1. Apresentação do Capítulo

2. Distribuição de Probabilidades

2.1. Distribuição Binomial:

Exercicios

1. Uma moeda é lançada 8 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 3 caras?

n <- 8
p <- 1/2

probabilidade8 <- dbinom(3, size = n, prob = p)
print(paste("Probabilidade de 3 caras: ", probabilidade8))

## [1] "Probabilidade de 3 caras:  0.21875"

2. Um dado é lançado 10 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 vezes o número 5?

n <- 10
p <- 1/6

probabilidade5 <- dbinom(2, size = n, prob = p)
print(paste("Probabilidade de 2 vezes o número 5: ", probabilidade5))

## [1] "Probabilidade de 2 vezes o número 5:  0.290710049201722"

3. Em uma linha de produção, 90% dos produtos são de boa qualidade. Se selecionarmos aleatoriamente 15 produtos, qual é a probabilidade de exatamente 12 serem de boa qualidade?

n <- 15
p <- 9/10

probabilidade12 <- dbinom(12, size = n, prob = p)
print(paste("Probabilidade de 12 serem de boa qualidade: ", probabilidade12))

## [1] "Probabilidade de 12 serem de boa qualidade:  0.128505439098855"

4. Um jogo de trivia tem 20 perguntas. Se uma pessoa responde aleatoriamente a cada pergunta, qual é a probabilidade de acertar pelo menos 15 perguntas?

n <- 20
p <- 1/4

probabilidade15 <- sum(dbinom(15:20, size = n, prob = p))
print(paste("Probabilidade de acertar pelo menos 15 perguntas: ", probabilidade15))

## [1] "Probabilidade de acertar pelo menos 15 perguntas:  3.81302743335255e-06"

5. Uma urna contém 8 bolas vermelhas e 5 bolas azuis. Se retirarmos 3 bolas aleatoriamente, qual é a probabilidade de exatamente 2 serem vermelhas?

probabilidade2 <- dhyper(2, m = 8, n = 5, k = 3)

print(paste("Probabilidade de 2 serem vermelhas: ", probabilidade2))

## [1] "Probabilidade de 2 serem vermelhas:  0.489510489510489"

print(paste("Em percentual temos: ", round(probabilidade2 * 100, 2), "%"))

## [1] "Em percentual temos:  48.95 %"

6. Um estudante está se preparando para um teste de múltipla escolha com 5 questões. Cada questão tem 4 opções. Qual é a probabilidade de o estudante acertar exatamente 3 questões?

n <- 5
p <- 1/4

probabilidade3 <- dbinom(3, size = n, prob = p)
print(paste("Probabilidade de acertar exatamente 3 questões: ", probabilidade3))

## [1] "Probabilidade de acertar exatamente 3 questões:  0.087890625"

7. Um dado viciado é lançado 6 vezes. A probabilidade de obter um número ímpar em um único lançamento é 0,4. Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 números ímpares em 6 lançamentos?

n <- 6
p <- 0.4

probabilidade2 <- dbinom(2, size = n, prob = p)
print(paste("Probabilidade de 2 ímpares: ", probabilidade2))

## [1] "Probabilidade de 2 ímpares:  0.31104"

8. Um experimento é repetido 20 vezes. Se a probabilidade de sucesso em um único experimento é 0,3, qual é a probabilidade de exatamente 6 sucessos?

n <- 20
p <- 0.3

probabilidade6 <- dbinom(6, size = n, prob = p)
print(paste("Probabilidade de 6 sucessos: ", probabilidade6))

## [1] "Probabilidade de 6 sucessos:  0.191638982753443"

9. Uma urna contém 12 bolas, das quais 4 são defeituosas. Se retirarmos 3 bolas aleatoriamente, qual é a probabilidade de pelo menos 2 serem defeituosas?

n <- 3
p <- 4/12


probabilidade2oumais <- dbinom(2, size = n, prob = p) + dbinom(3, size = n, prob = p)

print(paste("Probabilidade de pelo menos 2 serem defeituosas: ", probabilidade2oumais))

## [1] "Probabilidade de pelo menos 2 serem defeituosas:  0.259259259259259"

print(paste("Em percentual temos: ", round(probabilidade2oumais * 100, 2), "%"))

## [1] "Em percentual temos:  25.93 %"

10. Uma lâmpada tem uma probabilidade de 0,9 de funcionar corretamente. Se comprarmos 5 lâmpadas, qual é a probabilidade de pelo menos 4 delas funcionarem corretamente?

n <- 5
p <- 0.9

probabilidade_4oumais <- dbinom(4, size = n, prob = p) + dbinom(5, size = n, prob = p)

print(paste("Probabilidade de pelo menos 4 delas funcionarem: ", probabilidade_4oumais))

## [1] "Probabilidade de pelo menos 4 delas funcionarem:  0.91854"

print(paste("Em percentual temos: ", round(probabilidade_4oumais * 100, 2), "%"))

## [1] "Em percentual temos:  91.85 %"

2.2. Distribuição de Poisson

Exercícios

11. Em uma fábrica de chocolates, a média de defeitos por lote é 2. Qual é a probabilidade de haver exatamente 3 defeitos em um lote?

lambda <- 2

probabilidade_3_defeitos <- dpois(3, lambda)

print(paste("A probabilidade de haver exatamente 3 defeitos em um lote: ", probabilidade_3_defeitos))

## [1] "A probabilidade de haver exatamente 3 defeitos em um lote:  0.180447044315484"

print(paste("Em percentual temos: ", round(probabilidade_3_defeitos*100,2), "%"))

## [1] "Em percentual temos:  18.04 %"

12. Um call center recebe em média 4 reclamações por hora. Qual é a probabilidade de receber pelo menos 6 reclamações em uma hora?

lambda <- 4

probabilidade_6_rem <- 1 - ppois(5, lambda)

print(paste("A probabilidade de haver pelo menos 6 reclamações: ", probabilidade_6_rem))

## [1] "A probabilidade de haver pelo menos 6 reclamações:  0.214869612969595"

print(paste("Em percentual temos: ", round(probabilidade_6_rem*100,2), "%"))

## [1] "Em percentual temos:  21.49 %"

13. Em uma livraria, a média de clientes que entram a cada 15 minutos é 8. Qual é a probabilidade de pelo menos 10 clientes entrarem em um intervalo de 15 minutos?

lambda <- 8

probabilidade_10_cli <- 1 - ppois(9, lambda)

print(paste("A probabilidade de haver pelo menos 10 clientes: ", probabilidade_10_cli))

## [1] "A probabilidade de haver pelo menos 10 clientes:  0.283375741272989"

print(paste("Em percentual temos: ", round(probabilidade_10_cli*100,2), "%"))

## [1] "Em percentual temos:  28.34 %"

14. Um sistema de alarme de incêndio tem uma média de 0,5 disparos por dia. Qual é a probabilidade de ocorrerem exatamente 1 disparo em um dia específico?

lambda <- 0.5

probabilidade_1_dis <- dpois(1, lambda)

print(paste("A probabilidade de haver exatamente 1 disparo: ", probabilidade_1_dis))

## [1] "A probabilidade de haver exatamente 1 disparo:  0.303265329856317"

print(paste("Em percentual temos: ", round(probabilidade_1_dis*100,2), "%"))

## [1] "Em percentual temos:  30.33 %"

15. Em uma estação de metrô, a média de atrasos por semana é 3. Qual é a probabilidade de ocorrerem pelo menos 5 atrasos em uma semana?

lambda <- 3

probabilidade_5_at <- 1- ppois(4, lambda)

print(paste("A probabilidade de haver pelo menos 5 atrasos: ", probabilidade_5_at))

## [1] "A probabilidade de haver pelo menos 5 atrasos:  0.184736755476228"

print(paste("Em percentual temos: ", round(probabilidade_5_at*100,2), "%"))

## [1] "Em percentual temos:  18.47 %"

16. Um site de comércio eletrônico recebe em média 12 pedidos por dia. Qual é a probabilidade de receber exatamente 10 pedidos em um dia específico?

lambda <- 12

probabilidade_10_ped <- dpois(10, lambda)

print(paste("A probabilidade de receber exatamente 10 pedidos: ", probabilidade_10_ped))

## [1] "A probabilidade de receber exatamente 10 pedidos:  0.104837255883659"

print(paste("Em percentual temos: ", round(probabilidade_10_ped*100,2), "%"))

## [1] "Em percentual temos:  10.48 %"

17. Um serviço de entrega de alimentos tem uma média de 1,5 entregas por hora. Qual é a probabilidade de realizar exatamente 2 entregas em uma hora?

lambda <- 1.5

probabilidade_2_ent <- dpois(2, lambda)

print(paste("A probabilidade de realizar exatamente 2 entregas: ", probabilidade_2_ent))

## [1] "A probabilidade de realizar exatamente 2 entregas:  0.251021430166984"

print(paste("Em percentual temos: ", round(probabilidade_2_ent*100,2), "%"))

## [1] "Em percentual temos:  25.1 %"

18. Em uma fábrica de automóveis, a média de carros com defeito por semana é 5. Qual é a probabilidade de ter pelo menos 8 carros com defeito em uma semana?

lambda <- 5

probabilidade_8_def <- 1 - ppois(7, lambda)

print(paste("A probabilidade de haver pelo menos 8 carros: ", probabilidade_8_def))

## [1] "A probabilidade de haver pelo menos 8 carros:  0.133371674070007"

print(paste("Em percentual temos: ", round(probabilidade_8_def*100,2), "%"))

## [1] "Em percentual temos:  13.34 %"

19. Um sistema de vigilância de uma loja tem uma média de 0,2 eventos de intrusão por dia. Qual é a probabilidade de não ocorrer nenhum evento de intrusão em um dia específico?

lambda <- 0.2

probabilidade_0_ev <- dpois(0, lambda)

print(paste("A probabilidade de não ocorrer nenhum evento: ", probabilidade_0_ev))

## [1] "A probabilidade de não ocorrer nenhum evento:  0.818730753077982"

print(paste("Em percentual temos: ", round(probabilidade_0_ev*100,2), "%"))

## [1] "Em percentual temos:  81.87 %"

20. Em uma fazenda, a média de nascimentos de bezerros por mês é 7. Qual é a probabilidade de ocorrerem exatamente 6 nascimentos em um mês?

lambda <- 7

probabilidade_6_nas <- dpois(6, lambda)

print(paste("A probabilidade de haver exatamente 6 nascimentos: ", probabilidade_6_nas))

## [1] "A probabilidade de haver exatamente 6 nascimentos:  0.149002779674338"

print(paste("Em percentual temos: ", round(probabilidade_6_nas*100,2), "%"))

## [1] "Em percentual temos:  14.9 %"

2.3. Distribuição Normal

Exercícios

21. As alturas de uma população seguem uma distribuição normal com média 170 cm e desvio padrão 10 cm. Qual é a probabilidade de uma pessoa aleatória ter altura superior a 185 cm? (Lembre-se de configurar o lower.tail = F)

mu <- 170
sigma <- 10
altura <- 185

probabilidade_maior_185 <- pnorm(altura, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)

# Exibindo resultado
print(paste("Probabilidade de uma pessoa aleatória ter altura superior a 185 cm: ",
            probabilidade_maior_185))

## [1] "Probabilidade de uma pessoa aleatória ter altura superior a 185 cm:  0.0668072012688581"

print(paste("Em percentual:", round(probabilidade_maior_185 * 100, 2), "%"))

## [1] "Em percentual: 6.68 %"

22. O tempo de vida de uma bateria de celular segue uma distribuição normal com média 800 dias e desvio padrão 50 dias. Qual é a probabilidade de uma bateria durar pelo menos 750 dias?

mu <- 800
sigma <- 50
dias <- 750

probabilidade_750 <- pnorm(dias, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)

# Exibindo resultado
print(paste("Probabilidade de uma bateria durar pelo menos 750 dias: ",
            probabilidade_750))

## [1] "Probabilidade de uma bateria durar pelo menos 750 dias:  0.841344746068543"

print(paste("Em percentual:", round(probabilidade_750 * 100, 2), "%"))

## [1] "Em percentual: 84.13 %"

23. As pontuações em um teste padronizado têm média 100 e desvio padrão 15. Qual é a probabilidade de um aluno ter uma pontuação superior a 120? (Lembre-se de configurar o lower.tail = F)

mu <- 100
sigma <- 15
ponto <- 120

probabilidade_sup_120 <- pnorm(ponto, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)

# Exibindo resultado
print(paste("Probabilidade de um aluno ter uma pontuação superior a 120: ",
            probabilidade_sup_120))

## [1] "Probabilidade de um aluno ter uma pontuação superior a 120:  0.0912112197258678"

print(paste("Em percentual:", round(probabilidade_sup_120 * 100, 2), "%"))

## [1] "Em percentual: 9.12 %"

24. Os pesos dos sacos de café em uma fábrica seguem uma distribuição normal com média 5 kg e desvio padrão 0,5 kg. Qual é a probabilidade de um saco ter peso inferior a 4,2 kg?

mu <- 5
sigma <- 0.5
peso <- 4.2

probabilidade_saco <- pnorm(peso, mean = mu, sd = sigma )

# Exibindo resultado
print(paste("Probabilidade de um saco ter peso inferior a 4,2 kg: ",
            probabilidade_saco))

## [1] "Probabilidade de um saco ter peso inferior a 4,2 kg:  0.054799291699558"

print(paste("Em percentual:", round(probabilidade_saco * 100, 2), "%"))

## [1] "Em percentual: 5.48 %"

25. As temperaturas médias diárias em uma cidade seguem uma distribuição normal com média 25°C e desvio padrão 3°C. Qual é a probabilidade de um dia ter temperatura superior a 30°C? (Lembre-se de configurar o lower.tail = F)

mu <- 25
sigma <- 3
dia <- 30

probabilidade_temp <- pnorm(dia, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)

# Exibindo resultado
print(paste("Probabilidade de um dia ter temperatura superior a 30°C: ",
            probabilidade_temp))

## [1] "Probabilidade de um dia ter temperatura superior a 30°C:  0.0477903522728147"

print(paste("Em percentual:", round(probabilidade_temp * 100, 2), "%"))

## [1] "Em percentual: 4.78 %"

26. As velocidades de conexão à internet em uma área urbana seguem uma distribuição normal com média 50 Mbps e desvio padrão 8 Mbps. Qual é a probabilidade de uma conexão ter velocidade inferior a 40 Mbps?

mu <- 50
sigma <- 8
vel <- 40

probabilidade_conex <- pnorm(vel, mean = mu, sd = sigma)

# Exibindo resultado
print(paste("Probabilidade de probabilidade de uma conexão ter velocidade inferior a 40 Mbps: ",
            probabilidade_conex))

## [1] "Probabilidade de probabilidade de uma conexão ter velocidade inferior a 40 Mbps:  0.105649773666855"

print(paste("Em percentual:", round(probabilidade_conex * 100, 2), "%"))

## [1] "Em percentual: 10.56 %"

27. As notas de um exame têm média 70 e desvio padrão 10. Qual é a probabilidade de um aluno ter uma nota entre 60 e 80?

media <- 70
desvio <- 10

prob_ate_80 <- pnorm(80, mean = media, sd = desvio)
prob_ate_60 <- pnorm(60, mean = media, sd = desvio)

prob_entre <- prob_ate_80 - prob_ate_60

print(paste("A probabilidade de um aluno tirar nota entre 60 e 80 é:", round(prob_entre, 4)))

## [1] "A probabilidade de um aluno tirar nota entre 60 e 80 é: 0.6827"

print(paste("Em percentual:", round(prob_entre * 100, 2), "%"))

## [1] "Em percentual: 68.27 %"

28. O consumo diário de calorias de um grupo de pessoas segue uma distribuição normal com média 2000 calorias e desvio padrão 300 calorias. Qual é a probabilidade de uma pessoa consumir mais de 2500 calorias por dia?

mu <- 2000
sigma <- 300
cal <- 2500

probabilidade_consumo <- pnorm(cal, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)

# Exibindo resultado
print(paste("A probabilidade de uma pessoa consumir mais de 2500 calorias por dia: ",
            probabilidade_consumo))

## [1] "A probabilidade de uma pessoa consumir mais de 2500 calorias por dia:  0.0477903522728147"

print(paste("Em percentual:", round(probabilidade_consumo * 100, 2), "%"))

## [1] "Em percentual: 4.78 %"

29. As pressões sanguíneas de uma população têm média 120 mmHg e desvio padrão 10 mmHg. Qual é a probabilidade de uma pessoa ter pressão superior a 130 mmHg?

mu <- 120
sigma <- 10
press <- 130

probabilidade_pressao <- pnorm(press, mean = mu, sd = sigma, lower.tail = FALSE)

# Exibindo resultado
print(paste("A probabilidade de uma pessoa ter pressão superior a 130 mmHg: ",
            probabilidade_pressao))

## [1] "A probabilidade de uma pessoa ter pressão superior a 130 mmHg:  0.158655253931457"

print(paste("Em percentual:", round(probabilidade_pressao * 100, 2), "%"))

## [1] "Em percentual: 15.87 %"

30. As medidas de um componente eletrônico seguem uma distribuição normal com média 8 cm e desvio padrão 1 cm. Qual é a probabilidade de um componente ter medida inferior a 6,5 cm?

mu <- 8
sigma <- 1
comp <- 6.5

probabilidade_elet <- pnorm(comp, mean = mu, sd = sigma)

# Exibindo resultado
print(paste("A probabilidade de um componente ter medida inferior a 6,5 cm: ",
            probabilidade_elet))

## [1] "A probabilidade de um componente ter medida inferior a 6,5 cm:  0.0668072012688581"

print(paste("Em percentual:", round(probabilidade_elet * 100, 2), "%"))

## [1] "Em percentual: 6.68 %"

3. Amostragem

3.1. População e Amostra

3.2 Quando Utilizar uma Amostra:

3.3 Amostragem Aleatória Simples:

3.4 Amostragem Estratificada

3.5. Amostragem por Conglomerados

Exercícios

31. Uma empresa deseja realizar uma pesquisa de satisfação de seus clientes. Ela possui uma lista com 500 clientes e decide selecionar aleatoriamente uma amostra de 50 clientes para entrevistar.

R: Amostragem aleatória simples

31. Uma empresa deseja realizar uma pesquisa de satisfação de seus clientes. Ela possui uma lista com 500 clientes e decide selecionar aleatoriamente uma amostra de 50 clientes para entrevistar.

R: Amostragem Aleatória Simples

32. Um pesquisador está estudando o comportamento de aves em uma floresta. Ele divide a floresta em diferentes estratos, como copa das árvores, sub-bosque e solo. Em seguida, realiza amostragens separadas em cada estrato.

R: Amostragem Estratificada

33. Um professor deseja saber a opinião de seus alunos sobre um novo método de ensino. Ele divide a turma em grupos de acordo com o desempenho acadêmico e seleciona aleatoriamente alunos de cada grupo para formar a amostra.

R: Amostragem Estratificada

34. Uma agência de publicidade quer avaliar a aceitação de um novo comercial de TV. Ela seleciona aleatoriamente cinco cidades diferentes e entrevista todas as pessoas que assistiram ao comercial nessas cidades.

R: Amostragem por Conglomerados

35. Um instituto de pesquisa deseja estudar a prevalência de uma doença em uma cidade. Ele divide a cidade em regiões geográficas e seleciona aleatoriamente alguns bairros em cada região para realizar exames médicos.

R: Amostragem por Conglomerados

36. Um fabricante de smartphones deseja verificar a qualidade de seus produtos. Ele seleciona aleatoriamente 100 smartphones do estoque e verifica se há defeitos em cada um deles.

R: Amostragem Aleatória Simples

37. Um pesquisador quer avaliar a eficácia de um novo medicamento. Ele divide os pacientes em grupos de acordo com a gravidade da doença e, em seguida, seleciona aleatoriamente pacientes de cada grupo para participar do estudo.

R: Amostragem Estratificada

38. Um sindicato deseja conhecer a opinião de seus membros sobre questões trabalhistas. Eles dividem os membros em grupos de acordo com a faixa etária e selecionam aleatoriamente representantes de cada faixa etária para participar de uma reunião.

R: Amostragem Estratificada

39. Uma empresa de alimentos deseja avaliar a aceitação de um novo produto. Ela seleciona aleatoriamente supermercados em diferentes regiões do país e, em seguida, coleta dados de vendas em cada supermercado.

R: Amostragem por Conglomerados

40. Um instituto de pesquisa deseja estudar o hábito de consumo de café em uma cidade. Eles escolhem aleatoriamente uma rua principal da cidade e entrevistam todas as pessoas que passam por ela em um determinado período.

R: Amostragem por conglomerados

4. Estimação

Exercicios

41.Um pesquisador está interessado na altura média de estudantes universitários em uma universidade. Ele coleta uma amostra de 100 estudantes e calcula a média amostral como 175 cm. Construa um intervalo de confiança de 95% para a altura média dos estudantes, supondo um desvio padrão populacional de 8 cm.

n <- 100
media_amostral <- 175
desvio_padrao_populacional <- 8
nivel_confianca <- 0.95

# Cálculo do intervalo de confiança
erro_padrao <- desvio_padrao_populacional / sqrt(n)
margem_erro <- qnorm((1 + nivel_confianca) / 2) * erro_padrao
intervalo_confianca <- c(media_amostral - margem_erro, 
                         media_amostral + margem_erro)

print("Intervalo de confiança: ")

## [1] "Intervalo de confiança: "

print(intervalo_confianca)

## [1] 173.432 176.568

42.Uma empresa deseja estimar a proporção de clientes satisfeitos com seus serviços. Ela coleta uma amostra de 200 clientes e descobre que 150 estão satisfeitos. Construa um intervalo de confiança de 90% para a proporção de clientes satisfeitos.

n <- 200
satisfeitos <- 150
proporcao_amostral <- satisfeitos / n
nivel_confianca <- 0.90

erro_padrao <- sqrt(proporcao_amostral * (1 - proporcao_amostral) / n)
margem_erro <- qnorm((1 + nivel_confianca) / 2) * erro_padrao
intervalo_confianca <- c(proporcao_amostral - margem_erro, proporcao_amostral + margem_erro)

print("Intervalo de confiança:")

## [1] "Intervalo de confiança:"

print(intervalo_confianca)

## [1] 0.6996368 0.8003632

43.Um agricultor deseja estimar a produção média de maçãs por árvore em seu pomar. Ele coleta uma amostra de 30 árvores e obtém uma produção média de 50 kg. O desvio padrão amostral é 6 kg. Construa um intervalo de confiança de 99% para a produção média por árvore.

n <- 30
media_amostral <- 50
desvio_padrao_amostral <- 6
nivel_confianca <- 0.99

erro_padrao <- desvio_padrao_amostral / sqrt(n)
margem_erro <- qt((1 + nivel_confianca) / 2, df = n - 1) * erro_padrao
intervalo_confianca_maca <- c(media_amostral - margem_erro, media_amostral + margem_erro)

print("Intervalo de confiança:")

## [1] "Intervalo de confiança:"

print(intervalo_confianca_maca)

## [1] 46.98053 53.01947

44.Um fabricante de lâmpadas deseja estimar a vida média de suas lâmpadas. Ele testa uma amostra de 50 lâmpadas e calcula a vida média como 1200 horas, com um desvio padrão de 100 horas. Construa um intervalo de confiança de 95% para a vida média das lâmpadas.

n <- 50
media_amostral <- 1200
desvio_padrao_populacional <- 100
nivel_confianca <- 0.95

# Cálculo do intervalo de confiança
erro_padrao <- desvio_padrao_populacional / sqrt(n)
margem_erro <- qnorm((1 + nivel_confianca) / 2) * erro_padrao
intervalo_confianca_lamp <- c(media_amostral - margem_erro, 
                         media_amostral + margem_erro)

print("Intervalo de confinaça: ")

## [1] "Intervalo de confinaça: "

print(intervalo_confianca_lamp)

## [1] 1172.282 1227.718

45.Um epidemiologista quer estimar a taxa média de infecção em uma determinada região. Ele coleta uma amostra de 500 pessoas e encontra uma taxa de infecção de 4%, com desvio padrão de 0,1%. Construa um intervalo de confiança de 98% para a taxa média de infecção.

n <- 500
media_amostral <- 0.04
desvio_padrao_populacional <- 0.001  # 0.1% em decimal
nivel_confianca <- 0.98

erro_padrao <- desvio_padrao_populacional / sqrt(n)
margem_erro <- qnorm((1 + nivel_confianca) / 2) * erro_padrao
intervalo_confianca_epi <- c(media_amostral - margem_erro, media_amostral + margem_erro)

print("Intervalo de confiança:")

## [1] "Intervalo de confiança:"

print(intervalo_confianca_epi)

## [1] 0.03989596 0.04010404

46.Um gerente de projeto deseja estimar o tempo médio necessário para concluir uma tarefa. Ele coleta uma amostra de 20 tarefas e calcula o tempo médio como 25 horas, com um desvio padrão de 3 horas. Construa um intervalo de confiança de 90% para o tempo médio de conclusão da tarefa.

n_46 <- 20
media_amostral_46 <- 25
desvio_padrao_amostral_46 <- 3
nivel_confianca_46 <- 0.90

erro_padrao_46 <- desvio_padrao_amostral_46 / sqrt(n_46)
margem_erro_46 <- qt((1 + nivel_confianca_46) / 2, df = n_46 - 1) * erro_padrao_46
intervalo_confianca_46 <- c(media_amostral_46 - margem_erro_46,
                            media_amostral_46 + margem_erro_46)

print("Intervalo de confiança :")

## [1] "Intervalo de confiança :"

print(intervalo_confianca_46)

## [1] 23.84006 26.15994

47. Um pesquisador quer estimar a média de calorias consumidas por adultos em uma cidade. Ele coleta uma amostra de 100 adultos e encontra uma média de 2000 calorias, com um desvio padrão de 300 calorias. Construa um intervalo de confiança de 95% para a média de calorias consumidas por adultos.

n <- 100
media_amostral <- 2000
desvio_padrao_populacional <- 300
nivel_confianca <- 0.95

# Cálculo do intervalo de confiança
erro_padrao <- desvio_padrao_populacional / sqrt(n)
margem_erro <- qnorm((1 + nivel_confianca) / 2) * erro_padrao
intervalo_confianca <- c(media_amostral - margem_erro, 
                         media_amostral + margem_erro)

print(intervalo_confianca)

## [1] 1941.201 2058.799

48.Uma empresa deseja estimar a diferença média de salários entre dois departamentos. Ela coleta uma amostra de 50 funcionários de cada departamento e encontra que a diferença média é de R$500,00, com um desvio padrão de R$100,00. Construa um intervalo de confiança de 99% para a diferença média de salários.

n <- 50
media_amostral <- 500
desvio_padrao_populacional <- 100
nivel_confianca <- 0.99

erro_padrao <- desvio_padrao_populacional / sqrt(n)
margem_erro <- qnorm((1 + nivel_confianca) / 2) * erro_padrao
intervalo_confianca_sal <- c(media_amostral - margem_erro, media_amostral + margem_erro)

print("Intervalo de confiança:")

## [1] "Intervalo de confiança:"

print(intervalo_confianca_sal)

## [1] 463.5723 536.4277

49.Um professor quer estimar a média de horas de estudo por semana dos estudantes de sua turma. Ele coleta uma amostra de 25 estudantes e encontra uma média de 12 horas, com um desvio padrão de 2 horas. Construa um intervalo de confiança de 96% para a média de horas de estudo.

n_49 <- 25
media_amostral_49 <- 12
desvio_padrao_amostral_49 <- 2
nivel_confianca_49 <- 0.96

# Cálculo do intervalo de confiança usando a distribuição t
erro_padrao_49 <- desvio_padrao_amostral_49 / sqrt(n_49)
margem_erro_49 <- qt((1 + nivel_confianca_49) / 2, df = n_49 - 1) * erro_padrao_49
intervalo_confianca_49 <- c(media_amostral_49 - margem_erro_49,
                            media_amostral_49 + margem_erro_49)

print("Intervalo de confiança:")

## [1] "Intervalo de confiança:"

print(intervalo_confianca_49)

## [1] 11.13138 12.86862

50.Uma empresa de tecnologia deseja estimar a proporção de usuários satisfeitos com seu novo aplicativo. Ela coleta uma amostra de 150 usuários e descobre que 120 estão satisfeitos, com desvio padrão de 2 funcionários. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de usuários satisfeitos.

n_50 <- 150
satisfeitos_50 <- 120
proporcao_amostral_50 <- satisfeitos_50 / n_50
nivel_confianca_50 <- 0.99

# Cálculo do intervalo de confiança para proporção
erro_padrao_50 <- sqrt(proporcao_amostral_50 * (1 - proporcao_amostral_50) / n_50)
margem_erro_50 <- qnorm((1 + nivel_confianca_50) / 2) * erro_padrao_50
intervalo_confianca_50 <- c(proporcao_amostral_50 - margem_erro_50,
                            proporcao_amostral_50 + margem_erro_50)

print("Intervalo de confiança:")

## [1] "Intervalo de confiança:"

print(intervalo_confianca_50)

## [1] 0.7158738 0.8841262

5. Cálculo do Tamanho da Amostra:

5.1 Temas

Exercícios

51. Um pesquisador deseja estimar a média de salários de uma população de trabalhadores. Ele quer um intervalo de confiança de 95%, com um erro máximo de R$100. A variabilidade dos salários é conhecida de R$ 500,00. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população infinita?

z <- qnorm(0.975)
erro <- 100
desvio <- 500
n_51 <- (z * desvio / erro)^2
ceiling(n_51)

## [1] 97

52. Uma empresa deseja estimar a proporção de clientes que comprariam um novo produto. Ela quer um intervalo de confiança de 90%, com um erro máximo de 5%, assumindo um desvio padrão de 3%. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população finita de 5000 clientes?

z <- qnorm(0.95)
erro <- 0.05
p <- 0.5
N <- 5000
n_bruto <- (z^2 * p * (1 - p)) / erro^2
n_52 <- n_bruto / (1 + ((n_bruto - 1) / N))
ceiling(n_52)

## [1] 257

53. Um cientista social deseja estimar a média de horas que os estudantes universitários gastam estudando por semana. Ele quer um intervalo de confiança de 99%, com um erro máximo de 2 horas e desvio padrão de 1 hora. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população infinita?

z <- qnorm(0.995)
erro <- 2
desvio <- 1
n_53 <- (z * desvio / erro)^2
ceiling(n_53)

## [1] 2

54. Uma agência de viagens deseja estimar a proporção de pessoas que preferem viajar de avião em vez de ônibus. Ela quer um intervalo de confiança de 95%, com um erro máximo de 3%. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população finita de 8000 pessoas, para aceitarmos um desvio de 3%?

z <- qnorm(0.975)
erro <- 0.03
p <- 0.5
N <- 8000
n_bruto <- (z^2 * p * (1 - p)) / erro^2
n_54 <- n_bruto / (1 + ((n_bruto - 1) / N))
ceiling(n_54)

## [1] 942

55. Um pesquisador deseja estimar a média de idade de uma população de idosos. Ele quer um intervalo de confiança de 90%, com um erro máximo de 1 ano. A variabilidade das idades é desconhecida. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população infinita e desvio padrão de 6 meses?

z <- qnorm(0.95)
erro <- 1
# desvio de 6 meses = 0.5 ano
desvio <- 0.5
n_55 <- (z * desvio / erro)^2
ceiling(n_55)

## [1] 1

56. Uma empresa de telecomunicações deseja estimar a proporção de clientes insatisfeitos com seus serviços. Ela quer um intervalo de confiança de 96%, com um erro máximo de 2% e desvio padrão de 0,5%. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população finita de 10000 clientes?

z <- qnorm(0.98)
erro <- 0.02
p <- 0.5
N <- 10000
n_bruto <- (z^2 * p * (1 - p)) / erro^2
n_56 <- n_bruto / (1 + ((n_bruto - 1) / N))
ceiling(n_56)

## [1] 2087

57. Um pesquisador deseja estimar a média de gastos mensais de uma população de famílias. Ele quer um intervalo de confiança de 98%, com um erro máximo de R$10. A variabilidade dos gastos é de R$50,00. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população infinita?

z <- qnorm(0.99)
erro <- 10
desvio <- 50
n_57 <- (z * desvio / erro)^2
ceiling(n_57)

## [1] 136

58. Uma ONG deseja estimar a proporção de voluntários em uma comunidade. Ela quer um intervalo de confiança de 94%, com um erro máximo de 4%. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população finita de 6000 pessoas e desvio padrão de 5%?

z <- qnorm(0.97)
erro <- 0.04
p <- 0.5
N <- 6000
n_bruto <- (z^2 * p * (1 - p)) / erro^2
n_58 <- n_bruto / (1 + ((n_bruto - 1) / N))
ceiling(n_58)

## [1] 507

59. Um cientista de dados deseja estimar a média de tempo que os usuários gastam em um aplicativo. Ele quer um intervalo de confiança de 99%, com um erro máximo de 5 minutos. A variabilidade do tempo gasto é de 10 minutos. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população infinita?

z <- qnorm(0.995)
erro <- 5
desvio <- 10
n_59 <- (z * desvio / erro)^2
ceiling(n_59)

## [1] 27

60. Uma empresa de alimentos deseja estimar a proporção de consumidores que preferem um novo sabor de produto. Ela quer um intervalo de confiança de 92%, com um erro máximo de 2%. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população finita de 12000 consumidores e desvio máximo de 3%?

z <- qnorm(0.96)
erro <- 0.02
p <- 0.5
N <- 12000
n_bruto <- (z^2 * p * (1 - p)) / erro^2
n_60 <- n_bruto / (1 + ((n_bruto - 1) / N))
ceiling(n_60)

## [1] 1652

Exercícios de Probabilidade

João Pedro Gundim Guimarães

2025-06-18

1. Apresentação do Capítulo

2. Distribuição de Probabilidades

2.1. Distribuição Binomial:

Exercicios

1. Uma moeda é lançada 8 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 3 caras?

2. Um dado é lançado 10 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 vezes o número 5?

3. Em uma linha de produção, 90% dos produtos são de boa qualidade. Se selecionarmos aleatoriamente 15 produtos, qual é a probabilidade de exatamente 12 serem de boa qualidade?

4. Um jogo de trivia tem 20 perguntas. Se uma pessoa responde aleatoriamente a cada pergunta, qual é a probabilidade de acertar pelo menos 15 perguntas?

5. Uma urna contém 8 bolas vermelhas e 5 bolas azuis. Se retirarmos 3 bolas aleatoriamente, qual é a probabilidade de exatamente 2 serem vermelhas?

6. Um estudante está se preparando para um teste de múltipla escolha com 5 questões. Cada questão tem 4 opções. Qual é a probabilidade de o estudante acertar exatamente 3 questões?

7. Um dado viciado é lançado 6 vezes. A probabilidade de obter um número ímpar em um único lançamento é 0,4. Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 números ímpares em 6 lançamentos?

8. Um experimento é repetido 20 vezes. Se a probabilidade de sucesso em um único experimento é 0,3, qual é a probabilidade de exatamente 6 sucessos?

9. Uma urna contém 12 bolas, das quais 4 são defeituosas. Se retirarmos 3 bolas aleatoriamente, qual é a probabilidade de pelo menos 2 serem defeituosas?

10. Uma lâmpada tem uma probabilidade de 0,9 de funcionar corretamente. Se comprarmos 5 lâmpadas, qual é a probabilidade de pelo menos 4 delas funcionarem corretamente?

2.2. Distribuição de Poisson

Exercícios

11. Em uma fábrica de chocolates, a média de defeitos por lote é 2. Qual é a probabilidade de haver exatamente 3 defeitos em um lote?

12. Um call center recebe em média 4 reclamações por hora. Qual é a probabilidade de receber pelo menos 6 reclamações em uma hora?

13. Em uma livraria, a média de clientes que entram a cada 15 minutos é 8. Qual é a probabilidade de pelo menos 10 clientes entrarem em um intervalo de 15 minutos?

14. Um sistema de alarme de incêndio tem uma média de 0,5 disparos por dia. Qual é a probabilidade de ocorrerem exatamente 1 disparo em um dia específico?

15. Em uma estação de metrô, a média de atrasos por semana é 3. Qual é a probabilidade de ocorrerem pelo menos 5 atrasos em uma semana?

16. Um site de comércio eletrônico recebe em média 12 pedidos por dia. Qual é a probabilidade de receber exatamente 10 pedidos em um dia específico?

17. Um serviço de entrega de alimentos tem uma média de 1,5 entregas por hora. Qual é a probabilidade de realizar exatamente 2 entregas em uma hora?

18. Em uma fábrica de automóveis, a média de carros com defeito por semana é 5. Qual é a probabilidade de ter pelo menos 8 carros com defeito em uma semana?

19. Um sistema de vigilância de uma loja tem uma média de 0,2 eventos de intrusão por dia. Qual é a probabilidade de não ocorrer nenhum evento de intrusão em um dia específico?

20. Em uma fazenda, a média de nascimentos de bezerros por mês é 7. Qual é a probabilidade de ocorrerem exatamente 6 nascimentos em um mês?

2.3. Distribuição Normal

Exercícios

21. As alturas de uma população seguem uma distribuição normal com média 170 cm e desvio padrão 10 cm. Qual é a probabilidade de uma pessoa aleatória ter altura superior a 185 cm? (Lembre-se de configurar o lower.tail = F)

22. O tempo de vida de uma bateria de celular segue uma distribuição normal com média 800 dias e desvio padrão 50 dias. Qual é a probabilidade de uma bateria durar pelo menos 750 dias?

23. As pontuações em um teste padronizado têm média 100 e desvio padrão 15. Qual é a probabilidade de um aluno ter uma pontuação superior a 120? (Lembre-se de configurar o lower.tail = F)

24. Os pesos dos sacos de café em uma fábrica seguem uma distribuição normal com média 5 kg e desvio padrão 0,5 kg. Qual é a probabilidade de um saco ter peso inferior a 4,2 kg?

25. As temperaturas médias diárias em uma cidade seguem uma distribuição normal com média 25°C e desvio padrão 3°C. Qual é a probabilidade de um dia ter temperatura superior a 30°C? (Lembre-se de configurar o lower.tail = F)

26. As velocidades de conexão à internet em uma área urbana seguem uma distribuição normal com média 50 Mbps e desvio padrão 8 Mbps. Qual é a probabilidade de uma conexão ter velocidade inferior a 40 Mbps?

27. As notas de um exame têm média 70 e desvio padrão 10. Qual é a probabilidade de um aluno ter uma nota entre 60 e 80?

28. O consumo diário de calorias de um grupo de pessoas segue uma distribuição normal com média 2000 calorias e desvio padrão 300 calorias. Qual é a probabilidade de uma pessoa consumir mais de 2500 calorias por dia?

29. As pressões sanguíneas de uma população têm média 120 mmHg e desvio padrão 10 mmHg. Qual é a probabilidade de uma pessoa ter pressão superior a 130 mmHg?

30. As medidas de um componente eletrônico seguem uma distribuição normal com média 8 cm e desvio padrão 1 cm. Qual é a probabilidade de um componente ter medida inferior a 6,5 cm?

3. Amostragem

3.1. População e Amostra

3.2 Quando Utilizar uma Amostra:

3.3 Amostragem Aleatória Simples:

3.4 Amostragem Estratificada

3.5. Amostragem por Conglomerados

Exercícios

31. Uma empresa deseja realizar uma pesquisa de satisfação de seus clientes. Ela possui uma lista com 500 clientes e decide selecionar aleatoriamente uma amostra de 50 clientes para entrevistar.

31. Uma empresa deseja realizar uma pesquisa de satisfação de seus clientes. Ela possui uma lista com 500 clientes e decide selecionar aleatoriamente uma amostra de 50 clientes para entrevistar.

32. Um pesquisador está estudando o comportamento de aves em uma floresta. Ele divide a floresta em diferentes estratos, como copa das árvores, sub-bosque e solo. Em seguida, realiza amostragens separadas em cada estrato.

33. Um professor deseja saber a opinião de seus alunos sobre um novo método de ensino. Ele divide a turma em grupos de acordo com o desempenho acadêmico e seleciona aleatoriamente alunos de cada grupo para formar a amostra.

34. Uma agência de publicidade quer avaliar a aceitação de um novo comercial de TV. Ela seleciona aleatoriamente cinco cidades diferentes e entrevista todas as pessoas que assistiram ao comercial nessas cidades.

35. Um instituto de pesquisa deseja estudar a prevalência de uma doença em uma cidade. Ele divide a cidade em regiões geográficas e seleciona aleatoriamente alguns bairros em cada região para realizar exames médicos.

36. Um fabricante de smartphones deseja verificar a qualidade de seus produtos. Ele seleciona aleatoriamente 100 smartphones do estoque e verifica se há defeitos em cada um deles.

37. Um pesquisador quer avaliar a eficácia de um novo medicamento. Ele divide os pacientes em grupos de acordo com a gravidade da doença e, em seguida, seleciona aleatoriamente pacientes de cada grupo para participar do estudo.

38. Um sindicato deseja conhecer a opinião de seus membros sobre questões trabalhistas. Eles dividem os membros em grupos de acordo com a faixa etária e selecionam aleatoriamente representantes de cada faixa etária para participar de uma reunião.

39. Uma empresa de alimentos deseja avaliar a aceitação de um novo produto. Ela seleciona aleatoriamente supermercados em diferentes regiões do país e, em seguida, coleta dados de vendas em cada supermercado.

40. Um instituto de pesquisa deseja estudar o hábito de consumo de café em uma cidade. Eles escolhem aleatoriamente uma rua principal da cidade e entrevistam todas as pessoas que passam por ela em um determinado período.

4. Estimação

Exercicios

42.Uma empresa deseja estimar a proporção de clientes satisfeitos com seus serviços. Ela coleta uma amostra de 200 clientes e descobre que 150 estão satisfeitos. Construa um intervalo de confiança de 90% para a proporção de clientes satisfeitos.

43.Um agricultor deseja estimar a produção média de maçãs por árvore em seu pomar. Ele coleta uma amostra de 30 árvores e obtém uma produção média de 50 kg. O desvio padrão amostral é 6 kg. Construa um intervalo de confiança de 99% para a produção média por árvore.

44.Um fabricante de lâmpadas deseja estimar a vida média de suas lâmpadas. Ele testa uma amostra de 50 lâmpadas e calcula a vida média como 1200 horas, com um desvio padrão de 100 horas. Construa um intervalo de confiança de 95% para a vida média das lâmpadas.

45.Um epidemiologista quer estimar a taxa média de infecção em uma determinada região. Ele coleta uma amostra de 500 pessoas e encontra uma taxa de infecção de 4%, com desvio padrão de 0,1%. Construa um intervalo de confiança de 98% para a taxa média de infecção.

46.Um gerente de projeto deseja estimar o tempo médio necessário para concluir uma tarefa. Ele coleta uma amostra de 20 tarefas e calcula o tempo médio como 25 horas, com um desvio padrão de 3 horas. Construa um intervalo de confiança de 90% para o tempo médio de conclusão da tarefa.

49.Um professor quer estimar a média de horas de estudo por semana dos estudantes de sua turma. Ele coleta uma amostra de 25 estudantes e encontra uma média de 12 horas, com um desvio padrão de 2 horas. Construa um intervalo de confiança de 96% para a média de horas de estudo.

5. Cálculo do Tamanho da Amostra:

5.1 Temas

Exercícios

52. Uma empresa deseja estimar a proporção de clientes que comprariam um novo produto. Ela quer um intervalo de confiança de 90%, com um erro máximo de 5%, assumindo um desvio padrão de 3%. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população finita de 5000 clientes?

57. Um pesquisador deseja estimar a média de gastos mensais de uma população de famílias. Ele quer um intervalo de confiança de 98%, com um erro máximo de R$10. A variabilidade dos gastos é de R$50,00. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população infinita?

58. Uma ONG deseja estimar a proporção de voluntários em uma comunidade. Ela quer um intervalo de confiança de 94%, com um erro máximo de 4%. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população finita de 6000 pessoas e desvio padrão de 5%?