UAS PSS 2025

# Nomor 1
## Simulasi nilai pendekatan dari $E[X^2]$ untuk Uniform(0, 10)

set.seed(123)
x <- runif(10000, min = 0, max = 10)
ex2 <- mean(x^2)
ex2

## [1] 32.97405

# Nomor 2
## Simulasi untuk tiga ukuran data dari $N(100, 15^2)$

n1 <- rnorm(100, mean = 100, sd = 15)
n2 <- rnorm(1000, mean = 100, sd = 15)
n3 <- rnorm(10000, mean = 100, sd = 15)

summary_stats <- function(data) {
  c(mean = mean(data), sd = sd(data))
}
stat_n1 <- summary_stats(n1)
stat_n2 <- summary_stats(n2)
stat_n3 <- summary_stats(n3)

stat_n1

##      mean        sd 
## 101.02046  13.34109

stat_n2

##      mean        sd 
## 100.49238  14.92385

stat_n3

##     mean       sd 
## 99.97380 15.04648

par(mfrow = c(1, 3))  # tampilkan 3 histogram dalam 1 baris
hist(n1, main = "Histogram n = 100", col = "skyblue", xlab = "Nilai", breaks = 15)
hist(n2, main = "Histogram n = 1000", col = "yellow", xlab = "Nilai", breaks = 30)
hist(n3, main = "Histogram n = 10000", col = "salmon", xlab = "Nilai", breaks = 50)

par(mfrow = c(1, 1))  # reset layout

Penjelasan : Simulasi ini dilakukan untuk melihat bagaimana ukuran sampel memengaruhi estimasi statistik (rata-rata dan simpangan baku) dari suatu populasi yang berdistribusi normal dengan parameter \(N(100, 15^2)\). Berikut hasil pengamatan :

Ukuran n = 100:

Rata-rata hasil simulasi mendekati nilai teoritis 100, tetapi masih bisa terdapat sedikit deviasi.
Simpangan baku hasil simulasi mendekati nilai teoritis 15.
Histogram masih terlihat kurang halus karena data masih sedikit.

Ukuran n = 1000:

Rata-rata semakin mendekati nilai 100.
Simpangan baku juga makin stabil mendekati 15.
Bentuk histogram mulai menyerupai kurva normal.

Ukuran n = 10000:

Estimasi rata-rata dan simpangan baku sangat mendekati nilai populasi.
Histogram sangat halus dan menyerupai bentuk lonceng distribusi normal (bell-shaped).

Kesimpulan : Semakin besar ukuran sampel, maka estimasi parameter (rata-rata dan simpangan baku) dari data simulasi semakin akurat dan distribusi data semakin mendekati bentuk distribusi normal teoritis

# Nomor 3
## Simulasi distribusi Binomial Bin(30, 0.25) sebanyak 5000 kali

binom_sample <- rbinom(5000, size = 30, prob = 0.25)
p_estimate <- mean(binom_sample >= 15)
p_estimate

## [1] 0.0014

# Nomor 4
## Buatlah fungsi rumus simpangan baku (standar deviasi)

s_custom <- function(x) {
  sqrt((sum(x^2) - (sum(x)^2) / length(x)) / (length(x) - 1))
}

# Uji coba fungsi
data_test <- c(10, 12, 8, 9, 11)
s_custom(data_test)

## [1] 1.581139

#Hitungan nilai s dengan data normal 1000,  rata-rata 89, dan sd 10
set.seed(123)

# Bangkitkan data dari distribusi normal
data_norm <- rnorm(n = 1000, mean = 89, sd = 10)

# Hitung simpangan baku dengan fungsi buatan
s_custom(data_norm)

## [1] 9.91695

## (a) Buat simulasi antrian selama 20 hari kerja

set.seed(123)

# Parameter
jam_kerja <- 6
hari_kerja <- 20
lama_simulasi <- jam_kerja * 60 * hari_kerja

# Kedatangan nasabah (eksponensial): rata-rata 5 per jam
kedatangan <- as.numeric(cumsum(rexp(1000, rate = 5/60)))
kedatangan <- kedatangan[kedatangan <= lama_simulasi]

# Waktu pelayanan (eksponensial): rata-rata 8 menit
pelayanan <- as.numeric(rexp(length(kedatangan), rate = 1/8))

# Variabel hasil simulasi
mulai_pelayanan <- rep(0, length(kedatangan))
selesai <- rep(0, length(kedatangan))
selesai_teller <- c(0, 0)  # dua teller

for (i in 1:length(kedatangan)) {
  teller_tersedia <- which.min(selesai_teller)
  mulai_pelayanan[i] <- max(kedatangan[i], selesai_teller[teller_tersedia])
  selesai[i] <- mulai_pelayanan[i] + pelayanan[i]
  selesai_teller[teller_tersedia] <- selesai[i]
}
simulasi_antrian <- head(data.frame(
  kedatangan = round(kedatangan, 2),
  mulai_dilayani = round(mulai_pelayanan, 2),
  selesai_dilayani = round(selesai, 2)
), 10)

simulasi_antrian

##    kedatangan mulai_dilayani selesai_dilayani
## 1       10.12          10.12            11.91
## 2       17.04          17.04            17.98
## 3       32.99          32.99            57.40
## 4       33.37          33.37            37.29
## 5       34.04          37.29            53.60
## 6       37.84          53.60            56.10
## 7       41.61          56.10            56.46
## 8       43.35          56.46            58.60
## 9       76.07          76.07            77.95
## 10      76.42          76.42            83.08

# (b) Hitung rata-rata waktu tunggu nasabah dalam antrian

waktu_tunggu <- mulai_pelayanan - kedatangan
mean(waktu_tunggu)

## [1] 0.8116455

Penjelasan : Artinya, rata-rata nasabah hanya perlu menunggu sekitar 49 detik sebelum mulai dilayani. Hal ini menunjukkan bahwa dengan 2 teller, antrian relatif pendek dan pelayanan cukup cepat.

# (c) Hitung persentase waktu teller dalam kondisi sibuk

waktu_sibuk <- sum(pelayanan)
persen_sibuk <- selesai_teller / lama_simulasi* 100
persen_sibuk

## [1] 99.76891 99.69771

Penjelasan : Ini artinya, teller bekerja hampir sepanjang waktu (99.7%) selama jam operasional. Ini menunjukkan efisiensi tinggi, tetapi juga mengindikasikan beban kerja teller yang sangat padat, dengan nyaris tidak ada waktu istirahat

# (d) Bandingkan jika bank menambah 1 teller lagi – apakah lebih efisien?

selesai_teller3 <- c(0, 0, 0)
mulai3 <- rep(0, length(kedatangan))
selesai3 <- rep(0, length(kedatangan))
for (i in 1:length(kedatangan)) {
  available <- which.min(selesai_teller3)
  mulai3[i] <- max(kedatangan[i], selesai_teller3[available])
  selesai3[i] <- mulai3[i] + pelayanan[i]
  selesai_teller3[available] <- selesai3[i]
}

mean(mulai3 - kedatangan)  # rata-rata tunggu dengan 3 teller

## [1] 0.08019951

Penjelasan : Jika teller ditambah menjadi 3, waktu tunggu rata-rata menurun menjadi 0.80 menit (48 detik). Penurunan ini sangat kecil dibanding 2 teller (0.811 menit), sehingga menambah 1 teller tidak memberikan dampak signifikan terhadap efisiensi waktu tunggu. Artinya, 2 teller sudah cukup optimal

# (e) Buat grafik yang menunjukkan panjang antrian sepanjang hari

waktu <- seq(0, jam_kerja * 60, by = 1)
antrian <- sapply(waktu, function(t) {
  sum(kedatangan <= t & selesai > t)
})

plot(waktu, antrian, type = "l", col = "orange", lwd = 2,
     xlab = "Menit", ylab = "Jumlah Antrian",
     main = "Panjang Antrian Teller Bank (2 Teller) Sepanjang Hari")

# Nomor 6
## Simulasi Penjualan Beras di Toko Bu Sari
#(a) Simulasikan stok selama 60 hari
set.seed(123)
penjualan <- runif(60, min = 8, max = 15)
stok <- numeric(60)
rugi <- 0
stok[1] <- 100

for (i in 2:60) {
  if (i %% 5 == 1) {
    stok[i] <- stok[i - 1] + 50
  } else {
    stok[i] <- stok[i - 1]
  }

  stok[i] <- stok[i] - penjualan[i]
  if (stok[i] < 0) {
    rugi <- rugi + abs(stok[i]) * 50000
    stok[i] <- 0
  }
}
stok

##  [1] 100.000000  86.481864  75.619026  61.437904  46.854633  88.535737
##  [7]  76.838999  62.592066  50.732020  39.535717  74.837884  63.664545
## [13]  50.921550  38.913117  30.192644  65.893869  56.171255  47.876838
## [19]  37.581393  22.899868  58.673092  45.823468  33.339921  18.380032
## [25]   5.790092  42.830378  31.021916  18.862922   8.838804   0.000000
## [31]  35.258830  20.942737   8.107800   0.000000   0.000000  38.655428
## [37]  25.346211  15.831356   5.604089   0.000000  41.000400  30.098575
## [43]  19.202505   8.620587   0.000000  41.028358  31.397119  20.135382
## [49]  10.273573   0.000000  41.679182  30.583781  16.991307   8.138013
## [55]   0.000000  40.554280  31.661559  18.388404   4.123086   0.000000

# (b) Hitung berapa kali toko kehabisan stok
sum(stok == 0)

## [1] 8

# (c) Strategi jumlah pemesanan: 40, 50, 60 karung
pesan_strategi <- function(pesan) {
  stok <- numeric(60)
  rugi <- 0
  stok[1] <- 100
  penjualan <- runif(60, 8, 15)
  for (i in 2:60) {
    if (i %% 5 == 1) stok[i] <- stok[i - 1] + pesan
    else stok[i] <- stok[i - 1]
    stok[i] <- stok[i] - penjualan[i]
    if (stok[i] < 0) {
      rugi <- rugi + abs(stok[i]) * 50000
      stok[i] <- 0
    }
  }
  list(stok = stok, rugi = rugi, habis = sum(stok == 0))
}

s40 <- pesan_strategi(40)
s50 <- pesan_strategi(50)
s60 <- pesan_strategi(60)
s40$rugi; s50$rugi; s60$rugi

## [1] 7201815

## [1] 935349.6

## [1] 0

s40$habis; s50$habis; s60$habis

## [1] 18

## [1] 2

## [1] 0

# (d) Strategi frekuensi pemesanan: setiap 3, 5, dan 7 hari
freq_strategi <- function(freq) {
  stok <- numeric(60)
  rugi <- 0
  stok[1] <- 100
  penjualan <- runif(60, 8, 15)
  for (i in 2:60) {
    if (i %% freq == 1) stok[i] <- stok[i - 1] + 50
    else stok[i] <- stok[i - 1]
    stok[i] <- stok[i] - penjualan[i]
    if (stok[i] < 0) {
      rugi <- rugi + abs(stok[i]) * 50000
      stok[i] <- 0
    }
  }
  list(stok = stok, rugi = rugi, habis = sum(stok == 0))
}

f3 <- freq_strategi(3)
f5 <- freq_strategi(5)
f7 <- freq_strategi(7)
f3$rugi; f5$rugi; f7$rugi

## [1] 0

## [1] 1416061

## [1] 8741818

f3$habis; f5$habis; f7$habis

## [1] 0

## [1] 4

## [1] 18

# (e) Grafik pergerakan stok dan rekomendasi

plot(s50$stok, type = "l", col = "pink", lwd = 2,
     main = "Pergerakan Stok Beras Bu Sari (Pesan 50 Karung Tiap 5 Hari)",
     xlab = "Hari ke-", ylab = "Sisa Stok")

UAS PSS 2025

Khafifah Shofi Aulia

2025-06-20