Introducción

Las fórmulas matemáticas son expresiones que nos permiten resolver problemas de manera rápida y precisa. Representan relaciones entre diferentes elementos, como números, variables y operaciones. Gracias a ellas, podemos calcular áreas, volúmenes, proporciones, velocidades, entre muchos otros conceptos. Son herramientas fundamentales en la ciencia, la ingeniería, la economía y en la vida cotidiana, ya que nos ayudan a entender y describir el mundo de forma lógica y estructurada.

Formulas Matemáticas

💠 ÁLGEBRA

Binomio al cuadrado positivo

\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

Binomio al cuadrado negativo

\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]

Diferencia de cuadrados

\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\]

Factorización del trinomio cuadrado perfecto

\[(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz\]

División de diferencia de cuadrados

\[\frac{x^2 - y^2}{x - y} = x + y\]

📐 GEOMETRÍA

Área de un triángulo

\[A = \frac{1}{2} \cdot base \cdot altura\]

Área de un círculo

\[A = \pi r^2\]

Perímetro de un círculo (circunferencia)

\[P = 2\pi r\]

Teorema de Pitágoras

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Volumen de un cilindro

\[V = \pi r^2 h\]

📊 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Media aritmética

\[\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\]

Varianza muestral

\[s^2 = \frac{1}{n - 1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\]

Regla del producto en probabilidad

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)\]

Varianza de una variable aleatoria

\[\text{Var}(X) = E[(X - \mu)^2]\]

Puntaje Z (estandarización)

\[z = \frac{x - \mu}{\sigma}\]

📈 CÁLCULO DIFERENCIAL

Derivada de una potencia

\[\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\]

Derivada del seno

\[\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\]

Derivada del coseno

\[\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\]

Derivada de la exponencial

\[\frac{d}{dx}(e^x) = e^x\]

Derivada del logaritmo natural

\[ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}\]

∫ CÁLCULO INTEGRAL

Integral de una potencia

\[\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \ne -1)\]

Integral del logaritmo natural

\[\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C\]

Integral de la exponencial

\[\int e^x \, dx = e^x + C\]

Integral del seno

\[\int \sin x \, dx = -\cos x + C\]

Integral del coseno

\[\int \cos x \, dx = \sin x + C\]

Nomenclatura

Conjuntos numéricos

  • \(\mathbb{C}\): Conjunto de los números complejos
  • \(\mathbb{R}\): Conjunto de los números reales
  • \(\mathbb{R}^+\): Conjunto de los números reales positivos
  • \(\mathbb{Q}\): Conjunto de los números racionales
  • \(\mathbb{Z}\): Conjunto de los números enteros
  • \(\mathbb{N}\): Conjunto de los números naturales
  • \(\emptyset\): Conjunto vacío
  • \(\in\): Pertenece a
  • \(\notin\): No pertenece a
  • \(\ni\): Contiene a
  • \(\not\ni\): No contiene a

Operadores y funciones comunes

  • \(\sqrt{x}\): Raíz cuadrada
  • \(\sqrt[n]{x}\): Raíz n-ésima
  • \(\sum\): Sumatoria
  • \(\prod\): Productoria
  • \(\exists\): Existe
  • \(\nexists\): No existe
  • \(\operatorname{sgn}(x)\): Signo de x
  • \(dx\): Diferencial de x
  • \(e\): Número de Euler

Funciones trigonométricas

  • \(\sin(x)\): Seno
  • \(\tan(x)\): Tangente
  • \(\sec(x)\): Secante

Distribuciones de probabilidad

  • \(\operatorname{Ber}(\pi)\): Bernoulli
  • \(\operatorname{Bin}(n, \pi)\): Binomial
  • \(\operatorname{BN}(\pi, n)\): Binomial negativa
  • \(\operatorname{P}(\lambda)\): Poisson
  • \(\operatorname{Hg}(n, M, N)\): Hipergeométrica
  • \(\operatorname{MN}(n, \pi_1, ..., \pi_p)\): Multinomial
  • \(\operatorname{G}(\pi)\): Geométrica
  • \(\operatorname{Exp}(\lambda)\): Exponencial
  • \(\mathcal{U}[a,b]\): Uniforme
  • \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\): Normal
  • \(\operatorname{NB}(...)\): Binomial negativa
  • \(\operatorname{B}(\alpha, \beta)\): Beta
  • \(\operatorname{G}(\alpha, \beta)\): Gamma

Estadísticos descriptivos

  • \(\bar{x}\): Media muestral
  • \(\tilde{x}\): Mediana muestral
  • \(S_X\): Desviación estándar muestral
  • \(S^2_X\): Varianza muestral
  • \(\mu_X\): Media poblacional
  • \(\tilde{\mu}_X\): Mediana poblacional
  • \(\sigma_X\): Desviación estándar poblacional
  • \(\sigma^2_X\): Varianza poblacional
  • \(R_z\): Rango z
  • \(RI_x\): Rango intercuartílico
  • \(R_X\): Rango

Funciones de distribución

  • \(f_X(x)\): Función de densidad de X
  • \(f_{XY}(x, y)\): Función de densidad conjunta
  • \(f_{X|Y}(x|y)\): Densidad condicional
  • \(F_X(x)\): Distribución acumulada de X
  • \(F_{XY}(x, y)\): Distribución acumulada conjunta
  • \(\varphi(x; \mu, \sigma^2)\): Densidad normal
  • \(\varphi(z)\): Densidad normal estándar
  • \(\Phi(x; \mu, \sigma^2)\): Función de distribución normal acumulada

Frecuencias y observaciones

  • \(n_i\): Frecuencia absoluta
  • \(n_{i,j}\): Frecuencia conjunta
  • \(N_i\): Frecuencia acumulada
  • \(f_i\): Frecuencia relativa
  • \(f_{i,j}\): Frecuencia relativa conjunta
  • \(f_{\cdot i}, f_{\cdot j}\): Frecuencias marginales
  • \(x_i\): Observación i
  • \(u_i\): Marca de clase
  • \(x_{(i)}\): Orden estadístico muestral
  • \(X_{(i)}\): Orden estadístico poblacional

Probabilidad y correlación

  • \(\pi\): Probabilidad de éxito
  • \(\pi_p\): Proporción poblacional
  • \(z_\alpha\): Cuantil z
  • \(P(A)\): Probabilidad de A
  • \(E[X]\): Esperanza matemática
  • \(\operatorname{Var}[X]\): Varianza
  • \(\operatorname{Corr}[X,Y]\): Correlación
  • \(\operatorname{Cov}[X,Y]\): Covarianza
  • \(\rho_{XY}\): Correlación poblacional
  • \(r_{XY}\): Correlación muestral
  • \(r^S_{XY}\): Correlación de Spearman
  • \(\tau_{XY}\): Correlación de Kendall