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Sea W la variable aleatoria que da el número de caras menos el número de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Liste los elementos del espacio muestral S para los tres lanzamientos de la moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral.
#Definir los posibles resultados de un lanzamiento de una moneda, en donde puede salir cara o cruce
moneda <- c("C", "+") # C: cara, +: cruz
#Generar un dataframe con todas las combinaciones posibles de 3 lanzamientos
S <- expand.grid(lanzamiento_1 = moneda, lanzamiento_2 = moneda, lanzamiento_3 = moneda)
#Crear una función para calcular W para una fila (una secuencia de lanzamientos)
calcular_W <- function(fila) {
caras <- sum(fila == "C")
cruces <- sum(fila == "+")
return(caras - cruces)
}
#Aplicar la función a cada fila del espacio muestral
S$valores_W <- apply(S, 1, calcular_W) #Guardando los datos de la variable W (a través de la función) en S y por filas (1)
#Mostrar el resultado
print(S)## lanzamiento_1 lanzamiento_2 lanzamiento_3 valores_W
## 1 C C C 3
## 2 + C C 1
## 3 C + C 1
## 4 + + C -1
## 5 C C + 1
## 6 + C + -1
## 7 C + + -1
## 8 + + + -3La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{2(x+2)}{5}, & \text{si } 0 < x < 1 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \]
f.x <- function(x){
if (0 < x & x < 1){
return((2 * (x + 2)) / 5)
} else
return (0)
}
respuesta_a <- integrate(function(x) (2*(x + 2))/5, lower = 0, upper = 1)$value;respuesta_a## [1] 1respuesta_b <- integrate(function(x) (2*(x + 2))/5, lower = 0.25, upper = 0.5)$value
paste("La probabilidad de que más de 1/4 pero menos de 1/2 de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta es:", respuesta_b)## [1] "La probabilidad de que más de 1/4 pero menos de 1/2 de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta es: 0.2375"Calcule la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X que represente el número de unidades defectuosas en el ejercicio 3.11. Luego, utilice F(x) para calcular a) P(X = 1); b) P(0 < X ≤ 2).
pdta: se utilizaron los valores del resultado final de el punto 3.11 del libro, ya que para la realizacion de este punto era necesarios los resultados de dicho ejercicio:
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{2}{7}, & \text{si } x = 0 \\ \frac{4}{7}, & \text{si } x = 1 \\ \frac{1}{7}, & \text{si } x = 2 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \]
# librería para que la respuesta sea en fraccionario
library(MASS)
# Valores de la variable aleatoria X
x <- 0:2
# Probabilidades f(x) del ejercicio 3.11
f_x <- c(2/7, 4/7, 1/7)
# Función de distribución acumulativa F(x)
F_x <- cumsum(f_x)
# Convertir a fracciones
f_x_frac <- fractions(f_x)
F_x_frac <- fractions(F_x)
# Construir la tabla de distribución (RDM)
RDM <- data.frame(
x = x,
`f(x)` = f_x_frac,
`F(x)` = F_x_frac
)
# Mostrar la tabla
cat("Tabla de distribución acumulativa (RDM):\n")## Tabla de distribución acumulativa (RDM):## x f.x. F.x.
## 0 0.2857143 0.2857143
## 1 0.5714286 0.8571429
## 2 0.1428571 1.0000000# a) P(X = 1)
P_X_eq_1 <- fractions(f_x[x == 1])
# b) P(0 < X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2)
P_0_lt_X_leq_2 <- fractions(sum(f_x[x > 0 & x <= 2]))
# Mostrar resultados
cat("\nResultados solicitados:\n")##
## Resultados solicitados:## a) P(X = 1) = 4/7## b) P(0 < X ≤ 2) = 5/7Considere la función de densidad \[ f(x)= \begin{cases} k\sqrt x, 0 < x < 1 \\ 0, otros\ casos \end{cases} \]
Evalúe k.
Calcule F(x) y utilice el resultado para evaluar \[P(0.3 < X <0.6)\]
# Parte a) Cálculo de k
integrand <- function(x) sqrt(x)
integral <- integrate(integrand, lower = 0, upper = 1)$value
k <- 1 / integral
cat("El valor de k es:", k, "\n")## El valor de k es: 1.5#La función de densidad resultante es
f.x21 <- function(x) 1.5*x^(0.5)
# Parte b) Cálculo de F(x) y P(0.3 < X < 0.6)
F <- function(x) integrate(f.x21,lower = 0, upper = x)$value #esto es lo misma a la funcion x^(3/2)
prob <- F(0.6) - F(0.3)
cat("P(0.3 < X < 0.6) =", prob, "\n")## P(0.3 < X < 0.6) = 0.3004412El tiempo que pasa, en horas, antes de que una parte importante de un
equipo electrónico que se utiliza para fabricar un reproductor de DVD
empiece a fallar tiene la siguiente función de densidad: \[
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{2000}exp(-x/2000), x \geq 0 \\
0, x < 0
\end{cases}
\] a) Calcule F(x).
b) Determine la probabilidad de que el componente(y, por lo tanto, el
reproductor de DVD) funcione durante más de 1000 horas antes de que sea
necesario reemplazar el componente.
c) Determine la probabilidad de que el componente falle antes de 2000
horas.
La función de distribución acumulativa de la función de densidad f(x) se define como: \[\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt\] Pero como todas los valores antes de 0 son cero, el límite inferior de la integral se puede reemplazar con un 0. La función acumulativa en código se ve como:
#La función de probabilidad
f_dvd = function(x){
return((1/2000)*exp(-x/2000))
}
#La función acumulativa
F_dvd = function(x){
return( integrate(f_dvd,0,x)$value )
}No se puede mostrar como tal la función acumulativa, mas sin embargo, el código hace lo mismo que la función acumulativa.
Si se quiere hallar la probabiliadd de que dure más de 1000 horas usando la función de probabilidad acumulativa encontrada anteriormente se debe que, hallar la probabilidad de que dure hasta el infinito, menos la probablidad de que dure las 1000 horas, es decir: \[F(x > 1000) = F(\infty) - F(1000)\] En código sale como:
P_dure_mas_1000h = F_dvd(Inf) - F_dvd(1000)
paste("La probabilidad de que dure mas de 1000 horas es de:",P_dure_mas_1000h)## [1] "La probabilidad de que dure mas de 1000 horas es de: 0.60653065971452"Se nos pide la probilidad de que falle antes de 2000 horas, por lo que se usal la función acumulativa encontrada:
P_falle_antes_2000h = F_dvd(2000)
paste("La probablidad de que falle antes de las 2000 horas es de:",P_falle_antes_2000h)## [1] "La probablidad de que falle antes de las 2000 horas es de: 0.632120558828558"