##PROBLEMA 1 El volumen de hojas que una oficina de abogados deposita en un juzgados de sus casos atendidos es una variable aleatoria normal para la cual μ = 1200 y σ = 250. Determine la probabilidad de que el volumen depositado sea menor a 1050 hojas y mayor a 980

Planteamiento del problema

El volumen XX de hojas depositadas sigue una distribución normal:
X∼N(μ=1200,σ=250)
X∼N(μ=1200,σ=250)

Queremos calcular:
P(980<X<1050)
P(980<X<1050)
media <- 1200      # μ = 1200
desviacion <- 250  # σ = 250

Queremos: P(980<X<1050)=P(X<1050)−P(X<980) P(980<X<1050)=P(X<1050)−P(X<980)

# Probabilidades acumuladas
p_1050 <- pnorm(1050, mean = media, sd = desviacion)
p_980 <- pnorm(980, mean = media, sd = desviacion)

# Resultado
probabilidad <- p_1050 - p_980
probabilidad
## [1] 0.08482346
cat("La probabilidad de que el volumen esté entre 980 y 1050 hojas es:", round(probabilidad, 4))
## La probabilidad de que el volumen esté entre 980 y 1050 hojas es: 0.0848

##PROBLEMA 2 Sabemos que los paquetes de 1 libra de carne para hamburguesas tienen un contenido medio de 1.00 lb. con una desviación estándar de 0.13, Si tomamos al azar 50 paquetes de 1 libra de carne para hamburguesas calcule la probabilidad de que el peso medio de los paquetes sea mayor a 1.05 libras

Planteamiento del problema

Sabemos que:

Media poblacional μ=1.00μ=1.00 lb

Desviación estándar σ=0.13σ=0.13 lb

Tamaño de muestra n=50n=50

Queremos calcular:
P(Xˉ>1.05)
P(Xˉ>1.05)

donde XˉXˉ es la media muestral.
mu <- 1.00        # media poblacional
sigma <- 0.13     # desviación estándar poblacional
n <- 50           # tamaño de muestra
se <- sigma / sqrt(n)
se
## [1] 0.01838478
# Probabilidad P(X̄ > 1.05)
prob <- pnorm(1.05, mean = mu, sd = se, lower.tail = FALSE)
prob
## [1] 0.003267637
cat("La probabilidad de que el peso medio de los 50 paquetes supere 1.05 lb es:", round(prob, 4))
## La probabilidad de que el peso medio de los 50 paquetes supere 1.05 lb es: 0.0033

##PROBLEMA 3 Una máquina despachadora de nieve está ajustada para servir un promedio de 30 ml por cono. Si la cantidad de nieve está normalmente distribuida con una varianza de 225 ml. ¿Cuál es la probabilidad de de que un cono contenga entre 25 ml y 35 ml?

Datos del problema

Media μ=30μ=30 ml

Varianza σ2=225σ2=225, por lo tanto:
σ=225=15
σ=225

​=15

Queremos calcular: P(25<X<35) P(25<X<35)

donde X∼N(30,152)X∼N(30,152)

media <- 30            # media (μ)
varianza <- 225        # varianza (σ^2)
desviacion <- sqrt(varianza)  # desviación estándar (σ)

Queremos: P(25<X<35)=P(X<35)−P(X<25) P(25<X<35)=P(X<35)−P(X<25)

p_35 <- pnorm(35, mean = media, sd = desviacion)
p_25 <- pnorm(25, mean = media, sd = desviacion)
probabilidad <- p_35 - p_25
probabilidad
## [1] 0.2611173
cat("La probabilidad de que un cono contenga entre 25 ml y 35 ml es:", round(probabilidad, 4))
## La probabilidad de que un cono contenga entre 25 ml y 35 ml es: 0.2611

##PROBLEMA 4 La cantidad real de café instantáneo que una máquina vierte en frascos de 4 onzas, puede considerarse como una distribución normal que tiene una media de 4,082 onzas y una desviación estándar de 0.04. ¿Porcentaje frascos se llenan con más de 4,090 onzas serán desechados por control de calidad?

Datos del problema

Media μ=4.082μ=4.082 onzas

Desviación estándar σ=0.04σ=0.04

Se desechan los frascos con más de 4.090 onzas

Queremos calcular:
P(X>4.090)
P(X>4.090)
media <- 4.082       # Media (μ)
desviacion <- 0.04   # Desviación estándar (σ)
limite_superior <- 4.090
# P(X > 4.090) = 1 - P(X ≤ 4.090)
prob_desecho <- pnorm(limite_superior, mean = media, sd = desviacion, lower.tail = FALSE)
prob_desecho
## [1] 0.4207403
porcentaje_desecho <- prob_desecho * 100
cat("El porcentaje de frascos desechados es:", round(porcentaje_desecho, 2), "%")
## El porcentaje de frascos desechados es: 42.07 %

##PROBLEMA 5 Un fabricante especifica que su producto sigue el comportamiento de una distribución normal con duración media de 4.5 años con una desviación estándar de 0.5 años. Cuál es la probabilidad de que al adquirir una unidad al azar tenga una duración ente 3.8 y 4.7 años?

Planteamiento del problema

X∼N(μ=4.5,σ=0.5)X∼N(μ=4.5,σ=0.5)

Queremos calcular:
P(3.8<X<4.7)
P(3.8<X<4.7)
media <- 4.5          # media μ
desviacion <- 0.5     # desviación estándar σ
lim_inf <- 3.8        # límite inferior
lim_sup <- 4.7        # límite superior

Queremos: P(3.8<X<4.7)=P(X<4.7)−P(X<3.8) P(3.8<X<4.7)=P(X<4.7)−P(X<3.8)

p_sup <- pnorm(lim_sup, mean = media, sd = desviacion)
p_inf <- pnorm(lim_inf, mean = media, sd = desviacion)
probabilidad <- p_sup - p_inf
probabilidad
## [1] 0.5746651
cat("La probabilidad de que el producto dure entre 3.8 y 4.7 años es:", round(probabilidad * 100, 2), "%")
## La probabilidad de que el producto dure entre 3.8 y 4.7 años es: 57.47 %

##PROBLEMA 5 Se sabe que la prueba de auto estima sigue una distribución normal con una media de 60, con una desviación estándar de 5.83. Si se aplica una prueba de autoestima a 25 personas quienes obtienen una calificación promedio de 62.1 ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea no mas que 62.1?

Planteamiento del problema

Media poblacional: μ=60μ=60

Desviación estándar poblacional: σ=5.83σ=5.83

Tamaño de la muestra: n=25n=25

Media muestral observada: xˉ=62.1xˉ=62.1

Queremos calcular: P(Xˉ≤62.1) P(Xˉ≤62.1)

Donde Xˉ∼N(μ,σn)Xˉ∼N(μ,n ​σ​)

mu <- 60           # media poblacional
sigma <- 5.83      # desviación estándar poblacional
n <- 25            # tamaño de la muestra
x_bar <- 62.1      # media muestral observada
se <- sigma / sqrt(n)
se
## [1] 1.166
prob <- pnorm(x_bar, mean = mu, sd = se)
prob
## [1] 0.9641509
cat("La probabilidad de obtener una media muestral menor o igual a 62.1 es:", round(prob * 100, 2), "%")
## La probabilidad de obtener una media muestral menor o igual a 62.1 es: 96.42 %

##PROBLEMA 6 Las edades de los Estudiantes del prof. Hurtado siguen una distribución Normal con Media de 18.7 y desviación de 1.3. Calcula la Probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga una edad mayor a 19 años.

Enunciado del problema

Las edades de los estudiantes siguen una distribución normal con:

Media μ=18.7μ=18.7

Desviación estándar σ=1.3σ=1.3

Queremos calcular la probabilidad de que un estudiante tenga más de 19 años, es decir: P(X>19) P(X>19)

media <- 18.7          # μ: media
desviacion <- 1.3      # σ: desviación estándar
edad_limite <- 19      # límite de comparación
# Usamos la función pnorm con lower.tail = FALSE para calcular P(X > 19)
prob_mayor_19 <- pnorm(edad_limite, mean = media, sd = desviacion, lower.tail = FALSE)
prob_mayor_19
## [1] 0.408747
cat("La probabilidad de obtener un estudiante mayor de 19 años es:", round(prob_mayor_19, 2))
## La probabilidad de obtener un estudiante mayor de 19 años es: 0.41

##PROBLEMA 7 Las Estaturas de los Estudiantes del prof. Hurtado siguen una distribución Normal con Media de 170 cms y desviación de 8.5. Calcula la Probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga una Estatura mayor a 175 cms.

Planteamiento del problema

La estatura X∼N(μ=170,σ=8.5)X∼N(μ=170,σ=8.5)

Se busca calcular:
P(X>175)
P(X>175)
media <- 170        # μ: media
desviacion <- 8.5   # σ: desviación estándar
estatura_limite <- 175
# Usamos pnorm con lower.tail = FALSE para calcular P(X > 175)
probabilidad <- pnorm(estatura_limite, mean = media, sd = desviacion, lower.tail = FALSE)
probabilidad
## [1] 0.2781872

##PROBLEMA 8 Las edades de los Estudiantes del prof. Hurtado siguen una distribución Normal con Media de 18.7 y desviación de 1.3. Si tomamos una muestra de 25 estudiantes, calcula la Probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga una edad promedio mayor a 21 años.

Enunciado del problema

Distribución de edades: normal con
μ=18.7μ=18.7,
σ=1.3σ=1.3

Tamaño de la muestra: n=25n=25

Queremos calcular:
P(Xˉ>21)
P(Xˉ>21)

Donde XˉXˉ es la media muestral.
mu <- 18.7           # media poblacional
sigma <- 1.3         # desviación estándar poblacional
n <- 25              # tamaño de la muestra
x_barra <- 21        # valor de media muestral a comparar
se <- sigma / sqrt(n)
se
## [1] 0.26
# Usamos pnorm con lower.tail = FALSE para P(X̄ > 21)
probabilidad <- pnorm(x_barra, mean = mu, sd = se, lower.tail = FALSE)
probabilidad
## [1] 4.529368e-19

##PROBLEMA 9 Las Estaturas de los Estudiantes del prof. Hurtado siguen una distribución Normal con Media de 170 cms y desviación de 8.5. Si tomamos una muestra de 25 estudiantes, calcula la Probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga Estatura promedio mayor a 175 cms.

Enunciado

Población con μ=170μ=170, σ=8.5σ=8.5

Tamaño de muestra: n=25n=25

Queremos:
P(Xˉ>175)
P(Xˉ>175)
mu <- 170           # Media poblacional
sigma <- 8.5        # Desviación estándar poblacional
n <- 25             # Tamaño de la muestra
x_bar <- 175        # Media muestral a comparar
se <- sigma / sqrt(n)   # Error estándar
se
## [1] 1.7
# Usamos pnorm con lower.tail = FALSE
probabilidad <- pnorm(x_bar, mean = mu, sd = se, lower.tail = FALSE)
probabilidad
## [1] 0.001634841