Pregunta 1
Algunos casos de historias clínicas indican que diferentes enfermedades producen síntomas idénticos. Suponga que un conjunto particular de síntomas, denotado como H, se presenta sólo con cualquiera de tres enfermedades, I1, I2 o I3. Suponga que la presentación simultánea de más de una de estas enfermedades es imposible y que P(I1) = 0.01, P(I2) = 0.005, P(I3) = 0.02. Las probabilidades de desarrollar el conjunto de síntomas H, dada cada una de estas enfermedades, se sabe que son: P(H | I1) = 0.90, P(H | I2) = 0.95, P(H | I3) = 0.75 a. Elabore un dataframe que resuma la información. b. Suponiendo que una persona enferma presenta los síntomas, H, ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga la enfermedad I1?
Respuesta
Punto a) El dataframe de la información es:
library(ggplot2)
enfermedades <- data.frame(enfermedad = c("I1", "I2", "I3"), p_enfermedad = c(0.01, 0.005, 0.02),p_H_DADO_enfermedad = c(0.90, 0.95, 0.75))
print(enfermedades)## enfermedad p_enfermedad p_H_DADO_enfermedad
## 1 I1 0.010 0.90
## 2 I2 0.005 0.95
## 3 I3 0.020 0.75Punto b) Se nos pide hayar \(P(I1|H)\), sin embargo, para usar esta formula no se tiene la probabilidad de H. El H, se encontra como la suma de todo los H intersección con la respectiva enfermedad, estos probabilidades de intersección se encuentra a partir de las probabilidades de dependencia dadas.
p_H_Y_I1 = 0.9*0.01
p_H_Y_I2 = 0.005*0.95
p_H_Y_I3 = 0.75*0.02
P_I1_DADO_H=p_H_Y_I1/(p_H_Y_I1+p_H_Y_I2+p_H_Y_I3)
cat("La probabilidad de que tenga la enfermadad I1 es de:",P_I1_DADO_H)## La probabilidad de que tenga la enfermadad I1 es de: 0.3130435Pregunta 2
Un grupo grande de personas se examinará para ver si presentan dos síntomas comunes de cierta enfermedad. Se piensa que 20% de las personas tienen sólo el síntoma A, 30% sólo el síntoma B, 10% tienen ambos síntomas y el resto no tiene ningún síntoma. a. Elabore un dataframe que resuma la información del problema. b. Para una persona escogida al azar de este grupo, encuentre la probabilidad de que la persona tiene ambos síntomas, dado que tiene el síntoma B.
Respuesta
Punto a).
sintomas = c("A","B","A_Y_B","A_U_B_C")
porcentaje_persona_sintoma = c(0.2,0.3,0.1,0.4)
df2 = data.frame(sintomas,porcentaje_persona_sintoma)
print(df2)## sintomas porcentaje_persona_sintoma
## 1 A 0.2
## 2 B 0.3
## 3 A_Y_B 0.1
## 4 A_U_B_C 0.4Punto b). Dado que que se conoce \(P(A\cap B)=0.1\) y se conoce \(P(B)\), se nos pide hallar \(P(A\cap B|B)\); la forma para encontrar la probablidad que se nos pide es la siguiente: \[P(A\cap B|B)=P(A|B)\times P(B|B)\] Expandiendo se tiene la expresión: \[P(A\cap B|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)+P(A\cap B)}\times \frac{P(B)+P(A\cap B)}{P(B)+P(A\cap B)}\] Resolviendo esto en código tenemos:
p_de_AYB_dado_B=(0.1)/(0.3+0.1)
cat("La probabilidad de que tenga el síntoma A y B sabiendo que tiene el B es de:",p_de_AYB_dado_B)## La probabilidad de que tenga el síntoma A y B sabiendo que tiene el B es de: 0.25Pregunta 3
Sea X una variable aleatoria con f(x) dada en la siguiente tabla. a. Dibuje la función de probabilidad. b. Obtenga la función de distribución, F(x) y, con base en ella, encuentre F(2.5)
Respuesta
Punto a).
x3 = c(1,2,3,4)
f.x3 = c(0.4,0.3,0.2,0.1)
df3 = data.frame(x3,f.x3)
ggplot(df3,aes(x3,f.x3)) +
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geom_segment(stat = "identity", x=x3, xend=x3, y=0, yend=f.x3,linetype="dashed",col="black")+
labs(title="Función de probabilidad del Punto 3")
Punto b)
F.x3 = function(x){
return(sum(f.x3[x3 > 0 & x3 <= x]))
}
cat("La probabilidad acumulada de hasta 2.5 es de:",F.x3(2.5))## La probabilidad acumulada de hasta 2.5 es de: 0.7Pregunta 4
Suponga que X tiene la siguiente función de densidad dada abajo a. Dibuje la función de densidad (debe encontrar el valor de k) b. Encuentre F(x) c. Encuentre P(X < 0.4 | X < 0.8) \[ f(x)= \begin{cases} kx(1-x), 0 \geq x < \geq \\ 0, otros\ casos \end{cases} \]
Respuesta
Punto a) La función integral total de la función de densidad debe ser uno, por ende:
f.x4_sin_k = function(x){x*(1-x)}
k = 1/(integrate(f.x4_sin_k,0,1)$value)
cat("El valor de k es:",k)## El valor de k es: 6Encontrado k, se dibuja la función de densidad:
x4_valores <- seq(0, 1, length.out = 1000)
df4 <- data.frame(x = x4_valores ,y = f.x4(x4_valores))
ggplot(df4, aes(x = x, y = y)) +
geom_line(size = 1.2, color="green") +
labs(title="Gráfica de la función de densidad")## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
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## - attr(*, "complete")= logi TRUE
## - attr(*, "validate")= logi TRUEPunto b)
Punto c)
p_x_menor_0.4_dado_x_menor_0.8 = F.x4(0.4)/F.x4(0.8) #La intersección de entre P(x<0.4) y P(x < 0.8) es P(x<0.4)
cat("La probilidad que se nos pide es:",p_x_menor_0.4_dado_x_menor_0.8)## La probilidad que se nos pide es: 0.3928571Pregunta 5
El tiempo de falla (en cientos de horas) para un transistor es una variable aleatoria Y con función de distribución dada abajo. a. Dibuje F(y) b. Dibuje f(y) c. Encuentre la probabilidad de que el transistor opere durante al menos 200 horas. \[ f(x)= \begin{cases} 0, 0 \geq y < \\ 1-e^{-y^2}, y \geq 0 \end{cases} \]
Respuesta
Punto a)
F.y5 = function(y){1-exp(-1*y^2)}
y5_valores <- seq(0, 8, length.out = 1000)
df5 <- data.frame(x = y5_valores ,y = F.y5(y5_valores))
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## ..$ lineheight : NULL
## ..$ margin : 'margin' num [1:4] 0points 2.2points 0points 2.2points
## .. ..- attr(*, "unit")= int 8
## ..$ debug : NULL
## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
## $ axis.ticks : list()
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_blank" "element"
## $ axis.ticks.x : NULL
## $ axis.ticks.x.top : NULL
## $ axis.ticks.x.bottom : NULL
## $ axis.ticks.y : NULL
## $ axis.ticks.y.left : NULL
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## $ axis.ticks.theta : NULL
## $ axis.ticks.r : NULL
## $ axis.minor.ticks.x.top : NULL
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## $ axis.minor.ticks.y.left : NULL
## $ axis.minor.ticks.y.right : NULL
## $ axis.minor.ticks.theta : NULL
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## $ axis.ticks.length : 'simpleUnit' num 2.75points
## ..- attr(*, "unit")= int 8
## $ axis.ticks.length.x : NULL
## $ axis.ticks.length.x.top : NULL
## $ axis.ticks.length.x.bottom : NULL
## $ axis.ticks.length.y : NULL
## $ axis.ticks.length.y.left : NULL
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## $ axis.minor.ticks.length : 'rel' num 0.75
## $ axis.minor.ticks.length.x : NULL
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## $ axis.minor.ticks.length.x.bottom: NULL
## $ axis.minor.ticks.length.y : NULL
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## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_blank" "element"
## $ axis.line.x : NULL
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## $ legend.background : list()
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_blank" "element"
## $ legend.margin : 'margin' num [1:4] 5.5points 5.5points 5.5points 5.5points
## ..- attr(*, "unit")= int 8
## $ legend.spacing : 'simpleUnit' num 11points
## ..- attr(*, "unit")= int 8
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## $ legend.key : list()
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_blank" "element"
## $ legend.key.size : 'simpleUnit' num 1.2lines
## ..- attr(*, "unit")= int 3
## $ legend.key.height : NULL
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## $ legend.key.spacing : 'simpleUnit' num 5.5points
## ..- attr(*, "unit")= int 8
## $ legend.key.spacing.x : NULL
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## $ legend.frame : NULL
## $ legend.ticks : NULL
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## $ legend.text :List of 11
## ..$ family : NULL
## ..$ face : NULL
## ..$ colour : NULL
## ..$ size : 'rel' num 0.8
## ..$ hjust : NULL
## ..$ vjust : NULL
## ..$ angle : NULL
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## ..$ margin : NULL
## ..$ debug : NULL
## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
## $ legend.text.position : NULL
## $ legend.title :List of 11
## ..$ family : NULL
## ..$ face : NULL
## ..$ colour : NULL
## ..$ size : NULL
## ..$ hjust : num 0
## ..$ vjust : NULL
## ..$ angle : NULL
## ..$ lineheight : NULL
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## ..$ debug : NULL
## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
## $ legend.title.position : NULL
## $ legend.position : chr "right"
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## ..- attr(*, "unit")= int 1
## $ legend.box.background : list()
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_blank" "element"
## $ legend.box.spacing : 'simpleUnit' num 11points
## ..- attr(*, "unit")= int 8
## [list output truncated]
## - attr(*, "class")= chr [1:2] "theme" "gg"
## - attr(*, "complete")= logi TRUE
## - attr(*, "validate")= logi TRUEPunto b) Dado que la función de densidad acumulativa es la integral de la de densidad, la de desidad es la derivada de la función de densidad acumulativa, es por eso que:
f.y5 = function(y){2*y*exp(-1*y^2)}#Se tuvo que derivar manualmente para obtener el resultado
df5_2 <- data.frame(x = y5_valores ,y = f.y5(y5_valores))
ggplot(df5_2, aes(x = x, y = y)) +
geom_line(size = 1.2, color="cyan") +
labs(title="Gráfica de la función de densidad",x="Cientos de horas",y="Probabilidad falla")
## List of 136
## $ line :List of 6
## ..$ colour : chr "black"
## ..$ linewidth : num 0.5
## ..$ linetype : num 1
## ..$ lineend : chr "butt"
## ..$ arrow : logi FALSE
## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_line" "element"
## $ rect :List of 5
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## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_rect" "element"
## $ text :List of 11
## ..$ family : chr ""
## ..$ face : chr "plain"
## ..$ colour : chr "black"
## ..$ size : num 11
## ..$ hjust : num 0.5
## ..$ vjust : num 0.5
## ..$ angle : num 0
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## ..$ margin : 'margin' num [1:4] 0points 0points 0points 0points
## .. ..- attr(*, "unit")= int 8
## ..$ debug : logi FALSE
## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
## $ title : NULL
## $ aspect.ratio : NULL
## $ axis.title : NULL
## $ axis.title.x :List of 11
## ..$ family : NULL
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## ..$ vjust : num 1
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## ..$ margin : 'margin' num [1:4] 2.75points 0points 0points 0points
## .. ..- attr(*, "unit")= int 8
## ..$ debug : NULL
## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
## $ axis.title.x.top :List of 11
## ..$ family : NULL
## ..$ face : NULL
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## ..$ size : NULL
## ..$ hjust : NULL
## ..$ vjust : num 0
## ..$ angle : NULL
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## ..$ margin : 'margin' num [1:4] 0points 0points 2.75points 0points
## .. ..- attr(*, "unit")= int 8
## ..$ debug : NULL
## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
## $ axis.title.x.bottom : NULL
## $ axis.title.y :List of 11
## ..$ family : NULL
## ..$ face : NULL
## ..$ colour : NULL
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## ..$ hjust : NULL
## ..$ vjust : num 1
## ..$ angle : num 90
## ..$ lineheight : NULL
## ..$ margin : 'margin' num [1:4] 0points 2.75points 0points 0points
## .. ..- attr(*, "unit")= int 8
## ..$ debug : NULL
## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
## $ axis.title.y.left : NULL
## $ axis.title.y.right :List of 11
## ..$ family : NULL
## ..$ face : NULL
## ..$ colour : NULL
## ..$ size : NULL
## ..$ hjust : NULL
## ..$ vjust : num 1
## ..$ angle : num -90
## ..$ lineheight : NULL
## ..$ margin : 'margin' num [1:4] 0points 0points 0points 2.75points
## .. ..- attr(*, "unit")= int 8
## ..$ debug : NULL
## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
## $ axis.text :List of 11
## ..$ family : NULL
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## ..$ hjust : NULL
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## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
## $ axis.text.x :List of 11
## ..$ family : NULL
## ..$ face : NULL
## ..$ colour : NULL
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## ..$ vjust : num 1
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## .. ..- attr(*, "unit")= int 8
## ..$ debug : NULL
## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
## $ axis.text.x.top :List of 11
## ..$ family : NULL
## ..$ face : NULL
## ..$ colour : NULL
## ..$ size : NULL
## ..$ hjust : NULL
## ..$ vjust : num 0
## ..$ angle : NULL
## ..$ lineheight : NULL
## ..$ margin : 'margin' num [1:4] 0points 0points 2.2points 0points
## .. ..- attr(*, "unit")= int 8
## ..$ debug : NULL
## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
## $ axis.text.x.bottom : NULL
## $ axis.text.y :List of 11
## ..$ family : NULL
## ..$ face : NULL
## ..$ colour : NULL
## ..$ size : NULL
## ..$ hjust : num 1
## ..$ vjust : NULL
## ..$ angle : NULL
## ..$ lineheight : NULL
## ..$ margin : 'margin' num [1:4] 0points 2.2points 0points 0points
## .. ..- attr(*, "unit")= int 8
## ..$ debug : NULL
## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
## $ axis.text.y.left : NULL
## $ axis.text.y.right :List of 11
## ..$ family : NULL
## ..$ face : NULL
## ..$ colour : NULL
## ..$ size : NULL
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## ..$ angle : NULL
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## ..$ margin : 'margin' num [1:4] 0points 0points 0points 2.2points
## .. ..- attr(*, "unit")= int 8
## ..$ debug : NULL
## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
## $ axis.text.theta : NULL
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## ..$ family : NULL
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## .. ..- attr(*, "unit")= int 8
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## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
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## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_blank" "element"
## $ axis.ticks.x : NULL
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## $ axis.minor.ticks.y.left : NULL
## $ axis.minor.ticks.y.right : NULL
## $ axis.minor.ticks.theta : NULL
## $ axis.minor.ticks.r : NULL
## $ axis.ticks.length : 'simpleUnit' num 2.75points
## ..- attr(*, "unit")= int 8
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## $ axis.minor.ticks.length : 'rel' num 0.75
## $ axis.minor.ticks.length.x : NULL
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## $ axis.line.r : NULL
## $ legend.background : list()
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_blank" "element"
## $ legend.margin : 'margin' num [1:4] 5.5points 5.5points 5.5points 5.5points
## ..- attr(*, "unit")= int 8
## $ legend.spacing : 'simpleUnit' num 11points
## ..- attr(*, "unit")= int 8
## $ legend.spacing.x : NULL
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## $ legend.key : list()
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_blank" "element"
## $ legend.key.size : 'simpleUnit' num 1.2lines
## ..- attr(*, "unit")= int 3
## $ legend.key.height : NULL
## $ legend.key.width : NULL
## $ legend.key.spacing : 'simpleUnit' num 5.5points
## ..- attr(*, "unit")= int 8
## $ legend.key.spacing.x : NULL
## $ legend.key.spacing.y : NULL
## $ legend.frame : NULL
## $ legend.ticks : NULL
## $ legend.ticks.length : 'rel' num 0.2
## $ legend.axis.line : NULL
## $ legend.text :List of 11
## ..$ family : NULL
## ..$ face : NULL
## ..$ colour : NULL
## ..$ size : 'rel' num 0.8
## ..$ hjust : NULL
## ..$ vjust : NULL
## ..$ angle : NULL
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## ..$ margin : NULL
## ..$ debug : NULL
## ..$ inherit.blank: logi TRUE
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_text" "element"
## $ legend.text.position : NULL
## $ legend.title :List of 11
## ..$ family : NULL
## ..$ face : NULL
## ..$ colour : NULL
## ..$ size : NULL
## ..$ hjust : num 0
## ..$ vjust : NULL
## ..$ angle : NULL
## ..$ lineheight : NULL
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## $ legend.byrow : NULL
## $ legend.justification : chr "center"
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## $ legend.box : NULL
## $ legend.box.just : NULL
## $ legend.box.margin : 'margin' num [1:4] 0cm 0cm 0cm 0cm
## ..- attr(*, "unit")= int 1
## $ legend.box.background : list()
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "element_blank" "element"
## $ legend.box.spacing : 'simpleUnit' num 11points
## ..- attr(*, "unit")= int 8
## [list output truncated]
## - attr(*, "class")= chr [1:2] "theme" "gg"
## - attr(*, "complete")= logi TRUE
## - attr(*, "validate")= logi TRUEPunto c)
p_transistor_opere_almeno_200h = 1-F.y5(2)
cat("La probabilidad de que el transisitor opere durante al menos 200 horas es de:",p_transistor_opere_almeno_200h)## La probabilidad de que el transisitor opere durante al menos 200 horas es de: 0.01831564Pregunta 6
Sea X una variable aleatoria con la función de densidad dada. a. Encuentre F(x) y dibújela. b. Encuentre su varianza. \[ f(x)= \begin{cases} (3/2)x^2+x, 0\geq x \geq 1 \\ 0, otros\casos \end{cases} \]
Respuesta
Punto a)
f.x6= function(x){1.5*x^2 + x }
F.x6 = function(x){integrate(f.x6, 0, x)$value}
x6_valores <- seq(0, 1, length.out = 1000)
df6 <- data.frame(x = x6_valores ,y = sapply(x6_valores, F.x6))
ggplot(df6, aes(x = x, y = y)) +
geom_line(size = 1.2, color="brown") +
labs(title="Gráfica de la función de densidad acumulativa",x="Cientos de horas",y="Probabilidad acumulativa falla")+
theme_minimal()
Punto b)
e.x6 = function(x){(x*(1.5*x^2 + x))}
val_e.x6 = integrate(e.x6,0,1)$value
e.x6_cuadrado = function(x){(x^2*(1.5*x^2 + x))}
val_e.x6_cuadrado = integrate(e.x6_cuadrado,0,1)$value
v.x6 = val_e.x6_cuadrado - val_e.x6^2
cat("La varianza es de: ",v.x6)## La varianza es de: 0.04826389