Úvod a motivácia

Teória polí predstavuje základ pre analýzu prírodných javov. Laplaceova rovnica modeluje stavy bez zdrojov:

\[\nabla^2 u = 0\]

Naším cieľom je numerické riešenie pomocou metódy konečných rozdielov.

Laplaceov operátor

Laplaceov operátor vyjadruje mieru zakrivenia poľa:

\[\frac{u_{i+1,j} + u_{i-1,j} + u_{i,j+1} + u_{i,j-1} - 4u_{i,j}}{h^2} = 0\]

Aproximácia umožňuje zostaviť iteratívny algoritmus.

Numerické riešenie

Laplaceova rovnica nemá analytické riešenie v mnohých prípadoch, preto sa využíva numerická metóda. Metóda konečných rozdielov aproximuje derivácie na diskrétnej mriežke, čo umožňuje výpočet potenciálu.

Používame dvojrozmernú mriežku, kde hodnoty sa iteratívne aktualizujú podľa okolitých bodov.

Tabuľka vývoja chyby každých 500 iterácií

Vizualizácie výsledkov

Konvergencia riešenia

Záver

Výpočty ukazujú dobrú konvergenciu, pričom vizualizácie poskytli intuitívny pohľad na rozdelenie potenciálu. Tento model možno rozšíriť na systémy s rôznymi hraničnými podmienkami či trojrozmerné geometrie.