar: c, l , r
kable_styling() %>% #library(kableExtra).... Solo para knit to html
kable_classic_2(full_width = F) #library(kableExtra)....Solo para knit to html| x | v_b | v_e | a_b | a_e |
|---|---|---|---|---|
| 58 | 200.00 | 252.69 | 851.06 | 1358.55 |
| 69 | 178.71 | 195.83 | 679.51 | 815.96 |
| 78 | 155.63 | 181.47 | 515.33 | 700.66 |
ss=cbind(x,v_b,v_e,a_b,a_e)
ss <- data.frame(ss)
kable(ss, align="l") %>% #Knitr Puedes utilizar: c, l , r
kable_styling() %>% #library(kableExtra).... Solo para knit to html
kable_classic_2(full_width = F) #library(kableExtra)....Solo para knit to html| x | v_b | v_e | a_b | a_e |
|---|---|---|---|---|
| 58 | 200.00 | 252.69 | 851.06 | 1358.55 |
| 69 | 178.71 | 195.83 | 679.51 | 815.96 |
| 78 | 155.63 | 181.47 | 515.33 | 700.66 |
ss %>%
kbl() %>%
kable_paper(full_width = F) %>%
column_spec(4, color = spec_color(ss$a_b[1:2]),
link = "https://haozhu233.github.io/kableExtra/") %>%
column_spec(3, color = "white",
background = spec_color(ss$v_e[1:2], end = 0.7),
popover = paste("am:", ss$am[1:2]))%>% #Knitr Puedes utilizar: c, l , r
kable_styling() %>% #library(kableExtra).... Solo para knit to html
kable_classic_2(full_width = F) #library(kableExtra)....Solo para knit to html## Warning in ensure_len_html(color, nrows, "color"): The number of provided
## values in color does not equal to the number of rows.## Warning in ensure_len_html(background, nrows, "background"): The number of
## provided values in background does not equal to the number of rows.| x | v_b | v_e | a_b | a_e |
|---|---|---|---|---|
| 58 | 200.00 | 252.69 | 851.06 | 1358.55 |
| 69 | 178.71 | 195.83 | 679.51 | 815.96 |
| 78 | 155.63 | 181.47 | 515.33 | 700.66 |
Estas son las velocidades y aceleraciones, por caso, para bloque y esfera.
L=94
x=c(58,69,78)
t_b=c(0.470,0.526,0.604)
t_e=c(0.372,0.480,0.518)
v_b=L/t_b
v_b =round(v_b, 2)
v_e=L/t_e
v_e=round(v_e,2)
x<-c(x,x)
y=c(v_b,v_e)
plot(x,y, xlab="Lado adyacente", ylab="velocidad media", main="Diagrama de velocidades", col=c("red","red", "red","blue","blue", "blue")) 
#gather data from columns 2 and 3
x_v_bv_e <- gather(ss[,1:3], key="Tipo", value="velocidad", 2:3)
x_v_bv_e <- data.frame(x_v_bv_e)names(x_v_bv_e)## [1] "x" "Tipo" "velocidad"#https://ggplot2.tidyverse.org/reference/geom_point.html
#https://rpubs.com/hllinas/toc
ggplot(x_v_bv_e, aes(x = x, y= velocidad)) + #1
#geom_point(size=20, shape=5) +
geom_point(size=3) +
geom_point(aes(colour = Tipo))+
labs(x="Longitud adyacente",y= "Velocidad media") +
ggtitle("Diagrama de dispersión")+
theme_bw(base_size = 30) + # Presentación del fondo
facet_wrap(~"Variable Velocidad") #Divisón en paneles
L=94
x=c(58,69,78)
t_b=c(0.470,0.526,0.604)
t_e=c(0.372,0.480,0.518)
a_b=2*L/t_b^2
a_b =round(a_b, 2)
a_e=2*L/t_e^2
a_e=round(a_e,2)
x<-c(x,x)
y=c(a_b,a_e)
plot(x,y, xlab="Lado adyacente", ylab="Aceleración media", main="Diagrama de aceleraciones", col=c("red","red", "red","blue","blue", "blue")) 
Principio de Conservación de Energía
Existen dos enunciados claves del principio de conservación de energía:
“La energía no se crea ni se destruye, sino que se transforma”.
“La energía total de un sistema físico se conserva, las energías parciales tienden a cambiar, es decir, no permanecen fijas”.
En el enunciado (1) subyace la idea de que la energía sufre transformaciones pero no desaparece. Esto quiere decir, que la energía sólo puede sufrir transformaciones de un tipo a otro tipo, pero no puede crearse.
En el enunciado (2) está la idea práctica usada sobre todo en sistemas mecánicos donde se idealiza, asumiendo que la energía total es mecánica y por ende, sufre transformaciones dentro del sistema mecánico.
A su vez, existen dos clases de energía ligadas al sistema físico mecánico; estas son: la energía potencial y la energía cinética. La energía potencial es energía almacenada en virtud de la posición del objeto; existe en forma potencial gravitacional y viene dada por E_p=mgh, tambien existe en forma potencial elástica y viene dada por E_p=1/2kx^2, que es la energía, por ejemplo, almacenada por un resorte, donde k es la constante elástica y x es el estiramiento tambien llamado elongación.
La energía mecánica en el sistema idealizado se conserva, es decir, se puede escribir así
mgh_max = 1/2mv_max^2
mgh+1/2mv^2 = cte
mgh_1+1/2mv_1^2 = mgh_2+1/2mv_2^2
Entre estos sistemas se estudian: el movimiento parabólico, el péndulo simple, el tiro vertical, la caída libre desde cierta altura, el plano inclinado; que algunos de estos ya fueron estudiados anteriormente.
Energía en el Movimiento Parabólico
A pesar de que el tratamiento del movimiento parabólico suele hacerse por componentes, esto es, en forma vectorial; el tratamiento de la energía es más simple, ya que combina las componentes en forma escalar.
Considere el caso de lanzar un proyectil con velocidad inicial v_0 y ángulo de elevación A. El principio idealizado de la conservación de la energía establece que la energía mecánica en cualquier punto de su trayectoria siempre es la misma.
La primera relación del movimiento parabólico desde el nivel de referencia, tomado arbitrariamente como h=0 (aunque no se tome como 0 este se cancela), es:
1/2mv_0^2 = mgh_max+1/2mv_x^2
Se hacen las siguientes precisiones: primero, el arranque del proyectil es a velocidad total v_0, de alli su energía mecánica inicial es la energía cinética máxima; segundo, al alcanzar la altura máxima h_max, el proyectil tiene energía potencial y energía cinética pero sólo su componente horizontal.
Se tienen los siguientes hechos:
v_0^2 = v_0y^2 + v_0x^2 (fórmula pitogórica)
v_0x = v_x (la velocidad horizontal es fija, por ser un M.R.U.).
De esto, al reemplazar y simplificar, se concluye que
1/2mv_0y^2 = mgh_max
Luego, h_max = v_0y^2/(2g).
Es decir, h_max = v_0^2 sin^2(A)/(2g)
Esta es la misma expresión estudiada en secciones anteriores.
Veamos ahora el tiempo de vuelo del proyectil. Para ello, consideremos la ecuación de energía
1/2mv_0^2 = mgh+1/2mv_t^2
Con los siguientes hechos:
v_0^2 = v_0y^2 + v_0x^2
v_t^2 = v_y^2 + v_x^2
v_0x = v_x
v_y = v_0y + gt
Al reemplazar, se obtiene:
1/2m(v_0y^2 + v_0x^2) = mgh+1/2m(v_y^2 + v_x^2)
1/2m(v_0y^2 + v_0x^2) = mgh+1/2m[(v_0y+gt)^2 + v_0x^2)]
Al simplificar, se obtiene:
1/2mv_0y^2 = mgh+1/2m(v_0y+gt)^2
1/2mv_0y^2 = mgh+1/2m(v_0y^2 + 2gv_0yt+g2t2)
Al simplificar nuevamente, se obtiene
0=mgh+1/2m(2gv_0yt + g2t2)
Al dividir por mg, se tiene
0 = h +v_0yt + 1/2gt^2
Como la h es arbitraria, se puede tomar h=0 y obtener la ecuación del tiempo de vuelo, esto es:
v_0yt+1/2gt^2 = 0
Factorizando t, queda en la forma:
t(v_0y+1/2gt) = 0
La solución trivial es t=0, y la otra solución es: T_v=-2v_0y/g
Es decir, T_v= -2v_0 sin(A)/g.
El signo menos indica que en la ecuación g debe introducirse como una constante negativa.
El alcance sigue la forma convencional, dada por
R= v_0x T_v =v_0^2 sin(2A)/g
En el primer ejemplo se estudia el lanzamiento del proyectil con condiciones iniciales: velocidad inicial, v_0, en m/seg y ángulo de tiro, A, en grados, y masa M.
M=0.01;
g=-9.8;
v_0=c(10,20,30,40,50,60,70,80);A=c(30,45,60,30,45,60,30,45);
h=c(1,1,1,1,1,1,1,1);Sistema MKS;
Energía Máxima, E;
Velocidad inicial vertical, v_0y;
Velocidad inicial horizontal, v_0x;
Tiempos para h, t;
Velocidad Compuesta para h, v_t;
Distancia horizontal, x;
E=1/2*M*v_0^2;
v_0y=v_0*cos(A*3.14159/180);
v_0x=v_0*sin(A*3.14159/180);
t_1=(-v_0y-(v_0y^2+2*g*h)^(1/2))/g;
t_2=(-v_0y+(v_0y^2+2*g*h)^(1/2))/g;
v_t1=(v_0x^2+(v_0y+g*t_1)^2)^(1/2);
v_t2=(v_0x^2+(v_0y+g*t_2)^2)^(1/2);
x_1=v_0x*t_1;
x_2=v_0x*t_2;
rs=cbind(E=round(E,2), v_0y=round(v_0y,2),v_0x=round(v_0x,2),t_1=round(t_1,2),t_2=round(t_2,2),v_t1=round(v_t1,2),v_t2=round(v_t2,2),x_1=round(x_1,2),x_2=round(x_2,2));rs## E v_0y v_0x t_1 t_2 v_t1 v_t2 x_1 x_2
## [1,] 0.5 8.66 5.00 1.64 0.12 8.97 8.97 8.22 0.62
## [2,] 2.0 14.14 14.14 2.81 0.07 19.50 19.50 39.79 1.03
## [3,] 4.5 15.00 25.98 2.99 0.07 29.67 29.67 77.76 1.77
## [4,] 8.0 34.64 20.00 7.04 0.03 39.75 39.75 140.81 0.58
## [5,] 12.5 35.36 35.36 7.19 0.03 49.80 49.80 254.10 1.00
## [6,] 18.0 30.00 51.96 6.09 0.03 59.84 59.84 316.39 1.74
## [7,] 24.5 60.62 35.00 12.36 0.02 69.86 69.86 432.43 0.58
## [8,] 32.0 56.57 56.57 11.53 0.02 79.88 79.88 652.06 1.00Conservación de Energía en el Plano Inclinado
Otro sistema físico es el plano inclinado, el cual, tambien permite hacer un estudio simple mediante el principio de conservación de la energía. En el plano inclinado, con formato general, es decir, incluyendo la fricción, es un sistema físico que da una clara corrección del principio de conservación de la energía. También, bloque y esfera, son dos sistemas diferentes: el primero, por deslizamiento tiene fricción, y el segundo por rodadura no tiene fricción.
En el sistema MKS, se estudia el deslizamiento de un bloque, teniendo en cuenta la fricción. En este caso, se tienen los insumos
g: Magnitud de la gravedad local
h: Altura del plano inclinado
M: Masa del bloque
m_u: Coeficiente de fricción cinética
A: Angulo de inclinación del plano
E: Energía total del sistema
v_f: velocidad final del bloque al descender completamente
g=9.8
h=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)
M=c(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)
m_u=c(0.02,0.04,0.06,0.08,0.1,0.12,0.14,0.16,0.18,0.1)
A=c(30,32,34,36,40,45,50,55,60,70)
E=M*g*h
v_f=((E-m_u*M*g*cos(A*3.14159/180)*h/sin(A*3.14159/180))/(M/2))^(1/2)
cs=cbind(h,M,m_u, A, E, v_f)
cs## h M m_u A E v_f
## [1,] 1 0.1 0.02 30 0.98 4.349832
## [2,] 2 0.1 0.04 32 1.96 6.057283
## [3,] 3 0.1 0.06 34 2.94 7.319120
## [4,] 4 0.1 0.08 36 3.92 8.352684
## [5,] 5 0.1 0.10 40 4.90 9.290899
## [6,] 6 0.1 0.12 45 5.88 10.172904
## [7,] 7 0.1 0.14 50 6.86 11.003752
## [8,] 8 0.1 0.16 55 7.84 11.799710
## [9,] 9 0.1 0.18 60 8.82 12.572507
## [10,] 10 0.1 0.10 70 9.80 13.742859plot(h,E,xlab="Altura del plano (metros)", ylab="Energía total (Julios)", main="Dependencia de Energía y Altura")
plot(v_f,E,xlab="Velocidad Final (metros/seg)", ylab="Energía total (Julios)", main="Dependencia de Energía y velocidad final")
En el sistema MKS, otro caso es cuando se estudia la rodadura de una esfera, teniendo en cuenta la energía cinética traslacional y la energía cinética rotacional. En este caso, se tienen los insumos
g: Magnitud de la gravedad local
h: Altura del plano inclinado
M: Masa de la esfera
R: Radio de la esfera
A: Angulo de inclinación del plano
E: Energía total del sistema
v_f: velocidad final del bloque al descender completamente
g=9.8
h=c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)
M=c(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)
R=c(0.02,0.04,0.06,0.08,0.1,0.12,0.14,0.16,0.18,0.1)
A=c(30,32,34,36,40,45,50,55,60,70)
E=M*g*h
v_f=(E/(10*M/7))^(1/2)
cs=cbind(h,M,R, A, E, v_f)
cs## h M R A E v_f
## [1,] 1 0.1 0.02 30 0.98 2.619160
## [2,] 2 0.1 0.04 32 1.96 3.704052
## [3,] 3 0.1 0.06 34 2.94 4.536518
## [4,] 4 0.1 0.08 36 3.92 5.238320
## [5,] 5 0.1 0.10 40 4.90 5.856620
## [6,] 6 0.1 0.12 45 5.88 6.415606
## [7,] 7 0.1 0.14 50 6.86 6.929646
## [8,] 8 0.1 0.16 55 7.84 7.408104
## [9,] 9 0.1 0.18 60 8.82 7.857481
## [10,] 10 0.1 0.10 70 9.80 8.282512plot(h,E,xlab="Altura del plano (metros)", ylab="Energía total (Julios)", main="Dependencia de Energía y Altura")
plot(v_f,E,xlab="Velocidad Final (metros/seg)", ylab="Energía total (Julios)", main="Dependencia de Energía y Velocidad final")
Energía en el péndulo simple
El sistema físico del péndulo simple tiene una conotación importante en el estudio de la energía mecánica. En este sistema físico se observa como la energía mecánica disminuye a partir del rozamiento del aire.
Un péndulo simple se compone de un hilo inextensible sin masa que soporta una masa pequeña, llamada lenteja, la cuál se saca de la posición vertical y se pone a oscilar debido a la acción de la aceleración de la gravedad.
Suponga que la masa se aleja de la posición de equilibrio, que se encuentra en la vertical, tal como se muestra en la siguiente gráfica.
x=seq(from=-1, to=1, by=0.1)
x_1=seq(from=0,to=0.1,by=0.1)
x_2=seq(from=0,to=0.7,by=0.1)
x_3=seq(from=-0.1,to=0,by=0.1)
y_1=5*x_1
y_2=-x_2
y_3=-5*x_3
r=1
y=-(r^2-x^2)^(1/2)
plot(x,y,xlab="Posición horizontal", ylab="Posición Vertical", main="Péndulo Simple", col=c("black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","black","red","black","black","black"))
lines(x_1,y_1)
lines(x_2,y_2)
lines(x_3,y_3)
La oscilación va ocupando los puntos y se puede afirmar desde la teoría ideal, que la energía mecánica permanece fija; lo cual se puede escribir como
E=mgH, donde H es la altura máxima, que es en los extremos.
E=1/2mV^2, donde V es la velocidad máxima, en el centro.
E=mgh + 1/2mv^2, donde h y v pertenecen a cualquier punto.
H=0.3
g=9.8
m=0.1
E=m*g*H
V=(2*E/m)^(1/2)
h=seq(from=0,to=0.3,by=0.02)
v=(2*(m*g*H-m*g*h)/m)^(1/2)
v_s=cbind(H,E,V,h,v);v_s## H E V h v
## [1,] 0.3 0.294 2.424871 0.00 2.4248711
## [2,] 0.3 0.294 2.424871 0.02 2.3426481
## [3,] 0.3 0.294 2.424871 0.04 2.2574322
## [4,] 0.3 0.294 2.424871 0.06 2.1688707
## [5,] 0.3 0.294 2.424871 0.08 2.0765356
## [6,] 0.3 0.294 2.424871 0.10 1.9798990
## [7,] 0.3 0.294 2.424871 0.12 1.8782971
## [8,] 0.3 0.294 2.424871 0.14 1.7708755
## [9,] 0.3 0.294 2.424871 0.16 1.6565023
## [10,] 0.3 0.294 2.424871 0.18 1.5336232
## [11,] 0.3 0.294 2.424871 0.20 1.4000000
## [12,] 0.3 0.294 2.424871 0.22 1.2521981
## [13,] 0.3 0.294 2.424871 0.24 1.0844353
## [14,] 0.3 0.294 2.424871 0.26 0.8854377
## [15,] 0.3 0.294 2.424871 0.28 0.6260990
## [16,] 0.3 0.294 2.424871 0.30 0.0000000plot(h,v,xlab="altura en metros", ylab="velocidad en m/seg", main="Grafica de velocidad altura")
Energía en el Sistema Masa-Resorte
En el sistema de masa resorte se tiene un resorte sujeto en un extremo y en el otro extremo una masa oscilante capaz de hacer oscilar el resorte, ya sea en forma horizontal sobre una superficie o verticalmente en el aire libre.
Las energías asociadas al sistema masa resorte son dos: la energía cinética y la energía potencial elástica; estas dos al ser sumadas producen la energía mecánica. En terminos matemáticos, se tiene \(E_c=1/2mv^2\) \(E_p=1/2kx^2\) \(E=E_c+E_p\), donde \(E_c\) es la energía cinética asociada al movimiento, donde m es la masa y v es la velocidad de la masa, \(E_p\) es la energía potencial gravitacional asociada a la energía latente del resorte, que es almacenada en el resorte al sufrir elongación x y k es la constante elástica del resorte usualmente en \(N/m\); y \(E\) es la energía mecánica asociada a la energía total del sistema.
Ejemplo: Suponga que un resorte ideal tiene energía total constante de vibración dada por 300 ergios. La masa del resorte es de 20 grs y la constante de elasticidad del resorte es de \(100dinas/cm\). Obtenga para distintos valores una tabla donde represente la transformación de energía del sistema mecánico.
E=300
k=100
m=20
A=(2*E/k)^(1/2)
v_max=(2*E/m)^(1/2)
x=c(-A, -0.8*A, -0.6*A, -0.4*A, -0.2*A, 0, 0.2*A, 0.4*A, 0.6*A, 0.8*A, A)
v=(2*(E-1/2*k*x^2)/m)^(1/2)
E_c=1/2*m*v^2
E_p=1/2*k*x^2
E=E_c+E_p
cbind(x,v,E_c,E_p,E)## x v E_c E_p E
## [1,] -2.4494897 7.539457e-08 5.684342e-14 300 300
## [2,] -1.9595918 3.286335e+00 1.080000e+02 192 300
## [3,] -1.4696938 4.381780e+00 1.920000e+02 108 300
## [4,] -0.9797959 5.019960e+00 2.520000e+02 48 300
## [5,] -0.4898979 5.366563e+00 2.880000e+02 12 300
## [6,] 0.0000000 5.477226e+00 3.000000e+02 0 300
## [7,] 0.4898979 5.366563e+00 2.880000e+02 12 300
## [8,] 0.9797959 5.019960e+00 2.520000e+02 48 300
## [9,] 1.4696938 4.381780e+00 1.920000e+02 108 300
## [10,] 1.9595918 3.286335e+00 1.080000e+02 192 300
## [11,] 2.4494897 7.539457e-08 5.684342e-14 300 300plot(c(x,x,x),c(E_c,E_p,E),col=c("red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","black","black","black", "black","black","black", "black","black","black","black","black", "green","green","green","green","green","green","green","green","green","green","green"))
Energía en el Tiro Vertical
Se reconoce el tiro vertical como el lanzamiento de un proyectil hacia arriba, generalmente desde el nivel del piso. Se sabe de este movimiento que se trata de un movimiento mecánico, en el cual, la energía cinética se transforma en potencial.
Se puede escribir, el balance de energía, dentro del sistema MKS, como
E=1/2mV_m^2, donde E es la energía, m es la masa y V_m es la velocidad vertical inicial del lanzamiento.
E=mgH, en el formato ideal, ignorando la resistencia del aire. En este caso, H es la altura máxima alcanzada.
E=mgh + 1/2mv^2, en el caso intermedio, este es el formato ideal que expresa la conservación de la energía mecánica.
En el sistema MKS, se estudia el tiro vertical ideal de un cuerpo, teniendo en cuenta que la fricción del aire se desprecia. En este caso, se tienen los insumos
g: Magnitud de la gravedad local
V_m: Velocidad inicial del cuerpo.
H: Altura máxima que alcanza
h: Altura del cuerpo
M: Masa del bloque
E: Energía total del sistema
v= Velocidad a la altura h
g=9.8
V_m=20
h=c(0.2,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10.204)*2
M=c(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)
E=1/2*M*V_m^2
H=E/(M*g)
v=((E-M*g*h)/(M/2))^(1/2)
E_c=1/2*M*v^2
E_p=M*g*h
cs=cbind(h, M, E_c, E_p, E, H, v)
round(cs,1)## h M E_c E_p E H v
## [1,] 0.4 0.1 19.6 0.4 20 20.4 19.8
## [2,] 4.0 0.1 16.1 3.9 20 20.4 17.9
## [3,] 6.0 0.1 14.1 5.9 20 20.4 16.8
## [4,] 8.0 0.1 12.2 7.8 20 20.4 15.6
## [5,] 10.0 0.1 10.2 9.8 20 20.4 14.3
## [6,] 12.0 0.1 8.2 11.8 20 20.4 12.8
## [7,] 14.0 0.1 6.3 13.7 20 20.4 11.2
## [8,] 16.0 0.1 4.3 15.7 20 20.4 9.3
## [9,] 18.0 0.1 2.4 17.6 20 20.4 6.9
## [10,] 20.0 0.1 0.4 19.6 20 20.4 2.8
## [11,] 20.4 0.1 0.0 20.0 20 20.4 0.1v_1=c(v,v,v)
E_t=c(E_p,E_c,E)
plot(v_1,E_t,xlab="Velocidad (metros/seg)", ylab="Energías(Julios)", main="Dependencia de Energías",col=c("blue","blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "red","red","red", "red", "red", "red", "red", "red", "red", "red", "red","green", "green","green", "green", "green", "green", "green", "green", "green", "green", "green"))
La energía mecánica es la energía constante, la energía potencial corresponde a la curva decreciente y la energía cinética es la curva creciente que aumenta con la velocidad.
g=9.8
V_m=20
h=c(0.2,2,3,4,5,6,7,8,9,10,10.204)*2
M=c(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)
E=1/2*M*V_m^2
v=((E-M*g*h)/(M/2))^(1/2)
plot(h,v,xlab="Altura del cuerpo (metros)", ylab="Velocidad del cuerpo (metros/seg)", main="Velocidad contra altura")
A medida que la altura aumenta, la velocidad disminuye, hasta alcanzar la altura máxima, esto es, la energía cinética se va transformando en energía potencial.
Energía en la Caída de los Cuerpos
Se reconoce el movimiento de caída libre desde el reposo al descenso de un cuerpo, bajo la aceleración de la gravedad.
Se sabe de este movimiento que se trata de un movimiento mecánico, en el cual, la energía potencial se transforma en cinética; que es el caso inverso del tiro vertical.
Se puede escribir, el balance de energía, dentro del sistema MKS, como
E=mgH, es la energía total, que corresponde a la energía mecánica inicial.
E=1/2mV_m^2, donde E es la energía, m es la masa y V_m es la velocidad vertical final del lanzamiento.
E=mgh + 1/2mv^2, en el caso intermedio, este es el formato ideal que expresa la conservación de la energía mecánica.
En el sistema MKS, se estudia el objeto en caída libre ideal de un cuerpo, teniendo en cuenta que la fricción del aire se desprecia. En este caso, se tienen los insumos
g: Magnitud de la gravedad local
H: Altura inicial del cuerpo en caída
V_m: Velocidad final del cuerpo.
h: Altura del cuerpo en cualquier instante
M: Masa del cuerpo
E: Energía total del sistema
v= Velocidad a la altura h
g=9.8
H=20
h=c(0.2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)*2
M=c(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)
E=M*g*H
v=((E - M*g*h)/(M/2))^(1/2)
E_c=1/2*M*v^2
E_p=M*g*h
E=E_c+E_p
cs=cbind(h, M, E_c, E_p, E, H, v)
cs## h M E_c E_p E H v
## [1,] 0.4 0.1 19.208 0.392 19.6 20 19.600000
## [2,] 2.0 0.1 17.640 1.960 19.6 20 18.782971
## [3,] 4.0 0.1 15.680 3.920 19.6 20 17.708755
## [4,] 6.0 0.1 13.720 5.880 19.6 20 16.565023
## [5,] 8.0 0.1 11.760 7.840 19.6 20 15.336232
## [6,] 10.0 0.1 9.800 9.800 19.6 20 14.000000
## [7,] 12.0 0.1 7.840 11.760 19.6 20 12.521981
## [8,] 14.0 0.1 5.880 13.720 19.6 20 10.844353
## [9,] 16.0 0.1 3.920 15.680 19.6 20 8.854377
## [10,] 18.0 0.1 1.960 17.640 19.6 20 6.260990
## [11,] 20.0 0.1 0.000 19.600 19.6 20 0.000000v_1=c(v,v,v)
E_t=c(E_p,E_c,E)
plot(v_1,E_t,xlab="Velocidad (metros/seg)", ylab="Energías(Julios)", main="Dependencia de Energías",col=c("blue","blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "blue", "red","red","red", "red", "red", "red", "red", "red", "red", "red", "red","green", "green","green", "green", "green", "green", "green", "green", "green", "green", "green"))
La energía mecánica es la energía constante, la energía potencial corresponde a la curva decreciente y la energía cinética es la curva creciente que aumenta con la velocidad.
g=9.8
H=20
v=c(0.0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9.7)*2
M=c(0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1)
E=M*g*H
h=((E - 1/2*M*v^2)/(M*g))
plot(v,h,xlab="Velocidad del cuerpo (metros/seg)",ylab="Altura del cuerpo (metros)", main="Velocidad contra altura")
Al ir aumentando la velocidad, la altura del cuerpo va disminuyendo, esto es, la energía potencial se va transformando en energía cinética.
Cantidad de Movimiento
La cantidad de movimiento ó ímpetu es un vector denotado por P, el cual se define como el producto de la masa y la velocidad. Para introducir el concepto se debe tener en cuenta que \(P=mv\), es una cantidad vectorial y por lo tanto, su tratamiento obedece a una descomposición por componentes.
En forma general, la cantidad de movimiento de un sistema de objetos, que chocan a velocidades constantes, permanece constante. Las colisiones o choques entre dos objetos, se clasifican en: choques elásticos, que son aquellos donde adicionalmente se conserva la energía; y los choques perfectamente inelásticos donde no se conserca la energía, pero las masas quedan unidas, de modo que se suman sus masas y se calcula una única velocidad final.
Por lo tanto, se tienen dos ecuaciones, para los choques elásticos
\(m_1v_{1i}+m_2 v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2 v_{2f}\)
\(\frac{1}{2}m_1v_{1i}^2+\frac{1}{2}m_2 v_{2i}^2=\frac{1}{2}m_1v_{1f}^2+\frac{1}{2}m_2 v_{2f}^2\)
Suponga que dos masas \(m_1\) y \(m_2\) chocan de frente, y que el choque es elástico. Calcule las velocidades finales \(v_{1f}\) y \(v_{2f}\) después del choque. Tenga en cuenta, que se trata de magnitudes en el sistema MKS, esto es, longitudes en metros, masas en kilogramos, tiempos en segundos.
Caso simple del choque elástico
Se estudian masas iguales y una de las esferas se encuentra quieta.
m_1=c(0.01,0.02,0.03,0.04)
m_2=c(0.01,0.02,0.03, 0.04)
v_1i=c(5, 6, 7, 9)
v_2i=0
P=m_1*v_1i+m_2*v_2i
E=1/2*m_1*v_1i^2+1/2*m_2*v_2i^2
v_2f1=(m_2/m_1*P+(2*E*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f1=(P-m_2*v_2f1)/m_1
v_2f2=(m_2/m_1*P-(2*E*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f2=(P-m_2*v_2f2)/m_1
cbind(P, E, v_1f1, v_2f1, v_1f2, v_2f2)## P E v_1f1 v_2f1 v_1f2 v_2f2
## [1,] 0.05 0.125 0.000000e+00 5 5 3.469447e-16
## [2,] 0.12 0.360 0.000000e+00 6 6 0.000000e+00
## [3,] 0.21 0.735 -9.251859e-16 7 7 -4.625929e-16
## [4,] 0.36 1.620 0.000000e+00 9 9 -6.938894e-16Se puede ver que la solución trivial es la segunda. La esfera 1 le transmite su energía y cantidad de movimiento a la esfera 2, por eso, la esfera 1 queda quieta.
Caso de masas diferentes del choque elástico frontal
Se estudian masas desiguales y una de las esferas se encuentra quieta.
m_1=c(0.01,0.02,0.03,0.04)
m_2=c(0.03,0.04,0.02, 0.01)
v_1i=c(5, 6, 7, 9)
v_2i=0
P=m_1*v_1i+m_2*v_2i
E=1/2*m_1*v_1i^2+1/2*m_2*v_2i^2
v_2f1=(m_2/m_1*P+(2*E*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f1=(P-m_2*v_2f1)/m_1
v_2f2=(m_2/m_1*P-(2*E*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f2=(P-m_2*v_2f2)/m_1
cbind(P, E, v_1f1, v_2f1, v_1f2, v_2f2)## P E v_1f1 v_2f1 v_1f2 v_2f2
## [1,] 0.05 0.125 -2.5 2.5 5 4.625929e-16
## [2,] 0.12 0.360 -2.0 4.0 6 0.000000e+00
## [3,] 0.21 0.735 1.4 8.4 7 0.000000e+00
## [4,] 0.36 1.620 5.4 14.4 9 -4.440892e-15Se puede ver que la solución trivial es la segunda.
Suponga que dos masas \(m_1\) y \(m_2\) chocan de frente, y que el choque es elástico. Calcule las velocidades finales \(v_{1f}\) y \(v_{2f}\) después del choque. Tenga en cuenta, que se trata de magnitudes en el sistema MKS, esto es, longitudes en metros, masas en kilogramos, tiempos en segundos.
Caso simple del choque elástico
Se estudian masas iguales y una de las esferas se encuentra quieta.
m_1=c(0.01,0.02,0.03,0.04)
m_2=c(0.01,0.02,0.03, 0.04)
v_1i=c(5, 6, 7, 9)
v_2i=0
P=m_1*v_1i+m_2*v_2i
E=1/2*m_1*v_1i^2+1/2*m_2*v_2i^2
VR=-v_1i+v_2i
v_1f1=(P+m_2*VR)/(m_1+m_2)
v_2f1=-VR+v_1f1
cbind(P, E, v_1f1, v_2f1)## P E v_1f1 v_2f1
## [1,] 0.05 0.125 0 5
## [2,] 0.12 0.360 0 6
## [3,] 0.21 0.735 0 7
## [4,] 0.36 1.620 0 9Se puede ver que la solución no trivial se simplifica. La esfera 1 le transmite su energía y cantidad de movimiento a la esfera 2, por eso, la esfera 1 queda quieta.
Caso de masas diferentes del choque elástico frontal
Se estudian masas desiguales y una de las esferas se encuentra quieta.
m_1=c(0.01,0.02,0.03,0.04)
m_2=c(0.03,0.04,0.02, 0.01)
v_1i=c(5, 6, 7, 9)
v_2i=0
P=m_1*v_1i+m_2*v_2i
E=1/2*m_1*v_1i^2+1/2*m_2*v_2i^2
VR=-v_1i+v_2i
v_1f1=(P+m_2*VR)/(m_1+m_2)
v_2f1=-VR+v_1f1
cbind(P, E, v_1f1, v_2f1)## P E v_1f1 v_2f1
## [1,] 0.05 0.125 -2.5 2.5
## [2,] 0.12 0.360 -2.0 4.0
## [3,] 0.21 0.735 1.4 8.4
## [4,] 0.36 1.620 5.4 14.4Se puede ver que la solución se simplifica.
Caso de masas diferentes y velocidades diferentes del choque elástico frontal
Se estudian masas desiguales y una de las esferas se encuentra quieta.
m_1=c(0.01,0.02,0.03,0.04)
m_2=c(0.03,0.04,0.02, 0.01)
v_1i=c(5, 6, 7, 9)
v_2i=c(-2,-3, -5, -8)
P=m_1*v_1i+m_2*v_2i
E=1/2*m_1*v_1i^2+1/2*m_2*v_2i^2
VR=-v_1i+v_2i
v_1f1=(P+m_2*VR)/(m_1+m_2)
v_2f1=-VR+v_1f1
cbind(P, E, v_1f1, v_2f1)## P E v_1f1 v_2f1
## [1,] -0.01 0.185 -5.5 1.5
## [2,] 0.00 0.540 -6.0 3.0
## [3,] 0.11 0.985 -2.6 9.4
## [4,] 0.28 1.940 2.2 19.2Se puede ver que la solución se simplifica.
Caso de Colisión elástica frontal aplicando método de Cramer
En un choque elástico frontal de dos esferas de masas \(m_1=2 kg\) y \(m_2=3kg\), dirigidas en sentido contrario con \(v_{1a}=7m/s\) y \(v_{2a}=-4m/s\); se obtienen las siguientes ecuaciones
\(2*v_{1d}+3*v_{2d}=2\)
\(v_{1d}-v_{2d}=-11\)
\(v_{1d}=\frac{ \begin{equation} \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -11 &-1\\ \end{vmatrix} \end{equation}} {\begin{equation} \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & -1\\ \end{vmatrix} \end{equation}}\)
\(v_{2d}=\frac{ \begin{equation} \begin{vmatrix} 2 & 2\\ 1 &-11\\ \end{vmatrix} \end{equation}} {\begin{equation} \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 1 & -1\\ \end{vmatrix} \end{equation}}\)
Resolviendo los determinantes \[\begin{equation} \begin{vmatrix} a & b\\ c &d\\ \end{vmatrix} \end{equation}\] =\(ad-bc\), se obtiene \(v_{1d}=\frac{31}{-5}\) y \(v_{2d}=\frac{-24}{-5}\).
Por lo tanto, ambas esferas rebotan despues del choque ya que sus velocidades cambian de signo.
Ejercicio 1: En un choque elástico frontal de dos esferas de masas \(m_1=6 kg\) y \(m_2=2kg\), dirigidas en sentido contrario con \(v_{1a}=6m/s\) y \(v_{2a}=-8m/s\); obtener las velocidades despues del choque aplicando la regla de Cramer.
Ejercicio 2: En un choque elástico frontal de dos esferas de masas \(m_1=4 kg\) y \(m_2=7kg\), dirigidas en sentido contrario con \(v_{1a}=3m/s\) y \(v_{2a}=-2m/s\); obtener las velocidades despues del choque aplicando la regla de Cramer.
Caso general de choque elástico no frontal
Se estudian masas desiguales y velocidades en el plano XY.
Se tiene que la cantidad de movimiento se conserva por componentes y la energía global se mantiene fija tambien, pero no por componentes. En el siguiente caso se colocan las velocidades en sus componentes, esto es, las velocidades iniciales \(v_1i=5i+6j\) y \(v_2i=-2i-3j\), en forma vectorial.
Las soluciones obtenidas dan las magnitudes de las velocidades después del choque, pero, el ángulo de la solución mide la orientación de la velocidad. En este caso, los ángulos se miden en posición normal.
Ejemplo 1: En este problema se requiere de una condición adicional para obtener las 4 ecuaciones lineales con 4 incognitas. Para este caso, estudiemos el caso de que el choque es elástico por componentes, que en general, no se cumple. Con esto, se pueden separar los sistemas de ecuaciones. Esta condición no es válida en la práctica, pero puede ser cierta para este caso. Aún falta definir la condicion oblicua en situaciones de choques como estos para que se conserve la energía por componentes.
m_1=c(0.01,0.02,0.03,0.04)
m_2=c(0.03,0.04,0.02, 0.01)
v_1i=cbind(c(5, 6))
v_2i=cbind(c(-2,-3))
P_x=m_1*v_1i[1,1]+m_2*v_2i[1,1]
P_y=m_1*v_1i[2,1]+m_2*v_2i[2,1]
E_x=1/2*m_1*(v_1i[1,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[1,1]^2)
E_y=1/2*m_1*(v_1i[2,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[2,1]^2)
VRx=-v_1i[1,1]+v_2i[1,1]
v_1f1x=(P_x+m_2*VRx)/(m_1+m_2)
v_2f1x=-VRx+v_1f1x
VRy=-v_1i[2,1]+v_2i[2,1]
v_1f1y=(P_y+m_2*VRy)/(m_1+m_2)
v_2f1y=-VRy+v_1f1y
v_1f1=(v_1f1x^2+v_1f1y^2)^0.5
v_2f1=(v_2f1x^2+v_2f1y^2)^0.5
P=(P_x^2+P_y^2)^0.5
cbind(P_x, P_y, E_x, E_y, v_1f1, v_2f1)## P_x P_y E_x E_y v_1f1 v_2f1
## [1,] -0.01 -0.03 0.185 0.315 9.300538 2.121320
## [2,] 0.02 0.00 0.330 0.540 7.401201 4.013865
## [3,] 0.11 0.12 0.415 0.630 1.341641 10.089599
## [4,] 0.18 0.21 0.520 0.765 3.255764 14.649232Se puede ver que la solución se simplifica.
Ejemplo 2: Suponga que se requiere hallar los ángulos \(A1d\) y \(A2d\) de las esferas 1 y 2 después del choque, de tal modo que se conserve la energía por componente. Primero, se halla la solución de las velocidades en choques elásticos frontales en \(\textbf{x}\) y en \(\textbf{y}\); y luego se reemplazan en las ecuaciones de velocidades finales dejando los ángulos de rebote como incognita.
m_1=0.01
m_2=0.04
m1=0.01
m2=0.04
v_1i=cbind(c(5, 6))
v_2i=cbind(c(-2,-3))
P_x=m_1*v_1i[1,1]+m_2*v_2i[1,1]
P_y=m_1*v_1i[2,1]+m_2*v_2i[2,1]
E_x=1/2*m_1*(v_1i[1,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[1,1]^2)
E_y=1/2*m_1*(v_1i[2,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[2,1]^2)
E=E_x+E_y
VRx=-v_1i[1,1]+v_2i[1,1]
v_1f1x=(P_x+m_2*VRx)/(m_1+m_2)
v_2f1x=-VRx+v_1f1x
VRy=-v_1i[2,1]+v_2i[2,1]
v_1f1y=(P_y+m_2*VRy)/(m_1+m_2)
v_2f1y=-VRy+v_1f1y
v_1f1=(v_1f1x^2+v_1f1y^2)^0.5
v_2f1=(v_2f1x^2+v_2f1y^2)^0.5
P=(P_x^2+P_y^2)^0.5
cbind(P_x, P_y, E_x, E_y, v_1f1, v_2f1)## P_x P_y E_x E_y v_1f1 v_2f1
## [1,] -0.03 -0.06 0.205 0.36 10.44031 1A1d=seq(from=-2.25,to=-2.15,by=0.0001)
v1f1s=(1/m2*(P_x*m1*cos(A1d)+P_y*m1*sin(A1d))+sqrt((1/m2*(P_x*m1*cos(A1d)+P_y*m1*sin(A1d)))^2-m1*(m1+m2)/m2^2*(P_x^2+P_y^2-2*E*m2)))/(m1*(m1+m2)/m2)
A2d=seq(from=0.58,to=0.65,by=0.0001)
v2f1s=(1/m1*(P_x*m2*cos(A2d)+P_y*m2*sin(A2d))+sqrt((1/m1*(P_x*m2*cos(A2d)+P_y*m2*sin(A2d)))^2-m2*(m1+m2)/m1^2*(P_x^2+P_y^2-2*E*m1)))/(m2*(m1+m2)/m1)
cc=cbind(A1d,v1f1s,A2d, v2f1s, v1f1s-v_1f1,v2f1s-v_2f1)## Warning in cbind(A1d, v1f1s, A2d, v2f1s, v1f1s - v_1f1, v2f1s - v_2f1): number
## of rows of result is not a multiple of vector length (arg 3)A1d=-2.20665
A2d=0.6435
Exf=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d))^2
Eyf=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d))^2
Pxf=m1*(v_1f1*cos(A1d))+m2*(v_2f1*cos(A2d))
Pyf=m1*(v_1f1*sin(A1d))+m2*(v_2f1*sin(A2d))
cbind(E_x,Exf,E_y,Eyf,P_x,Pxf,P_y,Pyf)## E_x Exf E_y Eyf P_x Pxf P_y Pyf
## [1,] 0.205 0.205008 0.36 0.359992 -0.03 -0.03000125 -0.06 -0.05999909Esta solución se obtiene por tanteo.
Ejemplo 3: Suponga que se requiere hallar los ángulos \(A1d\) y \(A2d\) de las esferas 1 y 2 después del choque, de tal modo que se conserve la energía por componente. Primero, se halla la solución de las velocidades en choques elásticos frontales en \(\textbf{x}\) y en \(\textbf{y}\); y luego se reemplazan en las ecuaciones de velocidades finales dejando los ángulos de rebote como incognita. En este caso, las masas son iguales a las del ejercicio anterior.
m_1=0.01
m_2=0.04
m1=0.01
m2=0.04
v_1i=cbind(c(5, 6))
v_2i=cbind(c(-2,-3))
P_x=m_1*v_1i[1,1]+m_2*v_2i[1,1]
P_y=m_1*v_1i[2,1]+m_2*v_2i[2,1]
E_x=1/2*m_1*(v_1i[1,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[1,1]^2)
E_y=1/2*m_1*(v_1i[2,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[2,1]^2)
E=E_x+E_y
VRx=-v_1i[1,1]+v_2i[1,1]
v_1f1x=(P_x+m_2*VRx)/(m_1+m_2)
v_2f1x=-VRx+v_1f1x
VRy=-v_1i[2,1]+v_2i[2,1]
v_1f1y=(P_y+m_2*VRy)/(m_1+m_2)
v_2f1y=-VRy+v_1f1y
v_1f1=(v_1f1x^2+v_1f1y^2)^0.5
v_2f1=(v_2f1x^2+v_2f1y^2)^0.5
A1d=atan(v_1f1y/v_1f1x)
A2d=atan(v_2f1y/v_2f1x)
E_x1=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d))^2
E_y1=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d))^2
Pxf1=m1*(v_1f1*cos(A1d))+m2*(v_2f1*cos(A2d))
Pyf1=m1*(v_1f1*sin(A1d))+m2*(v_2f1*sin(A2d))
cc1=cbind(A1d, A2d,P_x, P_y,Pxf1,Pyf1, E_x, E_y,E_x1,E_y1,v_1f1, v_2f1)
A1d1=atan(v_1f1y/v_1f1x)+3.14159
A2d1=atan(v_2f1y/v_2f1x)+3.14159
E_x2=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d1))^2
E_y2=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d1))^2
Pxf2=m1*(v_1f1*cos(A1d1))+m2*(v_2f1*cos(A2d1))
Pyf2=m1*(v_1f1*sin(A1d1))+m2*(v_2f1*sin(A2d1))
cc2=cbind(A1d1, A2d1,P_x, P_y,Pxf2,Pyf2, E_x, E_y,E_x2,E_y2,v_1f1, v_2f1)
E_x3=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d1))^2
E_y3=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d1))^2
Pxf3=m1*(v_1f1*cos(A1d))+m2*(v_2f1*cos(A2d1))
Pyf3=m1*(v_1f1*sin(A1d))+m2*(v_2f1*sin(A2d1))
cc3=cbind(A1d,A2d1,P_x, P_y,Pxf3,Pyf3, E_x, E_y, E_x3,E_y3,v_1f1, v_2f1)
E_x4=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d))^2
E_y4=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d))^2
Pxf4=m1*(v_1f1*cos(A1d1))+m2*(v_2f1*cos(A2d))
Pyf4=m1*(v_1f1*sin(A1d1))+m2*(v_2f1*sin(A2d))
cc4=cbind(A1d1,A2d,P_x, P_y,Pxf4,Pyf4, E_x, E_y, E_x4,E_y4,v_1f1, v_2f1)
rbind(cc1,cc2,cc3,cc4)## A1d A2d P_x P_y Pxf1 Pyf1 E_x E_y
## [1,] 0.9349579 0.6435011 -0.03 -0.06 0.09400000 0.10800000 0.205 0.36
## [2,] 4.0765479 3.7850911 -0.03 -0.06 -0.09400029 -0.10799975 0.205 0.36
## [3,] 0.9349579 3.7850911 -0.03 -0.06 0.02999994 0.06000008 0.205 0.36
## [4,] 4.0765479 0.6435011 -0.03 -0.06 -0.03000022 -0.05999984 0.205 0.36
## E_x1 E_y1 v_1f1 v_2f1
## [1,] 0.2050000 0.3600000 10.44031 1
## [2,] 0.2050014 0.3599986 10.44031 1
## [3,] 0.2050001 0.3599999 10.44031 1
## [4,] 0.2050014 0.3599986 10.44031 1La solución correcta es la 4, similar a la del ejemplo anterior. Las esferas rebotan al chocar, pero, la esfera 1 aumenta la magnitud de su velocidad mientras que la esfera 2 la disminuye.
Ejemplo 4: Suponga que se requiere hallar los ángulos \(A1d\) y \(A2d\) de las esferas 1 y 2 después del choque, de tal modo que se conserve la energía por componente. Primero, se halla la solución de las velocidades en choques elásticos frontales en \(\textbf{x}\) y en \(\textbf{y}\); y luego se reemplazan en las ecuaciones de velocidades finales dejando los ángulos de rebote como incognita. En este caso, las masas son iguales.
m_1=0.04
m_2=0.04
m1=0.04
m2=0.04
v_1i=cbind(c(5, 6))
v_2i=cbind(c(-2,-3))
P_x=m_1*v_1i[1,1]+m_2*v_2i[1,1]
P_y=m_1*v_1i[2,1]+m_2*v_2i[2,1]
E_x=1/2*m_1*(v_1i[1,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[1,1]^2)
E_y=1/2*m_1*(v_1i[2,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[2,1]^2)
E=E_x+E_y
VRx=-v_1i[1,1]+v_2i[1,1]
v_1f1x=(P_x+m_2*VRx)/(m_1+m_2)
v_2f1x=-VRx+v_1f1x
VRy=-v_1i[2,1]+v_2i[2,1]
v_1f1y=(P_y+m_2*VRy)/(m_1+m_2)
v_2f1y=-VRy+v_1f1y
v_1f1=(v_1f1x^2+v_1f1y^2)^0.5
v_2f1=(v_2f1x^2+v_2f1y^2)^0.5
A1d=atan(v_1f1y/v_1f1x)
A2d=atan(v_2f1y/v_2f1x)
E_x1=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d))^2
E_y1=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d))^2
Pxf1=m1*(v_1f1*cos(A1d))+m2*(v_2f1*cos(A2d))
Pyf1=m1*(v_1f1*sin(A1d))+m2*(v_2f1*sin(A2d))
cc1=cbind(A1d, A2d,P_x, P_y,Pxf1,Pyf1, E_x, E_y,E_x1,E_y1,v_1f1, v_2f1)
A1d1=atan(v_1f1y/v_1f1x)+3.14159
A2d1=atan(v_2f1y/v_2f1x)+3.14159
E_x2=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d1))^2
E_y2=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d1))^2
Pxf2=m1*(v_1f1*cos(A1d1))+m2*(v_2f1*cos(A2d1))
Pyf2=m1*(v_1f1*sin(A1d1))+m2*(v_2f1*sin(A2d1))
cc2=cbind(A1d1, A2d1,P_x, P_y,Pxf2,Pyf2, E_x, E_y,E_x2,E_y2,v_1f1, v_2f1)
E_x3=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d1))^2
E_y3=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d1))^2
Pxf3=m1*(v_1f1*cos(A1d))+m2*(v_2f1*cos(A2d1))
Pyf3=m1*(v_1f1*sin(A1d))+m2*(v_2f1*sin(A2d1))
cc3=cbind(A1d,A2d1,P_x, P_y,Pxf3,Pyf3, E_x, E_y, E_x3,E_y3,v_1f1, v_2f1)
E_x4=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d))^2
E_y4=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d))^2
Pxf4=m1*(v_1f1*cos(A1d1))+m2*(v_2f1*cos(A2d))
Pyf4=m1*(v_1f1*sin(A1d1))+m2*(v_2f1*sin(A2d))
cc4=cbind(A1d1,A2d,P_x, P_y,Pxf4,Pyf4, E_x, E_y, E_x4,E_y4,v_1f1, v_2f1)
rbind(cc1,cc2,cc3,cc4)## A1d A2d P_x P_y Pxf1 Pyf1 E_x E_y E_x1
## [1,] 0.9827937 0.8760581 0.12 0.12 0.2800000 0.3600000 0.58 0.9 0.5800000
## [2,] 4.1243837 4.0176481 0.12 0.12 -0.2800010 -0.3599993 0.58 0.9 0.5800038
## [3,] 0.9827937 4.0176481 0.12 0.12 -0.1200006 -0.1199995 0.58 0.9 0.5800032
## [4,] 4.1243837 0.8760581 0.12 0.12 0.1199997 0.1200002 0.58 0.9 0.5800006
## E_y1 v_1f1 v_2f1
## [1,] 0.9000000 3.605551 7.81025
## [2,] 0.8999962 3.605551 7.81025
## [3,] 0.8999968 3.605551 7.81025
## [4,] 0.8999994 3.605551 7.81025La solución correcta es la 4, sólo que en este caso las masas son iguales. Las esferas rebotan al chocar transmitiendo su velocidad la una a la otra.
Ejemplo 5: Suponga que se requiere hallar los ángulos \(A1d\) y \(A2d\) de las esferas 1 y 2 después del choque, de tal modo que se conserve la energía por componente. Primero, se halla la solución de las velocidades en choques elásticos frontales en \(\textbf{x}\) y en \(\textbf{y}\); y luego se reemplazan en las ecuaciones de velocidades finales dejando los ángulos de rebote como incognita. En este caso, las masas son desiguales, pero una de las esferas persigue a la otra.
m_1=0.01
m_2=0.04
m1=0.01
m2=0.04
v_1i=cbind(c(5, 6))
v_2i=cbind(c(2,3))
P_x=m_1*v_1i[1,1]+m_2*v_2i[1,1]
P_y=m_1*v_1i[2,1]+m_2*v_2i[2,1]
E_x=1/2*m_1*(v_1i[1,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[1,1]^2)
E_y=1/2*m_1*(v_1i[2,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[2,1]^2)
E=E_x+E_y
VRx=-v_1i[1,1]+v_2i[1,1]
v_1f1x=(P_x+m_2*VRx)/(m_1+m_2)
v_2f1x=-VRx+v_1f1x
VRy=-v_1i[2,1]+v_2i[2,1]
v_1f1y=(P_y+m_2*VRy)/(m_1+m_2)
v_2f1y=-VRy+v_1f1y
v_1f1=(v_1f1x^2+v_1f1y^2)^0.5
v_2f1=(v_2f1x^2+v_2f1y^2)^0.5
A1d=atan(v_1f1y/v_1f1x)
A2d=atan(v_2f1y/v_2f1x)
E_x1=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d))^2
E_y1=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d))^2
Pxf1=m1*(v_1f1*cos(A1d))+m2*(v_2f1*cos(A2d))
Pyf1=m1*(v_1f1*sin(A1d))+m2*(v_2f1*sin(A2d))
cc1=cbind(A1d, A2d,P_x, P_y,Pxf1,Pyf1, E_x, E_y,E_x1,E_y1,v_1f1, v_2f1)
A1d1=atan(v_1f1y/v_1f1x)+3.14159
A2d1=atan(v_2f1y/v_2f1x)+3.14159
E_x2=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d1))^2
E_y2=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d1))^2
Pxf2=m1*(v_1f1*cos(A1d1))+m2*(v_2f1*cos(A2d1))
Pyf2=m1*(v_1f1*sin(A1d1))+m2*(v_2f1*sin(A2d1))
cc2=cbind(A1d1, A2d1,P_x, P_y,Pxf2,Pyf2, E_x, E_y,E_x2,E_y2,v_1f1, v_2f1)
E_x3=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d1))^2
E_y3=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d1))^2
Pxf3=m1*(v_1f1*cos(A1d))+m2*(v_2f1*cos(A2d1))
Pyf3=m1*(v_1f1*sin(A1d))+m2*(v_2f1*sin(A2d1))
cc3=cbind(A1d,A2d1,P_x, P_y,Pxf3,Pyf3, E_x, E_y, E_x3,E_y3,v_1f1, v_2f1)
E_x4=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d))^2
E_y4=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d))^2
Pxf4=m1*(v_1f1*cos(A1d1))+m2*(v_2f1*cos(A2d))
Pyf4=m1*(v_1f1*sin(A1d1))+m2*(v_2f1*sin(A2d))
cc4=cbind(A1d1,A2d,P_x, P_y,Pxf4,Pyf4, E_x, E_y, E_x4,E_y4,v_1f1, v_2f1)
rbind(cc1,cc2,cc3,cc4)## A1d A2d P_x P_y Pxf1 Pyf1 E_x E_y E_x1
## [1,] 1.405648 0.9197196 0.13 0.18 0.1300000 0.1800000 0.205 0.36 0.2050000
## [2,] 4.547238 4.0613096 0.13 0.18 -0.1300005 -0.1799997 0.205 0.36 0.2050014
## [3,] 1.405648 4.0613096 0.13 0.18 -0.1260004 -0.1559997 0.205 0.36 0.2050014
## [4,] 4.547238 0.9197196 0.13 0.18 0.1260000 0.1560000 0.205 0.36 0.2050000
## E_y1 v_1f1 v_2f1
## [1,] 0.3600000 1.216553 5.280152
## [2,] 0.3599986 1.216553 5.280152
## [3,] 0.3599986 1.216553 5.280152
## [4,] 0.3600000 1.216553 5.280152En la situación que una esfera persigue a la otra, la solución correcta es la 1. La esfera 1 disminuye la magnitud de su velocidad sin cambiar el sentido y la esfera 2 aumenta la magnitud de su velocidad sin cambiar el sentido.
Ejemplo 6: Suponga que se requiere hallar los ángulos \(A1d\) y \(A2d\) de las esferas 1 y 2 después del choque, de tal modo que se conserve la energía por componente. Primero, se halla la solución de las velocidades en choques elásticos frontales en \(\textbf{x}\) y en \(\textbf{y}\); y luego se reemplazan en las ecuaciones de velocidades finales dejando los ángulos de rebote como incognita. En este caso, las masas son desiguales.
m_1=0.01
m_2=0.04
m1=0.01
m2=0.04
v_1i=cbind(c(-5, -6))
v_2i=cbind(c(-2,-3))
P_x=m_1*v_1i[1,1]+m_2*v_2i[1,1]
P_y=m_1*v_1i[2,1]+m_2*v_2i[2,1]
E_x=1/2*m_1*(v_1i[1,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[1,1]^2)
E_y=1/2*m_1*(v_1i[2,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[2,1]^2)
E=E_x+E_y
VRx=-v_1i[1,1]+v_2i[1,1]
v_1f1x=(P_x+m_2*VRx)/(m_1+m_2)
v_2f1x=-VRx+v_1f1x
VRy=-v_1i[2,1]+v_2i[2,1]
v_1f1y=(P_y+m_2*VRy)/(m_1+m_2)
v_2f1y=-VRy+v_1f1y
v_1f1=(v_1f1x^2+v_1f1y^2)^0.5
v_2f1=(v_2f1x^2+v_2f1y^2)^0.5
A1d=atan(v_1f1y/v_1f1x)
A2d=atan(v_2f1y/v_2f1x)
E_x1=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d))^2
E_y1=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d))^2
Pxf1=m1*(v_1f1*cos(A1d))+m2*(v_2f1*cos(A2d))
Pyf1=m1*(v_1f1*sin(A1d))+m2*(v_2f1*sin(A2d))
cc1=cbind(A1d, A2d,P_x, P_y,Pxf1,Pyf1, E_x, E_y,E_x1,E_y1,v_1f1, v_2f1)
A1d1=atan(v_1f1y/v_1f1x)+3.14159
A2d1=atan(v_2f1y/v_2f1x)+3.14159
E_x2=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d1))^2
E_y2=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d1))^2
Pxf2=m1*(v_1f1*cos(A1d1))+m2*(v_2f1*cos(A2d1))
Pyf2=m1*(v_1f1*sin(A1d1))+m2*(v_2f1*sin(A2d1))
cc2=cbind(A1d1, A2d1,P_x, P_y,Pxf2,Pyf2, E_x, E_y,E_x2,E_y2,v_1f1, v_2f1)
E_x3=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d1))^2
E_y3=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d1))^2
Pxf3=m1*(v_1f1*cos(A1d))+m2*(v_2f1*cos(A2d1))
Pyf3=m1*(v_1f1*sin(A1d))+m2*(v_2f1*sin(A2d1))
cc3=cbind(A1d,A2d1,P_x, P_y,Pxf3,Pyf3, E_x, E_y, E_x3,E_y3,v_1f1, v_2f1)
E_x4=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d))^2
E_y4=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d))^2
Pxf4=m1*(v_1f1*cos(A1d1))+m2*(v_2f1*cos(A2d))
Pyf4=m1*(v_1f1*sin(A1d1))+m2*(v_2f1*sin(A2d))
cc4=cbind(A1d1,A2d,P_x, P_y,Pxf4,Pyf4, E_x, E_y, E_x4,E_y4,v_1f1, v_2f1)
rbind(cc1,cc2,cc3,cc4)## A1d A2d P_x P_y Pxf1 Pyf1 E_x E_y E_x1
## [1,] 1.405648 0.9197196 -0.13 -0.18 0.1300000 0.1800000 0.205 0.36 0.2050000
## [2,] 4.547238 4.0613096 -0.13 -0.18 -0.1300005 -0.1799997 0.205 0.36 0.2050014
## [3,] 1.405648 4.0613096 -0.13 -0.18 -0.1260004 -0.1559997 0.205 0.36 0.2050014
## [4,] 4.547238 0.9197196 -0.13 -0.18 0.1260000 0.1560000 0.205 0.36 0.2050000
## E_y1 v_1f1 v_2f1
## [1,] 0.3600000 1.216553 5.280152
## [2,] 0.3599986 1.216553 5.280152
## [3,] 0.3599986 1.216553 5.280152
## [4,] 0.3600000 1.216553 5.280152Al cambiar el sentido de la persecución, la cantidad de movimiento se invierte y la solución correcta es la 2. La esfera 1 disminuye la magnitud de su velocidad sin cambiar el sentido y la esfera 2 aumenta la magnitud de su velocidad sin cambiar el sentido.
Ejemplo 7: Suponga que se requiere hallar los ángulos \(A1d\) y \(A2d\) de las esferas 1 y 2 después del choque, de tal modo que se conserve la energía por componente. Primero, se halla la solución de las velocidades en choques elásticos frontales en \(\textbf{x}\) y en \(\textbf{y}\); y luego se reemplazan en las ecuaciones de velocidades finales dejando los ángulos de rebote como incognita. En este caso, las masas son desiguales.
m_1=0.01
m_2=0.04
m1=0.01
m2=0.04
v_1i=cbind(c(-5, -6))
v_2i=cbind(c(2,3))
P_x=m_1*v_1i[1,1]+m_2*v_2i[1,1]
P_y=m_1*v_1i[2,1]+m_2*v_2i[2,1]
E_x=1/2*m_1*(v_1i[1,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[1,1]^2)
E_y=1/2*m_1*(v_1i[2,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[2,1]^2)
E=E_x+E_y
VRx=-v_1i[1,1]+v_2i[1,1]
v_1f1x=(P_x+m_2*VRx)/(m_1+m_2)
v_2f1x=-VRx+v_1f1x
VRy=-v_1i[2,1]+v_2i[2,1]
v_1f1y=(P_y+m_2*VRy)/(m_1+m_2)
v_2f1y=-VRy+v_1f1y
v_1f1=(v_1f1x^2+v_1f1y^2)^0.5
v_2f1=(v_2f1x^2+v_2f1y^2)^0.5
A1d=atan(v_1f1y/v_1f1x)
A2d=atan(v_2f1y/v_2f1x)
E_x1=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d))^2
E_y1=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d))^2
Pxf1=m1*(v_1f1*cos(A1d))+m2*(v_2f1*cos(A2d))
Pyf1=m1*(v_1f1*sin(A1d))+m2*(v_2f1*sin(A2d))
cc1=cbind(A1d, A2d,P_x, P_y,Pxf1,Pyf1, E_x, E_y,E_x1,E_y1,v_1f1, v_2f1)
A1d1=atan(v_1f1y/v_1f1x)+3.14159
A2d1=atan(v_2f1y/v_2f1x)+3.14159
E_x2=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d1))^2
E_y2=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d1))^2
Pxf2=m1*(v_1f1*cos(A1d1))+m2*(v_2f1*cos(A2d1))
Pyf2=m1*(v_1f1*sin(A1d1))+m2*(v_2f1*sin(A2d1))
cc2=cbind(A1d1, A2d1,P_x, P_y,Pxf2,Pyf2, E_x, E_y,E_x2,E_y2,v_1f1, v_2f1)
E_x3=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d1))^2
E_y3=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d1))^2
Pxf3=m1*(v_1f1*cos(A1d))+m2*(v_2f1*cos(A2d1))
Pyf3=m1*(v_1f1*sin(A1d))+m2*(v_2f1*sin(A2d1))
cc3=cbind(A1d,A2d1,P_x, P_y,Pxf3,Pyf3, E_x, E_y, E_x3,E_y3,v_1f1, v_2f1)
E_x4=0.5*m1*(v_1f1*cos(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*cos(A2d))^2
E_y4=0.5*m1*(v_1f1*sin(A1d1))^2+0.5*m2*(v_2f1*sin(A2d))^2
Pxf4=m1*(v_1f1*cos(A1d1))+m2*(v_2f1*cos(A2d))
Pyf4=m1*(v_1f1*sin(A1d1))+m2*(v_2f1*sin(A2d))
cc4=cbind(A1d1,A2d,P_x, P_y,Pxf4,Pyf4, E_x, E_y, E_x4,E_y4,v_1f1, v_2f1)
rbind(cc1,cc2,cc3,cc4)## A1d A2d P_x P_y Pxf1 Pyf1 E_x E_y E_x1
## [1,] 0.9349579 0.6435011 0.03 0.06 0.09400000 0.10800000 0.205 0.36 0.2050000
## [2,] 4.0765479 3.7850911 0.03 0.06 -0.09400029 -0.10799975 0.205 0.36 0.2050014
## [3,] 0.9349579 3.7850911 0.03 0.06 0.02999994 0.06000008 0.205 0.36 0.2050001
## [4,] 4.0765479 0.6435011 0.03 0.06 -0.03000022 -0.05999984 0.205 0.36 0.2050014
## E_y1 v_1f1 v_2f1
## [1,] 0.3600000 10.44031 1
## [2,] 0.3599986 10.44031 1
## [3,] 0.3599999 10.44031 1
## [4,] 0.3599986 10.44031 1Al poner las esferas en cruce o al encuentro, se toma la solución 3, invirtiendo la solución del ejemplo 3 para la cantidad de movimiento. Como en el ejemplo 3, las esferas rebotan, pero, la esfera 1 aumenta la magnitud de su velocidad mientras que la esfera 2 la disminuye.
Caso general de choque elástico no frontal
Se estudian masas desiguales y velocidades en el plano XY.
Se tiene que la cantidad de movimiento se conserva por componentes y la energía global se mantiene fija tambien, pero no por componentes. En el siguiente caso se colocan las velocidades en sus componentes, esto es, las velocidades iniciales \(v_1i=5i+6j\) y \(v_2i=-2i-3j\), en forma vectorial.
La solución usa la versión no simplificada porque el sistema de ecuaciones en choque frontal elástico se reduce a
\(m_1*v_1f+m_2*v_2f=P\)
\(v_1f - v_2f =VR\)
m_1=c(0.01,0.02,0.03,0.04)
m_2=c(0.03,0.04,0.02, 0.01)
v_1i=cbind(c(5, 6))
v_2i=cbind(c(-2,-3))
P_x=m_1*v_1i[1,1]+m_2*v_2i[1,1]
P_y=m_1*v_1i[2,1]+m_2*v_2i[2,1]
E_x=1/2*m_1*(v_1i[1,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[1,1]^2)
E_y=1/2*m_1*(v_1i[2,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[2,1]^2)
Ei=E_x+E_y
v_2f1x=(m_2/m_1*P_x+(2*E_x*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P_x^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f1x=(P_x-m_2*v_2f1x)/m_1
v_2f1y=(m_2/m_1*P_y+(2*E_y*(m_1+m_2)*m_2/m_1-m_2/m_1*P_y^2)^0.5)/((m_1+m_2)*m_2/m_1)
v_1f1y=(P_y-m_2*v_2f1y)/m_1
v_1f1=(v_1f1x^2+v_1f1y^2)^0.5
v_2f1=(v_2f1x^2+v_2f1y^2)^0.5
P=(P_x^2+P_y^2)^0.5
Ef=1/2*m_1*(v_1f1^2)+1/2*m_2*(v_2f1^2)
cbind(P_x, P_y, E_x, E_y, v_1f1, v_2f1,Ei,Ef)## P_x P_y E_x E_y v_1f1 v_2f1 Ei Ef
## [1,] -0.01 -0.03 0.185 0.315 9.300538 2.121320 0.500 0.500
## [2,] 0.02 0.00 0.330 0.540 7.401201 4.013865 0.870 0.870
## [3,] 0.11 0.12 0.415 0.630 1.341641 10.089599 1.045 1.045
## [4,] 0.18 0.21 0.520 0.765 3.255764 14.649232 1.285 1.285Se puede ver que la solución es estructuralmente más compleja pero brinda igual resultado. Esta solución demuestra que en el choque elástico no frontal se pueden trabajar las ecuaciones por componentes, en el caso de que la energía cinética se conserve en cada uno de los ejes; puesto que para poder garantizar una solución se debía imponer una condición adicional.
Estudio de la Suposición Específica de la Energia
Al suponer que la energía cinética se conserva por componentes, se obtiene una solución que cumple con la condición global de conservación de la energía cinética. El alcance de esta solución es que está dentro de las condiciones impuestas para el choque elástico no frontal que puede generar soluciones diferentes a esta. La solución no tiene alcances prácticos, pero se puede usar como una aproximación al problema.
Sean dos esferas al encuentro con las condiciones señaladas, esta vez, se impone la condición del ángulo en posición normal para cada una.
m_1=c(0.01,0.02,0.03,0.04)
m_2=c(0.03,0.04,0.02, 0.01)
v_1i=cbind(c(5, 6))
v_2i=cbind(c(-2,-3))
A1=c(45,60, 30, 50)*3.14159/180
A2=c(245,260, 230, 250)*3.14159/180
P_x=m_1*v_1i[1,1]+m_2*v_2i[1,1]
P_y=m_1*v_1i[2,1]+m_2*v_2i[2,1]
E_x=1/2*m_1*(v_1i[1,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[1,1]^2)
E_y=1/2*m_1*(v_1i[2,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[2,1]^2)
VRx=-v_1i[1,1]+v_2i[1,1]
v_1f1x=(P_x+m_2*VRx)/(m_1+m_2)
v_2f1x=-VRx+v_1f1x
VRy=-v_1i[2,1]+v_2i[2,1]
v_1f1y=(P_y+m_2*VRy)/(m_1+m_2)
v_2f1y=-VRy+v_1f1y
v_1f1=(v_1f1x^2+v_1f1y^2)^0.5
v_2f1=(v_2f1x^2+v_2f1y^2)^0.5
P=(P_x^2+P_y^2)^0.5
cbind(P_x, P_y, E_x, E_y, v_1f1, v_2f1)## P_x P_y E_x E_y v_1f1 v_2f1
## [1,] -0.01 -0.03 0.185 0.315 9.300538 2.121320
## [2,] 0.02 0.00 0.330 0.540 7.401201 4.013865
## [3,] 0.11 0.12 0.415 0.630 1.341641 10.089599
## [4,] 0.18 0.21 0.520 0.765 3.255764 14.649232P_x=m_1*v_1i[1,1]*cos(A1)+m_2*v_2i[1,1]*cos(A2)
P_y=m_1*v_1i[2,1]*sin(A1)+m_2*v_2i[2,1]*sin(A2)
E_x=1/2*m_1*(v_1i[1,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[1,1]^2)
E_y=1/2*m_1*(v_1i[2,1]^2)+1/2*m_2*(v_2i[2,1]^2)
VRx=-v_1i[1,1]*cos(A1)+v_2i[1,1]*cos(A2)
v_1f1x=(P_x+m_2*VRx)/(m_1+m_2)
v_2f1x=-VRx+v_1f1x
VRy=-v_1i[2,1]*sin(A1)+v_2i[2,1]*sin(A2)
v_1f1y=(P_y+m_2*VRy)/(m_1+m_2)
v_2f1y=-VRy+v_1f1y
v_1f1=(v_1f1x^2+v_1f1y^2)^0.5
v_2f1=(v_2f1x^2+v_2f1y^2)^0.5
P=(P_x^2+P_y^2)^0.5
cbind(P_x, P_y, E_x, E_y, v_1f1, v_2f1)## P_x P_y E_x E_y v_1f1 v_2f1
## [1,] 0.06071265 0.1239939 0.185 0.315 2.019897 4.112618
## [2,] 0.06389223 0.2220998 0.330 0.540 2.238019 4.792688
## [3,] 0.15561545 0.1359625 0.415 0.630 3.087941 5.852865
## [4,] 0.13539811 0.2120413 0.520 0.765 4.465979 7.379393Choque elástico con velocidades iniciales y ángulo de rebote de una esfera
Cuando se estudia el choque tangencial elástico y se dan las condiciones iniciales de las velocidades antes del choque y las masas de las esferas, se debe agregar una condición del ángulo de rebote de una de las esferas o bien la velocidad despues del choque de una de las dos esferas.
En el caso de conocerse el ángulo de rebote de una de las esferas, se puede armar un sistema de 3x3, que origina al final una ecuación cuadrática. Pero, si en lugar de ello se da una de las velocidades despues del choque queda un sistema de ecuaciones 3x3, pero al contener funciones trigonométricas, el sistema es no lineal y se puede resolver por métodos numéricos.
Aquí veremos el primer caso con la cantidad de movimiento perpendicular nula, esto es, en forma paralela frontal. Le daremos valores a las masas, a las velocidades antes del choque, y al ángulo de rebote de una esfera. Las unidades en el sistema MKS.
En estos casos, y a nivel general, no se conserva la energía cinética separada por componentes. Pues, el sólo hecho de que las velocidades en las ordenadas antes del choque sean nulas, contradice una energía positiva, en las ordenadas, en el rebote.
m1=c(2,3,4,5)
m2=c(6,5,4,3)
v1a=c(3, 4, 10, 13)
v2a=c(0,-1,-3,-5)
A2d=c(30, 40, 50, 60)*3.14159/180
Px=m1*v1a+m2*v2a
E=0.5*m1*v1a^2+0.5*m2*v2a^2
v2d1=(Px*m2*cos(A2d)/m1+sqrt((Px*m2*cos(A2d)/m1)^2-m2*(m1+m2)*(Px^2-2*E*m1)/m1^2))/(m2*(m1+m2)/m1)
v2d2=(Px*m2*cos(A2d)/m1-sqrt((Px*m2*cos(A2d)/m1)^2-m2*(m1+m2)*(Px^2-2*E*m1)/m1^2))/(m2*(m1+m2)/m1)
v1d1=sqrt((E-0.5*m2*v2d1^2)/(0.5*m1))
v1d2=sqrt((E-0.5*m2*v2d2^2)/(0.5*m1))
A1d=asin(-m2*v2d1*sin(A2d)/(m1*v1d1))
Exf=0.5*m1*v1d1^2*cos(A1d)^2+0.5*m2*v2d1^2*cos(A2d)^2
Exi=0.5*m1*v1a^2*cos(0)^2+0.5*m2*v2a^2*cos(0)^2
cbind(m1,m2,v1a,v2a,A2d,A1d,Px,E,Exf,Exi,v2d1,v1d1,v2d2,v1d2)## m1 m2 v1a v2a A2d A1d Px E Exf Exi v2d1
## [1,] 2 6 3 0 0.5235983 -1.3806698 6 9.0 3.937505 9.0 1.299038
## [2,] 3 5 4 -1 0.6981311 -1.2738413 7 26.5 9.845156 26.5 2.458944
## [3,] 4 4 10 -3 0.8726639 -1.2985080 28 218.0 61.281369 218.0 8.171027
## [4,] 5 3 13 -5 1.0471967 -0.8355129 50 460.0 156.392512 460.0 12.987340
## v1d1 v2d2 v1d2
## [1,] 1.984313 0.000000 3.000000
## [2,] 2.754872 -1.118366 3.947416
## [3,] 6.498794 -3.671509 9.773434
## [4,] 9.099308 -6.737330 12.520584La solución v1d2 y v2d2 es la trivial, la solución v1d1 y v2d1 es la solución del problema, ya que se cumple en cualquier caso.
m1=c(2,3,4,5)
m2=c(6,5,4,3)
v1a=c(3, 4, 10, 13)
v2a=c(0,1,3,5)
A2d=c(30, 40, 50, 60)*3.14159/180
Px=m1*v1a+m2*v2a
E=0.5*m1*v1a^2+0.5*m2*v2a^2
v2d1=(Px*m2*cos(A2d)/m1+sqrt((Px*m2*cos(A2d)/m1)^2-m2*(m1+m2)*(Px^2-2*E*m1)/m1^2))/(m2*(m1+m2)/m1)## Warning in sqrt((Px * m2 * cos(A2d)/m1)^2 - m2 * (m1 + m2) * (Px^2 - 2 * : Se
## han producido NaNsv2d2=(Px*m2*cos(A2d)/m1-sqrt((Px*m2*cos(A2d)/m1)^2-m2*(m1+m2)*(Px^2-2*E*m1)/m1^2))/(m2*(m1+m2)/m1)## Warning in sqrt((Px * m2 * cos(A2d)/m1)^2 - m2 * (m1 + m2) * (Px^2 - 2 * : Se
## han producido NaNsv1d1=sqrt((E-0.5*m2*v2d1^2)/(0.5*m1))
v1d2=sqrt((E-0.5*m2*v2d2^2)/(0.5*m1))
A1d=asin(-m2*v2d1*sin(A2d)/(m1*v1d1))
Exf=0.5*m1*v1d1^2*cos(A1d)^2+0.5*m2*v2d1^2*cos(A2d)^2
Exi=0.5*m1*v1a^2*cos(0)^2+0.5*m2*v2a^2*cos(0)^2
cbind(m1,m2,v1a,v2a,A2d,A1d,Px,E,Exf,Exi,v2d1,v1d1,v2d2,v1d2)## m1 m2 v1a v2a A2d A1d Px E Exf Exi v2d1 v1d1
## [1,] 2 6 3 0 0.5235983 -1.38067 6 9.0 3.937505 9.0 1.299038 1.984313
## [2,] 3 5 4 1 0.6981311 NaN 17 26.5 NaN 26.5 NaN NaN
## [3,] 4 4 10 3 0.8726639 NaN 52 218.0 NaN 218.0 NaN NaN
## [4,] 5 3 13 5 1.0471967 NaN 80 460.0 NaN 460.0 NaN NaN
## v2d2 v1d2
## [1,] 0 3
## [2,] NaN NaN
## [3,] NaN NaN
## [4,] NaN NaNLa solución v1d2 y v2d2 es la trivial, la solución v1d1 y v2d1 es la solución del problema, ya que se cumple en cualquier caso. Las condiciones impuestas no tienen solución para los casos donde el valor absoluto de la función seno supera el valor de 1. Esto representa, que éstas condiciones no son válidas en la práctica.
m1=c(2,3,4,5)
m2=c(6,5,4,3)
v1a=c(3, 4, 10, 13)
v2a=0
A2d=c(30, 40, 50, 60)*3.14159/180
Px=m1*v1a+m2*v2a
E=0.5*m1*v1a^2+0.5*m2*v2a^2
v2d1=(Px*m2*cos(A2d)/m1+sqrt((Px*m2*cos(A2d)/m1)^2-m2*(m1+m2)*(Px^2-2*E*m1)/m1^2))/(m2*(m1+m2)/m1)
v2d2=(Px*m2*cos(A2d)/m1-sqrt((Px*m2*cos(A2d)/m1)^2-m2*(m1+m2)*(Px^2-2*E*m1)/m1^2))/(m2*(m1+m2)/m1)
v1d1=sqrt((E-0.5*m2*v2d1^2)/(0.5*m1))
v1d2=sqrt((E-0.5*m2*v2d2^2)/(0.5*m1))
A1d=asin(-m2*v2d1*sin(A2d)/(m1*v1d1))
Exf=0.5*m1*v1d1^2*cos(A1d)^2+0.5*m2*v2d1^2*cos(A2d)^2
Exi=0.5*m1*v1a^2*cos(0)^2+0.5*m2*v2a^2*cos(0)^2
cbind(m1,m2,v1a,v2a,A2d,A1d,Px,E,Exf,Exi,v2d1,v1d1,v2d2,v1d2)## m1 m2 v1a v2a A2d A1d Px E Exf Exi v2d1
## [1,] 2 6 3 0 0.5235983 -1.3806698 6 9.0 3.937505 9.0 1.299038
## [2,] 3 5 4 0 0.6981311 -1.1622299 12 24.0 9.452311 24.0 2.298134
## [3,] 4 4 10 0 0.8726639 -0.6981324 40 200.0 103.015319 200.0 6.427882
## [4,] 5 3 13 0 1.0471967 -0.3802518 65 422.5 303.671632 422.5 8.125012
## v1d1 v2d2 v1d2
## [1,] 1.984313 0 3
## [2,] 2.682840 0 4
## [3,] 7.660440 0 10
## [4,] 11.374995 0 13La solución v1d2 y v2d2 es la trivial, la solución v1d1 y v2d1 es la solución del problema, ya que se cumple en cualquier caso.
m1=c(2,3,4,5)
m2=c(6,5,4,3)
v1a=c(3, 4, 10, 13)
v2a=0
A2d=0*3.14159/180
Px=m1*v1a+m2*v2a
E=0.5*m1*v1a^2+0.5*m2*v2a^2
v2d1=(Px*m2*cos(A2d)/m1+sqrt((Px*m2*cos(A2d)/m1)^2-m2*(m1+m2)*(Px^2-2*E*m1)/m1^2))/(m2*(m1+m2)/m1)
v2d2=(Px*m2*cos(A2d)/m1-sqrt((Px*m2*cos(A2d)/m1)^2-m2*(m1+m2)*(Px^2-2*E*m1)/m1^2))/(m2*(m1+m2)/m1)
v1d1=sqrt((E-0.5*m2*v2d1^2)/(0.5*m1))
v1d2=sqrt((E-0.5*m2*v2d2^2)/(0.5*m1))
A1d=asin(-m2*v2d1*sin(A2d)/(m1*v1d1))
Exf=0.5*m1*v1d1^2*cos(A1d)^2+0.5*m2*v2d1^2*cos(A2d)^2
Exi=0.5*m1*v1a^2*cos(0)^2+0.5*m2*v2a^2*cos(0)^2
cbind(m1,m2,v1a,v2a,A2d,A1d,Px,E,Exf,Exi,v2d1,v1d1,v2d2,v1d2)## m1 m2 v1a v2a A2d A1d Px E Exf Exi v2d1 v1d1 v2d2 v1d2
## [1,] 2 6 3 0 0 0 6 9.0 9.0 9.0 1.50 1.50 0 3
## [2,] 3 5 4 0 0 0 12 24.0 24.0 24.0 3.00 1.00 0 4
## [3,] 4 4 10 0 0 NaN 40 200.0 NaN 200.0 10.00 0.00 0 10
## [4,] 5 3 13 0 0 0 65 422.5 422.5 422.5 16.25 3.25 0 13La solución v1d2 y v2d2 es la trivial, la solución v1d1 y v2d1 es la solución del problema, ya que se cumple en cualquier caso.
Colisión perfectamente inelástica
En la colisión perfectamente inelástica se conserva sólo la cantidad de movimiento y se supone que los cuerpos quedan unidos después del choque.
En este caso, la ecuación de velocidad final única, con choque inelástico perfecto, donde no se conserva la energía cinética, es \(m_1*v_{1a}+m_2*v_{2a}=(m_1+m_2)*v_f\), de donde se obtiene
\(v_f=\frac{m_1*v_{1a}+m_2*v_{2a}}{m_1+m_2}\).
Ejemplo 1: Si una bala de cañón tiene una masa de 0.002 kilogramos y viaja con una velocidad de 40 m/s hacia un bloque en reposo de 2 kilogramos, en un plano sin fricción. Si el choque se considera perfectamente inelástico, ¿cuál es la velocidad final del conjunto bloque-bala?
Solución
Al colocar los datos \(m_1=0.002 kg\), \(v_{1a}=40m/s\), \(m_2=2kg\), \(v_{2a}=0\) en la ecuación resulta
\(v_f=\frac{m_1*v_{1a}+m_2*v_{2a}}{m_1+m_2}\)
\(v_f=\frac{0.002kg*40m/s+2kg*0m/s}{0.002kg+2kg}\)
\(v_f=\frac{0.08kgm/s}{2.002kg}\)
\(v_f\approx 0.04 m/s\)
La energía cinética final disminuye puesto que la bala es detenida por el bloque.
Ejemplo 2: Si una bola tiene una masa de 3 kilogramos y viaja con una velocidad de 9 m/s hacia una esfera liviana en reposo de 0.02 kilogramos, en un plano sin fricción. Si el choque se considera perfectamente inelástico, ¿cuál es la velocidad final del conjunto?
Solución
Al colocar los datos \(m_1=3 kg\), \(v_{1a}=9m/s\), \(m_2=0.02kg\), \(v_{2a}=0\) en la ecuación resulta
\(v_f=\frac{m_1*v_{1a}+m_2*v_{2a}}{m_1+m_2}\)
\(v_f=\frac{3kg*9m/s+0.02kg*0m/s}{3kg+0.02kg}\)
\(v_f=\frac{27kgm/s}{3.02kg}\)
\(v_f\approx 8.94 m/s\)
La esfera masiva no sufre un cambio notable en su velocidad ya que al ser masiva, la otra no tiene gran efecto sobre ella.
Ejercicio 1: Si una bala de cañón tiene una masa de 0.0035 kilogramos y viaja con una velocidad de 50 m/s hacia un bloque en reposo de 3 kilogramos, en un plano sin fricción. Si el choque se considera perfectamente inelástico, ¿cuál es la velocidad final del conjunto bloque-bala?
Ejercicio 2: Si una bola tiene una masa de 5 kilogramos y viaja con una velocidad de 12 m/s hacia una esfera liviana en reposo de 0.01 kilogramos, en un plano sin fricción. Si el choque se considera perfectamente inelástico, ¿cuál es la velocidad final del conjunto?
Mecánica de Fluidos
La Mecánica de fluidos abarca la Estática y la Dinámica de líquidos y gases. En la Estática se estudian los fluidos en reposo y en la dinámica se estudian los fluidos en movimiento.
En la Estática se estudian tres principios claves: la ley de Dalton, el principio de Arquímedes, el principio de Pascal.
Antes de abarcar este estudio es necesario comprender algunos conceptos claves, como densidad, presión y tipos de presiones.
Densidad, Masa y Volumen
Masas iguales de aluminio y oro tienen una importante diferencia física: ocupan un volumen diferente. El aluminio ocupa un poco más de 7 veces el espacio que ocupa el oro. La diferencia estriba en que el oro es más denso que el aluminio, luego ocupa un espacio más reducido. Este concepto es la densidad. Se define la densidad como la cantidad de masa que posee un material por unidad de volumen. Así que la densidad se expresa en kg/m3 o g/cm3.
La densidad es un concepto clave en mecánica de fluidos, ya que aparece en diferentes procedimientos desarrollados a cerca del reposo o movimiento de líquidos o gases.
Se entiende como densidad la razón entre la masa de una sustancia y su volumen. Esto puede escribirse como \(D=\frac{m}{v}\), donde m es la masa y v es el volumen de dicha sustancia o material. Es común expresar la densidad en el el sistema MKS ó en el sistema CGS, pero no en una mezcla de éstos, por ejemplo, masa en kilogramos y volumen en centímetros cúbicos. Por lo tanto, suele expresarse en \(\frac{kg}{m^3}\) ó \(\frac{gr}{cm^3}\), donde se toma la densidad del agua como \(\frac{1gr}{cm^3}=\frac{1000kg}{m^3}\). Esto quiere decir que al pasar del sistema CGS al sistema MKS se multiplica por 1000.
En las tablas siguientes aparecen densidades relativas de sólidos y fluidos, tomadas del libro Fundamentos de Física de Serway y Vuille, octava edición vol.1.
Debido a que las sustancias tienen diferentes densidades no se pueden producir formatos de cambiar el volumen a litros, pues, sólo para el agua 1 litro equivale a 1 kilogramo. Esto no puede generalizarse a otras sustancias porque ocuparían un volumen diferente por kilogramo de sustancia.
Sustancia=c("Aluminio", "Hierro", "Cobre", "Plata", "Plomo", "Oro", "Platino")
D.Relativa=c(2.7,7.86, 8.92,10.5,11.3,19.3,21.4)
cbind(Sustancia, D.Relativa)## Sustancia D.Relativa
## [1,] "Aluminio" "2.7"
## [2,] "Hierro" "7.86"
## [3,] "Cobre" "8.92"
## [4,] "Plata" "10.5"
## [5,] "Plomo" "11.3"
## [6,] "Oro" "19.3"
## [7,] "Platino" "21.4"Sustancia=c("Agua", "Glicerina", "Alcohol etílico", "Benceno", "Mercurio", "Aire", "Oxígeno", "Hidrógeno", "Helio" )
D.Relativa=c(1, 1.26, 0.806, 0.879, 13.6, 0.00129, 0.00143,0.0000899, 0.000179 )
cbind(Sustancia, D.Relativa)## Sustancia D.Relativa
## [1,] "Agua" "1"
## [2,] "Glicerina" "1.26"
## [3,] "Alcohol etílico" "0.806"
## [4,] "Benceno" "0.879"
## [5,] "Mercurio" "13.6"
## [6,] "Aire" "0.00129"
## [7,] "Oxígeno" "0.00143"
## [8,] "Hidrógeno" "8.99e-05"
## [9,] "Helio" "0.000179"Ejemplo #1 Se tienen 3 m3 de plomo, 4 m3 de acero y 5 m3 de Zinc colado. Ordene sus masas de mayor a menor. Solución Primero, se calculan las masas de cada sustancia utilizando la fórmula M = ρV. Para el plomo M1 = ρ1 v1 = (11300kg/m3)(3m3) = 33900kg
Para el acero M2 = ρ2 v2 = (7850kg/m3)(4m3) = 31400kg
Para el Zinc colado M3 = ρ3 v3 = (6860kg/m3)(5m3) = 34300kg
Las masas ordenadas de mayor a menor son zinc, plomo y acero.
Ejemplo #2 Se tienen 7kg de cobre, 8kg de bismuto y 20kg de osmio. ¿Cuál ocupa el mayor volumen y cuál el menor? Solución Primero, se calculan los volúmenes de cada sustancia utilizando la fórmula V = Para el cobre V_1 = m_1/D_1 =7kg/8920(kg/m^3) = 0,00078475 m^3 = 784,75 mL
Para el bismuto V_2 = m_2/D_2 =8kg/9800(kg/m^3) = 0,00081633 m^3 = 816,33 mL
Para el osmio V_3 =m_3/D_3=20kg/22480(kg/m^3) = 0,00088968 m3 = 889,68 mL
El volumen mayor corresponde al osmio y el volumen menor al cobre.
Ejemplo #3 Un tanque cilíndrico tiene 0,70 m de largo y 0,10 m de radio. Calcule la cantidad de masa que puede contener si se llena con éter. Solución Primero, se calcula el volumen del tanque mediante la fórmula para el cilindro V=πr2h.
V = (3,14) (0,10 m)2(0,70 m) = (3,14) (0,01 m2) (0,70 m) = 21,98 × 10-3 m3
Ahora, se utiliza la fórmula para la masa M = ρ V = (730 kg/m3) (21,98 × 10-3 m3) = 16,04 kg.
Ejemplo #4 Una bola de hierro tiene una masa de 78 g. Calcular el volumen que ocupa y el radio. Solución Primero, se calcula el volumen a través de la fórmula V =M/D.
V = 9,92366412 cm3
Para la esfera V = πr^3. Luego, r =(V/π)^(1/3)=1,3334 cm
Ejemplo #5: Suponga que se toman 4 metales: 14 kgs de aluminio, 39 kgs de hierro, 52 kgs de plata y 95 kgs de oro. Con ayuda de la tabla de densidades, obtenga los volumenes de las sustancias, en \(m^3\).
Sean las sustancias en orden como aparecen, DMKS la densidad en kilogramos por metro cúbico, M la masa en kilogramos y V el volumen en metro cúbico.
sustancia=c(1,2,3,4)
DMKS=c(2700,7860,10500,19300)
M=c(14,39,52,95)
V=M/DMKS
cbind(sustancia,DMKS,M,V)## sustancia DMKS M V
## [1,] 1 2700 14 0.005185185
## [2,] 2 7860 39 0.004961832
## [3,] 3 10500 52 0.004952381
## [4,] 4 19300 95 0.004922280No siempre el más masivo ocupa un mayor volumen. En este caso, el más denso resulta en menor volumen a pesar de tratarse de una mayor masa.
Ejemplo #6: Suponga que se toman 4 metales y se miden sus volúmenes: 5cc de aluminio, 4cc de hierro, 3cc de plata y 2cc de oro. Con ayuda de la tabla de densidades, obtenga las masas de las sustancias, en gramos.
Sean las sustancias en orden como aparecen, DCGS la densidad en gramos por centímetro cúbico, V el volumen en centímetro cúbico y M la masa en gramos.
sustancia=c(1,2,3,4)
DCGS=c(2.7,7.86,10.5,19.3)
V=c(5,4,3,2)
M=DCGS*V
cbind(sustancia,DCGS,V,M)## sustancia DCGS V M
## [1,] 1 2.70 5 13.50
## [2,] 2 7.86 4 31.44
## [3,] 3 10.50 3 31.50
## [4,] 4 19.30 2 38.60En general, el sólido o sustancia más densa tendrá mayor masa, y por lo tanto, tendrá un mayor peso.
Presión, Fuerza y Area
Ahora, se estudia el concepto de presión, que también es una razón, pero esta vez, expresa el cociente entre fuerza y área. En el sistema internacional de unidades, la presión se expresa en pascales, que es la presión de 1 newton de fuerza actuando perpendicularmente en un área de 1 metro cuadrado.
Para entender el concepto de presión imagine dos situaciones: una lámina pisada por el tacón de una mujer, y la misma lámina pisada por la misma mujer sin tacones con zapatos lisos.
En el caso de zapatos lisos la fuerza actua en un área mayor produciendo menor presión que la que se produce sobre la lámina por el tacón de la mujer, debido a la mayor concentración de la fuerza.
Pasamos a la definición, la presión P es igual a la razón entre fuerza F y área A. Se toma F como un vector perpendicular a la superficie de área A, y por lo tanto, si F no es perpendicular a la superficie modificaría por la componente perpendicular al plano de la superficie.
Imagine las fuerzas en newton, las presiones en kilopascales y las áreas en metros cuadrados.
Determinar la fuerza total sobre un área de superficie perpendicular, en cada caso.
P=seq(from=100,to=275,by=25)
A=seq(from=2, to=16,by=2)
F= P*A
cbind(P,A, F)## P A F
## [1,] 100 2 200
## [2,] 125 4 500
## [3,] 150 6 900
## [4,] 175 8 1400
## [5,] 200 10 2000
## [6,] 225 12 2700
## [7,] 250 14 3500
## [8,] 275 16 4400Se observa que la fuerza como producto de la presión y el área, aumenta al aumentar alguno de esos dos factores. En este caso, aumentan presión y área simultaneamente, provocando mayor fuerza.
Ejemplo #1: Estudie la presión provocada por una mujer de 60 kgs que apoya su peso en un área A dada en metros cuadrados. Primero, la fuerza es constante y expresada en pascales.
F=60*9.8
A=c(1, 2, 3, 4, 5)*10^(-4)
P=F/A
cbind(F, A, P)## F A P
## [1,] 588 1e-04 5880000
## [2,] 588 2e-04 2940000
## [3,] 588 3e-04 1960000
## [4,] 588 4e-04 1470000
## [5,] 588 5e-04 1176000Se observa que manteniendo la fuerza constante, la presión aumenta al concentrar la fuerza en un área más pequeña. Estas presiones están entre 1 y 6 megapascales (MPa), la presión es inversamente proporcional al área.
Un ejemplo de la presión es la presión atmosférica. La presión atmosférica es el peso de la columna de aire que nos rodea por unidad de área. La presión de 1 atmósfera equivale a 1,013 × 105 Pa ó a 14,7 lb/in2 (libras por pulgadas cuadradas) ó a 76 cm Hg (centímetros de mercurio). Existen dos clases de presión relacionadas entre sí. Estas son la presión absoluta y la presión manométrica o hidrostática. La Presión absoluta es la presión total sobre un punto de un fluido, y es igual a la suma de la presión atmosférica y la presión manométrica. La presión hidrostática es la presión debido a una columna de fluido de altura h. P_H = ρgh. Luego, Pa = Patm + PH, es la presión absoluta de un punto del fluido.
Ejemplo #2 Encuentre la presión media ejercida por una mujer contra el piso, si su peso es de 60kg y se encuentra concentrado en una región de 1,2 cm^2. Exprese su respuesta en pascales. Solución Se aplica la definición,
P = F/A
P= (60kg*9.8m/s^2)/(1.2x 10^(-4) m^2)
P= 4 900 000 Pa.
Esta presión es equivalente a 48,37 atmósferas, y es suficientemente grande para hacerle daño a una persona.
Ejemplo # 2 Los manómetros empleados para medir el aire en los neumáticos marcan lo que se llama presión manométrica, la diferencia entre la presión absoluta y la presión atmosférica. Los neumáticos de un automóvil de 1800 kg se inflan a una presión manométrica de 220 kPa. ¿Cuál será el área que cada neumático está en contacto con el pavimento?
Solución
Se tiene
P_m = 220 kPa. Ahora, A = (F/P)/4
A= (1800x9.8N/220000pa) = 0,08018 m^2 para las 4 llantas. Luego, para una sola llanta el área se parte por 4, es decir,
A_1 = A/4 = 0.08018m^2/4 = 0,02004 m^2
Es decir, 200,4 cm^2.
Ejemplo # 3 Un zapato de fútbol tiene 6 taches cada uno con un área de 0,8 cm2. Calcule la presión media ejercida por un futbolista de 82 kg cuando se para sobre sus dos pies.
Solución
La fuerza es igual al peso, es decir,
F = mg = 82 kg * 9,8 m/s2 = 803,6 N
El área sobre la cuál actúa la fuerza es A = 12 * 0,8 cm^2
A= 9,6 cm^2 = 0,00096 m^2 Entonces, la presión contra el suelo es P = F/A= 837 083,33 Pa.
Ejemplo # 4 Encuentre la presión debida a una columna de aceite combustible de 15 m. ¿Qué altura de una columna de mercurio produce la misma presión? Solución En este caso, es la presión hidrostática dada por la expresión
P_H = ρ g h
P_H=(920 kg/m3) (9,8 m/s2) (15 m)
P_H= 135 240 Pa.
Ahora, si se utiliza mercurio la densidad es 13600 Kg/m3, la altura para la misma presión es
h = 101, 47 cm.
Es decir, la altura se reduce en un factor de casi 15.
La prensa hidráulica
El principio de la prensa hidráulica consiste en transmitir la presión de un émbolo pequeño a otro émbolo grande multiplicando la fuerza. Este mecanismo sirve para levantar grandes pesos.
Ejemplo # 1 Los radios de los émbolos de una prensa hidráulica son de 15 in y 90 in respectivamente. ¿Qué fuerza ejercerá el émbolo menor si sobre el mayor actúa una de 24 lb?
Solución
Se aplica la ecuación de la prensa
A_1 = π r_1^2 = 225π in^2
A_2 = π r_2^2 = 8100π in^2
F1 = A_1*F_2/A_2=0,67 lb
Ejemplo # 2 El radio del émbolo menor de una prensa es de 12 cm, si sobre él se aplica una fuerza de 85 N se obtiene en el otro émbolo una de 425 N, ¿cuál es el radio de éste émbolo?
Solución
Se aplica la ecuación de la prensa
A_1 = πr_1^2 = 144 π cm^2
A_2=A_1*F_2/F_1
A_2 = 144π cm^2*425N/85N= 720π cm^2
r_2 = (A_2/π)^(1/2) = 26,83 cm
Ejemplo # 3 Las áreas de los pistones grande y pequeño de una prensa hidráulica son 0,8 y 48 cm^2 respectivamente. ¿Cuál es la ventaja mecánica ideal de la prensa? ¿Qué fuerza se tendrá que ejercer para levantar una carga de 5,5 kg?
Solución
La ventaja mecánica de la prensa es A_2/A_1 = 48 cm^2/0,8 cm^2 = 60
Para calcular la fuerza se aplica la ecuación de la prensa
F_1 = (5,5 kg * 9,8 m/s^2) /60
F_1= 0,89833 N.
Ejemplo # 4 El tubo de entrada que suministra presión de aire para operar un gato hidráulico tiene 5 cm de diámetro. El pistón de salida es de 50 cm de diámetro. ¿Qué presión de aire se tendrá que usar para levantar un auto de 2500 kg?
Solución
P_2 = F_2/A_2
P_2 = (2500 kg * 9,8 m/s2)/ (π*(0,25cm)^2)
P_2= 124 840,76 Pa
Fuerzas de Empuje
La fuerza de empuje es una fuerza que aparece cuando un cuerpo es parcial o totalmente sumergido en un fluido.
El principio de Arquímedes dice que la fuerza de empuje sobre un cuerpo parcial o totalmente sumergido principalmente en un líquido, es igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo.
Matemáticamente, se puede expresar como:
F_E = ρ_f V g, donde ρ_f es la densidad del fluido, V es el volumen desalojado por el cuerpo y g es la aceleración debida a la gravedad (g = 9,8 m/s2).
El peso aparente es el peso reducido del cuerpo debido a la fuerza de empuje, y se calcula como la diferencia entre el peso y la fuerza de empuje.
Matemáticamente, se expresa como:
W_A = W – F_E = (ρ – ρ_f) V g, donde ρ es la densidad del material y el cuerpo está totalmente sumergido.
Para el caso en que el cuerpo flota parcialmente, se aplica la ecuación:
F_E = W, es decir, ρ_f V_f g = ρ V g, donde V_f es el volumen de fluido desalojado.
Esta ecuación puede ser modificada al considerar el peso total.
Ejemplo # 1 Un cuerpo tiene un volumen de 45 dm³, si su peso específico es de 2,7gf/cm³, ¿cuál es el empuje que recibe sumergido en agua y su peso aparente?
Solución
Primero, se calcula la fuerza de empuje con ayuda de la fórmula,
F_E = ρ_f V g F_E= (1000 kg/m3)(45 × 10-3 m3) (9,8 m/s2) F_E= 441 N.
Ahora, el peso aparente viene dado por W_A = W – F_E = (ρ – ρf) V g.
W_A = 2700 kg/m3 * 9,8 m/s2 * 45 × 10-3 m^3 – 441 N
W_A= 1190,7 N – 441 N = 749,7 N
Ejemplo # 2 Un cuerpo pesa en el aire 20 N y su volumen es de 12 cm³, se sumerge en líquido donde pesa 18 N. ¿Cuál es la densidad del líquido?
Solución De acuerdo con la relación
W_A = W – F_E,
se tiene: F_E = W - W_A.
F_E = 20 N – 18 N = 2 N.
Usando la relación
F_E = ρ_f V g,
se tiene que ρ_f = F_E / (Vg).
Luego,
ρ_f = 2N/(12x10^(-6) m^3*9.8 m/s^2) kg/m3
ρ_f= 17006,80 kg/m3
Ejemplo # 3 Un cuerpo pesa en el aire 18 N y en el agua 13 N, ¿cuál es su densidad?
Solución
Primero, se utiliza la expresión del peso aparente
W_A = (ρ – ρ_f) V g,
Pero, V = F_E / (ρ_f g).
Reemplazando en la ecuación anterior queda:
W_A = (ρ – ρ_f) F_E /ρ_f.
Además,
W_A = 13 N, ρ_f = 1000 kg/m3, F_E = 5 N.
ρ = (ρ_f W_A / F_E) + ρ_f
ρ= (1000 kg/m^3 * 13 N / 5 N) + 1000 kg /m^3
ρ= 3600 kg/m3.
Ejemplo # 4 Una boya esférica cuyo volumen es de 7 m³ pesa 1820 N. Si el aparato productor de luz pesa 385 N, ¿cuánto deberá pesar el lastre para que la hunda hasta la mitad en agua de mar?
Solución
El peso total del sistema es
W_T = 1820 N + 385 N + W_L. El peso aparente es W_A = 0, para un objeto que flota y no está totalmente sumergido. La fuerza de empuje es
F_E = ρf Vf g
F_E = (1000 kg/m3) (3,5 m3) (9,8 m/s2)
F_E = 34300 N
El peso total es igual a la fuerza de empuje, es decir, W_L = 32095 N, el peso equivalente del lastre.
Principio de Continuidad
El gasto o caudal de un fluido, en ausencia de escapes, es siempre constante. Esta relación midel el volumen del flujo por unidad de tiempo \(Q=V/t\), donde V es el volumen y t es el tiempo. Esta relación comúnmente se expresa como \(Av=C\), donde A es el área de la tubería o sección transversal del líquido o gas en movimiento y v es la velocidad del fluido.
Tambien suele ponerse en la forma \(A_1v_1=A_2v_2\)
Ejemplo #1 En la sección ancha de una tubería el área es de \(80 cm^2\) y la velocidad del agua es de \(20cm/seg\). Determine el caudal y la velocidad cuando pasa por la parte estrecha, a la misma altura, si el área de la sección angosta es de \(16cm^2\). ¿Cuántos litros fluyen por la tubería en 2 minutos? Las mediciones en el sistema cgs son
A_1=80
v_1=20
Q=A_1*v_1
A_2=16
v_2=Q/A_2
c(Q,v_2)## [1] 1600 100Dado que el valor del caudal es 1600 cc por seg, esto es 1.6 litros por segundo, entonces, en 2 minutos ó 120 segundos fluyen
t=120
Q=1.6
V=Q*t
V## [1] 192Es decir, en dos minutos, fluyen por la tubería 192 litros.
Ejemplo # 2 Por un conducto recto circula agua a una velocidad de 4 m/s. Si la sección del tubo es de 2 cm², ¿cuál es el caudal de la corriente?
Solución
El flujo, gasto o caudal es
Q = A V
Q = (2 cm^2) (400 cm/s)
Q= 800 cm3/s
Ejemplo # 3 Por un caño de 5 cm² de sección circula agua a razón de 30 cm/s. ¿Cuál será el volumen del agua que pasó en 25 s?
Solución
Puesto que V = Q t y Q = A V, se tiene que:
V = A V t
V= (5 cm^2) (30 cm/s) (25 s)
V= 3750 cm^3
Ejemplo # 4 Por una cañería circula agua con un régimen estacionario a caudal constante. Considerando dos secciones de esa cañería, S_1= 5 cm² y S_2= 2 cm², ¿cuál será la velocidad en la segunda sección, si en la primera es de 8 m/s?
Solución Se aplica la ecuación de continuidad
A_1 V_1 = A_2 V_2
(5 cm^2) (8 m/s) = (2 cm^2) V2
V_2 = (5*8 m/s)/2 = 20 m/s
Ejemplo # 5 El caudal de una corriente estacionaria es de 18 dm ³/s, si las secciones son de 4 cm ² y 9 cm ², calcular las velocidades en cada sección.
Solución
Se aplica la ecuación de continuidad:
A_1 v_1 = A_2 v_2 = cte
Reemplazando, se obtiene:
4 cm^2 v_1 = 9 cm^2 v_2 = 18 dm^3/s = 18000 cm^3/s
Resolviendo,
v_1 = 18000/4 cm/s
v_1= 4500 cm/s = 45 m/s
v_2 = 18000/9 cm/s
v_2= 2000 cm/s = 20 m/s
Ejemplo # 6 Calcular la sección de un tubo por el cual circula un líquido a una velocidad de 40 cm/s, siendo su caudal de 8 dm³/s.
Solución
Se aplica la ecuación de continuidad
A_1 v_1 = cte.
Reemplazando, se obtiene:
A_1 = cte / v_1
A_1= (8000 cm^3/s) / (40 cm/s)
A_1= 200 cm^2
Principio de Bernoulli
Este principio que lleva el nombre de su descubridor Daniel Bernoulli, expresa la conservación de energía en un fluido sin escapes. Este principio expresa que la densidad de energía mecánica de cualquier fluido confinado en movimiento, se mantiene constante, de acuerdo a la relación
\(P+1/2\rho v^2+\rho g h=C\)
O también
\(P_1+1/2\rho v_1^2+\rho g h_1=P_2+1/2\rho v_2^2+\rho g h_2\)
Ejemplo # 1 El ala de un aeroplano se diseña de modo que cuando la rapidez del aire a lo largo de la parte superior del ala es 450 m/s, la rapidez del aire por debajo del ala es 410 m/s. ¿Cuál es la diferencia de presión entre las partes superior e inferior del ala?
Solución
La ecuación de Bernoulli para los fluidos es:
P_1 + ρ v_1^2/2 + ρ g h_1 = P_2 + ρ v_2^2/2 + ρ g h_2.
Al considerar h1 ≈ h2, se tiene que:
Luego,
P_1 - P_2 = ρ (v_2^2/2 - v_1^2/2)
P_1-P_2 = (1,29 kg/m^3)[(410 m/s)^2/2 – (450 m/s)^2/2]
P_1-P_2= (1,29 kg/m^3) (168100 m2/s2 – 202500 m2/s2)/2
P_1-P_2= (1,29 kg/m^3)(-34400 m^2 /s^2)/2
P_1-P_2= - 22 188 Pa.
La diferencia de presión entre las partes inferior y superior es de 22 kPa aproximadamente.
Ejemplo # 2 Un tanque de agua tiene una fuga lateral por un orificio donde la diferencia de presión del agua con un punto central del fluido ubicado a la misma altura es de 500 k Pa. ¿Cuál es la velocidad de escape del fluido por el orificio?
Solución
Utilizando la ecuación de Bernoulli con
P_1 - P_2 = 500 k Pa,
v_1 = 0 y h_1 ≈ h_2, se tiene que:
P_1 - P_2 = ρ v_2^2/2.
De donde
v_2 = (2*(P_1-P_2)/ρ)^(1/2)
v_2=(1000m2/s2)
v_2= 31,6 m/s.
Ejemplo # 3 Un tanque abierto en la parte superior tiene una abertura de 3 cm de diámetro el cual se encuentra a 5 m por debajo del nivel del agua contenida en el recipiente. ¿Qué volumen de líquido saldrá por minuto a través de dicha abertura?
Solución
En este caso se aplica la ecuación de Bernoulli: 1 es la parte superior y 2 el orificio.
Entonces
P_1 - P_2 = 0, v_1 = 0, h_1 = 5 m y h_2 = 0.
P_1 + ρ v_1^2/2 + ρ g h_1 = P_2 + ρ v_2^2/2 + ρ g h_2
ρ v_2^2/2 = ρ g h_1 , entonces,
v_2 =(2gh_1)^(1/2)
v_2= (98)^(1/2) m/s
v_2= 9,9 m/s.
El flujo está dado por
Q = v_2 A_2
Q= (9,9 m/s) π (1,5 × 10-2 m)^2
Q= 7 × 10-3 m^3/s = 0,42 m^3/min.
Ejemplo # 4 Calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio situado a 6 cm de la superficie libre del líquido.
Solución
Se utiliza el teorema de Torricelli, es decir,
v =(2gh)^(1/2)
v= (19.6*0.06)^(1/2) m/s
v= 1,084 m/s = 108,4 cm/s
Eventos Termodinámicos
En este capítulo se estudian los elementos que componen la termodinámica. Este capítulo consta de 10 secciones que son: la Temperatura y el calor, la calorimetría, la teoría cinética de lo gases, la dilatación térmica, las leyes de los gases, los procesos termodinámicos, el primer principio de la termodinámica, el segundo principio de la termodinámica, los ciclos termodinámicos y la eficiencia térmica.
Leyes de los gases
La teoría de los gases tiene los siguientes supuestos:
⦁ En el gas, las moléculas están tan separadas unas de las otras que no hay fuerzas de interacción entre ellas, es decir, las moléculas no interactúan unas con otras.
⦁ El gas se encuentra lejos de su punto de licuefación y a bajas presiones.
Ley de Boyle
En un gas mantenido a temperatura constante, la presión absoluta P del gas es inversamente proporcional al volumen V ocupado por el gas. Esta relación se expresa matemáticamente, como
PV = cte
o equivalentemente P_1 V_1 = P_2 V_2.
Esta relación establece que el producto de la presión absoluta P y el volumen V del gas mantenido a temperatura constante es fijo.
A temperatura constante, cuando la presión absoluta del gas aumenta el volumen ocupado por el gas disminuye; y cuando la presión absoluta del gas disminuye el volumen ocupado por el gas aumenta.
Ejemplo #1 ¿Qué volumen de gas hidrógeno a presión atmosférica se requiere para llenar un tanque de 5000 cm3 bajo una presión manométrica de 530 kPa?
Solución
Se tiene P_1 = 101,3 kPa y P_2 = 101,3 kPa + 530kPa = 631,3 kPa.
El volumen final es V_2 = 5000 cc. Aplicando la ley de Boyle, suponiendo que la temperatura permanece constante,
P_1 V_1 = P_2 V_2.
V_1 = P_2 V_2/ P_1
Reemplazando, se obtiene
V_1=31100 cc
En estos casos, las unidades de presión y volumen pueden utilizarse de cualquier forma siempre que las presiones se expresen en unidades similares y asimismo los volúmenes.
Ejemplo #2 ¿Cuál es la presión manométrica de 4 metros cúbicos de gas mantenidos a temperatura constante si a una presión absoluta de 5 atmósferas el volumen es 7,2 metros cúbicos?
Solución Se aplica la ley de Boyle, puesto que el gas es mantenido a temperatura constante. Entonces,
P_1 V_1 = P_2 V_2.
P_1 = P_2 V_2/ V_1
Reemplazando, se obtiene
P_1= 9 atmósferas.
En este caso, el producto de la presión absoluta por el volumen debe ser igual a 36 atm* mc. Nótese que el volumen de 4 mc debe ser multiplicado por 9 atm. para obtener el producto 36.
La presión manométrica es
P_1m = P_1 – P_at
P_1m= (9 – 1) atm = 8 atm.
Ejemplo # 3 A continuación aparece una condición PV=25cmHg*lt, para un gas mantenido a temperatura constante (Presión en cm Hg y Volumen en Litros).
Calcular el volumen que ocupa el gas a 250 cm Hg y la presión del gas cuando el volumen sea 0,30 litros.
Solución De acuerdo con la condición de que el gas se mantiene a temperatura constante, el producto PV es constante. Con ayuda de los datos se obtiene PV = 25 cmHg* Lt.
En primer lugar, para una presión de gas de P=250 cmHg, se tiene que:
V = 25 cmHg*Lt / P
V= 0,10 Lts.
En segundo lugar, para un volumen de gas de 0,30 lts, se tiene que
P = 25 cmHg*Lt / V
P= 25/0.3 cmHg = 83,3 cmHg
Ley de Charles
La ley de Charles expresa que a presión constante, el volumen ocupado por un gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta. La temperatura absoluta emplea como unidades grados Kelvin (°K).
Matemáticamente, esta relación es equivalente a que el cociente entre el volumen y la temperatura absoluta del gas es igual a una constante, y se expresa como:
V/T= cte
o en otra forma,
V_1/T_1 = V_2/T_2
La relación V contra T es una línea recta que pasa por el origen cuando T está en grados Kelvin.
Para usar esta ecuación el volumen puede estar en cualquier unidad, mientras que la temperatura siempre debe estar en grados kelvin.
K = C + 273 es la fórmula para pasar de grados Celsius a Kelvin.
Ejemplo # 1 Un globo grande lleno de aire tiene un volumen de 200 litros a 0 °C. ¿Cuál será su volumen a 57 °C si la presión no cambia?
Solución
En este caso, dice que el gas se mantiene a presión constante, es decir, se aplica la ley de Charles
V_1/T_1=V_2/T_2
Primero, se expresan las temperaturas en la escala absoluta; para esto, se pasan de grados Celsius a grados kelvin.
T_1 = 0 °C = (0 + 273) °K = 273 °K
y T_2 = 57°C = (57 + 273) °K = 330 °K
Al sustituir los valores en la ecuación, se tiene:
V_2 = V_1 T_2 / T_1
V_2=200lts*330k/273k
V_2= 242 Lts
En este caso, el volumen aumenta al aumentar la temperatura.
Ejemplo #2 Un tanque está lleno de un gas y se mantiene a presión constante. El gas inicialmente se encuentra ocupando un volumen de 0,40 m^3 a una temperatura de 127 °C. ¿Cuál será la temperatura final cuando el volumen que ocupa el gas sea de 0,55 m^3?
Solución
Primero, se expresa la temperatura en la escala absoluta, es decir, se pasa de grados Celsius a grados kelvin.
T_1 = 127 °C = (127 + 273) °K = 400 °K
En este caso, dice que el gas se mantiene a presión constante, es decir, se aplica la ley de Charles
V_1/T_1=V_2/T_2
Se despeja de la ecuación la temperatura final,
T_2 = V_2 T_1 / V_1
T_2=0.55m^3*400 k/(0.4 m^3)
T_2= 550 °K
T_2 = 550°K= (550 – 273) °C = 277°C
Ejemplo # 3 Un gas que es mantenido a presión constante disminuye su temperatura absoluta en una fracción de 2/5. Calcule el volumen final cuando el volumen inicial es de 125 litros.
Solución
De acuerdo con la ley de Charles al disminuir la temperatura absoluta del gas en una proporción dada, el volumen también disminuirá en la misma proporción. Esto quiere decir, que el volumen final será 2/5 del volumen inicial, es decir:
V_f = 2/5* V_i = 2/5 * 125 Lts
V_f= 50 Lts.
El volumen final será de 50 litros.
Ley de Gay Lussac
La ley del gas ideal a volumen constante fue formulada por Gay Lussac. Esta ley establece que a volumen constante, la presión de un gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta. Matemáticamente, esto quiere decir que el cociente entre la presión absoluta del gas y la temperatura absoluta del gas es una constante P/T = cte; y se expresa como:
P_1/T_1=P_2/T_2
A volumen constante la relación entre la presión de una muestra de gas y su temperatura es una línea recta con pendiente positiva, que indica que al aumentar la presión aumenta también la temperatura siempre que el volumen del gas permanezca constante. Si se duplica la presión absoluta también se duplicará la temperatura absoluta, pero, si la temperatura absoluta se reduce a la tercera parte también la presión absoluta se reducirá a la tercera parte. Nótese que para emplear la ecuación se utilizan presiones absolutas y temperaturas absolutas.
Ejemplo #1 El neumático de un automóvil se infla a una presión manométrica de 30 lb/in2 en un momento en que la presión de los alrededores es de 14,4 lb/in2 y la temperatura es de 70°F. Después de manejarlo, la temperatura del aire del neumático aumenta a 100 °F. Suponga que el volumen de gas cambia sólo ligeramente, ¿Cuál es la nueva presión manométrica en el neumático?
Solución
La ley de Gay Lussac se aplica a volumen constante, pero primero se deben convertir las medidas a presiones absolutas y temperaturas absolutas (de grados Fahrenheit a grados Rankine).
P_1 = 30 lb/in^2 + 14,4 lb/in^2 P_1= 44,4 lb/in^2
T_1 = 70°F = (70 + 460) °R = 530 °R
y T_2 = 100°F = (100 + 460) °R = 560°R
Se aplica la ecuación P_1/T_1 =P_2/T_2 , de la cual se despeja la presión final,
P_2 = P_1 T_2 / T_1
P_2= 44.4 lb/in^2*560°R/530°R
P_2= 46,9 lb/in^2.
Esta es la presión absoluta, luego, la presión manométrica final será de 14,4 lb/in^2 menos.
P_2m = P_2 – Pat = 46,9 lb/in^2 – 14,4 lb/in^2
P_2m= 32,5 lb/in^2.
Ejemplo # 2 Un balón de futbol es inflado a una presión manométrica de 380 kPa cuando la temperatura es de 25°C. De repente, la temperatura del medio aumenta hasta 40 °C. ¿Cuál será la nueva presión interna del aire dentro del balón?
Solución
Se convierten las presiones y temperaturas a las escalas absolutas.
P_1 = 380 kPa + 101,3 kPa = 481,3 kPa
T_1 = 25 °C = (25 + 273) °K = 298 °K y T_2 = 40 °C = (40 + 273) °K = 313 °K
Se aplica la ley de Gay Lussac
P_1/T_1=P_2/T_2,
de la cual se despeja la presión final, Se calcula la presión
P_2 = P_1 T_2 / T_1
P_2= 481.3kpa*313k/298k = 505,53 kPa.
Luego, la nueva presión interna del aire es
P_2m = P_2 – Pat
P_2m= 505,53 kPa – 101,3 kPa = 404,23 kPa.
Ejemplo # 3 El gas dentro de un recipiente es mantenido a volumen constante. La presión absoluta inicial es de 125 cmHg siendo su temperatura absoluta de 300 °K. ¿Cuál será la temperatura final del gas cuando la presión es de 150 cmHg?
Solución
Se aplica la ley de Gay Lussac
P_1/T_1=P_2/T_2,
de la cual se despeja la temperatura final:
T_2 = P_2 T_1 / P_1
Reemplazando, se obtiene
T_2=150cmHg*300°k/(125cmHg) = 360°K
En este caso, la temperatura final de la muestra de gas será de 360 °K, es decir, 87 ° C.
Ley General de los Gases
En las tres variables de estado presión absoluta P, volumen V y temperatura absoluta T; la relación de P, V y T se expresa mediante la llamada ecuación de estado dada por la siguiente fórmula: PV = n R T, donde n es el número de moles del gas y R es la constante universal de los gases
R = 0,0821 lt* atm/(mol* K) = 8,314 J/(mol * K).
La ley general del gas ideal, para un número de moles constante, se suele expresar como:
P_1V_1/T_1 =P_2V_2/T_2.
En el caso en que el número de moles n no sea constante se deben escribir los términos n_1 y n_2 en los denominadores de cada lado de la igualdad.
Ejemplo # 1 Un tanque para oxígeno con un volumen interior de 20 lt se llena con ese gas bajo una presión absoluta de 6 × 10^6 N/m^2 a 20 °C. El oxígeno se va a usar en un avión para grandes alturas, donde la presión absoluta es 7 × 10^4 N/m^2 y la temperatura es -20 °C. ¿Qué volumen de oxígeno será capaz de suministrar el tanque en esas condiciones?
Solución
Después de convertir las temperaturas a la escala absoluta kelvin T_1 = 293°K y T_2 = 253 °K , se aplica la ecuación
P_1V_1/T_1 =P_2V_2/T_2.
El volumen final se despeja de la ecuación anterior:
V_2 = P_1V_1*T_2/(P_2T_1)
V_2= 6x 10^6 pa * 20 lt* 253 k/ (7x 10^4 pa *293k)
V_2= 1480 Lts.
Ejemplo # 2 Determine el volumen que ocupa una mol de cualquier gas a presión y temperatura estándar (P = 1 atm y T = 0°C).
Solución
Se aplica la ecuación de estado, PV = n R T.
Despejando
V =nRT/P
V=1 mol* 0.0821 at * lt/(mol* k) * 273k/(1at) = 22,4 Lts.
Ejemplo # 3 El número de moles de la ecuación de estado expresa la relación entre la masa de gas m y la masa molar M, de este modo, n = m/M. Con esta información, obtenga la masa de oxigeno que ocupará un volumen de 1,6 m3 a una presión de 200 kPa y a una temperatura de 27 °C. Tenga en cuenta que la masa molar del oxígeno es M = 32 g/mol.
Solución
Al expresar n = m/M, la ecuación de estado se transforma en
PV = (m/M) RT
Al despejar m se obtiene
m = PVM/(RT)
Al reemplazar datos se obtiene
m= 4110 g = 4,11 kg.
La masa de oxígeno que ocupará un volumen de 1,6 m^3 a una presión de 200 kPa y una temperatura de 27°C es de 4,11 kg.
Eventos Ondulatorios
En este capítulo se estudian los elementos que componen las ondas, tanto mecánicas como electromagnéticas. Este capítulo consta de 10 secciones que son: el movimiento periódico, el movimiento armónico simple, las ondas sonoras en cuerdas y tubos, Velocidades del sonido, fenómenos en ondas planas, teorías de la naturaleza de la luz, reflexión de la luz, refracción de la luz, lentes e instrumentos ópticos, experimentos de la dualidad de la luz.
El Movimiento Periódico
El movimiento periódico va desde la traslación de los planetas alrededor del Sol ó la Rotación de los planetas sobre sus propios ejes; hasta las vibraciones de los átomos y al interior de éstos.
La tierra tarda un año en completar la vuelta al Sol, es decir, el periodo de traslación de la tierra es de 1 año = 12 meses = 365 días para años normales, y años bisiestos cada 4 años con un día más.
Por ejemplo, el atómo de cesio, durante un segundo, vibra 9192631770 de veces, es decir, provoca casi 10 mil millones de radiaciones durante un segundo.
De este modo, tenemos involucrados los conceptos de vibración, periodo y frecuencia, en primera instancia.
Ejemplo: Suponga que una primera partícula vibra con 30 oscilaciones mas que otra, en un tiempo de 4 minutos. Ahora, se sabe que la frecuencia de la primera partícula, medida en hertz, es \(f_1\). Exprese en una gráfica la frecuencia de la segunda partícula \(f_2\) como función de la primera.
f_1=seq(from=0.2,to=1,by=0.1)
f_2=-0.125+f_1
plot(f_1,f_2,type="l",xlab="frecuencia hertz de la partícula 1", ylab="frecuencia de la partícula 2", main="Relación entre frecuencias")
Las frecuencias se relacionan linealmente, por ejemplo, si la frecuencia de la primera partícula es 0.6 hz, la frecuencia de la segunda partícula es 0.475 hz. Es decir, la diferencia entre las frecuencias de las partículas 1 y 2, se mantiene en 0.125 hz.
Osciladores Armónicos Simples
Un tipo de movimiento periódico osciatorio es el M.A.S. (Movimiento Armónico Simple), el cual cumple una ecuación diferencial, de la cual daremos su formato simple \(a(t)=-\omega^2.x(t)\), que define una proporción directa entre aceleración a y desplazamiento x, característico de los osciladores armónicos.
Esta ecuación con el signo menos define la fuerza recuperadora de magnitud directamente proporcional a la elongación o desplazamiento, pero dirigida en sentido contrario a este.
La solución del oscilador armónico ideal es una convolución sinusoidal \(X(t)=A.sin(\omega t) + B.Cos(\omega t)\) ó lo que es su solución general \(X(t)=A_0.Cos(\omega t + \phi)\).
Una forma particular es \(X_1(t)=A_1.sin(\omega t)\) y otra \(X_2(t)=B_1.Cos(\omega t)\).
Las soluciones general o partículares se conocen como curvas sinusoidales, las cuales definen un periodo, simbolizado por T, dado por \(T=\frac{2.\pi}{\omega}\), donde la cantidad \(\omega\) es la frecuencia natural del sistema, medida en rad/seg.
Las curvas sinusoidales tienen una amplitud, en caso de x, la elongación máxima se llama amplitud y se simboliza por A.
Las ecuaciones armónicas de la velocidad de la partícula, para \(X(t)=A.Cos(\omega t)\), tienen tambien la forma particular \(v(t)=-\omega.A.Sin(\omega t)\), donde la velocidad máxima es \(v_{max}=A.\omega\); y su aceleración sería \(a(t)=-\omega^2.X(t)\), en este caso, \(a(t)=-\omega^2.A.Cos(\omega t)\), donde la aceleración máxima es \(a_{max}=A.\omega^2\).
El principio del oscilador es efectuar un número de oscilaciones que guarda una relación que es directamente proporcional al tiempo; por lo que \(T=\frac{t}{n}\), donde t es el tiempo, generalmente, en segundos y n es el número de vibraciones en el tiempo señalado. Este cumple tambien \(f.T=1\).
Ejemplo: Suponga que un oscilador armónico ideal tiene una amplitud de 20cm, una frecuencia de 0.5 hz, y se sujeta a la condición inicial \(X(t)=20cm\).
Encuentre el periodo, la frecuencia angular, la velocidad máxima y la aceleración máxima.
Escriba las ecuaciones de x, v y a.
Grafique la elongación, modificando el periodo a 4 segundos.
Solución
Primeramente, el periodo es \(T=\frac{1}{f}\), es decir \(T=\frac{1}{0.5hz}\), esto es, \(T=2s\). La frecuencia angular puede ser escrita como \(\omega =2.\pi. f\), es decir, \(\omega=\pi\), en radianes por segundo, al reemplazar \(f=0.5\) hertz. La velocidad máxima es \(v_{max}=A.\omega\), es decir, un valor de \(20\pi\), en centímetros por segundo. La Aceleración máxima es \(a_{max}=A.\omega^2\), que al reemplazar da \(20\pi^2\), en centímetros por segundo cuadrado.
Las ecuaciones para las condiciones dadas, sistema CGS (Centímetros, gramos y segundos), son
\(x(t)=20.Cos(\pi.t)\)
\(v(t)=-20.\pi. Sin(\pi.t)\)
\(a(t)=-20.\pi^2.Cos(\pi. t)\)
- La gráfica de la elongación es
t=seq(from=0, to=16,by=0.1)
x=20*cos(3.14159*t/2)
x1=0.00000001*t
plot(t,x,type="l")
lines(t,x1)
Reflexión de la luz
En esta sección se estudia el fenómeno de la reflexión de la luz, que se refiere a los tipos de espejos.
Espejo Plano \(s=s'\) (Ecuación del espejo plano)
En el espejo plano la imagen es virtual y derecha y con una inversión lateral.
Espejos Esféricos
\(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{2}{R}\)
Los espejos esféricos pueden ser cóncavos o convexos.
La convención de signos es que todo lo que está delante del espejo es positivo. En el ejemplo que se da a continuación tanto s, como s’ y R son positivos (espejo cóncavo).
El aumento de la imagen es \(A=\frac{-s'}{s}\).
La altura de la imagen es \(h=|A|*h\).
Ejemplo 1: El siguiente problema es de un espejo cóncavo. Suponga un espejo cóncavo de radio 20cm, al cual se le coloca un objeto de 2 cm de altura a 30 cm del vértice del espejo.
En la gráfica se ilustran los rayos principales.
Determine: -la posición de la imagen. -el aumento de la imagen. -el tamaño de la imagen. -la naturaleza de la imagen.
Solución
Datos: \(R=20cm\), \(s=30cm\), \(h=2 cm\)
-Usando la ecuación se tiene
\(\frac{1}{s'}=\frac{2}{20cm}-\frac{1}{30cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{1}{10cm}-\frac{1}{30cm}\)
El 30 contiene al 10, así que se deja 30 como denominador común.
El 30 entre 10 a 3 y 3 por 1 da 3. 30 entre 30 a 1 por 1 da 1. De alli sale \(3-1\). Esto equivale a un proceso de amplificación de fracciones.
\(\frac{1}{s'}=\frac{3-1}{30cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{2}{30cm}\)
\(s'=15cm\)
- El aumento de la imagen es
\(A=\frac{-s'}{s}\)
\(A=\frac{-15cm}{30cm}\)
\(A=\frac{-1}{2}\)
- El tamaño de la imagen es
\(h'=|A|.h\)
\(h'=\frac{2cm}{2}\)
\(h'=1cm\)
- la naturaleza de la imagen es real, invertida y disminuida. Es real porque se forma delante del espejo, es invertida ya que los rayos producen una inversión dada la naturaleza del espejo, que es cóncavo; y finalmente, la imagen se disminuyó a la mitad del tamaño vertical del objeto.
Ejemplo 2: El siguiente problema es de un espejo cóncavo. Suponga un espejo cóncavo de radio 20cm, al cual se le coloca un objeto de 2 cm de altura a 15 cm del vértice del espejo.
En la gráfica se ilustran los rayos principales.
Determine: -la posición de la imagen. -el aumento de la imagen. -el tamaño de la imagen. -la naturaleza de la imagen.
Solución
Datos: \(R=20cm\), \(s=15cm\), \(h=2 cm\)
-Usando la ecuación se tiene
\(\frac{1}{s'}=\frac{2}{20cm}-\frac{1}{15cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{1}{10cm}-\frac{1}{15cm}\)
El 30 contiene al 10 y al 15, así que se deja 30 como denominador común.
El 30 entre 10 a 3 y 3 por 1 da 3. 30 entre 15 a 2 por 1 da 1. De alli sale \(3-2\). Esto equivale a un proceso de amplificación de fracciones.
\(\frac{1}{s'}=\frac{3-2}{30cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{1}{30cm}\)
\(s'=30cm\)
- El aumento de la imagen es
\(A=\frac{-s'}{s}\)
\(A=\frac{-30cm}{15cm}\)
\(A=-2\)
- El tamaño de la imagen es
\(h'=|A|.h\)
\(h'=2cm\times 2\)
\(h'=4cm\)
- la naturaleza de la imagen es real, invertida y aumentada. Es real porque se forma delante del espejo, es invertida ya que los rayos producen una inversión dada la naturaleza del espejo, que es cóncavo; y finalmente, la imagen se aumentó al doble del tamaño vertical del objeto.
Ejemplo 3: El siguiente problema es de un espejo cóncavo. Suponga un espejo cóncavo de radio 20cm, al cual se le coloca un objeto de 2 cm de altura a 5 cm del vértice del espejo.
En la gráfica se ilustran los rayos principales.
Determine: -la posición de la imagen. -el aumento de la imagen. -el tamaño de la imagen. -la naturaleza de la imagen.
Solución
Datos: \(R=20cm\), \(s=5cm\), \(h=2 cm\)
-Usando la ecuación se tiene
\(\frac{1}{s'}=\frac{2}{20cm}-\frac{1}{5cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{1}{10cm}-\frac{1}{5cm}\)
El 10 contiene al 5, así que se deja 10 como denominador común.
El 10 entre 10 a 1 y 1 por 1 da 1. 10 entre 5 a 2 por 1 da 2. De alli sale \(1-2\). Esto equivale a un proceso de amplificación de fracciones.
\(\frac{1}{s'}=\frac{1-2}{10cm}\)
\(\frac{1}{s'}=-\frac{1}{10cm}\)
\(s'=-10cm\)
- El aumento de la imagen es
\(A=\frac{-s'}{s}\)
\(A=-\frac{-10cm}{5cm}\)
\(A=2\)
- El tamaño de la imagen es
\(h'=|A|.h\)
\(h'=2cm\times 2\)
\(h'=4cm\)
- la naturaleza de la imagen es virtual, derecha y aumentada. Es virtual porque se forma detrás del espejo, es derecha ya que los rayos no producen una inversión dada la naturaleza del espejo y el hecho que el objeto está cerca; y finalmente, la imagen se aumentó al doble del tamaño vertical del objeto.
Ejemplo 4: El siguiente problema es de un espejo convexo. Suponga un espejo cóncavo de radio 20cm, al cual se le coloca un objeto de 2 cm de altura a 10 cm del vértice del espejo.
En la gráfica se ilustran los rayos principales.
Determine: -la posición de la imagen. -el aumento de la imagen. -el tamaño de la imagen. -la naturaleza de la imagen.
Solución
Datos: \(R=-20cm\), \(s=10cm\), \(h=2 cm\)
Ahora, el radio es negativo por estar detrás del espejo.
-Usando la ecuación se tiene
\(\frac{1}{s'}=\frac{2}{-20cm}-\frac{1}{10cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{-1}{10cm}-\frac{1}{10cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{-1-1}{10cm}\)
\(\frac{1}{s'}=\frac{-2}{10cm}\)
\(s'=-5cm\)
- El aumento de la imagen es
\(A=\frac{-s'}{s}\)
\(A=-\frac{-5cm}{10cm}\)
\(A=\frac{1}{2}\)
- El tamaño de la imagen es
\(h'=|A|.h\)
\(h'=\frac{2cm}{2}\)
\(h'=1cm\)
- la naturaleza de la imagen es virtual, derecha y disminuida. Es virtual porque se forma detrás del espejo, es derecha siempre para espejo convexo; y finalmente, la imagen se disminuyó a la mitad del tamaño vertical del objeto.
Refracción de la Luz
La refracción de la luz es el cambio de dirección de la luz al pasar de un medio transparente a otro. El medio refringente es un medio cristalino, cuyo índice de refracción mide el efecto de un medio sobre la luz incidente. A mayor índice es menor la transparencia del material. Además, el índice de refracción afecta la velocidad de la luz y la longitud de onda, mas no la frecuencia.
Imagine que un objeto está en el punto O, y el rayo va de O hasta un punto P sobre la superficie esférica del medio, con ángulo de incidencia i. Además, el rayo va del medio 1 al medio 2 donde se refracta el rayo con ángulo de refracción r. En la gráfica se forman los triangulos CPO y CPO’. Se aplica el teorema del ángulo externo para deducir la ecuación de refringencia en la superficie esférica de radio R. Primero, el teorema del ángulo externo afirma que todo ángulo externo a un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no contiguos.
Por lo tanto, se tiene que \[i=\theta +\alpha\] \[\alpha=r+\theta'\] Se toma la convención de que \(n_1\) es el índice de refracción del medio donde se encuentra el objeto y \(n_2\) es el otro medio.
Al multiplicar la primera ecuación por \(n_1\) y la segunda ecuación por \(n_2\), y usar el hecho de que \(n_1\times i=n_2\times r\) (aproximación para rayos paraxiales), se tiene \[n_1\times \theta + n_2\times \theta'=\left(n_2-n_1\right)\times \alpha\] Luego al aproximar cada ángulo por su tangente, para ángulos pequeños, esto resulta en
\[\frac{n_1\times h}{s} + \frac{n_2\times h}{s'}=\frac{\left(n_2-n_1\right)\times h}{R}\] Que al simplificar h, se obtiene
\[\frac{n_1}{s} + \frac{n_2}{s'}=\frac{n_2-n_1}{R}\]
Ejemplo: Una estrella se encuentra incrustada en una esfera de diamante cuyo índice es \(n_1=2.42\) a una distancia de 10 cm de la superficie cuyo radio es de 20 cms. Si la estrella es observada desde dentro del agua, cuyo índice de refracción es \(n_2=1.33\), ¿A qué distancia de la superficie se formará la imagen?
Datos
\(n_1=2.42\), \(n_2=1.33\), \(s=10cm\), \(R=-20cm\).
\[\frac{n_1}{s} + \frac{n_2}{s'}=\frac{n_2-n_1}{R}\]
Reemplazando queda
\[\frac{2.42}{10cm} + \frac{1.33}{s'}=\frac{1.33-2.42}{-20cm}\]
\[ \frac{1.33}{s'}=\frac{1.09}{20cm}-\frac{2.42}{10cm}\]
\[ \frac{1.33}{s'}=\frac{1.09-4.84}{20cm}\]
\[ \frac{1.33}{s'}=\frac{-3.75}{20cm}\]
Luego, \(s'=\frac{-20cm\times 1.33}{3.75}\), esto es, \(s'=-7.0933 cms\).
La imagen se forma a un poco mas de 7 cms de la superficie, es decir, casi 3 cms delante de la estrella.
Ejemplo: Una estrella es observada desde el aire, cuando está incrustada en una esfera de vidrio, como lo muestra la figura.
Si el aumento es de 1.3 y la moneda se encuentra a 20 cms de la superficie, encuentre
La posición de la imágen.
El radio de curvatura de la superficie.
Solución
De acuerdo con la definición del aumento
\[A=\frac{-n_1\times s'}{n_2\times s}\] Se obtiene \(s'=-17.33cm\).
- Al reemplazar en la ecuación de refringencia, se tiene \(\frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s'}=\frac{n_2-n_1}{R}\)
Al reemplazar queda \(R=-28.89 cm\)
Ejemplo: Una estrella es observada desde el agua, cuando está incrustada en una esfera de vidrio, como lo muestra la figura.
Si el aumento es de 1.1 y la moneda se encuentra a 10 cms de la superficie, encuentre
La posición de la imágen.
El radio de curvatura de la superficie.
Solución
De acuerdo con la definición del aumento
\[A=\frac{-n_1\times s'}{n_2\times s}\] Se obtiene \(s'=-9.8cm\).
- Al reemplazar en la ecuación de refringencia, se tiene \(\frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s'}=\frac{n_2-n_1}{R}\)
Al reemplazar queda \(R=-12.22 cm\)
Ejemplo: Considere que un pescador ve un pez debajo del agua \(n_1=1.33\). Si el pez, está a 2 metros de la superficie, ¿A qué distancia se forma su imagen?
Aplicando la ecuación de superficies refringentes, se tiene
\[\frac{n_1}{s} + \frac{n_2}{s'}=\frac{n_2-n_1}{R}\] Pero como la superficie del agua se considera plana por obvias razones, entonces
\[\frac{n_1}{s} + \frac{n_2}{s'}=0\] Esto es, el radio se toma infinito.
Al reemplazar datos, queda:
\[\frac{1.33}{2m} + \frac{1}{s'}=0\] Luego \(s'=-\frac{2m}{1.33}\), quedando aproximadamente \(s'=-1.5m\).
Esto significa que la imagen se forma arriba del pez, similar al caso de la moneda.
Teoría de las lentes delgadas
En este aparte, se estudian las lentes delgadas, las cuales consideran dos tipos: convergentes y divergentes.
La ecuación de las lentes delgadas es similar a la de los espejos esféricos, pero con la distancia focal del fabricante de lentes, en función del índice del material con que está construida y el radio de las superficies que la componen.
En las lentes se dibujan los diagramas de izquierda a derecha, y los objetos delante de la lente tienen posición positiva \(s>0\) y las imagenes delante de la lente negativas \(s'<0\). También el radio detrás de la lente se considera positivo. El aumento de la imagen viene dado por \(A=\frac{-s'}{s}\).
Las lentes convergentes tienen distancia focal positiva y las lentes divergentes tienen distancia focal negativa.
Ejemplo 1: Un Objeto se encuentra a 20 cm de una lente convergente de distancia focal de 10 cm, semejante a la figura. Determine la posición de la imágen, el aumento y la naturaleza.
Solución
Usando la ecuación
\(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\)
Tenemos, al reemplazar
\(\frac{1}{20cm}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{10cm}\)
Al despejar resulta \(s'=20cm\), y el aumento es \(A=-1\), de donde la imagen tiene la misma altura y es invertida, a la derecha de la lente. Este tipo de imagen enfocada en la retina del ojo es captada por el cerebro y transformada en una imagen derecha. Esta imagen es real.
Ejemplo 2: Un Objeto se encuentra a 20 cm de una lente divergente o bicóncava de distancia focal de \(-10 cm\), semejante a la figura. Determine la posición de la imágen, el aumento y la naturaleza.
Solución
Usando la ecuación
\(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\)
Tenemos, al reemplazar
\(\frac{1}{20cm}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{-10cm}\)
Al despejar resulta \(s'=-6.7cm\), y el aumento es \(A=-\frac{-6.7}{20}\), esto es \(A=\frac{1}{3}\), de donde la imagen tiene un tercio de la altura y es derecha, a la izquierda de la lente. Esta imagen es virtual.
Ejemplo 3: Un Objeto se encuentra a 5 cm de una lente divergente de distancia focal de \(-10 cm\), semejante a la figura. Determine la posición de la imágen, el aumento y la naturaleza.
Solución
Usando la ecuación
\(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\)
Tenemos, al reemplazar
\(\frac{1}{5cm}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{-10cm}\)
Al despejar resulta \(s'=-3.33cm\), y el aumento es \(A=-\frac{-3.33}{5}\), esto es \(A=\frac{2}{3}\), de donde la imagen tiene dos tercios de la altura del objeto y es derecha, a la izquierda de la lente. Esta imagen es virtual.
Ejemplo 4: Un Objeto se encuentra a 5 cm de una lente convergente de distancia focal de 10 cm, semejante a la figura. Determine la posición de la imágen, el aumento y la naturaleza.
Solución
Usando la ecuación
\(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\)
Tenemos, al reemplazar
\(\frac{1}{5cm}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{10cm}\)
Al despejar resulta \(s'=-10cm\), y el aumento es \(A=2\), de donde la imagen tiene el doble de la altura del objeto y es derecha, a la izquierda de la lente. Esta imagen es virtual.
Corrección de la Visión
En este aparte, estudiaremos la corrección de la miopía y la hipermetropía.
El Ojo Miope
La miopía es el defecto de la visión lejana, en el que la persona no puede ver lo que está lejos. Este problema obedece a que el ojo de la persona es muy alargado ó el cristalino es muy redondo, haciendo que la imagen se enfoque delante de la Retina, que es la parte posterior del ojo donde el cerebro capta la imagen. Un problema de miopía se corrige con una lente divergente o negativa.
El lente para la persona miope no corrige la geometría de sus ojos, pero si le da a la persona una visión lejana nítida.
Ejemplo: Suponga que una persona no puede ver objetos más allá de 3 metros. Calcule la distancia focal para traer la imagen de un objeto en el infinito al punto lejano y la potencia de la lente.
La ecuación de lentes es \(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\) Se le colocan los datos \(s=+\infty\), \(s'=-3m\). Luego, \(f=-3m\) y \(p=\frac{1}{f}\), esto es, \(p=-0.33\) dioptrías. El problema de miopía se corrige con la lente divergente.
Ejemplo: Suponga que una persona no puede ver objetos más allá de 3 metros. Calcule la distancia focal para traer la imagen de un objeto en el infinito al punto lejano y la potencia de la lente. Suponga esta vez que el ojo está a 2 cm de la lente.
La ecuación de lentes es \(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\) Se le colocan los datos \(s=+\infty\), \(s'=-2.98m\). Luego, \(f=-2.98m\) y \(p=\frac{1}{f}\), esto es, \(p=-0.3356\) dioptrías. El problema de miopía se corrige con la lente divergente. El hecho de que el ojo se encuentre a 2 cms de la lente aumenta la magnitud de la potencia de la lente.
El Ojo Hipermétrope
La Hipermetropía es el defecto de la visión cercana, en el que la persona no puede ver lo que está cerca. Este problema obedece a que el ojo de la persona es muy acortado ó el cristalino es muy plano, haciendo que la imagen se enfoque detrás de la Retina, que es la parte posterior del ojo donde el cerebro capta la imagen. Un problema de Hipermetropía se corrige con una lente convergente o positiva.
El lente para la persona hipermétrope no corrige la geometría de sus ojos, pero si le da a la persona una visión cercana nítida.
Ejemplo: Suponga que una persona puede ver objetos con su punto próximo a 0.60 metros. Calcule la distancia focal para traer la imagen de un objeto a 15 cm del ojo al punto cercano y la potencia de la lente.
La ecuación de lentes es \(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\) Se le colocan los datos \(s=15 cm\), \(s'=-60cm\). Luego, \(f=20 cm\) y \(p=\frac{1}{f}\), esto es, \(p=5\) dioptrías. El problema de hipermetropía se corrige con la lente convergente.
Ejemplo: Suponga que una persona puede ver objetos con su punto próximo a 0.60 metros. Calcule la distancia focal para traer la imagen de un objeto a 15 cm del ojo al punto cercano y la potencia de la lente. Suponga que el ojo está a 2 cms del ojo.
La ecuación de lentes es \(\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}=\frac{1}{f}\) Se le colocan los datos \(s=13 cm\), \(s'=-58cm\). Luego, \(f=16.75 cm\) y \(p=\frac{1}{f}\), esto es, \(p=5.97\) dioptrías. El problema de hipermetropía se corrige con la lente convergente. En este caso, aumenta la potencia de la lente al tener en cuenta la longitud de los ojos al lente.
El fenómeno de Interferencia
La interferencia de ondas es un fenómeno que trata de la superposición o suma algebraica de dos ó mas ondas que concurren en un punto de una pantalla a una distancia L. Las interferencias pueden ser constructivas, cuando la suma de las ondas sobrepasa la intensidad de las ondas hasta su punto extremo; y destructivas cuando las ondas se cancelan en dicho punto.
Ejemplo: Considere el experimento de dos ondas planas \(X_1(t,x)=10Cos(2\pi t/5-2\pi x/3)\) y \(X_2(t, x)=20Cos(2\pi t/10-2\pi x/5)\) en el sistema MKS.
t=30
x=seq(from=1, to=30, by=0.2)
X1=10*cos(2*3.14159*t/5-2*3.14159*x/3)
X2=20*cos(2*3.14159*t/10-2*3.14159*x/6)
X=X1+X2
plot(c(x,x,x),c(X1,X2,X),col=c("red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","red","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue","blue","blue","blue", "blue","blue","blue", "green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green", "green","green","green","green", "green","green","green","green", "green","green","green","green", "green","green","green","green", "green", "green"))
lines(x,X1)
lines(x,X2)
lines(x,X)
Para estudiar la interferencia de la luz se realiza el famoso experimento de la doble rendija de Thomas Young, en el que este científico demostró que la luz tiene un comportamiento ondulatorio.
Para este experimento se requiere producir ondas coherentes que guardan una fase constante, lo cual se logra dividiendo el haz de luz monocromático en dos rendijas diminutas ubicadas a la misma distancia.
Como es la luz monocromática aquella luz tiene una longitud de onda constante que está entre 400 y 700 nanómetros.
La ecuación que resulta de la diferencia de camino de las ondas coherentes de las rendijas separadas una pequeña distancia d es \(d1=m\lambda\), con m entero para interferencia constructiva y \(\lambda\) la longitud de la onda de la luz que para el espectro visible se encuentra entre 400 y 700 nanómetros.
En el caso se interferencia destructiva, se tiene \(d2=(2m+1)\lambda/2\), esto es múltiplos impares de la mitad de la longitud de onda.
Por otro lado, el patrón de la altura donde hay interferencia constructiva es \(y_b=Lm\lambda/d\) y la franja oscura es \(y_o=L(2m+1)\lambda/(2d)\). Por esta razón, en la pantalla se forman franjas oscuras alternadas con franjas brillantes, donde m es un número entero cualquiera.
Ejemplo: Si un rayo de luz violeta tiene una longitud de onda de 400 nm, y se divide en dos haces coherentes a través de dos rendijas separadas 0.32 mm hacia una pantalla ubicada a 4 metros de las ranuras de frente a éstas, estudiando el experimento de la doble rendija de Young.
Obtenga las condiciones de la diferencia de camino para que se produzcan los dos tipos de interferencia.
Obtenga la posición de 5 franjas brillantes y 5 franjas oscuras, tomando m de -2, -1, 0, 1 y 2.
Solución
- Para la interferencia constructiva, se tiene una diferencia de camino \(d1=m\lambda\), esto es, \(...,-800nm, -400nm, 0nm, 400nm, 800nm,...\).
Para la interferencia destructiva, se tiene una diferencia de camino \(d2=(2m+1)\lambda/2\), esto es, \(...,-600nm, -200nm, 200nm, 600nm, 1000nm,...\).
- Para las franjas brillantes se hallan las posiciones \(y_b=Lm\lambda/d\), esto es, \(y_b=Ld_1/d\), es decir, \(-0.01m, -0.005m, 0m, 0.005m, 0.01m\).
Para las franjas oscuras se hallan las posiciones \(y_o=L(2m+1)\lambda/(2d)\), esto es, \(y_o=Ld_2/d\), es decir, \(-0.0075m, -0.0025m, 0.0025m, 0.0075m, 0.0125m\).
Ejercicio: Si un rayo de luz verde claro tiene una longitud de onda de 550 nm, y se divide en dos haces coherentes a través de dos rendijas separadas 0.28 mm hacia una pantalla ubicada a 5 metros de las ranuras de frente a éstas, estudiando el experimento de la doble rendija de Young.
Obtenga las condiciones de la diferencia de camino para que se produzcan los dos tipos de interferencia.
Obtenga la posición de 5 franjas brillantes y 5 franjas oscuras, tomando m de -2, -1, 0, 1 y 2.
Cambio de fase en la Reflexión
Cuando una onda se refleja al hacer contacto con un medio más denso, cambia de fase; lo cual equivale a que invierte su posición en medio ciclo. Esto explica las interferencias en películas delgadas y en los Anillos de Newton.
Para explicar la interferencia en películas delgadas se considera una película delgada de espesor t del orden de nanómetros como una pompa de jabón donde la película tiene índice de refracción n y el medio circundante interior y exterior es el aire (índice de refracción mínimo). Cuando el rayo de luz viaja hacia adentro de la película refractándose y se refleja adentro no sufre cambio de fase, mientras que el rayo reflejado en la parte exterior de la película si sufre un cambio de fase, por lo que, al mirar la pompa percibimos la interferencia de los dos rayos que dan en la película, y percibimos los colores por dispersión de la luz blanca.
Debido a esto, se observa el patrón de interferencia al contrario que se observa en el experimento de la doble rendija de Young.
La ecuación que resulta de la diferencia de camino de los rayos reflejado y refractado en la pompa, es \(2t=m\lambda_n\), con m entero para interferencia destructiva y \(\lambda_n\) la longitud de la onda de la luz dentro de la pompa con \(\lambda_n=\frac{\lambda}{n}\), donde \(\lambda\) es la longitud de onda del haz en el vacío de 400 a 700 nanómetros.
En el caso se interferencia constructiva, se tiene \(2t=(2m+1)\lambda_n/2\), esto es múltiplos impares de la mitad de la longitud de onda.
El espesor mínimo de la pompa para producir interferencia destructiva es \(t=\frac{\lambda}{2n}\) y para producir interferencia constructiva es \(t=\frac{\lambda}{4n}\).
Ejercicio: Considere la pompa de jabón con \(n=4/3\) y un rayo de luz verde claro de 550 nm incidiendo sobre ella. Señale los 5 anchos más pequeños de la película en ambos tipos de interferencia.
Otro fenómeno de interferencia lo constituye los Anillos de Newton que se producen como patrón de interferencia de una lente plano convexa colocada sobre una superficie plana de vidrio.
Patrón normal de interferencia en rayos coherentes
En el caso de que los medios que rodean la película el primero es aire y el inferior es otro medio más denso ópticamente que el medio central de la película (ver [4]); entonces los dos rayos cambian de fase en 180°, por lo que quedan en fase y esto produce patrón de interferencia normal.
La ecuación que resulta de la diferencia de camino de los rayos reflejado y refractado en la película, es \(2t=m\lambda_n\), con m entero para interferencia constructiva y \(\lambda_n\) la longitud de la onda de la luz dentro de la película con \(\lambda_n=\frac{\lambda}{n}\), donde \(\lambda\) es la longitud de onda del haz en el vacío de 400 a 700 nanómetros.
En el caso se interferencia destructiva, se tiene \(2t=(2m+1)\lambda_n/2\), esto es múltiplos impares de la mitad de la longitud de onda.
El espesor mínimo de la pelicula para producir interferencia constructiva es \(t=\frac{\lambda}{2n}\) y para producir interferencia destructiva es \(t=\frac{\lambda}{4n}\).
Ejercicio 1: Se desea diseñar una película delgada antirreflejo (AR) para una celda solar de silicio (índice de refracción \(n_{Si}=3.5\), que opera principalmente en la longitud de onda de \(\lambda=600nm\). La película AR estará expuesta al aire. El índice de refracción óptimo de recubrimiento es \(n_f=1.87\). Calcular el espesor mínimo t de la película bajo interferencia destructiva a esa longitud de onda.
Ejercicio 2: Se desea diseñar una película delgada antirreflejo (AR) para una celda solar de silicio (índice de refracción \(n_{Si}=3.4\), que opera principalmente en la longitud de onda de \(\lambda=540nm\). La película AR estará expuesta al aire. El índice de refracción óptimo de recubrimiento es \(n_f=1.8\). Calcular el espesor t de la película bajo interferencia constructiva a esa longitud de onda, para \(m=1, 2, 3\).
Fenómeno de Difracción
Existen 3 concepciones importantes de la difracción:
Se trata de un fenómeno ondulatorio de la luz fuertemente apoyado en el principio de Huygens; que abarca el comportamiento de la luz al esparcirse en cualquier punto del espacio.
Se trata de un principio de interferencia a una rendija, que se entiende como la superposición de ondas en el espacio. A diferencia del experimento de Young de la doble rendija en el experimento de Fraunhofer de una sola rendija la luz se esparce con menos intensidad al alejarse del foco central. La franja central se conoce como franja de Fresnel.
Se trata de la propiedad que tiene la luz y en general la radiación electromagnética de curvarse o doblarse ante un obstáculo, esto es, de poder bordear un obstáculo. Al colocar una moneda entre la fuente de luz y la pantalla se observa un punto brillante central rodeado de un circulo concéntrico oscuro, para ciertas distancias. Este es una evidencia de que la radiación se comporta como onda.
Considere el caso de una rendija de ancho \(a\) atravesada por una fuente de luz cuya longitud de onda es \(\lambda\) y que se encuentra a una distancia L de una pantalla.
El patrón de difracción, es interferencia destructiva si
\(sin(\theta_o) =\frac{m\lambda}{a}\), para \(m=...,-3,-2,-1,1,2,3,...\).
La posición de la franja oscura es \(y_o=LTan(\theta_o)\), que se aproxima con \(y_o=LSin(\theta_o)\), lo que resulta en \(y_o=\frac{mL\lambda}{a}\), para \(m=...,-3,-2,-1,1,2,3,...\).
Ejemplo 1: Una rendija de 3 mm de ancho deja pasar una luz de 600 nm por una rendija. Si la pantalla se encuentra a 5m. Obtener los ángulos de franjas oscuras y las posiciones de franjas oscuras para \(m=-3,-2,-1,1,2,3\).
Se colocan las longitudes en metros y los angulos en minutos de arco.
a=3*10^{-3}
l=600*10^{-9}
L=5
m=c(-3,-2,-1,1,2,3)
A_o=asin(m*l/a)*180/3.14159*60
y_o=m*L*l/a
cbind(m,A_o, y_o)## m A_o y_o
## [1,] -3 -2.0626499 -0.003
## [2,] -2 -1.3750999 -0.002
## [3,] -1 -0.6875499 -0.001
## [4,] 1 0.6875499 0.001
## [5,] 2 1.3750999 0.002
## [6,] 3 2.0626499 0.003Ejemplo 2: Una rendija de 2 mm de ancho deja pasar una luz de 550 nm por una rendija. Si la pantalla se encuentra a 6m. Obtener los ángulos de franjas oscuras; y las posiciones de franjas oscuras para \(m=-3,-2,-1,1,2,3\).
Se colocan las longitudes en metros y los angulos en minutos de arco. Esta salida el asin lo trabaja en radianes si la calculadora trabaja RAD; pero si el ángulo está en grados trabaja en modo DEG. Además, como los ángulos son pequeños pasamos a minutos de arco multiplicando por 60. (Ver A_o).
a=2*10^{-3}
l=550*10^{-9}
L=6
m=c(-3,-2,-1,1,2,3)
A_o=asin(m*l/a)*180/3.14159*60
y_o=m*L*l/a
cbind(m,A_o, y_o)## m A_o y_o
## [1,] -3 -2.8361438 -0.00495
## [2,] -2 -1.8907624 -0.00330
## [3,] -1 -0.9453812 -0.00165
## [4,] 1 0.9453812 0.00165
## [5,] 2 1.8907624 0.00330
## [6,] 3 2.8361438 0.00495Ejercicio 1: Una rendija de 4 mm de ancho deja pasar una luz de 450 nm por una rendija. Si la pantalla se encuentra a 3m. Obtener los ángulos de franjas oscuras; y las posiciones de franjas oscuras para \(m=-3,-2,-1,1,2,3\).
Ejercicio 2: Una rendija de 5 mm de ancho deja pasar una luz de 500 nm por una rendija. Si la pantalla se encuentra a 4m. Obtener los ángulos de franjas oscuras; y las posiciones de franjas oscuras para \(m=-3,-2,-1,1,2,3\).
Eventos Electromagnéticos
En este capítulo se estudian los elementos que componen los eventos electromagnéticos, que fusionan la electricidad y el magnetismo. Esta sección consta de 9 secciones que son: la naturaleza de la carga eléctrica, la ley de Coulomb, el potencial eléctrico, circuitos simples, la capacitancia, la fuerza magnética, magnetismo en alambre de corriente, leyes de Gauss, ley de Ampere, ley de faraday y lenz.
Las Cargas Eléctricas
Las cargas eléctricas pueden ser positivas ó negativas; pero, la materia, generalmente se encuentra en estado estable de carga neutra por el hecho de que los átomos tienen igual número de protones que de electrones.
Los protones tienen carga de \(1.6 \times 10^{-19}\) coulombs y los electorones tienen carga \(-1.6 \times 10^{-19}\) coulombs. Al tener el átomo igual número de protones que de electrones, la carga neta de cualquier átomo, en estado estable, es igual a cero.
Del mismo modo, existen los neutrones, los cuales ocupan el núcleo atómico y son elementos sin carga, es decir, carga igual a cero.
Modos de Cargar un Cuerpo
Existen 5 modos de cargar un cuerpo: Por frotación o fricción, por inducción, por fotoelectricidad, por termoionización y por contacto.
Los antiguos griegos, hace 2700 años descubrieron que el ámbar frotado con lana era capaz de atraer objetos ligeros por ejemplo, poniendo los cabellos de punta. Este fenómeno vinculado a la electricidad es un fenómeno de carga por fricción, en cuyo proceso uno de los materiales pierde electrones quedando con carga positiva y el otro gana los electrones quedando cargado negativamente. En este caso el ámbar frotado adquiere carga negativa y el paño de lana tiene un exceso de carga positiva.
Otro experimento de fricción es el vidrio frotado con un paño de seda, donde la electricidad vidriosa es positiva capaz de atraer carga negativa y repeler objetos con carga de su mismo signo, esto es, positiva.
Una forma de cargar positivamente un conductor neutro es por inducción acercando al conductor un cuerpo con carga negativa, esto polariza la carga del conductor y luego el conductor polarizado se conecta a tierra para que los electrones fluyan del conductor hacia tierra, quedando el conductor con exceso de carga positiva.
La carga usando fotoelectricidad se refiere a que la radiación de alta energía en forma de foton puede desprender los electrones de un metal provocando una transición en iones libres que dejan el metal con una carga positiva, que está principalmente en el núcleo atómico.
Albert Einstein publicó su artículo sobre el efecto fotoeléctrico, en el año 1905; teoría que fue comprobada por Robert Millikan.
Una cuarta forma de cargar sustancias es el efecto termoiónico que se trata de usar el calor para elevar la temperatura de las sustancias y provocar la ionización del material, esto es, el escape de electrones semejante al efecto fotoeléctrico, pero en diferentes eventos el electromagnético y este último en termodinámica.
La carga también puede fluir por contacto, por ejemplo, cuando la corriente invade el cuerpo humano por descuido en la manipulación de cables de corriente alterna. Si un cable de corriente libre de aislante toca un cuerpo animal o humano por descuido, se dará una descarga eléctrica que puede provocar efectos severos.
Ley de Coulomb
La ley de Coulomb es analoga a la ley de gravitación universal, pero la fuerza eléctrica puede rebasar la fuerza de gravedad.
Para explicar esta analogía se supone la existencia de cargas eléctricas que son equivalentes a las masas en gravitación. Una de las semejanzas entre fuerzas electricas y gravitatorias es su relación directa con carga o masa, y su relación inversa con el cuadrado de la distancia.
Entre mayor distancia estas fuerzas de campo son más débiles. Newton sugiere el concepto de fuerzas a distancia, pero Faraday propone, más tarde, el concepto de fuerzas de campo; de donde surge la idea de campo gravitatorio y campo eléctrico.
De estas observaciones surge la idea de la fuerza de campo en electricidad, dada por la ley de Coulomb. Esta afirma que la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales separadas cierta distancia, es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia; además, si las cargas tienen el mismo signo la fuerza es repulsiva y si tienen signo contrario es atractiva.
El hecho de que un cuerpo tenga más carga no hace que haga mayor fuerza sobre el otro de menor carga; esto significa que la fuerza mutua es siempre la misma, como en los fenómenos gravitatorios.
La unidad de carga es el Coulomb (c). La constante eléctrica es aproximadamente \(k=9\times 10^{9}Nm^2/c^2\), relacionada con las constantes permitividad y permeabilidad en el vacío. De la relación interesante entre estas dos últimas surge la teoría electromagnética de la luz de James Clerk Maxwell, que establece que la luz viaja a la velocidad aproximada de 300000 km/s en el vacío y en el aire.
Imagine las cargas en Coulomb y las distancias en metros, practicando las fuerzas de Coulomb.
q_1=c(3, 4, 5, 8, 9)*10^(-6)
q_2=c(5, 7, 9, 4, 3)*10^(-6)
k=9*10^9
r=c(0.001, 0.01, 0.02, 0.03, 0.05)
F=k*q_1*q_2/r^2
cbind(q_1,q_2,r,F)## q_1 q_2 r F
## [1,] 3e-06 5e-06 0.001 135000.0
## [2,] 4e-06 7e-06 0.010 2520.0
## [3,] 5e-06 9e-06 0.020 1012.5
## [4,] 8e-06 4e-06 0.030 320.0
## [5,] 9e-06 3e-06 0.050 97.2Ejemplo #1 Encuentre la magnitud de la fuerza ejercida por tres cargas puntuales \(q_1=q\), \(q_2=2q\) y \(q_3=5q\) sobre la carga 3q en la esquina superior izquierda; si las cuatro cargas están en las esquinas de un cuadrado de lado \(a\) y \(q_3\) está sobre la diagonal del cuadrado.
Solución
Para resolver se calculan las fuerzas puntuales y las resultantes.
k=9*10^9
q=3*10^(-6)
a=0.03
q_1=q
q_2=2*q
q_3=5*q
q_4=3*q
F_1=k*q_1*q_4/a^2
F_2=k*q_2*q_4/a^2
F_3=k*q_3*q_4/(2*a^2)
F_x= -F_1-F_3*sqrt(2)/2
F_y=F_2+F_3*sqrt(2)/2
F_R=sqrt(F_x^2+F_y^2)
B=atan(F_y/F_x)
c(F_R, B)## [1] 1262.2782044 -0.9372303atan(1)## [1] 0.7853982B=B*57.3+180
B## [1] 126.2967Ejemplo #2 Imagine la situación general donde desconoces q y a.
\(F_1=3kq^2/a^2\)
\(F_2=6kq^2/a^2\)
\(F_3=15kq^2/(2a^2)\)
\(F_x= -(3+15/2*\sqrt{2}/2)kq^2/a^2\)
\(F_y=(6+15/2*\sqrt{2}/2)kq^2/a^2\)
\(F_R=\sqrt(45+225/8+135*\sqrt{2}/2)*kq^2/a^2\)
B=atan(-(6+15*sqrt(2)/4)/(3+15*sqrt(2)/4))
B=B*57.3+180
B## [1] 126.2967El ángulo es el mismo.
Voltaje y Capacitancia
Los condensadores o capacitores son dispositivos para almacenar la carga eléctrica. Un capacitor común es el de placas paralelas; en este las placas alcanzan la carga completa al sumistrarle un voltaje de corriente directa V. La Carga depende tanto del volaje suministrado como de la capacitancia del condensador.
La relación se expresa como
\(Q=CV\)
donde Q es la carga total en Coulombs, C la capacitancia en faradios y V el potencial suministrado en voltios.
Cuando se conecta el circuito RC con fuente, condensador y resistencia en serie comienza a fluir corriente a través del circuito y cesa al alcanzar la carga Q. La carga instantánea del capacitor viene dada por
\(q(t) =Q-Qe^{-\frac{t}{RC}}\)
De esto, también se deduce que la corriente cae exponencialmente, según la ecuación
\(I(t)= \frac{Q}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}\)
La corriente máxima aparece en \(t=0\) y es también \(I_0=\frac{V}{R}\).
Además, debe tenerse en cuenta que si el capacitor opera con un voltaje superior y resistencia normal puede explotar ya que tanto la carga como la corriente presentan un límite de operación del circuito RC.
La cantidad \(\tau=RC\) tiene unidades de tiempo y es conocida como constante de tiempo del circuito RC. En este circuito si \(\tau\) aumenta, entonces cuando Q permanece, el condensador tarda más en alcanzar la carga máxima y la corriente cae más lentamente en el circuito RC.
Ejemplo: Suponga el circuito RC en serie, donde C está en faradios, V en voltios y R en Ohmios. Calcule la Carga Q, la constante de tiempo, la corriente máxima, el tiempo que tarda en alcanzar la mitad de la carga total.
C=4*10^(-12)
V=120
R=5
Q=C*V
T=R*C
I_m=V/R
t=seq(from=0, to=5, by=0.25)*T
q=Q-Q*2.7182^{-t/T}
i=I_m*exp(-t/T)
plot(t,q)
plot(t,i)
Referencias Usadas para estas notas
[1] Serway, R y Vuille, C y Faughn, J. Fundamentos de Física. Octava edición. CENGAGE Learning. Mexico 2009. Vol 1.
[2] Serway, R y Vuille, C y Faughn, J. Fundamentos de Física. Octava edición. CENGAGE Learning. Mexico 2009. Vol 2.
[3] YOUNG, FREEDMAN, SEARS, ZEMANSKY. Física Universitaria. Decimosegunda edición. Pearson. Mexico 2009. volumen 1.
[4] YOUNG, FREEDMAN, SEARS, ZEMANSKY. Física Universitaria. Decimosegunda edición. Pearson. Mexico 2009. volumen 2.