Úvod a cieľ projektu

Plošné integrály - významný nástroj v aplikovanej matematike

Praktické využitie:

• Fyzika (tok elektrického/magnetického poľa)
• Geometria (plocha zakrivených povrchov)
  
• Mechanika tekutín

Cieľ projektu: Riešenie dvoch typov plošných integrálov s vizualizáciou

Teoretické pozadie

Plošný integrál skalárnej funkcie \[\iint_S f(x, y, z)\, dS\]

Pri parametrizácii: \[\iint_D f(\vec{r}(u, v)) \left\| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right\|\, du\, dv\]

Plošný integrál vektorového poľa \[\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}\]

Pri parametrizácii: \[\iint_D \vec{F}(\vec{r}(u, v)) \cdot \left( \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right)\, du\, dv\]

Príklad 1: Plošný integrál skalárnej funkcie

Úloha: Vypočítať \(\iint_S z \, dS\) cez paraboloid

• Povrch: \(z = 4 - x^2 - y^2\), kde \(x^2 + y^2 \leq 4\)
• Funkcia: \(f(x,y,z) = z\)
• Parametrizácia: Polárne súradnice \((r, \theta)\)

Výsledok: 60.2441

Teoretická hodnota: 32π/3 ≈ 33.5103

Vizualizácia paraboloidu

Tok vektorového poľa cez hemisféru

Úloha: Vypočítať tok \(\vec{F} = (x, y, z)\) cez hemisféru

• Povrch: \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\), kde \(z \geq 0\)
• Vektorové pole: \(\vec{F} = (x, y, z)\)
• Parametrizácia: Guľové súradnice \((\theta, \phi)\)

Výsledok: 6.2832

Teoretická hodnota: 2π ≈ 6.2832

Súhrn výsledkov

Presnosť: Numerické výsledky sa zhodujú s teoretickými hodnotami

Použité metódy a nástroje

Numerické metódy:

• Dvojité numerické integrály (dblquad)
• Vhodné parametrizácie povrchov
• Polárne a guľové súradnice

R knižnice:

• pracma - numerické integrály
• plotly - 3D vizualizácia
• viridis - farebné škály

Parametrizácie:

Paraboloid: \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(z = 4 - r^2\)

Hemisféra: \(x = \sin\phi\cos\theta\), \(y = \sin\phi\sin\theta\), \(z = \cos\phi\)

Záver

Úspešne riešené dva typy plošných integrálov

Numerické metódy poskytli presné výsledky

3D vizualizácie umožňujú lepšie pochopenie geometrie

Praktická aplikácia v matematickom modelovaní fyzikálnych javov

Výsledky potvrdzujú teoretické predpovede a demonštrujú efektívnosť numerických prístupov pri riešení komplexných matematických problémov.