Project Probabilitas dan Statistika

Studi Kasus 1 - Uji Hipotesis bagi Rata-rata Data Berpasangan (Uji t)

1. Masukkan Data

lama <- c(50, 55, 48, 60, 52, 58, 45, 53, 56, 59)
baru <- c(48, 50, 47, 55, 53, 54, 40, 52, 56, 56)

2. Hitung Selisih

selisih <- lama - baru
n <- length(selisih)

rata2_selisih <- mean(selisih)
sd_selisih <- sd(selisih)

3. Menghitung t hitung dan t tabel

t_hit <- rata2_selisih / (sd_selisih / sqrt(n))

alpha <- 0.05
t_tabel <- qt(1 - alpha/2, df = n - 1)

4. Uji t dengan fungsi t.test()

hasil_uji <- t.test(lama, baru, paired = TRUE, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95)

5. Menampilkan Hasil

cat("============================\n")

## ============================

cat("  Hasil Uji & Interpretasi\n")

##   Hasil Uji & Interpretasi

cat("============================\n\n")

## ============================

cat("Hipotesis:\n")

## Hipotesis:

cat("H0 : μd = 0 (tidak ada perbedaan konsumsi energi)\n")

## H0 : μd = 0 (tidak ada perbedaan konsumsi energi)

cat("H1 : μd ≠ 0 (ada perbedaan konsumsi energi)\n\n")

## H1 : μd ≠ 0 (ada perbedaan konsumsi energi)

cat("Statistik Deskriptif:\n")

## Statistik Deskriptif:

cat(sprintf("Banyak data (n)              = %d\n", n))

## Banyak data (n)              = 10

cat(sprintf("Rata-rata selisih (d̄)        = %.4f\n", rata2_selisih))

## Rata-rata selisih (d̄)        = 2.5000

cat(sprintf("Simpangan baku selisih (sd)  = %.4f\n", sd_selisih))

## Simpangan baku selisih (sd)  = 2.2236

cat("\nStatistik Uji:\n")

## 
## Statistik Uji:

cat(sprintf("t hitung                     = %.4f\n", t_hit))

## t hitung                     = 3.5553

cat(sprintf("t tabel (α = 0.05, df = %d)   = ±%.4f\n", n - 1, t_tabel))

## t tabel (α = 0.05, df = 9)   = ±2.2622

cat("\nHasil Fungsi t.test():\n")

## 
## Hasil Fungsi t.test():

cat(sprintf("p-value                      = %.4f\n", hasil_uji$p.value))

## p-value                      = 0.0062

cat("\nKeputusan:\n")

## 
## Keputusan:

if (abs(t_hit) > t_tabel) {
  cat("Karena |t hitung| > t tabel, maka H0 ditolak.\n")
} else {
  cat("Karena |t hitung| ≤ t tabel, maka H0 gagal ditolak.\n")
}

## Karena |t hitung| > t tabel, maka H0 ditolak.

cat("\nKesimpulan:\n")

## 
## Kesimpulan:

if (hasil_uji$p.value < alpha) {
  cat("Terdapat perbedaan signifikan konsumsi energi antara sebelum dan sesudah menggunakan pelumas.\n")
} else {
  cat("Tidak terdapat perbedaan signifikan konsumsi energi antara sebelum dan sesudah menggunakan pelumas.\n")
}

## Terdapat perbedaan signifikan konsumsi energi antara sebelum dan sesudah menggunakan pelumas.

~ Perhitungan Manual Kasus 1

Tujuan:
Menguji apakah ada perbedaan konsumsi energi rata-rata sebelum dan sesudah menggunakan pelumas baru SynthoLube 9000.

Data:
Konsumsi Energi - Pelumas Lama (kWh/ton):
50, 55, 48, 60, 52, 58, 45, 53, 56, 59
Konsumsi Energi - Pelumas Baru (kWh/ton):
48, 50, 47, 55, 53, 54, 40, 52, 56, 56

Selisih (d = Lama − Baru):
2, 5, 1, 5, -1, 4, 5, 1, 0, 3

Hipotesis:

H₀ : μd = 0  (tidak ada perbedaan konsumsi energi)  
H₁ : μd ≠ 0  (ada perbedaan konsumsi energi)

Langkah-langkah Perhitungan:

1. Banyak data (n) = 10

2. Rata-rata selisih (𝑑̄):

   𝑑̄ = (2 + 5 + 1 + 5 - 1 + 4 + 5 + 1 + 0 + 3) / 10 = 25 / 10 = 2.5

3. Simpangan baku selisih (s):

   s² = Σ(d - 𝑑̄)² / (n - 1)
      = 44.5 / 9
      = 4.9444  
   s  = √4.9444 = 2.2236

4. Statistik uji (t hitung):

   t = 𝑑̄ / (s / √n)
     = 2.5 / (2.2236 / √10)
     = 2.5 / 0.7031
     = **3.5553**

5. Nilai kritis (t tabel):

   t tabel (α = 0.05, df = 9, dua arah) = ±2.2622

Keputusan:
Karena |t hitung| = 3.5553 > t tabel = 2.2622 → H₀ ditolak

Kesimpulan:
Terdapat perbedaan signifikan konsumsi energi antara sebelum dan sesudah menggunakan pelumas baru. SynthoLube 9000 terbukti memberikan pengaruh nyata terhadap konsumsi energi mesin tempa.

Lampiran Perhitungan Manual:

🔗 Lihat Lampiran di Google Drive)

Studi Kasus 2 - Uji Hipotesis bagi Dua Rata-rata Tidak Berpasangan (Uji t, Varians Tidak Sama)

1. Memasukkan Data

biosubur <- c(4.0, 5.5, 4.2, 5.3, 4.5, 5.0, 4.6, 5.1)
nutriprima <- c(5.2, 4.5, 5.5, 4.8, 5.0, 5.3, 4.6, 5.4, 4.7, 5.0)

2. Statistik Deskriptif

n1 <- length(biosubur)
n2 <- length(nutriprima)
rata1 <- mean(biosubur)
rata2 <- mean(nutriprima)
var1 <- var(biosubur)
var2 <- var(nutriprima)
sd1 <- sd(biosubur)
sd2 <- sd(nutriprima)

3. Menghitung t hitung dan t tabel

t_hit <- (rata1 - rata2) / sqrt((var1/n1) + (var2/n2))
df <- ((var1/n1 + var2/n2)^2) / (((var1/n1)^2)/(n1-1) + ((var2/n2)^2)/(n2-1))
alpha <- 0.10
t_tabel <- qt(alpha, df = floor(df))

4. Uji t dengan fungsi t.test()

hasil <- t.test(biosubur, nutriprima, alternative = "less", var.equal = FALSE, conf.level = 0.90)

5. Menampilkan Hasil

cat("============================\n")

## ============================

cat("  Hasil Uji & Interpretasi\n")

##   Hasil Uji & Interpretasi

cat("============================\n\n")

## ============================

cat("Hipotesis:\n")

## Hipotesis:

cat("H0 : μ1 ≥ μ2 (BioSubur tidak lebih rendah dari NutriPrima)\n")

## H0 : μ1 ≥ μ2 (BioSubur tidak lebih rendah dari NutriPrima)

cat("H1 : μ1 < μ2 (BioSubur lebih rendah dari NutriPrima)\n\n")

## H1 : μ1 < μ2 (BioSubur lebih rendah dari NutriPrima)

cat("Statistik Deskriptif:\n")

## Statistik Deskriptif:

cat(sprintf("n1 (BioSubur)               = %d\n", n1))

## n1 (BioSubur)               = 8

cat(sprintf("n2 (NutriPrima)             = %d\n", n2))

## n2 (NutriPrima)             = 10

cat(sprintf("Rata-rata BioSubur         = %.4f\n", rata1))

## Rata-rata BioSubur         = 4.7750

cat(sprintf("Rata-rata NutriPrima       = %.4f\n", rata2))

## Rata-rata NutriPrima       = 5.0000

cat(sprintf("Simpangan baku BioSubur    = %.4f\n", sd1))

## Simpangan baku BioSubur    = 0.5339

cat(sprintf("Simpangan baku NutriPrima  = %.4f\n", sd2))

## Simpangan baku NutriPrima  = 0.3464

cat("\nStatistik Uji:\n")

## 
## Statistik Uji:

cat(sprintf("t hitung                    = %.4f\n", t_hit))

## t hitung                    = -1.0310

cat(sprintf("t tabel (α = 0.10, df ≈ %d) = %.4f\n", floor(df), t_tabel))

## t tabel (α = 0.10, df ≈ 11) = -1.3634

cat("\nHasil dari fungsi t.test():\n")

## 
## Hasil dari fungsi t.test():

cat(sprintf("p-value                     = %.4f\n", hasil$p.value))

## p-value                     = 0.1619

cat("\nKeputusan:\n")

## 
## Keputusan:

if (t_hit < t_tabel) {
  cat("Karena t hitung < t tabel, maka H0 ditolak.\n")
} else {
  cat("Karena t hitung ≥ t tabel, maka H0 gagal ditolak.\n")
}

## Karena t hitung ≥ t tabel, maka H0 gagal ditolak.

cat("\nKesimpulan:\n")

## 
## Kesimpulan:

if (hasil$p.value < alpha) {
  cat("Terdapat bukti bahwa rata-rata hasil panen BioSubur lebih rendah dari NutriPrima.\n")
} else {
  cat("Tidak terdapat bukti yang cukup bahwa rata-rata hasil panen BioSubur lebih rendah dari NutriPrima.\n")
}

## Tidak terdapat bukti yang cukup bahwa rata-rata hasil panen BioSubur lebih rendah dari NutriPrima.

~ Perhitungan Manual Kasus 2

Tujuan:
Menguji apakah rata-rata hasil panen dengan pupuk BioSubur lebih rendah daripada pupuk NutriPrima.

Data:

• BioSubur (n₁ = 8): 4.0, 5.5, 4.2, 5.3, 4.5, 5.0, 4.6, 5.1
  
• NutriPrima (n₂ = 10): 5.2, 4.5, 5.5, 4.8, 5.0, 5.3, 4.6, 5.4, 4.7, 5.0

Hipotesis:

H₀ : μ₁ ≥ μ₂  (rata-rata hasil panen BioSubur tidak lebih rendah dari NutriPrima)  
H₁ : μ₁ < μ₂  (rata-rata hasil panen BioSubur lebih rendah dari NutriPrima)

Langkah-langkah Perhitungan:

1. Hitung rata-rata dan simpangan baku:

   BioSubur:
   x̄₁ = 4.775
   s₁ = 0.5042
   
   NutriPrima:
   x̄₂ = 5.000
   s₂ = 0.3227

2. Statistik uji (Welch’s t):

   t = (x̄₁ − x̄₂) / √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)
     = (4.775 − 5.000) / √(0.2542/8 + 0.1041/10)
     = -0.225 / √(0.031775 + 0.01041)
     = -0.225 / √0.042185
     = -0.225 / 0.2054
     = **-1.0958**

3. Derajat bebas (Welch-Satterthwaite approximation):

   df = (0.042185)² /
        [ (0.031775)² / 7 + (0.01041)² / 9 ]
      ≈ 13.94 → dibulatkan ke 13

4. Nilai kritis (t tabel):

   t tabel (α = 0.10, df = 13, satu arah kiri) = **−1.3502**

Keputusan:
t hitung = −1.0958 > t tabel = −1.3502 → H₀ gagal ditolak

Kesimpulan:
Tidak terdapat bukti statistik yang cukup bahwa rata-rata hasil panen BioSubur lebih rendah dari NutriPrima pada taraf signifikansi 10%. Maka, tidak dapat disimpulkan adanya perbedaan nyata antar kedua jenis pupuk berdasarkan data yang ada.

Lampiran Perhitungan Manual:

🔗 Lihat Lampiran di Google Drive)

Studi Kasus 3 - Uji Hipotesis bagi Rata-rata Satu Populasi (Uji t, σ tidak diketahui)

1. Memasukkan Data

x_bar <- 84       
mu0 <- 80         
s <- 9         
n <- 9            

2. Menghitung Statistik Uji dan Nilai Kritis

t_hit <- (x_bar - mu0) / (s / sqrt(n))
t_tabel <- qt(0.95, df = n - 1)

3. Menampilkan Hasil

cat("============================\n")

## ============================

cat("  Hasil Uji & Interpretasi\n")

##   Hasil Uji & Interpretasi

cat("============================\n\n")

## ============================

cat("Hipotesis:\n")

## Hipotesis:

cat("H0 : μ ≤ 80 (rata-rata tidak melebihi batas)\n")

## H0 : μ ≤ 80 (rata-rata tidak melebihi batas)

cat("H1 : μ > 80 (rata-rata melebihi batas)\n\n")

## H1 : μ > 80 (rata-rata melebihi batas)

cat("Diketahui:\n")

## Diketahui:

cat(sprintf("Rata-rata sampel (x̄)     = %.2f\n", x_bar))

## Rata-rata sampel (x̄)     = 84.00

cat(sprintf("Rata-rata hipotesis (μ₀)  = %.2f\n", mu0))

## Rata-rata hipotesis (μ₀)  = 80.00

cat(sprintf("Simpangan baku (s)  = %.2f\n", s))

## Simpangan baku (s)  = 9.00

cat(sprintf("Jumlah data (n)           = %d\n", n))

## Jumlah data (n)           = 9

cat("\nStatistik Uji:\n")

## 
## Statistik Uji:

cat(sprintf("t hitung                  = %.4f\n", t_hit))

## t hitung                  = 1.3333

cat(sprintf("t tabel (α = 0.05)        = %.4f\n", t_tabel))

## t tabel (α = 0.05)        = 1.8595

cat("\nKeputusan:\n")

## 
## Keputusan:

if (t_hit > t_tabel) {
  cat("Karena t hitung > t tabel, maka H0 ditolak.\n")
} else {
  cat("Karena t hitung ≤ t tabel, maka H0 gagal ditolak.\n")
}

## Karena t hitung ≤ t tabel, maka H0 gagal ditolak.

cat("\nKesimpulan:\n")

## 
## Kesimpulan:

if (t_hit > t_tabel) {
  cat("Terdapat bukti bahwa rata-rata kadar COD melebihi batas maksimum 80 mg/L.\n")
} else {
  cat("Tidak terdapat bukti bahwa rata-rata kadar COD melebihi batas maksimum 80 mg/L.\n")
}

## Tidak terdapat bukti bahwa rata-rata kadar COD melebihi batas maksimum 80 mg/L.

~ Perhitungan Manual Kasus 3

Tujuan:
Menguji apakah kadar COD air limbah PT. Tirta Jernih melebihi batas rata-rata 80 mg/L.

Data: - Rata-rata sampel (x̄) = 84
- Nilai ambang batas (μ₀) = 80
- Simpangan baku sampel (s) = 9
- Jumlah sampel (n) = 9
- Tingkat signifikansi (α) = 0.05

Hipotesis:

H₀ : μ ≤ 80  (kadar COD tidak melebihi ambang batas)  
H₁ : μ > 80  (kadar COD melebihi ambang batas)

Langkah-langkah Perhitungan:

1. Hitung statistik uji (t hitung):

   t = (x̄ − μ₀) / (s / √n)
     = (84 − 80) / (9 / √9)
     = 4 / (9 / 3)
     = 4 / 3
     = **1.3333**

2. Derajat bebas:

   df = n − 1 = 8

3. Nilai kritis t (t tabel satu arah kanan):

   t tabel (α = 0.05, df = 8) = **1.8595**

Keputusan:
Karena t hitung = 1.3333 < t tabel = 1.8595, maka H₀ gagal ditolak.

Kesimpulan:
Berdasarkan hasil uji statistik, tidak terdapat bukti yang cukup bahwa kadar COD rata-rata melebihi ambang batas 80 mg/L. Maka, tidak dapat diberi sanksi atau dianggap melanggar secara statistik oleh BLHD.

Lampiran Perhitungan Manual:

🔗 Lihat Lampiran di Google Drive)

Studi Kasus 4 - Uji Hipotesis Ragam Satu Populasi (Uji Chi-Square, σ² diketahui)

1. Memasukkan Data

skor <- c(35, 40, 48, 55, 60, 65, 70, 75, 82, 88, 95, 100)

2. Hitung Statistik Deskriptif dan Statistik Uji

n <- length(skor)
s2 <- var(skor)  

sigma2_0 <- 150

chi2_hit <- (n - 1) * s2 / sigma2_0

alpha <- 0.10
chi2_tabel <- qchisq(1 - alpha, df = n - 1)

3. Menampilkan Hasil

cat("============================\n")

## ============================

cat("  Hasil Uji & Interpretasi\n")

##   Hasil Uji & Interpretasi

cat("============================\n\n")

## ============================

cat("Hipotesis:\n")

## Hipotesis:

cat("H0 : σ² ≤ 150 (ragam sikap masyarakat tidak meningkat)\n")

## H0 : σ² ≤ 150 (ragam sikap masyarakat tidak meningkat)

cat("H1 : σ² > 150 (ragam sikap meningkat)\n\n")

## H1 : σ² > 150 (ragam sikap meningkat)

cat("Statistik Deskriptif:\n")

## Statistik Deskriptif:

cat(sprintf("Jumlah data (n)           = %d\n", n))

## Jumlah data (n)           = 12

cat(sprintf("Ragam sampel (s²)         = %.4f\n", s2))

## Ragam sampel (s²)         = 446.9318

cat("\nStatistik Uji:\n")

## 
## Statistik Uji:

cat(sprintf("Chi-square hitung         = %.4f\n", chi2_hit))

## Chi-square hitung         = 32.7750

cat(sprintf("Chi-square tabel (α = 0.10, df = %d) = %.4f\n", n - 1, chi2_tabel))

## Chi-square tabel (α = 0.10, df = 11) = 17.2750

cat("\nKeputusan:\n")

## 
## Keputusan:

if (chi2_hit > chi2_tabel) {
  cat("Karena Chi-square hitung > Chi-square tabel, maka H0 ditolak.\n")
} else {
  cat("Karena Chi-square hitung ≤ Chi-square tabel, maka H0 gagal ditolak.\n")
}

## Karena Chi-square hitung > Chi-square tabel, maka H0 ditolak.

cat("\nKesimpulan:\n")

## 
## Kesimpulan:

if (chi2_hit > chi2_tabel) {
  cat("Terdapat bukti bahwa keragaman sikap masyarakat terhadap kebijakan AI lebih tinggi dari biasanya.\n")
} else {
  cat("Tidak terdapat bukti yang cukup bahwa keragaman sikap masyarakat terhadap kebijakan AI meningkat.\n")
}

## Terdapat bukti bahwa keragaman sikap masyarakat terhadap kebijakan AI lebih tinggi dari biasanya.

~ Perhitungan Manual Kasus 4

Tujuan:
Menguji apakah ragam skor sikap masyarakat terhadap kebijakan AI lebih besar dari 150.

Data:

Skor Sikap Responden (n = 12):
35, 40, 48, 55, 60, 65, 70, 75, 82, 88, 95, 100

Ragam historis: σ₀² = 150
Taraf signifikansi: α = 0.10
Hipotesis:

H₀: σ² ≤ 150 (ragam tidak meningkat)  
H₁: σ² > 150 (ragam meningkat)

Langkah-langkah Perhitungan:

1. Hitung rata-rata:

   x̄ = (35 + 40 + ... + 100) / 12 = 70.25

2. Hitung ragam sampel (s²):

   s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)
      = 2093.0 / 11
      = **190.27**

3. Statistik uji:

   χ² = (n − 1) * s² / σ₀²
       = (12 − 1) * 190.27 / 150
       = 11 * 190.27 / 150
       = 2092.97 / 150
       = **32.775**

4. Nilai kritis (chi-square tabel):

   df = n − 1 = 11  
   χ² tabel (α = 0.10, df = 11) = **17.2750**

Keputusan:
χ² hitung = 32.77 < χ² tabel = 17.2750 → H₀ gagal ditolak

Kesimpulan:
Tidak terdapat bukti statistik yang cukup untuk menyimpulkan bahwa ragam sikap masyarakat terhadap kebijakan AI lebih besar dari 150. Variasi yang terjadi kemungkinan masih dalam batas wajar berdasarkan variabilitas historis.

Lampiran Perhitungan Manual:

🔗 Lihat Lampiran di Google Drive)

Studi Kasus 5 - Uji Hipotesis bagi Rata-rata Satu Populasi (Uji Z, σ diketahui)

1. Memasukkan Data

n <- 36
x_bar <- 41.2
mu0 <- 40
sigma <- 3
alpha <- 0.05

2. Hitung Z hitung dan Z tabel

z_hit <- (x_bar - mu0) / (sigma / sqrt(n))

z_tabel <- qnorm(1 - alpha/2)

p_value <- 2 * pnorm(abs(z_hit), lower.tail = FALSE)

3. Menampilkan Hasil

cat("============================\n")

## ============================

cat("  Hasil Uji & Interpretasi\n")

##   Hasil Uji & Interpretasi

cat("============================\n\n")

## ============================

cat("Hipotesis:\n")

## Hipotesis:

cat("H0 : μ = 40 (tidak ada perubahan rata-rata kekuatan beton)\n")

## H0 : μ = 40 (tidak ada perubahan rata-rata kekuatan beton)

cat("H1 : μ ≠ 40 (ada perubahan rata-rata kekuatan beton)\n\n")

## H1 : μ ≠ 40 (ada perubahan rata-rata kekuatan beton)

cat("Statistik Diketahui:\n")

## Statistik Diketahui:

cat(sprintf("Rata-rata sampel (x̄)      = %.2f\n", x_bar))

## Rata-rata sampel (x̄)      = 41.20

cat(sprintf("Rata-rata hipotesis (μ₀)   = %.2f\n", mu0))

## Rata-rata hipotesis (μ₀)   = 40.00

cat(sprintf("Simpangan baku (σ)         = %.2f\n", sigma))

## Simpangan baku (σ)         = 3.00

cat(sprintf("Jumlah data (n)            = %d\n", n))

## Jumlah data (n)            = 36

cat("\nStatistik Uji:\n")

## 
## Statistik Uji:

cat(sprintf("Z hitung                   = %.4f\n", z_hit))

## Z hitung                   = 2.4000

cat(sprintf("Z tabel (α = 0.05)         = ±%.4f\n", z_tabel))

## Z tabel (α = 0.05)         = ±1.9600

cat(sprintf("p-value                    = %.4f\n", p_value))

## p-value                    = 0.0164

cat("\nKeputusan:\n")

## 
## Keputusan:

if (abs(z_hit) > z_tabel) {
  cat("Karena |Z hitung| > Z tabel, maka H0 ditolak.\n")
} else {
  cat("Karena |Z hitung| ≤ Z tabel, maka H0 gagal ditolak.\n")
}

## Karena |Z hitung| > Z tabel, maka H0 ditolak.

cat("\nKesimpulan:\n")

## 
## Kesimpulan:

if (p_value < alpha) {
  cat("Terdapat bukti bahwa aditif polimer mengubah rata-rata kekuatan beton secara signifikan.\n")
} else {
  cat("Tidak terdapat bukti yang cukup bahwa aditif polimer mengubah rata-rata kekuatan beton.\n")
}

## Terdapat bukti bahwa aditif polimer mengubah rata-rata kekuatan beton secara signifikan.

~ Perhitungan Manual Kasus 5

Tujuan:
Menguji apakah aditif polimer baru menyebabkan perubahan yang signifikan pada rata-rata kekuatan tekan beton dari standar 40 MPa.

Diketahui:

• n = 36 (jumlah sampel)
  

• x̄ = 41.2 MPa (rata-rata kekuatan tekan)
  

• σ = 3 MPa (simpangan baku populasi diketahui)
  

• μ₀ = 40 MPa (standar kekuatan tekan)
  

• α = 0.05
  

• Uji dua arah
  

• Hipotesis:

  H₀: μ = 40  
  H₁: μ ≠ 40

Langkah-langkah Perhitungan:

1. Hitung statistik uji Z:

   Z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)
     = (41.2 − 40) / (3 / √36)
     = 1.2 / (3 / 6)
     = 1.2 / 0.5
     = **2.4**

2. Nilai kritis Z (dua arah):

   Z tabel (α = 0.05) = ±1.96

Keputusan:
|Z hitung| = 2.4 > Z tabel = 1.96 → H₀ ditolak

Kesimpulan:
Terdapat bukti statistik yang cukup untuk menyimpulkan bahwa aditif polimer menyebabkan perubahan signifikan pada kekuatan tekan beton. Maka, Budi dapat melaporkan bahwa perbedaan 1.2 MPa bukanlah hasil dari variasi acak semata.

Lampiran Perhitungan Manual:

🔗 Lihat Lampiran di Google Drive)

Studi Kasus 6 - Uji Hipotesis bagi Proporsi Satu Populasi (Uji z Proporsi)

1. Masukkan Data

x <- 87         
n <- 300        
p0 <- 0.35      
p_hat <- x / n  
alpha <- 0.10

2. Hitung Z hitung dan Z tabel

z_hit <- (p_hat - p0) / sqrt(p0 * (1 - p0) / n)

z_tabel <- qnorm(alpha)

p_value <- pnorm(z_hit)

3. Menampilkan Hasil

cat("============================\n")

## ============================

cat("  Hasil Uji & Interpretasi\n")

##   Hasil Uji & Interpretasi

cat("============================\n\n")

## ============================

cat("Hipotesis:\n")

## Hipotesis:

cat("H0 : p ≥ 0.35 (proporsi tidak menurun)\n")

## H0 : p ≥ 0.35 (proporsi tidak menurun)

cat("H1 : p < 0.35 (proporsi menurun)\n\n")

## H1 : p < 0.35 (proporsi menurun)

cat("Statistik Deskriptif:\n")

## Statistik Deskriptif:

cat(sprintf("Jumlah responden (n)       = %d\n", n))

## Jumlah responden (n)       = 300

cat(sprintf("Jumlah menyebar hoaks (x)  = %d\n", x))

## Jumlah menyebar hoaks (x)  = 87

cat(sprintf("Proporsi sampel (p̂)        = %.4f\n", p_hat))

## Proporsi sampel (p̂)        = 0.2900

cat("\nStatistik Uji:\n")

## 
## Statistik Uji:

cat(sprintf("Z hitung                   = %.4f\n", z_hit))

## Z hitung                   = -2.1788

cat(sprintf("Z tabel (α = 0.10)         = %.4f\n", z_tabel))

## Z tabel (α = 0.10)         = -1.2816

cat(sprintf("p-value                    = %.4f\n", p_value))

## p-value                    = 0.0147

cat("\nKeputusan:\n")

## 
## Keputusan:

if (z_hit < z_tabel) {
  cat("Karena Z hitung < Z tabel, maka H0 ditolak.\n")
} else {
  cat("Karena Z hitung ≥ Z tabel, maka H0 gagal ditolak.\n")
}

## Karena Z hitung < Z tabel, maka H0 ditolak.

cat("\nKesimpulan:\n")

## 
## Kesimpulan:

if (p_value < alpha) {
  cat("Terdapat bukti signifikan bahwa kampanye menurunkan proporsi penyebaran hoaks.\n")
} else {
  cat("Tidak terdapat bukti yang cukup bahwa kampanye menurunkan proporsi penyebaran hoaks.\n")
}

## Terdapat bukti signifikan bahwa kampanye menurunkan proporsi penyebaran hoaks.

~ Perhitungan Manual Kasus 6

Tujuan:
Menguji apakah proporsi warga yang pernah menyebarkan hoaks setelah kampanye lebih rendah dari baseline 35%.

Diketahui:

• n = 300 (jumlah responden)
  

• x = 87 (jumlah warga yang mengaku menyebarkan hoaks)
  

• p̂ = 87 / 300 = 0.29
  

• p₀ = 0.35 (proporsi benchmark)
  

• α = 0.10
  

• Hipotesis:

  H₀: p ≥ 0.35  
  H₁: p < 0.35

Langkah-langkah Perhitungan:

1. Hitung statistik uji Z:

   Z = (p̂ − p₀) / √[p₀(1 − p₀)/n]
     = (0.29 − 0.35) / √[0.35 × 0.65 / 300]
     = (−0.06) / √(0.2275 / 300)
     = (−0.06) / √0.0007583
     = (−0.06) / 0.02754
     = **−2.1783**

2. Nilai kritis Z (satu arah kiri):

   Z tabel (α = 0.10) = **−1.2816**

Keputusan:
Z hitung = −2.1783 < Z tabel = −1.2816 → H₀ ditolak

Kesimpulan:
Terdapat bukti statistik yang cukup bahwa proporsi warga yang menyebarkan hoaks setelah kampanye lebih rendah dari 35%. Ini menunjukkan bahwa kampanye “Bijak Bersuara” efektif menurunkan penyebaran hoaks secara tidak sengaja.

Lampiran Perhitungan Manual:

🔗 Lihat Lampiran di Google Drive)

Studi Kasus 7 - Uji Hipotesis Dua Rata-rata dengan Ragam Populasi Diketahui (Uji Z Dua Sampel)

1. Menampilkan Data

alfa <- c(75.01, 74.98, 75.03, 74.95, 75.00,
          75.05, 74.97, 75.02, 74.99, 75.04)

beta <- c(75.05, 74.96, 75.08, 74.94, 75.02, 75.09,
          74.95, 75.06, 74.97, 75.10, 75.03, 74.99)

2. Hitung Rata-rata dan Ukuran Sampel

x1_bar <- mean(alfa)
x2_bar <- mean(beta)

n1 <- length(alfa)
n2 <- length(beta)

sigma1 <- sqrt(0.0025)  
sigma2 <- sqrt(0.0036)  

3. Hitung Z hitung dan Z tabel

selisih_rata <- x1_bar - x2_bar
se <- sqrt((sigma1^2 / n1) + (sigma2^2 / n2))
z_hit <- selisih_rata / se

alpha <- 0.05
z_tabel <- qnorm(1 - alpha/2)
p_value <- 2 * pnorm(abs(z_hit), lower.tail = FALSE)

4. Menampilkan Hasil

cat("============================\n")

## ============================

cat("  Hasil Uji & Interpretasi\n")

##   Hasil Uji & Interpretasi

cat("============================\n\n")

## ============================

cat("Hipotesis:\n")

## Hipotesis:

cat("H0 : μ1 = μ2 (tidak ada perbedaan diameter rata-rata)\n")

## H0 : μ1 = μ2 (tidak ada perbedaan diameter rata-rata)

cat("H1 : μ1 ≠ μ2 (ada perbedaan diameter rata-rata)\n\n")

## H1 : μ1 ≠ μ2 (ada perbedaan diameter rata-rata)

cat("Statistik Deskriptif:\n")

## Statistik Deskriptif:

cat(sprintf("Rata-rata Lini Alfa       = %.4f\n", x1_bar))

## Rata-rata Lini Alfa       = 75.0040

cat(sprintf("Rata-rata Lini Beta       = %.4f\n", x2_bar))

## Rata-rata Lini Beta       = 75.0200

cat(sprintf("σ Lini Alfa (populasi)    = %.4f\n", sigma1))

## σ Lini Alfa (populasi)    = 0.0500

cat(sprintf("σ Lini Beta (populasi)    = %.4f\n", sigma2))

## σ Lini Beta (populasi)    = 0.0600

cat(sprintf("n Alfa = %d, n Beta = %d\n", n1, n2))

## n Alfa = 10, n Beta = 12

cat("\nStatistik Uji:\n")

## 
## Statistik Uji:

cat(sprintf("Z hitung                  = %.4f\n", z_hit))

## Z hitung                  = -0.6822

cat(sprintf("Z tabel (α = 0.05)        = ±%.4f\n", z_tabel))

## Z tabel (α = 0.05)        = ±1.9600

cat(sprintf("p-value                   = %.4f\n", p_value))

## p-value                   = 0.4951

cat("\nKeputusan:\n")

## 
## Keputusan:

if (abs(z_hit) > z_tabel) {
  cat("Karena |Z hitung| > Z tabel, maka H0 ditolak.\n")
} else {
  cat("Karena |Z hitung| ≤ Z tabel, maka H0 gagal ditolak.\n")
}

## Karena |Z hitung| ≤ Z tabel, maka H0 gagal ditolak.

cat("\nKesimpulan:\n")

## 
## Kesimpulan:

if (p_value < alpha) {
  cat("Terdapat perbedaan signifikan rata-rata diameter bearing antara Lini Alfa dan Beta.\n")
} else {
  cat("Tidak terdapat bukti perbedaan signifikan rata-rata diameter bearing antara Lini Alfa dan Beta.\n")
}

## Tidak terdapat bukti perbedaan signifikan rata-rata diameter bearing antara Lini Alfa dan Beta.

~ Perhitungan Manual Kasus 7

Tujuan:
Menguji apakah terdapat perbedaan signifikan rata-rata diameter luar bearing antara Lini Alfa dan Lini Beta.

Diketahui:

• Data Lini Alfa (n₁ = 10):
  75.01, 74.98, 75.03, 74.95, 75.00, 75.05, 74.97, 75.02, 74.99, 75.04
  

• Data Lini Beta (n₂ = 12):
  75.05, 74.96, 75.08, 74.94, 75.02, 75.09, 74.95, 75.06, 74.97, 75.10, 75.03, 74.99
  

• σ₁² = 0.0025 ⇒ σ₁ = 0.05
  

• σ₂² = 0.0036 ⇒ σ₂ = 0.06
  

• α = 0.05
  

• Hipotesis:

  H₀: μ₁ = μ₂  
  H₁: μ₁ ≠ μ₂

Langkah-langkah Perhitungan:

1. Hitung rata-rata sampel:

   x̄₁ (Alfa) = 75.004  
   x̄₂ (Beta) = 75.0133

2. Hitung statistik uji Z:

   Z = (x̄₁ − x̄₂) / √[(σ₁²/n₁) + (σ₂²/n₂)]
     = (75.004 − 75.0133) / √[(0.0025/10) + (0.0036/12)]
     = (−0.0093) / √(0.00025 + 0.0003)
     = (−0.0093) / √0.00055
     = (−0.0093) / 0.02345
     = **−0.3966**

3. Nilai kritis:

   Z tabel (α = 0.05, dua arah) = ±1.96

Keputusan:
|Z hitung| = 0.3966 < Z tabel = 1.96 → H₀ gagal ditolak

Kesimpulan:
Tidak terdapat bukti statistik yang cukup untuk menyatakan bahwa terdapat perbedaan rata-rata diameter luar bearing antara Lini Alfa dan Lini Beta. Perbedaan yang tampak kemungkinan besar disebabkan oleh variasi acak.

Lampiran Perhitungan Manual:

🔗 Lihat Lampiran di Google Drive)

Studi Kasus 8 - Uji Hipotesis Dua Proporsi Populasi (Uji z Proporsi, Satu Arah Kanan)

1. Masukkan Data

x1 <- 48    
n1 <- 400   

x2 <- 45    
n2 <- 500   

p1 <- x1 / n1
p2 <- x2 / n2

p_pooled <- (x1 + x2) / (n1 + n2)

alpha <- 0.01

2. Hitung Z hitung dan Z tabel

z_hit <- (p1 - p2) / sqrt(p_pooled * (1 - p_pooled) * (1/n1 + 1/n2))

z_tabel <- qnorm(1 - alpha)

p_value <- pnorm(z_hit, lower.tail = FALSE)

3. Menampilkan Hasil

cat("============================\n")

## ============================

cat("  Hasil Uji & Interpretasi\n")

##   Hasil Uji & Interpretasi

cat("============================\n\n")

## ============================

cat("Hipotesis:\n")

## Hipotesis:

cat("H0 : p1 ≤ p2 (Tenso понижена tidak lebih buruk dari Normopress)\n")

## H0 : p1 ≤ p2 (Tenso понижена tidak lebih buruk dari Normopress)

cat("H1 : p1 > p2 (Tenso понижена lebih buruk dalam hal batuk kering)\n\n")

## H1 : p1 > p2 (Tenso понижена lebih buruk dalam hal batuk kering)

cat("Statistik Deskriptif:\n")

## Statistik Deskriptif:

cat(sprintf("Proporsi Tenso понижена     = %.4f (%d dari %d)\n", p1, x1, n1))

## Proporsi Tenso понижена     = 0.1200 (48 dari 400)

cat(sprintf("Proporsi Normopress         = %.4f (%d dari %d)\n", p2, x2, n2))

## Proporsi Normopress         = 0.0900 (45 dari 500)

cat(sprintf("Proporsi gabungan (p̂)       = %.4f\n", p_pooled))

## Proporsi gabungan (p̂)       = 0.1033

cat("\nStatistik Uji:\n")

## 
## Statistik Uji:

cat(sprintf("Z hitung                    = %.4f\n", z_hit))

## Z hitung                    = 1.4692

cat(sprintf("Z tabel (α = 0.01)          = %.4f\n", z_tabel))

## Z tabel (α = 0.01)          = 2.3263

cat(sprintf("p-value                     = %.4f\n", p_value))

## p-value                     = 0.0709

cat("\nKeputusan:\n")

## 
## Keputusan:

if (z_hit > z_tabel) {
  cat("Karena Z hitung > Z tabel, maka H0 ditolak.\n")
} else {
  cat("Karena Z hitung ≤ Z tabel, maka H0 gagal ditolak.\n")
}

## Karena Z hitung ≤ Z tabel, maka H0 gagal ditolak.

cat("\nKesimpulan:\n")

## 
## Kesimpulan:

if (p_value < alpha) {
  cat("Terdapat bukti signifikan bahwa Tenso понижена memiliki proporsi batuk kering lebih tinggi dibandingkan Normopress.\n")
} else {
  cat("Tidak terdapat bukti yang cukup bahwa Tenso понижена memiliki proporsi batuk kering lebih tinggi.\n")
}

## Tidak terdapat bukti yang cukup bahwa Tenso понижена memiliki proporsi batuk kering lebih tinggi.

~ Perhitungan Manual Kasus 8

Tujuan:
Menguji apakah proporsi pasien yang mengalami batuk kering pada obat Tenso понижена lebih tinggi dibandingkan Normopress.

Diketahui:

• Tenso понижена (n₁ = 400, x₁ = 48) → p̂₁ = 48 / 400 = 0.12
  

• Normopress (n₂ = 500, x₂ = 45) → p̂₂ = 45 / 500 = 0.09
  

• α = 0.01
  

• Hipotesis:

  H₀: p₁ ≤ p₂  
  H₁: p₁ > p₂

Langkah-langkah Perhitungan:

1. Hitung proporsi gabungan:

   p̂ = (x₁ + x₂) / (n₁ + n₂)
      = (48 + 45) / (400 + 500)
      = 93 / 900
      = **0.1033**

2. Hitung standar error dan statistik uji Z:

   SE = √[p̂ × (1 − p̂) × (1/n₁ + 1/n₂)]
      = √[0.1033 × 0.8967 × (1/400 + 1/500)]
      = √[0.0926 × 0.0045]
      = √0.000417
      = **0.0204**
   
   Z = (p̂₁ − p̂₂) / SE
     = (0.12 − 0.09) / 0.0204
     = 0.03 / 0.0204
     = **1.4706**

3. Nilai kritis:

   Z tabel (α = 0.01, satu arah kanan) = **2.3263**

Keputusan:
Z hitung = 1.4706 < Z tabel = 2.3263 → H₀ gagal ditolak

Kesimpulan:
Tidak terdapat bukti statistik yang cukup pada taraf signifikansi 1% bahwa proporsi pasien yang mengalami batuk kering akibat Tenso понижена lebih tinggi dibandingkan Normopress. Dengan demikian, kekhawatiran Dr. Zulaikha belum dapat dibuktikan secara signifikan secara statistik.

Lampiran Perhitungan Manual:

🔗 Lihat Lampiran di Google Drive)

Studi Kasus 9 - Uji Hipotesis Dua Rata-rata Tidak Berpasangan (Uji t Satu Arah, Varians Sama)

1. Masukkan Data

inovatif <- c(2650, 2750, 2500, 2800, 2670, 2730, 2530, 2770, 2700)
klasik   <- c(2600, 2700, 2450, 2730, 2530, 2670, 2550)

2. Statistik Deskriptif dan Pooled Variance

n1 <- length(inovatif)
n2 <- length(klasik)

rata1 <- mean(inovatif)
rata2 <- mean(klasik)

sd1 <- sd(inovatif)
sd2 <- sd(klasik)

var1 <- var(inovatif)
var2 <- var(klasik)

sp2 <- ((n1 - 1)*var1 + (n2 - 1)*var2) / (n1 + n2 - 2)
sp <- sqrt(sp2)

3. Hitung t hitung dan t tabel

t_hit <- (rata1 - rata2) / (sp * sqrt(1/n1 + 1/n2))
df <- n1 + n2 - 2

alpha <- 0.01
t_tabel <- qt(1 - alpha, df)
p_value <- pt(t_hit, df, lower.tail = FALSE)

4. Menampilkan Hasil

cat("============================\n")

## ============================

cat("  Hasil Uji & Interpretasi\n")

##   Hasil Uji & Interpretasi

cat("============================\n\n")

## ============================

cat("Hipotesis:\n")

## Hipotesis:

cat("H0 : μ_inovatif ≤ μ_klasik (tidak lebih tahan abrasi)\n")

## H0 : μ_inovatif ≤ μ_klasik (tidak lebih tahan abrasi)

cat("H1 : μ_inovatif > μ_klasik (lebih tahan abrasi)\n\n")

## H1 : μ_inovatif > μ_klasik (lebih tahan abrasi)

cat("Statistik Deskriptif:\n")

## Statistik Deskriptif:

cat(sprintf("Rata-rata Inovatif         = %.2f\n", rata1))

## Rata-rata Inovatif         = 2677.78

cat(sprintf("Rata-rata Klasik           = %.2f\n", rata2))

## Rata-rata Klasik           = 2604.29

cat(sprintf("Simpangan baku Inovatif    = %.2f\n", sd1))

## Simpangan baku Inovatif    = 103.78

cat(sprintf("Simpangan baku Klasik      = %.2f\n", sd2))

## Simpangan baku Klasik      = 101.30

cat("\nStatistik Uji:\n")

## 
## Statistik Uji:

cat(sprintf("t hitung                   = %.4f\n", t_hit))

## t hitung                   = 1.4197

cat(sprintf("t tabel (α = 0.01, df = %d) = %.4f\n", df, t_tabel))

## t tabel (α = 0.01, df = 14) = 2.6245

cat(sprintf("p-value                    = %.4f\n", p_value))

## p-value                    = 0.0888

cat("\nKeputusan:\n")

## 
## Keputusan:

if (t_hit > t_tabel) {
  cat("Karena t hitung > t tabel, maka H0 ditolak.\n")
} else {
  cat("Karena t hitung ≤ t tabel, maka H0 gagal ditolak.\n")
}

## Karena t hitung ≤ t tabel, maka H0 gagal ditolak.

cat("\nKesimpulan:\n")

## 
## Kesimpulan:

if (p_value < alpha) {
  cat("Terdapat bukti signifikan bahwa Metode Inovatif lebih tahan abrasi dibandingkan Metode Klasik.\n")
} else {
  cat("Tidak terdapat bukti yang cukup bahwa Metode Inovatif lebih tahan abrasi dibandingkan Metode Klasik.\n")
}

## Tidak terdapat bukti yang cukup bahwa Metode Inovatif lebih tahan abrasi dibandingkan Metode Klasik.

~ Perhitungan Manual Kasus 9

Tujuan:
Menguji apakah Metode Inovatif memberikan ketahanan abrasi yang lebih tinggi secara signifikan dibandingkan Metode Klasik.

Diketahui:

• Metode Inovatif (n₁ = 9):
  2650, 2750, 2500, 2800, 2670, 2730, 2530, 2770, 2700
  

• Metode Klasik (n₂ = 7):
  2600, 2700, 2450, 2730, 2530, 2670, 2550
  

• α = 0.01
  

• Asumsi: varians kedua populasi dianggap sama
  

• Hipotesis:

  H₀: μ₁ ≤ μ₂  
  H₁: μ₁ > μ₂

Langkah-langkah Perhitungan:

1. Hitung rata-rata dan simpangan baku:

   x̄₁ = 2689.44     |   s₁ = 108.97  
   x̄₂ = 2604.29     |   s₂ = 97.85  

2. Ragam gabungan (pooled variance):

   s_p² = [(n₁ − 1)·s₁² + (n₂ − 1)·s₂²] / (n₁ + n₂ − 2)
        = [(8)(11877.1) + (6)(9573.6)] / 14
        = (95016.8 + 57441.6) / 14
        = 152458.4 / 14
        = 10889.89
   
   s_p = √10889.89 = **104.39**

3. Hitung t hitung:

   t = (x̄₁ − x̄₂) / [s_p × √(1/n₁ + 1/n₂)]
     = (2689.44 − 2604.29) / [104.39 × √(1/9 + 1/7)]
     = 85.15 / [104.39 × √0.2698]
     = 85.15 / (104.39 × 0.5195)
     = 85.15 / 54.21
     = **1.5704**

4. Derajat bebas:

   df = n₁ + n₂ − 2 = 14

5. Nilai kritis:

   t tabel (α = 0.01, df = 14) = **2.6245**

Keputusan:
t hitung = 1.5704 < t tabel = 2.6245 → H₀ gagal ditolak

Kesimpulan:
Tidak terdapat bukti statistik yang cukup untuk menyimpulkan bahwa Metode Inovatif menghasilkan ketahanan abrasi yang lebih tinggi secara signifikan dibandingkan Metode Klasik pada taraf signifikansi 1%. Maka, klaim superioritas metode baru belum dapat dibuktikan secara statistik.

Lampiran Perhitungan Manual:

🔗 Lihat Lampiran di Google Drive)

Studi Kasus 10 - Uji Hipotesis Rata-rata Satu Populasi (Uji Z, σ diketahui, Satu Arah Kiri)

1. Masukkan Data

mu0 <- 1100      
x_bar <- 1091    
sigma <- 25      
n <- 40          
alpha <- 0.05

2. Hitung Z hitung dan Z tabel

z_hit <- (x_bar - mu0) / (sigma / sqrt(n))

z_tabel <- qnorm(alpha)

p_value <- pnorm(z_hit)

3. Menampilkan Hasil

cat("============================\n")

## ============================

cat("  Hasil Uji & Interpretasi\n")

##   Hasil Uji & Interpretasi

cat("============================\n\n")

## ============================

cat("Hipotesis:\n")

## Hipotesis:

cat("H0 : μ ≥ 1100 (tidak ada penurunan suhu rata-rata)\n")

## H0 : μ ≥ 1100 (tidak ada penurunan suhu rata-rata)

cat("H1 : μ < 1100 (terjadi penurunan suhu rata-rata)\n\n")

## H1 : μ < 1100 (terjadi penurunan suhu rata-rata)

cat("Statistik Diketahui:\n")

## Statistik Diketahui:

cat(sprintf("Rata-rata sampel (x̄)      = %.2f\n", x_bar))

## Rata-rata sampel (x̄)      = 1091.00

cat(sprintf("Rata-rata hipotesis (μ₀)   = %.2f\n", mu0))

## Rata-rata hipotesis (μ₀)   = 1100.00

cat(sprintf("Simpangan baku (σ)         = %.2f\n", sigma))

## Simpangan baku (σ)         = 25.00

cat(sprintf("Jumlah data (n)            = %d\n", n))

## Jumlah data (n)            = 40

cat("\nStatistik Uji:\n")

## 
## Statistik Uji:

cat(sprintf("Z hitung                   = %.4f\n", z_hit))

## Z hitung                   = -2.2768

cat(sprintf("Z tabel (α = 0.05)         = %.4f\n", z_tabel))

## Z tabel (α = 0.05)         = -1.6449

cat(sprintf("p-value                    = %.4f\n", p_value))

## p-value                    = 0.0114

cat("\nKeputusan:\n")

## 
## Keputusan:

if (z_hit < z_tabel) {
  cat("Karena Z hitung < Z tabel, maka H0 ditolak.\n")
} else {
  cat("Karena Z hitung ≥ Z tabel, maka H0 gagal ditolak.\n")
}

## Karena Z hitung < Z tabel, maka H0 ditolak.

cat("\nKesimpulan:\n")

## 
## Kesimpulan:

if (p_value < alpha) {
  cat("Terdapat bukti signifikan bahwa sistem pendinginan baru MENURUNKAN suhu operasional sudu turbin.\n")
} else {
  cat("Tidak terdapat bukti yang cukup bahwa sistem pendinginan baru menurunkan suhu secara signifikan.\n")
}

## Terdapat bukti signifikan bahwa sistem pendinginan baru MENURUNKAN suhu operasional sudu turbin.

~ Perhitungan Manual Kasus 10

Tujuan:
Menguji apakah rata-rata suhu operasional sudu turbin dengan sistem pendinginan baru secara signifikan lebih rendah dari 1100°C.

Diketahui:

• n = 40 (jumlah sampel)
  

• x̄ = 1091°C (rata-rata suhu sampel)
  

• μ₀ = 1100°C (rata-rata historis)
  

• σ = 25°C (simpangan baku populasi diketahui)
  

• α = 0.05
  

• Hipotesis:

  H₀: μ ≥ 1100  
  H₁: μ < 1100

Langkah-langkah Perhitungan:

1. Hitung statistik uji Z:

   Z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)
     = (1091 − 1100) / (25 / √40)
     = (−9) / (25 / 6.3246)
     = (−9) / 3.9528
     = **−2.2769**

2. Nilai kritis:

   Z tabel (α = 0.05, satu arah kiri) = **−1.6449**

Keputusan:
Z hitung = −2.2769 < Z tabel = −1.6449 → H₀ ditolak

Kesimpulan:
Terdapat bukti statistik yang kuat bahwa sistem pendinginan baru secara signifikan menurunkan suhu operasional sudu turbin. Maka, Ibu Rina dapat meyakinkan dewan direksi bahwa sistem baru ini memang efektif, bukan sekadar hasil kebetulan dari variasi pengujian.

Lampiran Perhitungan Manual:

🔗 Lihat Lampiran di Google Drive)

Studi Kasus 11 - Uji Hipotesis Perbandingan Dua Ragam (Uji F)

1. Masukkan Data

M1 <- c(74.97, 75.03, 74.95, 75.05, 75.00, 74.93, 75.07,
        74.98, 75.02, 74.96, 75.04, 74.94, 75.06)

M2 <- c(74.98, 75.02, 75.00, 74.97, 75.03, 74.99, 75.01,
        74.96, 75.04, 75.00)

2. Hitung Ragam dan Statistik Uji F

n1 <- length(M1)
n2 <- length(M2)

var1 <- var(M1)  
var2 <- var(M2)  

F_hit <- var1 / var2

alpha <- 0.10
df1 <- n1 - 1
df2 <- n2 - 1

F_tabel <- qf(alpha, df1 = df1, df2 = df2, lower.tail = FALSE)

p_value <- pf(F_hit, df1, df2, lower.tail = FALSE)

3. Menampilkan Hasil

cat("============================\n")

## ============================

cat("  Hasil Uji & Interpretasi\n")

##   Hasil Uji & Interpretasi

cat("============================\n\n")

## ============================

cat("Hipotesis:\n")

## Hipotesis:

cat("H0 : σ1² ≤ σ2² (ragam Mesin M1 tidak lebih besar)\n")

## H0 : σ1² ≤ σ2² (ragam Mesin M1 tidak lebih besar)

cat("H1 : σ1² > σ2² (ragam Mesin M1 lebih besar → M2 lebih konsisten)\n\n")

## H1 : σ1² > σ2² (ragam Mesin M1 lebih besar → M2 lebih konsisten)

cat("Statistik Deskriptif:\n")

## Statistik Deskriptif:

cat(sprintf("Ragam Mesin M1 (s1²)       = %.6f\n", var1))

## Ragam Mesin M1 (s1²)       = 0.002317

cat(sprintf("Ragam Mesin M2 (s2²)       = %.6f\n", var2))

## Ragam Mesin M2 (s2²)       = 0.000667

cat("\nStatistik Uji:\n")

## 
## Statistik Uji:

cat(sprintf("F hitung                   = %.4f\n", F_hit))

## F hitung                   = 3.4750

cat(sprintf("F tabel (α = 0.10, df1 = %d, df2 = %d) = %.4f\n", df1, df2, F_tabel))

## F tabel (α = 0.10, df1 = 12, df2 = 9) = 2.3789

cat(sprintf("p-value                    = %.4f\n", p_value))

## p-value                    = 0.0348

cat("\nKeputusan:\n")

## 
## Keputusan:

if (F_hit > F_tabel) {
  cat("Karena F hitung > F tabel, maka H0 ditolak.\n")
} else {
  cat("Karena F hitung ≤ F tabel, maka H0 gagal ditolak.\n")
}

## Karena F hitung > F tabel, maka H0 ditolak.

cat("\nKesimpulan:\n")

## 
## Kesimpulan:

if (p_value < alpha) {
  cat("Terdapat bukti signifikan bahwa Mesin M2 lebih konsisten dari Mesin M1 (ragam lebih kecil).\n")
} else {
  cat("Tidak terdapat bukti yang cukup bahwa Mesin M2 lebih konsisten dari Mesin M1.\n")
}

## Terdapat bukti signifikan bahwa Mesin M2 lebih konsisten dari Mesin M1 (ragam lebih kecil).

~ Perhitungan Manual Kasus 11

Tujuan:
Menguji apakah Mesin M2 menghasilkan diameter piston dengan ragam lebih kecil dibandingkan Mesin M1 (lebih konsisten).

Diketahui:

• Mesin M1 (n₁ = 13):
  74.97, 75.03, 74.95, 75.05, 75.00, 74.93, 75.07, 74.98, 75.02, 74.96, 75.04, 74.94, 75.06
  

• Mesin M2 (n₂ = 10):
  74.98, 75.02, 75.00, 74.97, 75.03, 74.99, 75.01, 74.96, 75.04, 75.00
  

• α = 0.10
  

• Hipotesis:

  H₀: σ₁² ≤ σ₂²  (Mesin M1 tidak lebih bervariasi)
  H₁: σ₁² > σ₂²  (Mesin M1 lebih bervariasi → M2 lebih konsisten)

Langkah-langkah Perhitungan:

1. Hitung ragam sampel:

   s₁² (M1) = 0.002077  
   s₂² (M2) = 0.000622  

2. Hitung F hitung:

   F = s₁² / s₂²
     = 0.002077 / 0.000622
     = **3.339**

3. Derajat bebas:

   df₁ = n₁ − 1 = 12  
   df₂ = n₂ − 1 = 9

4. Nilai kritis F (uji satu arah kiri): Karena kita ingin menguji apakah σ₂² < σ₁², kita posisikan F = s₁² / s₂², dan kita bandingkan dengan F tabel upper (karena pembuktian arah kiri melalui pembagian besar terhadap kecil):

   F tabel (α = 0.10, df₁ = 12, df₂ = 9) = **2.49** (nilai kritis atas)

Keputusan:
F hitung = 3.339 > F tabel = 2.49 → H₀ ditolak

Kesimpulan:
Terdapat bukti statistik yang cukup bahwa ragam diameter piston dari Mesin M2 lebih kecil dibandingkan Mesin M1. Artinya, Mesin M2 lebih konsisten dalam menghasilkan piston sesuai harapan Dr. Fenny.

Lampiran Perhitungan Manual:

🔗 Lihat Lampiran di Google Drive)

Studi Kasus 12 - Uji Hipotesis Perbedaan Rata-rata Lebih dari Dua Kelompok (One-Way ANOVA)

1. Masukkan Data

A <- c(75, 80, 72, 78, 70)                     
B <- c(82, 88, 85, 90, 80, 86)                 
C <- c(88, 92, 95, 85, 90, 87, 93)             
D <- c(78, 82, 80, 75, 85, 77)                 

nilai <- c(A, B, C, D)
metode <- factor(c(
  rep("A", length(A)),
  rep("B", length(B)),
  rep("C", length(C)),
  rep("D", length(D))
))

2. Uji ANOVA dan Perhitungan Statistik

anova_result <- aov(nilai ~ metode)

summary_result <- summary(anova_result)

3. Menampilkan Hasil

cat("============================\n")

## ============================

cat("  Hasil Uji & Interpretasi\n")

##   Hasil Uji & Interpretasi

cat("============================\n\n")

## ============================

cat("Hipotesis:\n")

## Hipotesis:

cat("H0 : μA = μB = μC = μD (tidak ada perbedaan rata-rata skor)\n")

## H0 : μA = μB = μC = μD (tidak ada perbedaan rata-rata skor)

cat("H1 : Setidaknya ada dua rata-rata yang berbeda\n\n")

## H1 : Setidaknya ada dua rata-rata yang berbeda

cat("Statistik Uji ANOVA:\n")

## Statistik Uji ANOVA:

print(summary_result)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)    
## metode       3  764.6  254.88   18.31 5.9e-06 ***
## Residuals   20  278.3   13.92                    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

F_hit <- summary_result[[1]]$`F value`[1]
p_value <- summary_result[[1]]$`Pr(>F)`[1]

alpha <- 0.05
cat(sprintf("\nF hitung                   = %.4f\n", F_hit))

## 
## F hitung                   = 18.3144

cat(sprintf("p-value                    = %.4f\n", p_value))

## p-value                    = 0.0000

cat("\nKeputusan:\n")

## 
## Keputusan:

if (p_value < alpha) {
  cat("Karena p-value < 0.05, maka H0 ditolak.\n")
} else {
  cat("Karena p-value ≥ 0.05, maka H0 gagal ditolak.\n")
}

## Karena p-value < 0.05, maka H0 ditolak.

cat("\nKesimpulan:\n")

## 
## Kesimpulan:

if (p_value < alpha) {
  cat("Terdapat perbedaan signifikan rata-rata skor proyek akhir antara beberapa metode pengajaran.\n")
} else {
  cat("Tidak terdapat bukti signifikan perbedaan rata-rata skor proyek akhir antara keempat metode pengajaran.\n")
}

## Terdapat perbedaan signifikan rata-rata skor proyek akhir antara beberapa metode pengajaran.

~ Perhitungan Manual Kasus 12

Tujuan:
Menguji apakah terdapat perbedaan yang signifikan dalam rata-rata skor proyek akhir siswa berdasarkan empat metode pengajaran yang berbeda.

Data Skor Proyek Final:

• Metode A (n₁ = 5): 75, 80, 72, 78, 70
  
• Metode B (n₂ = 6): 82, 88, 85, 90, 80, 86
  
• Metode C (n₃ = 7): 88, 92, 95, 85, 90, 87, 93
  
• Metode D (n₄ = 6): 78, 82, 80, 75, 85, 77

Langkah-langkah Perhitungan:

1. Hitung rata-rata tiap kelompok:

   x̄_A = 75.0  
   x̄_B = 85.17  
   x̄_C = 90.0  
   x̄_D = 79.5  

2. Hitung rata-rata total:

   Total skor = 375 + 511 + 630 + 477 = 1993  
   Jumlah data = 5 + 6 + 7 + 6 = 24  
   x̄_total = 1993 / 24 = **83.04**

3. Hitung Jumlah Kuadrat Antar-Kelompok (SSB):

   SSB = n₁(x̄_A − x̄_total)² + n₂(x̄_B − x̄_total)² + n₃(x̄_C − x̄_total)² + n₄(x̄_D − x̄_total)²
       = 5(75.0 − 83.04)² + 6(85.17 − 83.04)² + 7(90.0 − 83.04)² + 6(79.5 − 83.04)²
       = 5(64.65) + 6(4.55) + 7(48.45) + 6(12.49)
       = 323.25 + 27.3 + 339.15 + 74.94
       = **764.64**

4. Hitung Jumlah Kuadrat Dalam-Kelompok (SSW):
   Hitung total variasi dalam tiap kelompok (Σ(xᵢ − x̄)²), lalu jumlahkan:

   SSW = SSA + SSB + SSC + SSD
   SSA = 74, SSB = 63.7, SSC = 72, SSD = 60.5  
   SSW = **270.2**

5. Hitung derajat bebas:

   df_total = 24 − 1 = 23  
   df_bet = k − 1 = 4 − 1 = 3  
   df_with = 24 − 4 = 20

6. Hitung Mean Square:

   MSB = SSB / df_bet = 764.64 / 3 = 254.88  
   MSW = SSW / df_with = 270.2 / 20 = 13.51

7. Hitung F hitung:

   F = MSB / MSW = 254.88 / 13.51 = **18.86**

8. Nilai kritis F:

   F tabel (α = 0.05, df1 = 3, df2 = 20) = **3.10**

Keputusan:
F hitung = 18.86 > F tabel = 3.10 → H₀ ditolak

Kesimpulan:
Terdapat perbedaan signifikan dalam rata-rata skor proyek akhir antar metode pengajaran. Artinya, metode pembelajaran memberikan pengaruh berbeda terhadap hasil belajar siswa secara statistik.

Lampiran Perhitungan Manual:

🔗 Lihat Lampiran di Google Drive)