自然実験と差分の差 difference in differences デザイン

災害や特定の地域や企業、学校でだけ実施された政策の効果は、自然実験として検討できる場合も
自然実験の分析には差分の差が計算される
差分の差については特に断りのない限り Cunningham (2021) を参照

John Snow のコレラの感染源研究 1

19世紀にロンドンでコレラが流行
当時コレラは瘴気 miasma と呼ばれる気体を介して感染するとする説が支配的
しかし、部屋を密閉したりしても効果なく、お隣でも建物によって感染率が大きく異なるなど、瘴気説に反する事実も
Snow は水道水が汚染されている可能性を疑った

John Snow のコレラの感染源研究 2

感染者の多い建物と少ない建物では、水を供給する水道会社が違うことが判明
感染者を多く出していた A 社は 1849年に取水口をテムズ川の下流から上流に移動（テムズ川の下流は下水によってコレラ菌に汚染されていた）
下流から取水し続けた B 社と、A社の水の利用世帯コレラ患者数（1万世帯当たり 1849年と1854年）を調べると以下のように

	1849年	1854年
A社	85	19
B社	135	147

差分の差の計算

A社利用世帯のコレラ患者数の変化量（差分）は、 \[ 19-85= -66 \] B社の変化量は \[ 147-135 = 12 \] A社の変化量から B社の変化量をひくと \[ -66-12 = -78 \] A社だけで 1849-1854の間に起きた何かが 78人患者を減らした

なぜ処置後のクロスセクショナルな比較だけでは不十分？

Snow の例では「取水口の上流への移動」が処置 treatment
1854年の A社と B社の一万世帯当たり感染者数 (19 と 147) を見ると、A社のほうが少ない。これだけでは証拠として不十分?
取水口の位置以外にも A社と B社のあいだには様々な違いがあり、そのうちのどの要因が感染者数を減らしているのかわからない
- 例えば顧客の豊かさ、栄養状態

なぜ処置群（A社）の時系列的な比較だけでは不十分？

A社では取水口を上流に移動した後一万世帯当たり66人も感染を減らしている。これだけでは証拠として不十分？
取水口を移動しなかった他社でも同様に感染者が減っているかもしれない
- 例えば、ロンドン全体で感染が終息し、B社でも 66人前後患者数が減っているかも
差分の差を示せば、上記 2つの問題を解決できる

差分の差の前提条件：並行性の仮定

差分の差が因果推論として適切であるためには、「もしも処置がなかったら、処置群と統制群の変化量は同じ」、という並行性の仮定 parallel trend assumption が必要
Snow の例では、A社が取水口を上流に移さなかったら、A社も感染者が一万世帯当たり13人増えたはず、という仮定
この仮定が正しいかどうかは証明しようがない（信じるかどうかの問題）

並行性の仮定に説得力を持たせる方法：トレンドのチェック

処置がなされる前後で、従属変数のトレンドが並行であれば、並行性の仮定はもっともらしくなる
以下はそういう説得力のある架空例

図処置の前後でトレンドが平行な架空例

並行性の仮定に説得力がない例二つ

図処置の前後でトレンドが平行でない架空例

差分の差まとめ

何かの変化が特定の事例にだけ起きた場合、差分の差でその変化（処置）の従属変数に対する効果を推定できる
ただし、並行性の仮定に説得力が必要なので、処置群と統制群の従属変数のトレンドを示す必要あり

問題：3変数の関係

必ずしも因果関係の解明がデータ解析の目的ではない
- 事実を記述するだけでじゅうぶん研究として価値のある場合もある
しかし、因果関係が知りたい場合も多い
- しかし、実験できないことも多い
フィールド・データで因果関係を推定したい
以下の内容については、今井 (2018), 高橋 (2022), 太郎丸 (2005) を参照

3変数分析が必要な場合1: 交絡の統制 control

フィールドデータでは、交絡要因 confounder が存在しうるので、処置（因果的効果がどの程度あるか知りたい独立変数）と従属変数／結果変数だけを調べても、正確な因果関係は推定はできないかもしれない
しかし、交絡要因を測定できれば、交絡要因の効果と処置の効果を分離し、処置の効果を正確に推定する方法はある
それゆえ、交絡要因、処置、結果変数のあいだの関係を分析することはよくある

3変数分析が必要な場合2: 交互作用効果の推定

交絡要因がないとしても、交互作用効果を推定したい場合もある、例えば…
- 男女で学歴が賃金に及ぼす影響はどう異なるか?
- 学歴が肥満度に及ぼす影響は国によってどう異なるか?
- 遺伝子が肥満度に及ぼす影響は学歴によってどう異なるか?
これらのような場合、3変数（処置、調整変数、結果）間の関係を記述する必要がある

3変数分析が必要な場合3: 媒介関係 mediation

例1: 親社会的地位 \(\rightarrow\) 子学歴 \(\rightarrow\) 子賃金
例2: ホームチーム (HT) を応援する観客数 \(\rightarrow\) HT を贔屓した判定数 \(\rightarrow\) HT の勝率
上のような因果の連鎖がある場合、子学歴は、親の社会的地位の子学歴に対する効果を媒介している mediate、という
このような効果は間接効果とか、媒介効果とか呼ばれ、子学歴や贔屓した判定の数は媒介変数と呼ばれる
それに対して、学歴や判定数を経由せずに親の社会的地位や観客数が直接子の賃金を引き上げる効果がある場合、直接効果という。例えば、
- 親の社長職を子が継ぐような場合や
- 応援がホームチームを鼓舞してパフォーマンスを高めるような場合

・直接効果・間接効果・総効果

媒介変数は複数ありうる。例えば、
- 親の社会的地位 \(\rightarrow\) 子社会関係資本 \(\rightarrow\) 子賃金、
- HT応援観客数 \(\rightarrow\) HTのモチベーション \(\rightarrow\) HT の勝率
- 実際のデータ分析では、測定された媒介変数では説明できない残余が「直接」効果と推定される
直接効果と間接効果の総和を総効果という
媒介変数や間接効果は、平均処置効果の推定では無視していい
- 例えば、親の社会的地位がどれぐらい賃金を引き上げる効果を持つのか推定したいだけなら、子の学歴は無視していい
しかし、媒介効果の大きさを知りたい場合もある

概念の整理：独立変数と従属変数

独立変数 independent variable : 原因となったり、他の変数を予測するのに役立ったりする変数
- 昔は説明変数 explanatory variable とも言ったが、最近はあまり聞かない
- 因子 factor, 共変量 covariate, 予測変数 predictor など論者による言葉遣いの違いあり
従属変数 dependent variable ／結果変数 outcome variable: 結果に当たる変数、予測される変数

独立変数の分類

処置 Treatment: 因果効果を知りたい注目の独立変数。実際には研究者の介入がなくても、因果推論系の論者はそれを処置と呼ぶ様子
交絡要因 Confounder: 処置と結果変数の両方に影響する変数
媒介変数 Mediating variable, mediator: 処置の影響を受け、結果変数に影響を与える変数

交互作用効果の図示

原因を左、結果を右に配置するのが一般的（だが例外も）
交互作用効果をパス図で図示することはあまりないが、
以下のように図示する場合も

視点による呼び名の相対性

想定する因果関係が同じでも、論者がどの独立変数に注目するかで、各変数の呼び方は変わってくる。例えば、
- 親社会的地位 \(\rightarrow\) 子学歴 \(\rightarrow\) 子賃金という因果連鎖において、親の社会的地位の効果に注目すると、親の社会的地位が処置で、子学歴が媒介変数だが、
- 子学歴に注目する人にとっては、子学歴が処置で親の社会的地位は交絡要因

実際の研究で必要なこと: 第三変数による統制／層化

交絡要因を統制して、処置の因果的な効果がどれぐらいか推定
媒介変数を統制して、処置の直接効果がどれぐらいか推定
調整変数の値によって、処置の効果がどれぐらい変わるか推定

交絡要因、媒介変数、調整変数を第三変数と呼ぶならば、いずれも第三変数の統制 control が必要になる、ということ。

交絡要因の統制の架空例: 統制なし

処置がカフェイン摂取か、プラシボ摂取か、結果が計算問題の点数、交絡要因が教室で座っている位置（前か、後ろか）
単純に処置群と統制群の平均点を図示したのが以下（ナイーブな比較）。処置群のほうが \(84.75 - 54.4 = 30.35\) 点だけ平均点が高い

交絡要因の統制の架空例: 統制あり

以下は座席で被験者を分類し、さらに処置群と統制群に分類して、それぞれの平均点を計算
- 前に座っていた人の平均処置効果は \(90 - 72 = 18\)
- 後ろに座っていた人の平均処置効果は \(75 - 50 = 25\)

交絡要因の統制架空例まとめ

ナイーブな比較で平均処置効果を過大に推定してしまっているのは、前に座っている人ほど処置群に割り当てられやすく、前に座っている人ほど計算が早く正確だったから
座席別に計算した平均処置効果は、それぞれ座席は一定なので、座席の位置の影響を排除できている
座席別ではなく、全体の平均処置効果が知りたい場合、二つの平均処置効果をそれぞれの人数で重みづけして平均すればよい。この例では、前に座っていたのが 170 人、後ろに座っていたのが 230 人、平均処置効果がそれぞれ、18、25 なので、 \[ \frac{170}{400} \times 18 + \frac{230}{400} \times 25 = 22 \]

交絡要因の統制／層化まとめ

上の例のように、第三変数（上の例では座席の位置）でサンプルを分類し、それぞれのサブサンプルについて、平均値を比較したり、相関係数を計算したり、… したりすることを第三変数で統制するとか、層化 stratify するという。
上の例では結果変数が連続変数、処置が離散変数だったが、結果変数が離散変数だったり、処置が連続変数の場合もある。そのときも、層化してからクロス表を作ったり、相関係数を計算したりすれば、交絡要因の効果を排除できる

交絡要因の統制：補足

処置が3つ以上のカテゴリからなる場合、上の架空例のような平均値の比較を3通り行う必要あり。
- 例えば、プラシボ、カフェイン少し、カフェイン多い、の三つの群ごとに計算問題の平均点を計算し、「プラシ vs カフェ少」「プラシ vs カフェ多」「カフェ少 vs カフェ多」で比較
ナイーブな比較はしたほうがよいが、最終的にレポートや論文に書くことは必須ではない
上の例では、座席の位置と処置の関連をきちんと示していないが、確認したほうが良い（レポート等に示すべきかはケースバイケース）

間接／直接効果分割の架空例: 総効果

母学歴が処置、子学歴が媒介変数、子収入が結果変数、交絡要因は存在しないと仮定する
母学歴の総効果（平均処置効果）は \(300 - 243 = 57\)

間接／直接効果分割の架空例: 直接効果

子が高学歴のときの母学歴の平均処置効果は、\(316 - 295 = 21\)
子が低学歴のときの母学歴の平均処置効果は、\(216 - 201 = 15\)
全体の平均処置効果は \(0.56 \times 21 + 0.44 \times 15 = 18\)

間接効果の計算

\(総効果 - 直接効果 = 間接効果\)
\(57 - 18 = 39\)
間接効果の推定はパス解析、構造方程式モデリング、媒介分析と呼ばれるような手法を用いるのが一般的で (小杉 and 清水 2014; 豊田 2014)、ここで紹介した方法とは若干異なる推定結果になる場合もある

第三変数の統制／層化の限界

実際には交絡要因は複数あることが多いし、カテゴリも3つ以上あることも多い。交絡要因が連続変数である場合も
そのとき、層別の分析をすると、多数の層に分類する必要があるが、処置群または統制群のいずれかの人数がゼロになってしまう場合も
- 例えば 3カテゴリからなる交絡要因が 5 つあれば、サンプルを \(3^5=243\) の層に分類する必要あり
そのため、応用的な研究では回帰分析や傾向スコアを使って因果関係が推定されることが多い

マッチング

統制群のデータは豊富にあるが処置群のデータは希少、交絡要因は多数ある場合、処置群の個々人に関して、交絡要因が全く同じ値の人を統制群から選んで、処置群の人と対照群の人を一対一、または一対数人で対応させて、処置効果を推定する場合がある。
こういった対応付けをマッチングという。
交絡要因の値が同じ人同士を比較するという意味では、マッチングも層化の一種
交絡要因の分布を処置群に合わせた場合の平均因果効果を推定するので、これを Average Treatment effect of Treated (ATT) と呼ぶ

マッチングの架空例

地下アイドルの推し活が主観的幸福感を高めるかどうかの研究
推し活している人が処置群、そうでない人が統制群

id	処置	性別	年齢	年収	幸福感
1	処置群	男	18	0	4
2	処置群	女	42	300	3
3	処置群	女	37	200	3
4	処置群	女	55	700	5
5	統制群	男	18	0	3
6	統制群	女	42	300	4
7	統制群	女	37	200	3
8	統制群	女	55	700	2

ATT の計算

平均処置効果 \((1 - 1 + 0 + 3)\div 4 = 0.75\)

マッチングの実際

層化する場合と同様に、交絡要因がすべてピッタリと同じ値をとるペアを作ることは難しい場合も多い
そこで「できるだけ似ている」人を選んでマッチングする場合も
「できるだけ似ている」人どうしをマッチングする方法はいろいろ提唱されているが、割愛（傾向スコアマッチングが一番人気）

交互作用効果

カフェイン計算実験の例では、カフェインの平均処置効果は前に座っていると 18 後ろだと 25 であった。平均処置効果には、7 の差がある。このような差を交互作用効果という。
母子学歴と子収入の例では、母学歴の平均処置効果は、子が高学歴だと21 子が低学歴だと 14.7538462 であった。交互作用効果は、6 である。
応用的な研究では交互作用効果や平均処置効果、等の検定や信頼区間の推定が必要（D科目や E科目で勉強してください）

パネルデータ panel data による交絡要因の統制

パネルデータ：同じ事例に関して繰り返し同じ事柄を測定したデータ
- 毎日同じ大学生たちに、主観的幸福感とその日の主な活動（授業、サークル活動、アルバイト、等々）を尋ねる
- OECD諸国の2003-2023の大学進学率と一人当たりGDPを調べる
同じ事例に関して時間による変化が調べられる

パネルデータの架空例

48時間以内に「他人に親切にした」かどうかが処置（1: した, 0: しなかった）、調査時の主観的幸福感（0～10）が結果、交絡は性格などいろいろ（測定されていないが、性格だけ便宜的にデータに示す）

id	性格	親切1週目	親切2週目	親切3週目	幸福感1週目	幸福感2週目	幸福感3週目
1	A	1	0	1	9	5	10
2	A	0	1	0	5	10	5
3	A	1	1	1	8	9	9
4	A	1	0	1	10	4	10
5	B	0	1	0	5	8	3
6	B	0	0	0	5	0	3
7	B	0	0	1	1	1	9
8	B	1	0	0	9	1	2

ロングフォーマットへの変換

データは前ページのように1つの行が一つの事例を表すように整理するのが普通だが、パネルデータの場合、以下のように整理することも多い。
前者をワイドフォーマット／ワイドデータ、後者をロングフォーマット／ロングデータという

	id	性格	週	親切	幸福感
1.1	1	A	1	1	9
1.2	1	A	2	0	5
1.3	1	A	3	1	10
2.1	2	A	1	0	5
2.2	2	A	2	1	10
2.3	2	A	3	0	5
3.1	3	A	1	1	8
3.2	3	A	2	1	9
3.3	3	A	3	1	9
4.1	4	A	1	1	10
4.2	4	A	2	0	4
4.3	4	A	3	1	10
5.1	5	B	1	0	5
5.2	5	B	2	1	8
5.3	5	B	3	0	3
6.1	6	B	1	0	5
6.2	6	B	2	0	0
6.3	6	B	3	0	3
7.1	7	B	1	0	1
7.2	7	B	2	0	1
7.3	7	B	3	1	9
8.1	8	B	1	1	9
8.2	8	B	2	0	1
8.3	8	B	3	0	2

個人id による層化

id \(= 1\) の親切にした時の平均幸福感が \((10+9)/2 = 9.5\)、親切にしなかったときは \(5/1 = 5\)、平均処置効果は \(9.5-5=4.5\)
id \(= 2\) の親切にした時の平均幸福感が \(10 / 1 = 10\)、親切にしなかったときは \((5+5)/2 = 5\) 、平均処置効果は \(10-5=5\)
以下同様に計算したのが下の表（NA はいつも親切、またはいつも親切でないので計算できないセル）

	親切にした時	しなかったとき	平均処置効果
1	9.5	5.0	4.5
2	10.0	5.0	5.0
3	8.7	NA	NA
4	10.0	4.0	6.0
5	8.0	4.0	4.0
6	NA	2.7	NA
7	9.0	1.0	8.0
8	9.0	1.5	7.5

全体の平均処置効果とパネルデータ分析の限界

平均処置効果は、回答者によって異なるが、それらを平均すると全体の平均処置効果が得られる。上の例の場合、5.8
個人 id で層化すると、時間によって変化しない個人の特性はすべて統制できる（同じ個人内で比較しているから）
- 幼少期の体験、性格、学歴など調査期間内に変化しないものはすべて統制可
しかし、時間によって変化する特性は統制できない
個人内で処置が変化しないと分析できない
このような分析は固定効果モデルと呼ばれる分析法と基本的には同じ

理論的知識の活用

観察されていない交絡要因は、観察されない異質性 Unobserved Heterogeneity (UH) と呼ばれる。
フィールドデータでは UH の統制は困難な場合も多いが、理論的知識を活用することで想定される UH によるバイアスを否定できる場合もある
このような理論から演繹される予測の活用は、プラセボ (Cunningham 2021)、デリベーション (Lave and March 1975) など呼び方はいろいろ

理論的知識の活用の例 (Rosenbaum 2017 の例をアレンジ)

米国で銃器購入規制の暴力犯罪抑止効果を調べるために、銃器購入規制を2022年から導入した A州と、導入しなかった B州の 2021年と 2022年の殺人、強盗の発生件数を調べたら、A州では両者の件数が減少したが、B州では減少しなかったとする
差分の差は銃規制の抑止効果を示しているが、並行性の仮定が成り立たない可能性も
例えば、A州では当該期間に景気が上向いたが、B州では景気変動がなかったため、A州でだけ暴力犯罪が減ったのかもしれない。
もしも上の批判が正しければ、A州では窃盗のような暴力を伴わない犯罪も減少したはず
調べてみると A州では窃盗は減少しておらず、景気変動のように、財産犯罪全般に影響する要因がA州にだけ働いていた、という可能性は否定された

参考: 3変数の関連のパターン

以下の図では因果の向きを無視し、関連があるかどうかだけ検討
3変数の関連は、以下の4つと交互作用あり（対数線形モデルでは飽和モデルと呼ばれる）の合計5種類に分類できる
交互作用は 9枚目のスライドのように図示される場合もあるが、因果の向きを無視する場合、図示できない (Wickens 1989)

文献

Cunningham, Scott. 2021. Causal Inference: The Mixtape. Yale University Press （加藤真大他訳, 2023, 『因果推論入門ミックステープ：基礎から現代的アプローチまで』技術評論社）.

Lave, Charles A., and James G. March. 1975. An Introduction to Models in the Social Sciences. New York: Harper & Row （佐藤嘉倫・大澤定順・都築一治訳, 1992, 『社会科学のためのモデル入門』ハーベスト社）.

Rosenbaum, Paul. 2017. Observation and Experiment: An Introduction to Causal Inference. Harvard University Press（阿部貴行・岩崎学訳, 2021, 『ローゼンバウム統計的因果推論入門: 観察研究とランダム化実験』共立出版）.

Wickens, Thomas D. 1989. Multiway Contingency Tables Analysis for the Social Sciences. Mahwah: Lawrence Erlbaum Associations.

今井耕介. 2018. 社会科学のためのデータ分析入門　（上）（下）. 岩波書店.

太郎丸博. 2005. 人文・社会科学のためのカテゴリカル・データ解析入門. ナカニシヤ出版.

小杉孝司, and 清水裕士, eds. 2014. M-plusとRによる構造方程式モデリング入門. 北大路書房.

豊田秀樹, ed. 2014. 共分散構造分析 : 構造方程式モデリング R編. 東京: 東京図書.

高橋将宜. 2022. 統計的因果推論の理論と実装: 潜在的結果変数と欠測データ. 共立出版.

id	性格	親切1週目	親切2週目	親切3週目	幸福感1週目	幸福感2週目	幸福感3週目
1	A	1	0	1	9	5	10
2	A	0	1	0	5	10	5
3	A	1	1	1	8	9	9
4	A	1	0	1	10	4	10
5	B	0	1	0	5	8	3
6	B	0	0	0	5	0	3
7	B	0	0	1	1	1	9
8	B	1	0	0	9	1	2

	id	性格	週	親切	幸福感
1.1	1	A	1	1	9
1.2	1	A	2	0	5
1.3	1	A	3	1	10
2.1	2	A	1	0	5
2.2	2	A	2	1	10
2.3	2	A	3	0	5
3.1	3	A	1	1	8
3.2	3	A	2	1	9
3.3	3	A	3	1	9
4.1	4	A	1	1	10
4.2	4	A	2	0	4
4.3	4	A	3	1	10
5.1	5	B	1	0	5
5.2	5	B	2	1	8
5.3	5	B	3	0	3
6.1	6	B	1	0	5
6.2	6	B	2	0	0
6.3	6	B	3	0	3
7.1	7	B	1	0	1
7.2	7	B	2	0	1
7.3	7	B	3	1	9
8.1	8	B	1	1	9
8.2	8	B	2	0	1
8.3	8	B	3	0	2

id	性格	親切1週目	親切2週目	親切3週目	幸福感1週目	幸福感2週目	幸福感3週目
1	A	1	0	1	9	5	10
2	A	0	1	0	5	10	5
3	A	1	1	1	8	9	9
4	A	1	0	1	10	4	10
5	B	0	1	0	5	8	3
6	B	0	0	0	5	0	3
7	B	0	0	1	1	1	9
8	B	1	0	0	9	1	2

	id	性格	週	親切	幸福感
1.1	1	A	1	1	9
1.2	1	A	2	0	5
1.3	1	A	3	1	10
2.1	2	A	1	0	5
2.2	2	A	2	1	10
2.3	2	A	3	0	5
3.1	3	A	1	1	8
3.2	3	A	2	1	9
3.3	3	A	3	1	9
4.1	4	A	1	1	10
4.2	4	A	2	0	4
4.3	4	A	3	1	10
5.1	5	B	1	0	5
5.2	5	B	2	1	8
5.3	5	B	3	0	3
6.1	6	B	1	0	5
6.2	6	B	2	0	0
6.3	6	B	3	0	3
7.1	7	B	1	0	1
7.2	7	B	2	0	1
7.3	7	B	3	1	9
8.1	8	B	1	1	9
8.2	8	B	2	0	1
8.3	8	B	3	0	2

差分の差と3変数間の関連