UAS PSS_smt4

1. Gunakan simulasi untuk menghitung nilai pendekatan dari E[X²] untuk variabel random berdistribusi Uniform jika X ~ U(0,1). Gunakan 10.000 angka random.

n <- 10000
x <- runif(n, 0, 1)
mean(x^2)

## [1] 0.3295122

Jika \(X \sim \text{Uniform}(0,1)\), maka ekspektasi dari \(X^2\) adalah: \[ \mathbb{E}[X^2] = \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \]

2. Buat masing-masing untuk n1 = 100, n2 = 1000, n3 = 10000 angka random dari N(100, 15²), lalu hitung rata-rata, simpangan baku, dan plot histogram. Berikan penjelasan hasil yang Saudara peroleh.

n_list <- c(100, 1000, 10000)
mean_list <- c()
sd_list <- c()

for (n in n_list) {
  data <- rnorm(n, mean = 100, sd = 15)
  hist(data, main = paste("Histogram N =", n), xlab = "X", col = "skyblue", breaks = 20)
  mean_list <- c(mean_list, mean(data))
  sd_list <- c(sd_list, sd(data))
}

data.frame(N = n_list, Mean = mean_list, SD = sd_list)

##       N     Mean       SD
## 1   100 101.2488 14.23113
## 2  1000 100.1425 15.07417
## 3 10000 100.0786 15.26400

Dari hasil histogram dan statistik deskriptif, semakin besar ukuran sampel, maka distribusi mendekati distribusi normal dengan parameter populasi.

3. Simulasikan distribusi binomial Bin(30, 0.25) sebanyak 5000 kali. Tentukan nilai estimasikan P(X ≥ 15).

sim_binom <- rbinom(500, size = 30, prob = 0.25)
hist(sim_binom, col = "orange", main = "Histogram Simulasi Binomial", xlab = "Jumlah Sukses")

mean(sim_binom)

## [1] 7.538

var(sim_binom)

## [1] 5.575707

Kesimpulan:

Semakin besar jumlah pemesanan, semakin kecil kemungkinan stok habis.
Namun, semakin banyak stok dipesan, risiko kelebihan stok atau biaya penyimpanan (jika dihitung) juga meningkat.
Dalam kasus ini (tidak memperhitungkan biaya simpan), pesan 60 karung adalah strategi paling aman.
Tetapi secara efisien dan seimbang, pesan 50 karung adalah rekomendasi yang cukup baik (kerugian minimal, stok tidak terlalu berlebih).

4. Buatlah function untuk rumus berikut:

\[ s = \sqrt{ \frac{\sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{n}}{n - 1} } \] Hitung nilai𝑠dengan membangkitkan data berdistribusi normal sebanyak data 1000, rata-rata 89, dan standar deviasi 10.

s_manual <- function(x) {
  n <- length(x)
  sqrt((sum(x^2) - (sum(x)^2) / n) / (n - 1))
}

data_norm <- rnorm(1000, mean = 89, sd = 10)
s_manual(data_norm)

## [1] 10.09124

sd(data_norm)  # Bandingkan dengan fungsi built-in

## [1] 10.09124

5. Simulasi Antrian di Bank) Sebuah bank memiliki 2 teller dengan kondisi berikut:

Nasabah datang rata-rata 5 orang per jam (distribusi Poisson).
Waktu pelayanan per nasabah rata-rata 8 menit (distribusi Eksponensial).
Bank buka 6 jam per hari

Kerjakanlah tugas berikut:

Buatlah simulasi antrian selama 20 hari kerja

set.seed(123)

# Parameter
jam_operasi <- 6
rata_datang_per_jam <- 5
jumlah_teller <- 2
lama_hari <- 20
rata_pelayanan <- 8  # dalam menit

# Konversi waktu ke menit
waktu_hari <- jam_operasi * 60

# Simulasi 20 hari
library(dplyr)

## 
## Attaching package: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

hasil_simulasi <- list()

for (hari in 1:lama_hari) {
  jumlah_nasabah <- rpois(1, rata_datang_per_jam * jam_operasi)
  waktu_kedatangan <- sort(runif(jumlah_nasabah, min = 0, max = waktu_hari))
  waktu_pelayanan <- rexp(jumlah_nasabah, rate = 1/rata_pelayanan)
  
  selesai <- rep(0, jumlah_nasabah)
  mulai <- rep(0, jumlah_nasabah)
  antrian <- rep(0, jumlah_nasabah)
  teller_tersedia <- rep(0, jumlah_teller)
  
  for (i in 1:jumlah_nasabah) {
    mulai[i] <- max(waktu_kedatangan[i], min(teller_tersedia))
    selesai[i] <- mulai[i] + waktu_pelayanan[i]
    antrian[i] <- mulai[i] - waktu_kedatangan[i]
    
    teller_id <- which.min(teller_tersedia)
    teller_tersedia[teller_id] <- selesai[i]
  }
  
  hasil_simulasi[[hari]] <- data.frame(
    hari = hari,
    datang = waktu_kedatangan,
    mulai = mulai,
    selesai = selesai,
    tunggu = antrian,
    durasi = waktu_pelayanan
  )
}

# Gabungkan semua hari
simulasi_df <- bind_rows(hasil_simulasi)

Hitung rata-rata waktu tunggu nasabah

rata_tunggu <- mean(simulasi_df$tunggu)
rata_tunggu  # dalam menit

## [1] 1.136017

Hitung persen waktu teller sibuk bekerja

total_pelayanan <- sum(simulasi_df$durasi)
total_waktu_teller <- jumlah_teller * waktu_hari * lama_hari
persentase_sibuk <- total_pelayanan / total_waktu_teller * 100
persentase_sibuk  # dalam persen

## [1] 33.25149

Bandingkan jikan bank menambah 1 teller lagi - apakah lebih efisiensi?

# Ulangi simulasi dengan 3 teller
jumlah_teller_baru <- 3
hasil_simulasi3 <- list()

for (hari in 1:lama_hari) {
  jumlah_nasabah <- rpois(1, rata_datang_per_jam * jam_operasi)
  waktu_kedatangan <- sort(runif(jumlah_nasabah, min = 0, max = waktu_hari))
  waktu_pelayanan <- rexp(jumlah_nasabah, rate = 1/rata_pelayanan)
  
  selesai <- rep(0, jumlah_nasabah)
  mulai <- rep(0, jumlah_nasabah)
  antrian <- rep(0, jumlah_nasabah)
  teller_tersedia <- rep(0, jumlah_teller_baru)
  
  for (i in 1:jumlah_nasabah) {
    mulai[i] <- max(waktu_kedatangan[i], min(teller_tersedia))
    selesai[i] <- mulai[i] + waktu_pelayanan[i]
    antrian[i] <- mulai[i] - waktu_kedatangan[i]
    
    teller_id <- which.min(teller_tersedia)
    teller_tersedia[teller_id] <- selesai[i]
  }
  
  hasil_simulasi3[[hari]] <- data.frame(
    hari = hari,
    datang = waktu_kedatangan,
    mulai = mulai,
    selesai = selesai,
    tunggu = antrian,
    durasi = waktu_pelayanan
  )
}

simulasi_df3 <- bind_rows(hasil_simulasi3)

# Bandingkan waktu tunggu rata-rata
mean(simulasi_df$tunggu)    # teller 2

## [1] 1.136017

mean(simulasi_df3$tunggu)   # teller 3

## [1] 0.04733909

Buat grafik yang menunjukkan panjang antrian sepanjang hari

library(ggplot2)

simulasi_df$jam <- floor(simulasi_df$datang / 60)

antrian_per_jam <- simulasi_df %>%
  group_by(hari, jam) %>%
  summarise(panjang = n(), .groups = "drop")

# Visualisasi
ggplot(antrian_per_jam, aes(x = jam, y = panjang)) +
  geom_boxplot(fill = "skyblue") +
  labs(title = "Panjang Antrian per Jam (20 Hari)",
       x = "Jam ke- (sejak buka)",
       y = "Jumlah Nasabah") +
  theme_minimal()

## Warning: Continuous x aesthetic
## ℹ did you forget `aes(group = ...)`?

6. (Simulasi Toko Kelontong)

Bu Sari memiliki toko kelontong yang menjual beras dengan kondisi sebagai berikut:

Penjualan beras per hari: 8–15 karung (distribusi Uniform).
Stok awal: 100 karung.
Setiap 5 hari sekali, Bu sari pesan ulang 50 karung beras.
Jika stok habis, kehilangan untung Rp. 50.000 per karung

Kerjakanlah tugas berikut:

Simulasikan stok beras selama 60 hari

set.seed(123)

simulasi_stok <- function(hari_total = 60, pesan_setiap = 5, jumlah_pesan = 50) {
  stok <- numeric(hari_total)
  penjualan <- numeric(hari_total)
  kekurangan <- numeric(hari_total)
  
  stok[1] <- 100
  
  for (hari in 1:hari_total) {
    # Penjualan harian: uniform 8–15 karung
    jual <- sample(8:15, 1)
    
    # Hitung kekurangan jika stok tidak cukup
    if (stok[hari] >= jual) {
      penjualan[hari] <- jual
      kekurangan[hari] <- 0
    } else {
      penjualan[hari] <- stok[hari]
      kekurangan[hari] <- jual - stok[hari]
    }
    
    # Update stok ke hari berikutnya
    if (hari < hari_total) {
      stok[hari + 1] <- stok[hari] - penjualan[hari]
      
      # Pemesanan ulang
      if (hari %% pesan_setiap == 0) {
        stok[hari + 1] <- stok[hari + 1] + jumlah_pesan
      }
    }
  }
  
  data.frame(Hari = 1:hari_total, Stok = stok, Penjualan = penjualan, Kehabisan = kekurangan)
}

# Simulasi default
hasil_a <- simulasi_stok()
head(hasil_a)

##   Hari Stok Penjualan Kehabisan
## 1    1  100        14         0
## 2    2   86        14         0
## 3    3   72        10         0
## 4    4   62        13         0
## 5    5   49        10         0
## 6    6   89         9         0

Di atas mensimulasikan jumlah stok harian berdasarkan penjualan dan jadwal pemesanan ulang.

Hitung berapa kali toko kehabisan stok

jumlah_kekurangan <- sum(hasil_a$Kehabisan > 0)
total_rugi <- sum(hasil_a$Kehabisan) * 50000

jumlah_kekurangan

## [1] 3

total_rugi

## [1] 9e+05

Menunjukkan berapa hari stok tidak mencukupi, dan total kerugian akibat kehilangan penjualan.

Coba berbagai strategi: pesan 40, 50 atau 60 karung. manakah yang terbaik?

strategi <- c(40, 50, 60)
hasil_c <- lapply(strategi, function(jml) {
  df <- simulasi_stok(jumlah_pesan = jml)
  data.frame(
    Pesan = jml,
    KehabisanHari = sum(df$Kehabisan > 0),
    Rugi = sum(df$Kehabisan) * 50000
  )
})
do.call(rbind, hasil_c)

##   Pesan KehabisanHari    Rugi
## 1    40            17 8350000
## 2    50             9 3950000
## 3    60             0       0

Kesimpulan:

Semakin banyak jumlah pemesanan, semakin kecil risiko kehabisan.
Tapi terlalu banyak bisa menyebabkan stok menumpuk → belum diperhitungkan biaya penyimpanan di sini.

Coba ubah frekuensi pesan: setiap 3, 5 atau 7 hari. manakah yang optimal?

frekuensi <- c(3, 5, 7)
hasil_d <- lapply(frekuensi, function(freq) {
  df <- simulasi_stok(pesan_setiap = freq)
  data.frame(
    Frekuensi = freq,
    KehabisanHari = sum(df$Kehabisan > 0),
    Rugi = sum(df$Kehabisan) * 50000
  )
})
do.call(rbind, hasil_d)

##   Frekuensi KehabisanHari    Rugi
## 1         3             0       0
## 2         5             2  700000
## 3         7            17 8700000

Kesimpulan:

Frekuensi yang lebih cepat bisa mengurangi risiko kekurangan.
Tapi bisa meningkatkan biaya operasional pemesanan (jika dihitung).

Buat grafik pergerakan stok dan rekomendasi untuk Bu sari

library(ggplot2)

ggplot(hasil_a, aes(x = Hari, y = Stok)) +
  geom_line(color = "darkgreen", size = 1.2) +
  geom_point(data = hasil_a[hasil_a$Kehabisan > 0, ], aes(x = Hari, y = Stok),
             color = "red", size = 2) +
  labs(title = "Pergerakan Stok Beras Selama 60 Hari",
       subtitle = "Titik merah = stok tidak cukup",
       x = "Hari",
       y = "Jumlah Stok Karung") +
  theme_minimal()

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

Rekomendasi Bu Sari:

Jika tidak ingin sering kehabisan stok, pesan 50–60 karung setiap 3–5 hari.
Rekomendasi terbaik (seimbang): pesan 50 karung setiap 5 hari.

UAS PSS_smt4

NADYA CITRA VANISYA AULIA

2025-06-20

1. Gunakan simulasi untuk menghitung nilai pendekatan dari E[X²] untuk variabel random berdistribusi Uniform jika X ~ U(0,1). Gunakan 10.000 angka random.

2. Buat masing-masing untuk n1 = 100, n2 = 1000, n3 = 10000 angka random dari N(100, 15²), lalu hitung rata-rata, simpangan baku, dan plot histogram. Berikan penjelasan hasil yang Saudara peroleh.

3. Simulasikan distribusi binomial Bin(30, 0.25) sebanyak 5000 kali. Tentukan nilai estimasikan P(X ≥ 15).

4. Buatlah function untuk rumus berikut:

5. Simulasi Antrian di Bank) Sebuah bank memiliki 2 teller dengan kondisi berikut:

6. (Simulasi Toko Kelontong)