Foto de Fabiana Ariza Monsalve

Fabiana Ariza Monsalve

Matemático*

Estudiante de maestría en Estadística Aplicada y Ciencia de Datos**

*Universidad de Cartagena, Bolívar, Colombia.

**Universidad Tecnológica de Bolívar, Bolívar, Colombia.

1 Problema. Selección de empleados

Un empresario desea escoger 4 empleados de un grupo de hojas de vida que ha enumerado con los siguientes 10 dígitos:

\[ \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \]

La pregunta es:
¿De cuántas formas distintas puede seleccionar 4 empleados diferentes?

1.0.1 Solución

Se trata de un problema de combinaciones sin repetición, ya que:

  • Los empleados no se repiten.
  • El orden en que se seleccionan no importa.

Por tanto, aplicamos la fórmula de la combinación:

\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!} \]

Donde:

  • \(n = 10\): total de candidatos (dígitos distintos),
  • \(r = 4\): número de empleados a seleccionar.

\[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \]

1.0.2 ✅ Respuesta final

\[ \boxed{210\text{ formas distintas}} \]

¿Y si variamos a \(r\)?

Prueba las distintas combinaciones con esta tabla interactiva:

Gráfico

combs <- choose(10, 1:10)
barplot(combs,
        names.arg = 1:10,
        col = "steelblue",
        main = "Número de combinaciones \u2714",
        xlab = "r",
        ylab = expression(Combinaciones))

2 Problema. Construcción de número de 4 cifras sin repetir dígitos

Un psicólogo le pide a un niño que construya un número de 4 cifras sin repetir ningún dígito.

La pregunta es:
¿De cuántas formas se puede construir este número?

2.0.1 Solución

Este es un problema de variaciones sin repetición, ya que:

  • No se repiten los dígitos.
  • El orden importa (porque cada cifra ocupa una posición diferente en el número).

Los dígitos posibles son del 0 al 9, es decir:

\[ \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \]

Sin embargo, como es un número de 4 cifras, la primera cifra no puede ser 0.

✏️ Paso 1: Elegir la primera cifra (≠ 0)
Hay 9 opciones (del 1 al 9):

\[ \text{Primer dígito: } 9\text{ opciones} \]

✏️ Paso 2: Elegir la segunda cifra (excluyendo la usada)
Quedan 9 dígitos disponibles (incluido el 0):

\[ \text{Segundo dígito: } 9\text{ opciones} \]

✏️ Paso 3: Elegir el tercer dígito
Quedan 8 dígitos:

\[ \text{Tercer dígito: } 8\text{ opciones} \]

✏️ Paso 4: Elegir el cuarto dígito
Quedan 7 dígitos:

\[ \text{Cuarto dígito: } 7\text{ opciones} \]

Multiplicamos las posibilidades:

\[ 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536 \]

2.0.2 ✅ Respuesta final

\[ \boxed{4536\text{ formas distintas de construir el número de 4 cifras}} \] 

library(ggplot2)

pasos <- data.frame(
  Paso = c("Primer dígito", "Segundo dígito", "Tercer dígito", "Cuarto dígito"),
  Opciones = c(9, 9, 8, 7)
)

ggplot(pasos, aes(x = Paso, y = Opciones, fill = Paso)) +
  geom_col() +
  labs(title = "Opciones por cada posición del número de 4 cifras",
       y = "Número de opciones") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none")

3 Problema. Organización en orden de llegada

En mi curso de Teoría de Probabilidad participan 12 estudiantes, de los cuales:

  • 4 son mujeres
  • 8 son hombres

Todos deciden asistir a clases presenciales.
El profesor quiere organizarlos en orden de llegada.

¿De cuántas formas distintas puede hacerlo?

3.0.1 Solución

Este es un problema de permutaciones, ya que:

  • Todos los estudiantes son distintos
  • El orden importa (orden de llegada)

Entonces aplicamos la fórmula de permutaciones de \(n\) elementos distintos:

\[ P(n) = n! \]

Donde \(n = 12\):

\[ P(12) = 12! = 479001600 \]

3.0.2 ✅ Respuesta final

\[ \boxed{479001600\text{ formas distintas}} \]

4 Problema. Organización de estudiantes en sillas

En un curso de Teoría de Probabilidad participan 12 estudiantes, 4 Mujeres y 8 Hombres, que deciden ir a clases presenciales.

El profesor quiere organizarlos en orden de llegada, pero con la siguiente condición:
Una mujer se sienta en la primera silla, seguida de dos hombres, luego otra mujer, seguida de dos hombres, y así sucesivamente hasta que se sienten todos.

La pregunta es:
¿De cuántas formas diferentes puede organizarlos cumpliendo esta regla?

4.0.1 Solución

Primero, observamos el patrón que debe seguir la organización:

  • Total de estudiantes: 12
  • Mujeres: 4
  • Hombres: 8

El orden debe ser:

\[ M - H - H - M - H - H - M - H - H - M - H - H \]

Esto es, 4 mujeres intercaladas con 8 hombres en grupos de dos.

✏️ Paso 1: Número de formas de ordenar a las mujeres

Las 4 mujeres pueden sentarse en las 4 posiciones asignadas para ellas. Como son distintas y el orden importa, el número de formas es:

\[ 4! = 24 \]

✏️ Paso 2: Número de formas de ordenar a los hombres

Los 8 hombres deben ocupar las 8 posiciones asignadas para ellos (las sillas 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11 y 12). Como todos son diferentes y el orden importa, el número de formas es:

\[ 8! = 40\,320 \]

✏️ Paso 3: Número total de formas

Como estas dos elecciones son independientes (la posición de las mujeres y la de los hombres), multiplicamos:

\[ 4! \times 8! = 24 \times 40\,320 = 967\,680 \]

4.0.2 ✅ Respuesta final

\[ \boxed{967\,680 \text{ formas diferentes}} \]

5 Problema. Agrupación por género

En un curso de Teoría de Probabilidad participan 12 estudiantes, de los cuales 4 son Mujeres y 8 son Hombres. Todos deciden asistir a clases presenciales.

El profesor desea organizarlos de tal forma que los hombres se sienten juntos y las mujeres también se sienten juntas.

La pregunta es:
¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse cumpliendo esta condición?

5.0.1 Solución

Este es un problema de permutaciones con restricciones, ya que:

  • Existen dos grupos (Mujeres y Hombres) que deben estar agrupados internamente, sin mezclarse.
  • Dentro de cada grupo, los estudiantes son diferentes, por lo que pueden reordenarse internamente.
  • Además, los dos bloques (grupo de mujeres y grupo de hombres) pueden ocupar distintas posiciones entre ellos.

✏️ Paso 1: Permutar a los estudiantes dentro de cada grupo

  • Los 8 hombres pueden ordenarse entre ellos de:

\[ 8! = 40\,320 \text{ formas} \]

  • Las 4 mujeres pueden ordenarse entre ellas de:

\[ 4! = 24 \text{ formas} \]

✏️ Paso 2: Permutar los dos bloques (grupo de hombres y grupo de mujeres)

Los bloques se pueden organizar en:

\[ 2! = 2 \text{ formas (hombres primero o mujeres primero)} \]

✏️ Paso 3: Multiplicar todas las opciones posibles

El total de formas posibles de sentarlos cumpliendo la condición es:

\[ 8! \times 4! \times 2! = 40\,320 \times 24 \times 2 = 1\,935\,360 \]

5.0.2 ✅ Respuesta final

\[ \boxed{1\,935\,360 \text{ formas distintas}} \]

5.0.3 🌐 Interactividad en línea

¿Quieres probar una versión interactiva para experimentar con distintos números de estudiantes y ver el resultado con íconos visuales?

Haz clic en el siguiente botón para explorarla:

🚀 Probar versión interactiva

6 Problema. Agrupación de hombres juntos

En mi curso de Teoría de Probabilidad participan 12 estudiantes:
4 Mujeres y 8 Hombres que deciden ir a clases presenciales.

Se desea saber:

¿De cuántas formas distintas pueden sentarse si los hombres se sientan juntos, pero las mujeres no tienen restricciones?

6.0.1 Solución

Nos enfrentamos a un problema de permutaciones con restricción de agrupamiento:

  • Los 8 hombres deben sentarse juntos ⇒ se agrupan como un solo bloque.
  • Las 4 mujeres se pueden sentar en cualquier lugar, no necesariamente juntas.

🔹 Entonces, tenemos en total 5 bloques para ordenar:

  • 1 bloque de hombres (todo el grupo junto),
  • 4 mujeres (individuales).

\[ \text{Bloques: } \underbrace{H_1\text{-}H_8}_\text{juntos},\ M_1,\ M_2,\ M_3,\ M_4 \]

✏️ Paso 1: Permutación de los bloques

Hay 5 bloques distintos (el bloque de hombres cuenta como 1), por lo tanto:

\[ \text{Formas de ordenar los bloques} = 5! = 120 \]

✏️ Paso 2: Permutación de los hombres dentro de su bloque

Los 8 hombres pueden ordenarse entre sí de:

\[ 8! = 40,\!320 \]

✏️ Paso 3: Permutación de las mujeres

Las 4 mujeres también pueden permutarse entre sí:

\[ 4! = 24 \]

6.0.2 ✅ Respuesta final

\[ \boxed{ 5! \cdot 8! \cdot 4! = 120 \cdot 40,\!320 \cdot 24 = 116,\!121,\!600\text{ formas distintas} } \]

7 Problema. Distribución de premios diferentes

En una clase de 10 estudiantes, el profesor quiere entregar 3 premios distintos (por ejemplo: una medalla, un diploma y una beca).

Se desea saber:

¿De cuántas formas diferentes puede entregar estos premios, si el orden en que se otorgan importa?

7.0.1 Solución

Nos enfrentamos a un problema de variaciones sin repetición, ya que:

  • Los premios son diferentes (el orden importa),
  • Un mismo estudiante no puede recibir más de un premio (no hay repetición).

🔹 Estamos eligiendo 3 estudiantes diferentes de un total de 10, y asignando un premio distinto a cada uno.

✏️ Paso 1: Comprender la fórmula

Para este tipo de problemas, usamos la fórmula de variaciones sin repetición:

\[ V(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} \]

Donde:

  • \(n = 10\): total de estudiantes,
  • \(r = 3\): cantidad de premios (o posiciones a asignar).

✏️ Paso 2: Aplicar la fórmula

\[ V(10, 3) = \frac{10!}{(10 - 3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \]

7.0.2 ✅ Respuesta final

\[ \boxed{720\text{ formas diferentes de entregar los premios}} \]

7.0.3 🔢 Interactivo: cambia la cantidad de estudiantes y premios

Haz clic en el siguiente botón para explorarla:

🚀 Probar versión interactiva

8 Problema. Formación de una comisión

Se cuenta con 5 matemáticos y 7 físicos. Se desea formar una comisión compuesta por:

  • 2 matemáticos, y
  • 3 físicos.

¿De cuántas formas diferentes puede elegirse esta comisión si todos son elegibles?

8.0.1 Solución

Nos enfrentamos a un problema de combinaciones simples, ya que:

  • No importa el orden en que se seleccionan los miembros,
  • No hay repetición: una misma persona no puede estar en dos puestos.

✏️ Paso 1: Elegir a los 2 matemáticos de entre 5

\[ \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot (5 - 2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

✏️ Paso 2: Elegir a los 3 físicos de entre 7

\[ \binom{7}{3} = \frac{7!}{3! \cdot (7 - 3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \]

✏️ Paso 3: Multiplicar las dos elecciones independientes

\[ \text{Total de formas} = \binom{5}{2} \cdot \binom{7}{3} = 10 \cdot 35 = 350 \]

8.0.2 ✅ Respuesta final

\[ \boxed{350\text{ formas distintas de formar la comisión}} \]

9 Problema. Comisión con un físico obligado

Se cuenta con 5 matemáticos y 7 físicos.
Se desea formar una comisión compuesta por:

  • 2 matemáticos, y
  • 3 físicos, pero uno de los físicos ya está fijo (debe estar incluido en la comisión).

¿De cuántas formas diferentes puede elegirse esta comisión?

9.0.1 Solución

Este es un problema de combinaciones simples con restricción: ya tenemos un físico asegurado en la comisión.

✏️ Paso 1: Elegir a los 2 matemáticos de entre 5

\[ \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \]

✏️ Paso 2: Elegir los 2 físicos restantes de entre los 6 que quedan
(ya que 1 físico está obligado a formar parte)

\[ \binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \]

✏️ Paso 3: Multiplicar las elecciones

\[ \text{Total de formas} = \binom{5}{2} \cdot \binom{6}{2} = 10 \cdot 15 = 150 \]

9.0.2 ✅ Respuesta final

\[ \boxed{150\text{ formas distintas de formar la comisión con el físico obligatorio}} \]

10 Problema. Comisión con restricción de no coincidencia

Se cuenta con 5 matemáticos y 7 físicos.
Se desea formar una comisión compuesta por:

  • 2 matemáticos, y
  • 3 físicos, pero hay dos matemáticos particulares que no pueden formar parte de la misma comisión.

¿De cuántas formas diferentes puede elegirse esta comisión?

10.0.1 Solución

Este es un problema de combinaciones con restricción de exclusión:
Dos matemáticos, digamos A y B, no pueden ser seleccionados juntos.

✏️ Paso 1: Calcular todas las combinaciones posibles sin restricción

Seleccionamos 2 matemáticos de 5 y 3 físicos de 7:

\[ \binom{5}{2} \cdot \binom{7}{3} = 10 \cdot 35 = 350 \]

✏️ Paso 2: Restar los casos prohibidos (cuando A y B están juntos)

  • ¿Cuántas formas hay de elegir a A y B juntos? Solo 1 forma: \(\{A, B\}\)
  • Los físicos se siguen eligiendo normalmente: \(\binom{7}{3} = 35\)

\[ \text{Casos prohibidos} = 1 \cdot \binom{7}{3} = 35 \]

✏️ Paso 3: Aplicar la restricción

\[ \text{Formas válidas} = \binom{5}{2} \cdot \binom{7}{3} - \text{Casos prohibidos} = 350 - 35 = 315 \]

10.0.2 ✅ Respuesta final

\[ \boxed{315\text{ formas distintas cumpliendo la restricción}} \]