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Para construir el intervalo de confianza para el cociente de varianzas \(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\), utilizamos la distribución \(F\) de Fisher-Snedecor.

Datos proporcionados: - Desviación estándar muestra 1 (\(s_1\)): 5.2 - Desviación estándar muestra 2 (\(s_2\)): 4.8 - Tamaño muestra 1 (\(n_1\)): 30 - Tamaño muestra 2 (\(n_2\)): 25 - Nivel de confianza: 95%

Paso 1: Calcular las varianzas muestrales \[ s_1^2 = (5.2)^2 = 27.04 \] \[ s_2^2 = (4.8)^2 = 23.04 \]

Paso 2: Obtener los grados de libertad \[ gl_1 = n_1 - 1 = 30 - 1 = 29 \quad \text{(grados de libertad del numerador)} \] \[ gl_2 = n_2 - 1 = 25 - 1 = 24 \quad \text{(grados de libertad del denominador)} \]

Paso 3: Buscar los valores críticos de la distribución \(F\) Para un nivel de confianza del 95%, los valores críticos \(F_{\alpha/2}\) y \(F_{1-\alpha/2}\) son: - \(F_{0.025}(29, 24)\) (límite inferior) - \(F_{0.975}(29, 24)\) (límite superior)

Usando tablas \(F\) o una calculadora estadística: \[ F_{0.025}(29, 24) \approx 0.476 \quad \text{y} \quad F_{0.975}(29, 24) \approx 2.154 \]

Paso 4: Construir el intervalo de confianza El intervalo para \(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\) está dado por: \[ \left( \frac{s_1^2}{s_2^2} \cdot \frac{1}{F_{1-\alpha/2}}, \frac{s_1^2}{s_2^2} \cdot \frac{1}{F_{\alpha/2}} \right) \]

Sustituyendo los valores: \[ \left( \frac{27.04}{23.04} \cdot \frac{1}{2.154}, \frac{27.04}{23.04} \cdot \frac{1}{0.476} \right) \] \[ \left( 1.173 \cdot 0.464, 1.173 \cdot 2.101 \right) \] \[ \left( 0.544, 2.465 \right) \]

Respuesta final: El intervalo de confianza del 95% para el cociente de varianzas \(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\) es: \[ \boxed{(0.544,\ 2.465)} \] #Intervalo de Confianza para el Cociente de Varianzas en R

19.3. Ejemplo práctico

Datos del Problema

Tenemos los siguientes datos muestrales:
- Desviación estándar muestra 1 (\(s_1\)): 5.2
- Desviación estándar muestra 2 (\(s_2\)): 4.8
- Tamaño muestra 1 (\(n_1\)): 30
- Tamaño muestra 2 (\(n_2\)): 25
- Nivel de confianza: 95%

Paso 1: Calcular el cociente de varianzas muestrales

El cociente observado es:

\[ \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{5.2^2}{4.8^2} = \frac{27.04}{23.04} \approx 1.1736 \]

##Paso 1: Calcular el cociente de varianzas

# Paso 1: Calcular el cociente de varianzas
s1 <- 5.2
s2 <- 4.8
n1 <- 30
n2 <- 25

ratio_observado <- (s1^2) / (s2^2)
ratio_observado
## [1] 1.173611

##Paso 2: Intervalo de confianza

# Paso 2: Intervalo de confianza
alpha <- 0.05
gl1 <- n1 - 1
gl2 <- n2 - 1

# Valores críticos F
f_izq <- qf(1 - alpha/2, df1 = gl1, df2 = gl2)
f_der <- qf(alpha/2, df1 = gl1, df2 = gl2)

# Intervalo de confianza
limite_inferior <- ratio_observado / f_izq
limite_superior <- ratio_observado / f_der

c(limite_inferior, limite_superior)
## [1] 0.5292633 2.5279654

##Visualización Gráfica

# Librería para gráficos
library(ggplot2)

# Recalculamos valores por si acaso
alpha <- 0.05
gl1 <- n1 - 1
gl2 <- n2 - 1
f_izq <- qf(1 - alpha/2, df1 = gl1, df2 = gl2)
f_der <- qf(alpha/2, df1 = gl1, df2 = gl2)
lower_bound <- ratio_observado / f_izq
upper_bound <- ratio_observado / f_der
conf.level <- 0.95

# Data frame
df <- data.frame(
  Estadistico = "Cociente varianzas",
  Valor = ratio_observado,
  Lower = lower_bound,
  Upper = upper_bound
)

# Gráfico con colores pasteles
ggplot(df, aes(x = Estadistico, y = Valor)) +
  geom_point(size = 4, color = "#89CFF0") +  # azul pastel
  geom_errorbar(aes(ymin = Lower, ymax = Upper), width = 0.2, color = "#FFB6C1", linewidth = 1.5) +  # rosado pastel
  geom_hline(yintercept = 1, linetype = "dashed", color = "#90EE90") +  # verde pastel
  labs(title = "Intervalo de confianza para el cociente de varianzas",
       subtitle = paste0("Nivel de confianza del ", conf.level * 100, "%"),
       y = expression(frac(sigma[1]^2, sigma[2]^2)),
       x = "") +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(
    plot.title = element_text(face = "bold", color = "#444444"),
    plot.subtitle = element_text(color = "#777777"),
    axis.text = element_text(color = "#555555")
  ) +
  scale_y_continuous(limits = c(0, upper_bound * 1.1))