Introducción

En este proyecto desarrollaremos un modelo de regresión lineal simple para analizar la relación entre las horas de estudio y las calificaciones obtenidas por estudiantes, utilizamos el dataset student_scores.csv, el cual contiene información sobre el tiempo dedicado al estudio (en horas) y las calificaciones correspondientes obtenidas por cada estudiante.

Carga y Exploración de Datos

La exploración de datos tiene como objetivo comprender la estructura y calidad de un conjunto de datos antes de aplicar modelos.

Este proceso nos permitirá identificar los tipo de datos presentes (numéricos o categóricos), transformar variables según sea necesario, detectar posibles errores, valores atípicos o datos faltantes, tambien nos ayudará a la facil visualización de distribuciones y relaciones entre variables.

# Cargar datos
datos <- read.csv("student_scores.csv")
# Número de filas y columnas de la base de datos.
"dim"(datos)
## [1] 25  2
# Nombres de las variables de la base de datos.
names(datos)
## [1] "Hours"  "Scores"
# Tipos de variables..
str(datos)
## 'data.frame':    25 obs. of  2 variables:
##  $ Hours : num  2.5 5.1 3.2 8.5 3.5 1.5 9.2 5.5 8.3 2.7 ...
##  $ Scores: int  21 47 27 75 30 20 88 60 81 25 ...
# Nos muestra las primeras 6 filas de cada columna.
kable(head(datos))
Hours Scores
2.5 21
5.1 47
3.2 27
8.5 75
3.5 30
1.5 20 
# Control de calidad de datos - Comprobación de valores nulos
sapply(datos, function(x)(sum(is.na(x))))
##  Hours Scores 
##      0      0
# Resumen estadístico de cada variable.
summary(datos)
##      Hours           Scores     
##  Min.   :1.100   Min.   :17.00  
##  1st Qu.:2.700   1st Qu.:30.00  
##  Median :4.800   Median :47.00  
##  Mean   :5.012   Mean   :51.48  
##  3rd Qu.:7.400   3rd Qu.:75.00  
##  Max.   :9.200   Max.   :95.00

Análisis de Correlación

# Correlación
correlacion <- cor(datos)
kable(correlacion, caption = "Matriz de Correlación")
Matriz de Correlación
Hours Scores
Hours 1.0000000 0.9761907
Scores 0.9761907 1.0000000 
# Gráfico de correlación
pairs(datos, 
      main = "Gráfico de Dispersión: Horas vs Calificaciones",
      pch = 19, 
      col = "steelblue")

La correlación entre las horas de estudio y las calificaciones es de 0.9762, lo que indica una relación lineal positiva fuerte.

Modelo de Regresión Lineal

# Modelo de regresión lineal
regresion <- lm(Scores ~ Hours, data = datos)
# Resumen del modelo
summary(regresion)
## 
## Call:
## lm(formula = Scores ~ Hours, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -10.578  -5.340   1.839   4.593   7.265 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   2.4837     2.5317   0.981    0.337    
## Hours         9.7758     0.4529  21.583   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 5.603 on 23 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9529, Adjusted R-squared:  0.9509 
## F-statistic: 465.8 on 1 and 23 DF,  p-value: < 2.2e-16

Ecuación del Modelo

\[ Y=2.4837+9.7758x \]

Esto significa que por cada hora adicional de estudio, se espera un incremento promedio de 9.78 puntos en la calificación.

# Gráfica de la regresión
plot(datos$Hours, datos$Scores, 
     xlab = 'Horas de Estudio', 
     ylab = 'Calificación',
     main = 'Relación Lineal: Horas de Estudio vs Calificaciones',
     pch = 19, 
     col = "steelblue",
     cex = 1.2)
abline(regresion, col = "red", lwd = 2)
legend("topleft", 
       legend = paste("R² =", round(summary(regresion)$r.squared, 4)),
       bty = "n")

## Predicciones del Modelo

# Crear datos para predicción (1 a 10 horas)
nuevas.horas <- data.frame(Hours = seq(1, 10, by = 0.5))

# Calcular predicciones
predicciones <- predict(regresion, nuevas.horas)

# Crear tabla de predicciones
tabla_predicciones <- data.frame(
  Horas = nuevas.horas$Hours,
  Calificacion_Predicha = round(predicciones, 1)
)

kable(head(tabla_predicciones, 10), 
      caption = "Predicciones de Calificaciones según Horas de Estudio",
      col.names = c("Horas de Estudio", "Calificación Predicha"))
Predicciones de Calificaciones según Horas de Estudio
Horas de Estudio Calificación Predicha
1.0 12.3
1.5 17.1
2.0 22.0
2.5 26.9
3.0 31.8
3.5 36.7
4.0 41.6
4.5 46.5
5.0 51.4
5.5 56.3

Intervalos de Confianza

# Intervalos de confianza al 95%
ic_95 <- confint(regresion, level = 0.95)
kable(ic_95, 
      caption = "Intervalos de Confianza al 95% para los Coeficientes",
      digits = 4)
Intervalos de Confianza al 95% para los Coeficientes
2.5 % 97.5 %
(Intercept) -2.7535 7.7208
Hours 8.8388 10.7128 
# Intervalos de confianza al 90%
ic_90 <- confint(regresion, level = 0.90)
kable(ic_90, 
      caption = "Intervalos de Confianza al 90% para los Coeficientes",
      digits = 4)
Intervalos de Confianza al 90% para los Coeficientes
5 % 95 %
(Intercept) -1.8553 6.8226
Hours 8.9995 10.5521

Validación del Modelo

Análisis de Homocedasticidad

# Calcular residuos estandarizados y valores ajustados
residuos <- rstandard(regresion)
valores.ajustados <- fitted(regresion)

# Gráfico de residuos vs valores ajustados
plot(valores.ajustados, residuos,
     xlab = 'Valores Ajustados',
     ylab = 'Residuos Estandarizados',
     main = 'Análisis de Homocedasticidad',
     pch = 19,
     col = "steelblue")

# Línea horizontal en cero
abline(h = 0, col = "red", lty = 2)

# Líneas de referencia
abline(h = c(-2, 2), col = "orange", lty = 3)

Análisis de Normalidad de Residuos

# Q-Q Plot para evaluar normalidad
qqnorm(residuos, 
       main = "Q-Q Plot: Normalidad de Residuos",
       pch = 19,
       col = "steelblue")
qqline(residuos, col = "red", lwd = 2)

# Test de Shapiro-Wilk para normalidad
shapiro_test <- shapiro.test(residuos)
shapiro_test
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuos
## W = 0.90493, p-value = 0.02353

Interpretación del Test de Shapiro-Wilk: - p-value = 0.0235 - Se rechaza la hipótesis nula de normalidad (α = 0.05)

ANOVA

#install.packages("nortest")
require(nortest)
by(data= datos,INDICES = factor(datos$Scores),FUN = function(x){ lillie.test(datos$Hours)})
## factor(datos$Scores): 17
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 20
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 21
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 24
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 25
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 27
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 30
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 35
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 41
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 42
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 47
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 54
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 60
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 62
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 67
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 69
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 75
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 76
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 81
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 85
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 86
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 88
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
## 
## ------------------------------------------------------------ 
## factor(datos$Scores): 95
## 
##  Lilliefors (Kolmogorov-Smirnov) normality test
## 
## data:  datos$Hours
## D = 0.12534, p-value = 0.3951
"Los test de hipótesis no muestran evidencias de falta de normalidad."
## [1] "Los test de hipótesis no muestran evidencias de falta de normalidad."

homocedasticidad

fligner.test(Scores ~ Hours,datos)
## 
##  Fligner-Killeen test of homogeneity of variances
## 
## data:  Scores by Hours
## Fligner-Killeen:med chi-squared = 24, df = 22, p-value = 0.3472

ANOVA

anova <- aov(datos$Scores ~ factor(datos$Hours))
summary(anova)
##                     Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
## factor(datos$Hours) 22  15293   695.1   26.23 0.0373 *
## Residuals            2     53    26.5                 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
plot(anova)

Conclusiones

  1. Relación Significativa: Existe una relación lineal positiva y significativa entre las horas de estudio y las calificaciones (R² = 0.9529).

  2. Impacto Cuantificado: Cada hora adicional de estudio se asocia con un incremento promedio de 9.78 puntos en la calificación.

  3. Capacidad Predictiva: El modelo explica el 95.3% de la variabilidad en las calificaciones.

  4. Validez del Modelo: Los análisis de residuos sugieren que se cumplen razonablemente los supuestos del modelo de regresión lineal.

  5. Recomendación: Los resultados proporcionan evidencia estadística sólida para promover el incremento en las horas de estudio como estrategia para mejorar el rendimiento académico.