Parcial Probabilidad

Primer ejercicio

Algunos casos de historias clínicas indican que diferentes enfermedades producen síntomas idénticos.

Suponga que un conjunto particular de síntomas, denotado como H, se presenta sólo con cualquiera de tres enfermedades, I1, I2 o I3.

Suponga que la presentación simultánea de más de una de estas enfermedades es imposible y que P(I1) = 0.01, P(I2) = 0.005, P(I3) = 0.02.

Las probabilidades de desarrollar el conjunto de síntomas H, dada cada una de estas enfermedades, se sabe que son:

                                    P(H | I1) = 0.90, P(H | I2) = 0.95, P(H | I3) = 0.75
  1. Elabore un dataframe que resuma la información.
  2. Suponiendo que una persona enferma presenta los síntomas, H, ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga la enfermedad I1?
## [1] "A) Dataframe"
##   enfermedad probabilidad proba_sintomas
## 1         I1        0.001           0.90
## 2         I2        0.005           0.95
## 3         I3        0.020           0.75
## [1] "B) Probabilidad de tener I1"
## La probabilidad de que la persona tenga la enfermedad I1 si presenta los síntomas H es: 0.3130435

Segundo ejercicio

Un grupo grande de personas se examinará para ver si presentan dos síntomas comunes de cierta enfermedad. Se piensa que 20% de las personas tienen sólo el síntoma A, 30% sólo el síntoma B, 10% tienen ambos síntomas y el resto no tiene ningún síntoma.

  1. Elabore un dataframe que resuma la información del problema.
  2. Para una persona escogida al azar de este grupo, encuentre la probabilidad de que la persona tiene ambos síntomas, dado que tiene el síntoma B.
## [1] "A) Dataframe"
##      tipo probabilidad
## 1       A          0.2
## 2       B          0.3
## 3   A y B          0.1
## 4 Ninguno          0.4
## [1] "B) Probabilidad tener ambos sintomas"
## La probabilidad de que la persona tenga ambos síntomas dado que tiene el síntoma B es: 0.25

Tercer ejercicio

Sea X una variable aleatoria con f(x) dada en la siguiente tabla.

  1. Dibuje la función de probabilidad.
  2. Obtenga la función de distribución, F(x) y, con base en ella, encuentre F(2.5)
x 1 2 3 4
f(x) 0.4 0.3 0.2 0.1 

## 
## 2. Valor de F(2.5): 0.7

Cuarto ejercicio

Suponga que X tiene la siguiente función de densidad dada abajo

  1. Dibuje la función de densidad (debe encontrar el valor de k)
  2. Encuentre F(x)
  3. Encuentre P(X < 0.4 | X < 0.8)

\[ f(x) = \begin{cases} \ kx(1-x), & \ 0<= x <= 0 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \]

## [1] "A) Calcule k y grafique"

## [1] "B) Encuentre F(x)"

## [1] "C) Encuentre P(X < 0.4 | X < 0.8)"
## Constante k: 6
## P(X < 0.4 | X < 0.8): 0.3928571

Quinto ejercicio

El tiempo de falla (en cientos de horas) para un transistor es una variable aleatoria Y con función de distribución dada abajo.

  1. Dibuje F(y)
  2. Dibuje f(y)
  3. Encuentre la probabilidad de que el transistor opere durante al menos 200 horas.

\[ f(y) = \begin{cases} \ 0, & \ y<0 \\ 1 - e^{-y^2}, & \ y>=0 \end{cases} \]

## [1] "A) Gráfico de F(y)"

## [1] "B) Gráfico f(y)"

## [1] "C) Probabilidad"
## Probabilidad de operar al menos 200 horas P(Y ≥ 2) = 0.0183

Sexto ejercicio

Sea X una variable aleatoria con la función de densidad dada.

  1. Encuentre F(x) y dibújela.
  2. Encuentre su varianza.

\[ f(x) = \begin{cases} \ (3/2)x^2+x, & \ 0<= x <= 2 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \]

## [1] "A) Encontrar F(x) y dibujarla"

## [1] "B) Calcular la varianza"
## Varianza Var(X) = -61.51111