Objem pod povrchom funkcie dvoch premenných

Úvod

• Cieľom projektu je vypočítať objem pod funkciou dvoch premenných.
• Ide o klasický problém v aplikovanej matematike.
• Použitá funkcia: \(f(x, y) = e^{-x^2 - y^2}\)

Teoretické pozadie

• Objem pod funkciou \(f(x, y)\) nad oblasťou \(D \subset \mathbb{R}^2\) je daný: \[ V = \iint_D f(x, y) \, dx \, dy \]
• Analyticky platí: \[ \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-x^2 - y^2} \, dx \, dy = \pi \]

Použitá oblasť

• Namiesto celej roviny volíme oblasť: \(D = [-2,2]\times[-2,2]\)
• Táto oblasť obsahuje väčšinu „hmotnosti“ funkcie \(e^{-x^2 - y^2}\).

Výpočty v R

library(cubature)

f <- function(xy) {
  x <- xy[1]            
  y <- xy[2]            
  exp(-x^2 - y^2)       
}

result <- adaptIntegrate(
  f,                               
  lowerLimit = c(-2, -2),           
  upperLimit = c(2, 2)              
)

result$integral

[1] 3.112271

Výsledok

• Vypočítaná hodnota (na oblasti \([-2, 2] \times [-2, 2]\)):
  \[ V \approx 3.112 \]

• Známá analytická hodnota pri integrácii nad celou \(\mathbb{R}^2\):
  \[ \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-x^2 - y^2} \, dx \, dy = \pi \approx 3.1416 \]

• Absolútna chyba voči \(\pi\):
  \[ \approx 0.03 \]

->Táto „chyba“ je prirodzená, pretože integrujeme len nad obmedzenou oblasťou.
Funkcia \(e^{-x^2 - y^2}\) má väčšinu svojej hmotnosti sústredenú blízko stredu,
preto aj oblasť \([-2, 2]^2\) zachytáva väčšinu objemu.

Vizualizácia

Záver

• Výpočet objemu pod funkciou bol úspešný.
• Numerická integrácia cez cubature dosiahla vysokú presnosť.
• Projekt ukazuje spojenie teórie a praxe v R.