Controle Estatístico de Qualidade

Ferramentas Básicas do Controle da Qualidade

As sete ferramentas da qualidade são técnicas estatísticas simples para resolver problemas na indústria.✅

• Estratificação
• Folhas de Verificação
  
• Diagrama de Ishikawa
  
• Histograma
  
• Diagrama de Pareto
  
• Gráfico de Dispersão
  
• Gráfico de Controle
  

Estratificação

É uma técnica usada para separar dados em grupos significativos para facilitar a análise.

• Permite observar padrões escondidos em dados mistos.
  
• Ajuda a identificar fontes de variação.

Definição de Estratificação

“Processo de dividir dados em subgrupos (estratos) com base em características relevantes, como turno, máquina, operador, etc.”

Exemplo de pergunta:
- Existe diferença de desempenho entre os turnos?

Tipos de Estratificação

• Por tempo: turno, dia da semana, mês
  
• Por local: máquina, setor, linha de produção
  
• Por pessoas: operador, equipe
  
• Por método ou material

Exemplo em R: Defeitos por turno

    turno defeitos
1   Manhã        1
2   Manhã        3
3   Manhã        2
4   Manhã        4
5   Manhã        4
6   Manhã        0
7   Manhã        2
8   Manhã        4
9   Manhã        2
10  Manhã        2
11  Manhã        5
12  Manhã        2
13  Manhã        3
14  Manhã        2
15  Manhã        0
16  Manhã        4
17  Manhã        1
18  Manhã        0
19  Manhã        1
20  Manhã        5
21  Manhã        4
22  Manhã        3
23  Manhã        2
24  Manhã        6
25  Manhã        2
26  Manhã        3
27  Manhã        2
28  Manhã        2
29  Manhã        1
30  Manhã        1
31  Manhã        5
32  Manhã        4
33  Manhã        3
34  Manhã        3
35  Manhã        0
36  Manhã        2
37  Manhã        3
38  Manhã        1
39  Manhã        1
40  Manhã        1
41  Manhã        1
42  Manhã        2
43  Manhã        2
44  Manhã        1
45  Manhã        1
46  Manhã        1
47  Manhã        1
48  Manhã        2
49  Manhã        1
50  Manhã        4
51  Tarde        2
52  Tarde        5
53  Tarde        7
54  Tarde        2
55  Tarde        5
56  Tarde        3
57  Tarde        3
58  Tarde        6
59  Tarde        8
60  Tarde        4
61  Tarde        6
62  Tarde        2
63  Tarde        4
64  Tarde        4
65  Tarde        7
66  Tarde        5
67  Tarde        7
68  Tarde        7
69  Tarde        7
70  Tarde        4
71  Tarde        6
72  Tarde        6
73  Tarde        6
74  Tarde        0
75  Tarde        5
76  Tarde        3
77  Tarde        4
78  Tarde        5
79  Tarde        4
80  Tarde        2
81  Tarde        3
82  Tarde        6
83  Tarde        4
84  Tarde        7
85  Tarde        2
86  Tarde        4
87  Tarde       10
88  Tarde        8
89  Tarde        8
90  Tarde        3
91  Tarde        3
92  Tarde        6
93  Tarde        4
94  Tarde        6
95  Tarde        4
96  Tarde        3
97  Tarde        7
98  Tarde        2
99  Tarde        5
100 Tarde        5
101 Noite        3
102 Noite        2
103 Noite        3
104 Noite        6
105 Noite        3
106 Noite        5
107 Noite        5
108 Noite        3
109 Noite        2
110 Noite        1
111 Noite        6
112 Noite        2
113 Noite        1
114 Noite        6
115 Noite        4
116 Noite        1
117 Noite        3
118 Noite        6
119 Noite        3
120 Noite        2
121 Noite        4
122 Noite        2
123 Noite        2
124 Noite        2
125 Noite        2
126 Noite        7
127 Noite        1
128 Noite        1
129 Noite        1
130 Noite        4
131 Noite        3
132 Noite        5
133 Noite        4
134 Noite        4
135 Noite        3
136 Noite        4
137 Noite        5
138 Noite        4
139 Noite        7
140 Noite        3
141 Noite        2
142 Noite        2
143 Noite        0
144 Noite        1
145 Noite        5
146 Noite        2
147 Noite        2
148 Noite        1
149 Noite        2
150 Noite        4

Manhã Noite Tarde 
   50    50    50 

  turno defeitos
1 Manhã     2.24
2 Noite     3.12
3 Tarde     4.78

Visualização com boxplot

Conclusão

✅ A estratificação permite identificar padrões ocultos

✅ Ajuda a direcionar ações corretivas com mais precisão

✅ É essencial no início da análise estatística da qualidade

Folhas de Verificação

São formulários usados para coletar e organizar dados de forma sistemática.

• Facilitam a visualização e interpretação de dados.
• Podem ser adaptadas para diversos propósitos.

Definição de Folha de Verificação

“Documento estruturado para registrar dados observacionais em tempo real.”

Usada para:

• Contagem de defeitos
• Localização de falhas
• Frequência de ocorrências

🧐 Verificação: Distribuição do Processo de Produção

🧐 Verificação: Item Defeituoso

🧐 Verificação: Localização de Defeitos

🧐 Verificação: Causas de um defeito ou falha.

🧐 Verificação: Satisfação do Cliente (ex: questionários de satisfação).

Exemplo de folha de verificação de defeitos na lataria de um carro.

Conclusão sobre Folhas de Verificação

✅ Facilitam a padronização da coleta de dados

✅ Auxiliam na identificação de padrões

✅ São a base para análises gráficas e estatísticas posteriores

Diagrama de Ishikawa

Também conhecido como diagrama de causa e efeito ou espinha de peixe.

• Ferramenta para análise de problemas.

• Organiza visualmente causas potenciais de um efeito específico.

Como construir um Diagrama de Ishikawa

1. Defina claramente o problema (efeito).

2. Trace uma linha horizontal com o problema no final (efeito).

3. Adicione as categorias principais de causa (método, máquina, mão de obra, material, meio ambiente, medição).

4. Liste causas específicas em cada categoria.

Exemplo de diagrama de causa e efeito (Ishikawa).

O que é um Histograma?

• Um histograma é uma representação gráfica da distribuição de frequências de dados contínuos.
• Mostra como os valores se distribuem por intervalos (classes).
• Ajuda a visualizar:
  • Tendência central
  • Dispersão
  • Assimetria
  • Possíveis anomalias

Construção do Histograma com limites de especificação

• Limites de especificação:

Limite superior de especificação (LSE): maior valor permitido para uma característica de qualidade.

Limite inferior de especificação (LIE): menor valor permitido para uma característica de qualidade.

Etapas principais:

1. Coletar dados contínuos (ex: tempo, peso, medida).
2. Definir os intervalos de classe.
3. Contar quantos dados caem em cada intervalo.
4. Representar as frequências com barras adjacentes.

Exemplo prático no R

Comparação com Limites de Especificação

Vamos comparar os dados com limites de especificação:

⚠️LIE: 90 ⚠️LSE: 110

✅ Quando a maioria dos dados está entre LIE e LSE → processo capaz

⚠️ Quando muitos dados estão fora dos limites → processo não capaz

Gráfico de Pareto

É um gráfico de barras que ordena as causas ou categorias em ordem decrescente de frequência.

• Baseado no Princípio de Pareto (80/20)
  • 80% dos resultados provêm de 20% das causas
• Ajuda a identificar os principais problemas

Exemplo: Dados simulados de defeitos

🏋 Lista 1

1. Simule no R um conjunto de dados com três turnos de produção e número de defeitos.

1. Faça um boxplot para comparar os defeitos entre turnos.
2. Comente se a estratificação revela alguma diferença relevante.

2. Monte um diagrama de espinha de peixe para o seguinte problema: “Produto entregue com atraso”. Use papel ou software (sugestões: pacote Mermaid, DiagrammeR, etc).

3. Com base nos dados a seguir, construa um gráfico de Pareto (no papel ou no R) e interprete os resultados:

1. Quais problemas devem ser atacados primeiro?

💡qcc pakcage

2. Qual o percentual acumulado dos dois problemas mais frequentes?

4. Simule 200 observações com média 50 e desvio-padrão 10.

1. Crie o histograma.

2. Defina limites de especificação mais estreitos: LIE = 45 e LSE = 55.

5. 🤝 Reúna-se com seu grupo e faça o seguinte:

• Colete um conjunto de dados reais (ex: tempo para executar uma tarefa simples).

• Classifique os dados usando estratificação (ex: por turno, grupo, dia).

• Construa um histograma, gráfico de Pareto e, se possível, um Ishikawa para um problema observado.

• Apresente os resultados com uma breve conclusão.

Diagrama de Correlação ou Diagrama de Dispersão

Correlação Linear Positiva

• Quando uma variável aumenta, a outra também tende a aumentar.
• Os pontos seguem uma tendência crescente.

Correlação Linear Negativa

• Quando uma variável aumenta, a outra tende a diminuir.

• Os pontos seguem uma tendência decrescente.

Ausência de Correlação Linear

• Os pontos não seguem padrão algum.

• Indica ausência de relação linear.

Construção do Diagrama de Correlação

Passos:

• Coletar pares de observações (X, Y)

• Plotar os pontos em um gráfico de dispersão

• Analisar visualmente a existência e o tipo de correlação

Cálculo do Coeficiente de Correlação de Pearson

O coeficiente de correlação de Pearson mede a força e direção da relação linear entre duas variáveis.

• Varia de -1 a 1

• 1: correlação positiva perfeita

• 0: sem correlação linear

• -1: correlação negativa perfeita

\[ r = \dfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\displaystyle \sqrt{(\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2})(\sum_{i = 1}(y_{i}-\bar{y})^{2}})} = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_{X}\sigma_{Y}} \]

Hipóteses

\(H_{0}: \rho_{x,y} = 0\) (ausência de associação linear);

\(H_{1}: \rho_{x,y} \neq 0\) (presença de associação linear).

Passo a Passo no R

Gerar dados simulados com correlação positiva:

set.seed(123)
x <- rnorm(30, mean = 10)
y <- x + rnorm(30)

Normalidade dos dados

shapiro.test(x)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  x
W = 0.97894, p-value = 0.7966

shapiro.test(y)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  y
W = 0.96204, p-value = 0.3488

Calcular o coeficiente de correlação:

cor(x, y)

[1] 0.7175137

Testar a significância estatística:

    Pearson's product-moment correlation

data:  x and y
t = 5.4508, df = 28, p-value = 8.099e-06
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.4817850 0.8564041
sample estimates:
      cor 
0.7175137 

Conclusões sobre Diagramas de Correlação

✅ São úteis para investigar relações entre variáveis

✅ Ajudam a detectar tendências visuais

✅ O coeficiente de Pearson quantifica a força da relação

Exercícios

1. Utilize os vetores abaixo e construa o diagrama de dispersão com plot()

x <- c(5, 7, 9, 11, 13, 15)
y <- c(2, 4, 6, 8, 10, 12)

1. Descreva o tipo de relação entre as variáveis.

2. Adicione uma reta de tendência usando abline(lm(y ~ x)).

2. Geração de dados com correlação negativa.

1. Gere dois vetores de 30 elementos com correlação negativa.

2. Construa o gráfico de dispersão.

3. Calcule a correlação de Pearson com cor(x, y).

3. Dados reais (mtcars)

Utilize o conjunto de dados mtcars:

1. Há correlação entre mpg (milhas por galão) e wt (peso)?
   
2. Faça o gráfico e interprete-o.
3. Calcule a correlação de maneira adequada.
4. A relação é positiva ou negativa?

4. Desafio com função

Crie uma função correlacao_diagnostico() que:

• Plote o gráfico de dispersão
  
• Calcule r
  
• Execute o teste cor.test()
  
• Apresente o valor-p do teste.

Visão Geral de Inferência

A inferência estatística permite tirar conclusões sobre um processo a partir de uma amostra.

• Estimamos parâmetros populacionais (como média e variância).
• Avaliamos a variabilidade natural dos dados.
• Essencial para construir gráficos de controle com base em dados amostrais.

Duas abordagens principais

• Estimação: cálculo de valores pontuais ou intervalos para parâmetros do processo.
• Teste de hipóteses: decisões sobre mudanças no processo com base em evidência estatística.

Propriedades dos Estimadores

Um estimador é uma função da amostra usada para estimar um parâmetro.

Boas propriedades desejáveis:

• Não-viesado: valor médio do estimador é igual ao parâmetro verdadeiro.

\[E[\hat{\theta}] = \theta.\]

• Consistência: o estimador converge para o parâmetro à medida que a amostra cresce.

Sejam \(X_1, X_2, \dots, X_n\) uma amostra aleatória de uma variável aleatória \(X\) com média \(\theta\) e variância \(\sigma^2\). Um estimador \(\hat{\theta}\) é consistente para \(\theta\) se:

\[ \lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta} - \theta| > \epsilon) = 0, \quad \forall \epsilon > 0 \]

Em geral, a desigualdade de Chebyshev pode ser usada para verificar essa propriedade:

\[ P(|\hat{\theta} - \theta| > \epsilon) \leq \frac{\sigma^2}{n\epsilon^2} \]

Portanto, à medida que \(n\) cresce, a probabilidade de o estimador estar distante do verdadeiro parâmetro \(\theta\) tende a zero, garantindo sua consistência.

• Eficiência: possui a menor variância possível entre os estimadores não-viesados.

Seja \(X_1, X_2, \dots, X_n\) uma amostra aleatória de uma variável \(X\) com parâmetro \(\theta\). Um estimador \(\hat{\theta}\) é eficiente se sua variância atinge o limite inferior dado por:

\[Var(\hat{\theta}) \geq \frac{1}{I(\theta)},\]

em que \(I(\theta)\) é a informação de Fisher, definida como:

\[I(\theta) = -E \left[ \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \log L(\theta) \right]\]

Estimando a Dispersão do Processo

A dispersão do processo pode ser estimada usando:

• Desvio padrão amostral (s)

• Amplitude (R)

• Desvio médio absoluto

Exemplo:

set.seed(123)
amostra <- rnorm(30, mean = 100, sd = 10)
media_amostral <- mean(amostra)
media_amostral

[1] 99.52896

s <- sd(amostra)
R <- max(amostra) - min(amostra)
c(s = s, R = R)

        s         R 
 9.810307 37.535303 

Estimando o Nível do Processo

O nível do processo geralmente se refere à média do processo.

• É representado por \(\mu\), a média verdadeira da variável de interesse.

• Estimada pela média das médias amostrais.

medias <- rowMeans(dados)
medias

 [1] 103.93797 104.15923 102.67241 101.25277  96.83621 104.85973  95.80329
 [8]  93.36911 103.36931 100.52133 104.40066  99.31993  96.84400 103.52304
[15]  94.96482 108.73104 102.49429  92.47767 100.10902  99.27483  95.53888
[22]  94.41732 101.12992 102.28371  98.85164  95.30136 100.24319  97.20776
[29]  98.80497  99.13932 105.53749 103.42916 100.86117  98.99195  95.47436
[36] 101.27513 102.23422 103.23387 104.71113  96.08723 100.85281  98.50280
[43]  97.98367  95.98743  98.95445 103.29060 101.64485  98.28552 102.73688
[50]  93.80632

media_global <- mean(medias)
media_global

[1] 99.9144

Esse valor é usado como linha central em um gráfico de controle.

✅ A inferência estatística fornece as ferramentas para definir limites e linhas centrais.

✅ A precisão da estimativa depende do tamanho e representatividade da amostra.

✅ Com base nestes conceitos, constrói-se gráficos de controle como \(\bar{X}\), \(R\), \(S\), entre outros.

Visão Geral de Gráficos de Controle

Os gráficos de controle são ferramentas gráficas usadas para monitorar processos ao longo do tempo.

• Detectam variações comuns (naturais) e variações especiais (anomalias).
• Ajudam na manutenção da qualidade e na tomada de decisões.

Princípios dos Gráficos de Controle

• Baseiam-se em amostras coletadas periodicamente.
• Mostram uma linha central (LC) representando o comportamento esperado do processo.
• Possuem limites de controle (LSC e LIC) que indicam variações aceitáveis.

• Proposto pelo Dr. Walter A. Shewhart em 1920.

• Controlar a variabilidade dos processos.

Proposta geral:

\[LSC = \mu_w + 3\times\sigma_{w}\]

\[LC = \mu_w\]

\[LIC = \mu_w - 3\times\sigma_{w}\]

Exemplo: \(X\sim N(50,2^{2})\); \(n=25\).

Temos que:

\[P[LIC \leq X \leq \mu_{w}] = \alpha/2\] e

\[P[\mu_{w} \leq X \leq LSC] = \alpha/2\]

Se \(X_{i} \sim N(\mu,\sigma)\), então

\[ P \left[ \left. \frac{\mu - 3\sigma}{\sqrt{n}} < \bar{X}_{i} < \frac{\mu + 3\sigma}{\sqrt{n}} \right] \right. = 0,9973 \]

que é equivalente a

\[ P\left[ \left.-3 < \dfrac{\sqrt{n}(\bar{X}_{i}-\mu)}{\sigma} < 3\right] \right. = 0,9973 \]

Gráficos de controle para variáveis

Gráficos com valores padrão

\[LSC = \mu + 3\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\] \[LC = \mu\]

\[LIC = \mu - 3\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

\[LSC = \mu + A\sigma\] \[LC = \mu\]

\[LIC = \mu - A\sigma\]

• \(A = \dfrac{3}{\sqrt{n}}\)

Gráficos de Controle para Variáveis

• Utilizados quando a característica de qualidade é mensurável (ex: diâmetro, peso, tempo).
• Principais gráficos:
  • \(\bar{x}\) e \(R\)
  • \(\bar{x}\) e \(s\)
  • \(s^2\) (variância)
  • Medições individuais (quando \(n = 1\))

Gráfico \(\bar{x}\) - R

• Controle da média e amplitude
• Indicados para subgrupos pequenos (geralmente \(n \leq 10\))

Fórmulas:

\[ \bar{x}_{LC} = \bar{\bar{x}}, \quad LSC = \bar{\bar{x}} + A_2 \bar{R}, \quad LIC = \bar{\bar{x}} - A_2 \bar{R} \]

\[ R_{LC} = \bar{R}, \quad LSC = D_4 \bar{R}, \quad LIC = D_3 \bar{R} \]

Gráfico \(\bar{x}\) - \(s\)

• Usa desvio padrão ao invés da amplitude.
• Preferido para amostras maiores (\(n > 10\))

Fórmulas:

\[ \bar{x}_{LC} = \bar{\bar{x}}, \quad LSC = \bar{\bar{x}} + A_3 \bar{s}, \quad LIC = \bar{\bar{x}} - A_3 \bar{s} \]

\[ s_{LC} = \bar{s}, \quad LSC = B_4 \bar{s}, \quad LIC = B_3 \bar{s} \]

Gráfico da Variância (\(s^2\))

• Menos comum; baseado na distribuição qui-quadrado

Fórmulas:

\[ LC = \bar{s}^2, \quad LSC = \frac{(n - 1)\bar{s}^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}, \quad LIC = \frac{(n - 1)\bar{s}^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \]

• Útil quando se deseja monitorar diretamente a variância do processo.

Tabela com fatores para contrução dos gráficos de controle para variáveis

• Exemplo: Gráfico \(\bar{x}\) - R

Exemplo 6.1. página 239 (Montgomery, 2009):

• Medições da Largura de Fluxo (mícrons) para o Processo de Cozimento Duro.

O processo de cozimento duro é utilizado em conjunto com a fotolitografia na fabricação de semicondutores. Desejamos estabelecer o controle estatístico da largura de fluxo do resistor neste processo utilizando gráficos \(\bar{x}\) e \(\bar{R}\). Vinte e cinco amostras, cada uma com wafers de tamanho cinco, foram coletadas quando acreditamos que o processo está sob controle. O intervalo de tempo entre as amostras ou subgrupos é de uma hora. Os dados de medição da largura de fluxo (em x mícrons) dessas amostras são mostrados na Tabela 6.1.

1. Calcule os limites de controle para o gráfico \(\bar{x}\).

2. Calcule os limites de controle para o gráfico \(R\)

3. Construa os dois gráficos no R.

4. Calcule o desvio padrão de cada subgrupo.

5. Calcule a média dos desvios \(\bar{s}\) e os limites de controle do gráfico \(s\).

6. Construa o gráfico do desvio padrão no R.

7. Algum subgrupo está fora dos limites de controle?

8. Há alguma tendência ou padrão preocupante mesmo com os pontos dentro dos limites?

9. O processo pode ser considerado sob controle estatístico?

10. Compare os gráficos \(\bar{x} - R\) e \(\bar{x} - s\):

1. Qual parece mais sensível às variações nos dados?
2. Qual seria mais indicado para subgrupos maiores que 10?
3. Em que situações o gráfico de variância seria mais apropriado?

Considerações Finais

✅ A escolha entre amplitude ou desvio padrão depende do tamanho da amostra.
✅ Gráficos de variância são mais sensíveis, mas menos utilizados.
✅ Gráficos \(\bar{x}\) e \(R\) são os mais comuns na prática industrial.

Gráfico de Controle de Shewhart para Medições Individuais

O Gráfico de Controle de Shewhart para Medições Individuais é usado quando:

• O tamanho da amostra é n = 1.
• Exemplo: processos automáticos que medem cada item individualmente.

Quando usar?

• Inspeção automática.
• Dados coletados lentamente.
• Repetições diferem apenas por erro analítico.
• Medidas em locais diferentes de um mesmo produto.
• Processos transacionais e serviços.

Como construir o gráfico

1. Linha central (LC): média das observações.
2. Limites de controle:
   \[ LSC = \bar{x} + 3\dfrac{\overline{MR}}{d_{2}} \] \[ LIC = \bar{x} - 3\dfrac{\overline{MR}}{d_{2}} \]

Amplitude móvel

\[ MR_{i} = |x_{i} - x_{i-1}| \]

• \(\overline{MR}\) = média da ampitude móvel entre observações consecutivas.

• d\(_{2}\) \(\approx\) 1.128 para n = 2.

Exemplo: Viscosidade da tinta de base (Primer) de aviões (Montgomery)

   Lote Viscosidade
1     1       33.75
2     2       33.05
3     3       34.00
4     4       33.81
5     5       33.46
6     6       34.02
7     7       33.68
8     8       33.27
9     9       33.49
10   10       33.20
11   11       33.62
12   12       33.00
13   13       33.54
14   14       33.12
15   15       33.84

Considerações finais

✅ Gráfico adequado para processos com n = 1.

✅ Simples de aplicar.

✅ Sensível à não normalidade!

Não normalidade dos dados

• Os limites podem não ser apropriados.
• É importante verificar a normalidade para gráficos de controle individuais.

Tranformação de Box e Cox

• Corrigir não normalidade.

• Reduzir heterocedasticidade (não homogeneidade de variâncias).

• Melhorar a adequação de modelos lineares e de controle estatístico.

Definição

Para uma variável ( y > 0 ) e um parâmetro ():

\[ y^{(\lambda)} = \begin{cases} \frac{y^\lambda - 1}{\lambda}, & \text{se } \lambda \neq 0 \\ \ln(y), & \text{se } \lambda = 0 \end{cases} \] Simplificando:

\[ y^{(\lambda)} = \begin{cases} y^\lambda, & \text{se } \lambda \neq 0 \\ \ln(y), & \text{se } \lambda = 0 \end{cases} \]

Exemplo:

[1] 0.2626263

Exemplo com dados simulados:

set.seed(123)
# Dados com assimetria positiva
dados <- rexp(20, rate = 0.1)
hist(dados, probability = TRUE, col = "lightblue",
     main = "Histograma dos Dados Originais")

curve(dnorm(x, mean = mean(dados), sd = sd(dados)),
      col = "darkblue", lwd = 2, add = TRUE)

# teste de normalidade
shapiro.test(dados)

Testando a necessidade de transformação

library(car)
modelo <- lm(dados ~ 1)
bc <- boxcox(modelo)

melhor_lambda <- bc$x[which.max(bc$y)]
melhor_lambda

[1] 0.1414141

if (abs(melhor_lambda) < 0.01) {
  dados_transf <- log(dados)
} else {
  dados_transf <- (dados^melhor_lambda - 1) / melhor_lambda
}

hist(dados_transf, probability = TRUE, col = "lightgreen",
     main = "Historgama dos Dados Transformados")

curve(dnorm(x, mean = mean(dados_transf), sd = sd(dados_transf)),
      col = "darkgreen", lwd = 2, add = TRUE)

# teste de normalidade

shapiro.test(dados_transf)

• Na prática: o valor ótimo de \(\lambda\) raramente será exatamente igual a zero.

Limites de controle

media <- mean(dados_transf)
MR <- abs(diff(dados_transf))
MR_barra <- mean(MR)
d2 <- 1.128
sigma <- MR_barra / d2

LSC <- media + 3 * sigma
LIC <- media - 3 * sigma

Gráfico de Controle Individual

Exercícios

1. Em uma indústria de parafusos, deseja-se monitorar o diâmetro dos parafusos produzidos. O diâmetro nominal é 10 mm, com tolerância de mais ou menos 0.2 mm. A cada hora, um inspetor coleta um subgrupo de 5 parafusos para verificar a estabilidade do processo. Aplique os gráficos de controle para amplitude, desvio e para média usando a amplitude e o desvio.

2. Use os procedimentos para gráficos de controle para medidas individuais para os dados faithful do datasets.
3. Use os procedimentos para gráficos de controle para medidas individuais para a variável Ozone dos dados airquality do datasets.

Gráficos de Controle para Atributos

• Usados quando a característica da qualidade é qualitativa (atributo).
• Exemplo: peça está conforme ou não-conforme.

\(p\): probabilidade de que uma unidade não esteja de acordo com as especificações.

\(D\): número de unidade que são não-conforme em uma amostra de tamanho n.

\[D \sim Bin (n,p) \]

em que a fração não-conforme é

\[\hat{p} = \dfrac{D}{n}\]

Gráfico p (Padrão dado)

\[\begin{matrix} LSC = & p + 3\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \\ LC = & p \\ LIC = & p - 3\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \\ \end{matrix}\]

Gráfico p (Nenhum padrão dado)

\[\begin{matrix} LSC = & \bar{p} + 3\sqrt{\dfrac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}} \\ LC = & \bar{p} \\ LIC = & \bar{p} - 3\sqrt{\dfrac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n}} \\ \end{matrix}\]

em que a fração não-conforme é

\[ \hat{p}_{i} = \dfrac{D_{i}}{n}, \quad i = 1,2,...,m \]

e a média dessas frações é

\[ \hat{p}_{i} = \dfrac{\sum_{i}^{m}D_{i}}{mn} = \dfrac{\sum_{i}^{m}\hat{p}_{i}}{n} \]

Exemplo: Suco de laranja congelado e concentrado é embalado e latas de papelão. Selecionaram-se 30 amostras de tamanho n = 50 embalagens cada.

D_i = c(12,15,8,10,4,7,16,9,14,10,5,6,17,12,22,8,10,5,13,11,20,18,24,15,9,12,7,13,9,6)

p_i = D_i/50

### tab 6.1 Montgomery - Português
tab7.1 <- data.frame(
  Amostra = 1:30,
  D_i = D_i,
  p_i = p_i
)

Gráfico np

• Número de não-conformes em vez da fração de não-conformes.

\[\begin{matrix} LSC = & np + 3\sqrt{np(1-p)} \\ LC = & np \\ LIC = & np - 3\sqrt{np(1-p)} \\ \end{matrix}\]

• \(\bar{p}\) pode ser usado para estimar p.

\[\begin{matrix} LSC = & n\bar{p} + 3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})} \\ LC = & n\bar{p} \\ LIC = & n\bar{p} - 3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})} \\ \end{matrix}\]

Usando os dados da tabela anterior temos:

LSC = 50*p_barra + 3*sqrt(50*p_barra*(1-p_barra))
LC = 50*p_barra
LIC = 50*p_barra - 3*sqrt(50*p_barra*(1-p_barra))

cbind(LSC,LIC,LC)

          LSC      LIC       LC
[1,] 20.51196 2.621377 11.56667

plot(tab7.1$D_i, type = "b", pch = 19, ylim = c(2,25),
     col = "lightblue",
     main = "Número de embalagens não-conforme",
     ylab = "Número não-conforme", xlab = "Número da amostra")

abline(h = c(LSC, LC, LIC), col = c("red", "blue", "red"), 
       lty = c(2,1,2), lwd = 2)

• Qual o tamanho de amostra grande o suficiente para garantir a qualidade da análise estatística?

\[\begin{matrix} LIC & > 0 \Rightarrow p - 3\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} > 0 \\ \Rightarrow & \dfrac{p}{3} > \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} \Rightarrow \dfrac{p^2}{9} > \dfrac{p(1-p)}{n} \\ \Rightarrow & n > \dfrac{9(1-p)}{p} \\ \end{matrix}\]

Tamanho variável de amostra

\[\begin{matrix} LSC = & \bar{p} + 3\sqrt{\dfrac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n_{i}}} \\ LC = & \bar{p} \\ LIC = & \bar{p} - 3\sqrt{\dfrac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n_{i}}} \\ \end{matrix}\]

• \(\bar{p} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}D_{i}}{\sum_{i=1}^{n}n_{i}}\)

Tamanho médio de amostra

\[\begin{matrix} LSC = & \bar{p} + 3\sqrt{\dfrac{\bar{p}(1-\bar{p})}{\bar{n}}} \\ LC = & \bar{p} \\ LIC = & \bar{p} - 3\sqrt{\dfrac{\bar{p}(1-\bar{p})}{\bar{n}}} \\ \end{matrix}\]

• \(\bar{n} = \dfrac{\sum_{i=1}^{n}n_{i}}{n}\)

Gráfico de controle padronizado

Os pontos são plotados como:

\[ Z_{i} = \dfrac{\hat{p_{i}} - p}{ \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n_{i}}} } \]

em que a linha central é zero e os limites superior e inferior são \(\pm\) 3.

Exemplo (Montgomery, 2009): Dados de pedido de compra para um gráfico de controle para fração não conforme com tamanho de amostra variável.

   Amostra n_i D_i        p_i     Desvio          LIC       LSC        z_i
1        1 100  12 0.12000000 0.02939184  0.007334695 0.1836857  0.8332176
2        2  80   8 0.10000000 0.03286107 -0.003073012 0.1940934  0.1366296
3        3  80   6 0.07500000 0.03286107 -0.003073012 0.1940934 -0.6241490
4        4 100   9 0.09000000 0.02939184  0.007334695 0.1836857 -0.1874740
5        5 110  10 0.09090909 0.02802402  0.011438155 0.1795823 -0.1641846
6        6 110  12 0.10909091 0.02802402  0.011438155 0.1795823  0.4846095
7        7 100  11 0.11000000 0.02939184  0.007334695 0.1836857  0.4929871
8        8 100  16 0.16000000 0.02939184  0.007334695 0.1836857  2.1941397
9        9  90  10 0.11111111 0.03098172  0.002565056 0.1884554  0.5035521
10      10  90   6 0.06666667 0.03098172  0.002565056 0.1884554 -0.9309858
11      11 110  20 0.18181818 0.02802402  0.011438155 0.1795823  3.0797861
12      12 120  15 0.12500000 0.02683095  0.015017345 0.1760031  1.0990961
13      13 120   9 0.07500000 0.02683095  0.015017345 0.1760031 -0.7644232
14      14 120   8 0.06666667 0.02683095  0.015017345 0.1760031 -1.0750098
15      15 110   6 0.05454545 0.02802402  0.011438155 0.1795823 -1.4617730
16      16  80   8 0.10000000 0.03286107 -0.003073012 0.1940934  0.1366296
17      17  80  10 0.12500000 0.03286107 -0.003073012 0.1940934  0.8974082
18      18  80   7 0.08750000 0.03286107 -0.003073012 0.1940934 -0.2437597
19      19  90   5 0.05555556 0.03098172  0.002565056 0.1884554 -1.2896203
20      20 100   8 0.08000000 0.02939184  0.007334695 0.1836857 -0.5277045
21      21 100   5 0.05000000 0.02939184  0.007334695 0.1836857 -1.5483961
22      22 100   8 0.08000000 0.02939184  0.007334695 0.1836857 -0.5277045
23      23 100  10 0.10000000 0.02939184  0.007334695 0.1836857  0.1527566
24      24  90   6 0.06666667 0.03098172  0.002565056 0.1884554 -0.9309858
25      25  90   9 0.10000000 0.03098172  0.002565056 0.1884554  0.1449176

• Gráfico p para tamanho de amostra variável

n_i <- c(100, 80, 80, 100, 110, 110, 100, 100, 90, 90,
         110, 120, 120, 120, 110, 80, 80, 80, 90, 100,
         100, 100, 100, 90, 90)

d_i <- c(12, 8, 6, 9, 10, 12, 11, 16, 10, 6,
         20, 15, 9, 8, 6, 8, 10, 10, 5, 8,
         5, 8, 10, 6, 9)

# Proporções por amostra
p_i <- d_i / n_i

# Fração média global
p_barra <- sum(d_i) / sum(n_i)

# Desvio padrão por amostra
desvio <- sqrt(p_barra * (1 - p_barra) / n_i)

# Limites (sem pmax ou pmin)
LIC <- p_barra - 3 * desvio
LSC <- p_barra + 3 * desvio

# Corrige limites inferiores negativos manualmente
LIC[LIC < 0] <- 0

# Corrige limites superiores maiores que 1
LSC[LSC > 1] <- 1

# Gráfico
plot(p_i, type = "b", pch = 19, col = "lightblue",
     ylim = range(c(LIC, LSC, p_i)),
     xlab = "Amostra", ylab = "Proporção de não conformes",
     main = "Gráfico de Controle p para tamanho de amostra variável")

lines(LIC, col = "red", lty = 2)
lines(LSC, col = "red", lty = 2)
abline(h = p_barra, col = "darkgreen", lwd = 2)

• Gráfico p para tamanho médio de amostra

n = 25

# tamanho médio das amostras
n_barra = sum(n_i)/n

# Fração média global
p_barra <- sum(d_i) / sum(n_i)

# limites de controle

desvio = 3*sqrt((p_barra*(1-p_barra)/n_barra))

LSC = p_barra + desvio
LIC = p_barra - desvio

# Gráfico
plot(p_i, type = "b", pch = 19, col = "lightblue",
     ylim = c(0.005,0.19),
     xlab = "Amostra", ylab = "Proporção de não conformes",
     main = "Gráfico de Controle p para tamanho médio de amostra")

abline(h = c(LSC, LC, LIC), col = c("darkorange", "darkgray", "darkorange"), 
       lty = c(2,1,2), lwd = 2)

• Gráfico de controle padronizado

z_i = (p_i-p_barra)/(sqrt((p_barra*(1-p_barra))/n_i))

LSC = 3

LIC = -3

LC = 0


# Gráfico
plot(z_i, type = "b", pch = 19, col = "lightblue3",
     ylim = c(-4,4),
     xlab = "Amostra", ylab = "Scores z",
     main = "Gráfico de Controle padronizado")

abline(h = c(LSC, LC, LIC), col = c("tomato3", "darkgray", "tomato3"), 
       lty = c(2,1,2), lwd = 2)

Gráfico de controle c (Padrão dado)

• Empregado no controle do número de defeitos por item.

  • Cada item pode apresentar mais de um tipo defeito.

  • Exemplo: aparelhos eletrônicos; placas de um circuito; veículo automotivo.

Suponha que os defeitos ou não-conformidades em uma unidade ocorram segundo uma distribuição Poisson:

\[ p(x) = \dfrac{e^{-c}c^{x}}{x!}, \quad x = 0,1,2,... \] \(x\): número de não-conformidades.

\(c\): média e variância dessa distribuição.

\[\begin{matrix} LSC = & c + 3\sqrt{c} \\ LC = & c \\ LIC = & c - 3\sqrt{c} \\ \end{matrix}\]

Gráfico de controle c (Nenhum padrão dado)

\[\begin{matrix} LSC = & \bar{c} + 3\sqrt{\bar{c}} \\ LC = & \bar{c} \\ LIC = & \bar{c} - 3\sqrt{\bar{c}} \\ \end{matrix}\]

em que \(\bar{c}\) é o número médio estimado de não-conformidades em uma amostra.

Exemplo (Montgomery, 2009): Número de não-conformidade em amostras de 100 placas de circuito impresso.

   Amostra n_i
1        1  21
2        2  24
3        3  16
4        4  12
5        5  15
6        6   5
7        7  28
8        8  20
9        9  31
10      10  25
11      11  20
12      12  24
13      13  16
14      14  19
15      15  10
16      16  17
17      17  13
18      18  22
19      19  18
20      20  39
21      21  30
22      22  24
23      23  16
24      24  19
25      25  17
26      26  15

Gráfico de controle u (Padrão dado)

• Número médio de defeitos por unidade de inspeção.

  • x: número de não-conformidades em uma amostra de unidades de inspeção:

  \[u = \dfrac{x}{n}\]

\(x\) é uma v.a. Poisson.

Gráfico de controle para o número médio de não-conformidade por unidade de inspeção

\[\begin{matrix} LSC = & \bar{u} + 3 \sqrt{\dfrac{\bar{u}}{n}} \\ LC = & \bar{u} \\ LIC = & \bar{u} - 3 \sqrt{\dfrac{\bar{u}}{n}} \\ \end{matrix}\]

Exemplo: tabela 6.10 (Montgomery, 2009)

Um fabricante de microcomputadores deseja estabelecer um gráfico de controle para não-conformidade por unidade na linha de montagem final. O tamanho da amostra é escolhido com 5 computadores.

   Amostra Tamanho x_i u_i
1        1       5  10 2.0
2        2       5  12 2.4
3        3       5   8 1.6
4        4       5  14 2.8
5        5       5  10 2.0
6        6       5  16 3.2
7        7       5  11 2.2
8        8       5   7 1.4
9        9       5  10 2.0
10      10       5  15 3.0
11      11       5   9 1.8
12      12       5   5 1.0
13      13       5   7 1.4
14      14       5  11 2.2
15      15       5  12 2.4
16      16       5   6 1.2
17      17       5   8 1.6
18      18       5  10 2.0
19      19       5   7 1.4
20      20       5   5 1.0

Gráfico u com tamanho de amostra variável

Exemplo: tabela 6.11 (Montgomery, 2009)

Em uma fábrica de acabamento de tecido, pano tingido é inspecionado procurando-se a ocorrência de defeitos por 50 metros quadrados.

   rolo Metro2 x_i  n_i       u_i
1     1    500  14 10.0 1.4000000
2     2    400  12  8.0 1.5000000
3     3    650  20 13.0 1.5384615
4     4    500  11 10.0 1.1000000
5     5    475   7  9.5 0.7368421
6     6    500  10 10.0 1.0000000
7     7    600  21 12.0 1.7500000
8     8    525  16 10.5 1.5238095
9     9    600  19 12.0 1.5833333
10   10    625  23 12.5 1.8400000

• Usando o tamanho médio de amostra

\[\bar{n} = \sum_{i=1}^{n}\dfrac{n_{i}}{m}\]

• Usando os dados padronizados

\[ z_{i} = \dfrac{u_{i} - \bar{u}}{\sqrt{\dfrac{\bar{u}}{n_{i}}}} \]

Resumo: gráfico c versus gráfico u

• Ambos usados para monitorar defeitos (e não unidades defeituosas).

• A diferença está na tamanho da amostra e na forma de padronização.

Comparação Geral

Quando usar?

Exemplos:

Gráfico c: contar riscos por folha de vidro do mesmo tamanho.

Gráfico u: contar falhas em produtos de inspeção com quantidades diferentes.

Conclusão

• Gráfico c: simples e direto quando o tamanho da amostra é constante.
  
• Gráfico u: flexível, ideal para quando o tamanho da amostra varia.
  
• Ambos monitoram número de defeitos (\(\neq\) número de unidades defeituosas).

Exercícios (Louzada et al., 2000)

1. Dados sobre número de canetas defeituosas (que não emitem tinta) em amostras de tamanho 100. Construa um gráfico de controle para a proporção de itens não-conforme. O processo está sob controle? Se não, suponha que causas atribuíveis possam ser encontradas para todos os pontos fora de controle e determine os limites de controle revisados.

2. Em uma empresa são produzidas tampas de caneta de diferentes cores. Quando a quantidade de tampas de uma determinada cor, suficiente para atender à demanda, é produzida, passa-se então a produzir as tampas de ourta cor. Dessa forma, as amostras são estabelecidas de acordo com a cor dos itens produzidos, e o monitoramento da produção de tampas com um formato inadequado pode ser feito em um contexto em que são coletadas amostras de diferentes tamanhos.

   Amostra n_i Defeitos
1        1  80        9
2        2  94        8
3        3  80        8
4        4 104       10
5        5  98        7
6        6  95        7
7        7  84       11
8        8  95        7
9        9  85        6
10      10 128       19
11      11  95       11
12      12 101        8
13      13 122       13
14      14 127       11
15      15 123        6
16      16  90        8
17      17 126       14
18      18  84        6
19      19  94        9
20      20  89        8
21      21 119       10
22      22 130       14
23      23 101       14
24      24 102       27
25      25 109       19

1. Construa os gráficos \(p\) e \(p\) padronizado. O Processo parece estar sobre controle?

2. Faça as revisões necessárias nos limites de controle tentativos, de modo a produzir um conjunto de gráficos de controle para monitorar a produção futura.

3. Dados sobre o número de pares de sapatos defeituosos em amostras de tamanho de 200 pares analisados diariamente, para 25 dias úteis de certo mês.

   Dia Defeitos
1    1        9
2    2       11
3    3       14
4    4        9
5    5       16
6    6       11
7    7       10
8    8       12
9    9        5
10  10       10
11  11        9
12  12       11
13  13        7
14  14        9
15  15       22
16  16       11
17  17        8
18  18       11
19  19        9
20  20       13
21  21        9
22  22        7
23  23        9
24  24        8
25  25       12

1. Estabeleça os limites de controle. Qual a sua conclusão?

2. Qual o menor tamanho de amostra que pode ser usado para este processo e ainda fornecer um limite inferior de controle positivo?

4. Um processo que produz latas de cerveja em lotes de tamanho 50 deve ser controlado pelo uso do gráfico \(np\).

   Lote Defeitos
1     1       11
2     2        6
3     3        9
4     4       12
5     5        8
6     6        7
7     7       14
8     8        9
9     9       14
10   10        9
11   11        9
12   12        8
13   13        6
14   14        6
15   15       11
16   16       12
17   17       22
18   18       15
19   19       20
20   20       13
21   21        8
22   22       13
23   23       13
24   24       12
25   25        9
26   26       11
27   27       11
28   28       14
29   29        9
30   30       11

1. Estabeleça um gráfico de controle para monitorar a produção futura (considere \(p\) = 0,20)

2. Ache o menos tamanho de amostra que dá um limite inferior de controle positivo.

5. Foram contados os defeitos de 20 placas de aparelhos celulares. Estabeleça um gráfico de controle do número de defeitos por placa produzida usando esses dados. O processo parece estat sobre controle estatístico? Se não, suponha que causas atribuíveis possam ser encontradas para todos os pontos fora de controle e calcule os limites de controle revisados

6. Uma fábrica têxtil deseja controlar o número de falhas nas camisetas que fabrica. A unidade de inspeção é definida como 50 camisetas e os dados para 30 amostras (cada uma de tamanho 50) estão na tabela abaixo

   Amostra Falha
1        1    10
2        2    14
3        3     9
4        4     7
5        5    12
6        6     3
7        7     5
8        8     6
9        9    12
10      10    24
11      11    23
12      12     6
13      13     8
14      14     6
15      15     6
16      16     6
17      17    10
18      18     8
19      19     4
20      20    10
21      21    12
22      22     8
23      23     9
24      24     1
25      25     7
26      26     3
27      27    12
28      28    10
29      29     9
30      30    14

1. Estabeleça um gráfico de controle para o número de falhas por unidade de inspeção usando uma linha central c = 8 e examine o processo com relação ao controle estatístico.

2. Refaça o item (a) sem considerar a especificação. Qual a sua conclusão?

7. Reconsidere os dados do exercício 5 e construa um gráfico \(u\) para esse processo. Compare esse gráfico de controle com aquele construído anteriormente e discuta os resultados.

8. Considere novamente os dados do exercício 6. Visto que tais camisetas são comercializadas em amostras de tamanho 50 unidades e que são reunidas duas amostras dessas camisetas em uma caixa para realização de transporte, há interesse em verificar se as caixas transportadas apresentam um padrão de qualidade aceitável. Estabeleça um gráfico \(u\) para controlar esse processo.

Referência

• Bolfarine, H.; Sandoval, M.C. Introducao a Inferencia Estatistica, SBM, 2010;

• LOUZADA, Francisco; DINIZ, Carlos; FERREIRA, Paulo. Controle estatístico de processos: uma abordagem prática para cursos de engenharia e administração. Grupo Gen-LTC, 2000.

• Montgomery, D. C. (2009). Introduction to Statistical Quality Control (7ª ed.). Wiley.

• Exemplos e gráficos produzidos com R base

• Mermaid.js para diagramas visuais