##PROBLEMA 1 Durante un largo periodo se ha observado que un determinado tirador da en el blanco en un solo intento en un diez por ciento de las ocasiones. Suponga que el tirador hace 10 tiros al blanco ¿Cuál es la probabilidad de que dé al blanco no mas de dos veces?

PASO 1 Planteamiento del problema Probabilidad de acierto en un solo disparo: p = 0.10 Número de disparos: n = 10 Variable aleatoria: número de aciertos X∼Binomial(n=10,p=0.10)X∼Binomial(n=10,p=0.10) Queremos encontrar: P(X≤2)P(X≤2)

n <- 10       # número de disparos
p <- 0.10     # probabilidad de acierto en un disparo

PASO 2 Calcular la probabilidad de que el tirador acierte como máximo 2 veces

Queremos encontrar: P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

probabilidad <- pbinom(q = 2, size = n, prob = p)
probabilidad
## [1] 0.9298092
cat("La probabilidad de que el tirador acierte como máximo 2 veces es:", round(probabilidad, 4))
## La probabilidad de que el tirador acierte como máximo 2 veces es: 0.9298

##PROBLEMA 2 Durante un largo periodo se ha observado que un determinado tirador da en el blanco en un solo intento en un treinta por ciento de las ocasiones. ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer acierto sea al menos en la quinta tirada?

PASO 1 Planteamiento del problema Probabilidad de acierto en un disparo: p = 0.30 Queremos saber: ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer acierto ocurra en la quinta tirada o después? Eso significa: P(X≥5) P(X≥5) donde XX es la tirada en la que se logra el tercer acierto. En la distribución binomial negativa, usamos la función pnbinom() en R, pero recuerda que: pnbinom(q, size, prob) devuelve la probabilidad de que el número de fallos antes del r-ésimo acierto sea menor o igual a q. Para P(X≥5)P(X≥5), calculamos: P(X≥5)=1−P(X≤4) P(X≥5)=1−P(X≤4)

p <- 0.30     # probabilidad de acierto
r <- 3        # número de aciertos buscados
x <- 4        # queremos P(X >= 5), es decir, al menos en la 5ta tirada

PASO 2 Calcular la probabilidad

La distribución binomial negativa se usa para modelar la cantidad de intentos necesarios hasta obtener cierto número de éxitos.

Aquí usamos: P(X≥5)=1−P(X≤4) P(X≥5)=1−P(X≤4)

donde XX es el número de tiros hasta obtener el 3er acierto.

# P(X <= 4) para obtener el tercer acierto en la 4ta tirada o antes
prob_menor_igual_4 <- pnbinom(q = 1, size = r, prob = p)

# P(X >= 5)
prob_mayor_igual_5 <- 1 - prob_menor_igual_4
prob_mayor_igual_5
## [1] 0.9163
cat("La probabilidad de que el tercer acierto ocurra al menos en la quinta tirada es:", round(prob_mayor_igual_5, 4))
## La probabilidad de que el tercer acierto ocurra al menos en la quinta tirada es: 0.9163

##PROBLEMA 3 Una compañía telefónica recibe llamadas a razón de 4 por minuto. calcular la probabilidad de recibir más de 10 llamadas en 5 minutos.

Planteamiento del problema

La tasa de llamadas es: 4 por minuto Queremos calcular la probabilidad de recibir más de 10 llamadas en 5 minutos Entonces:

λ=4×5=20λ=4×5=20 (tasa esperada de llamadas en 5 minutos) Variable aleatoria: X∼Poisson(20)X∼Poisson(20) Queremos calcular: P(X>10)=1−P(X≤10) P(X>10)=1−P(X≤10)

tasa_por_minuto <- 4      # tasa de llamadas por minuto
tiempo <- 5               # minutos de observación
lambda <- tasa_por_minuto * tiempo  # tasa total esperada en 5 minutos
lambda
## [1] 20
prob_mas_de_10 <- 1 - ppois(q = 10, lambda = lambda)
prob_mas_de_10
## [1] 0.9891883
cat("La probabilidad de recibir más de 10 llamadas en 5 minutos es:", round(prob_mas_de_10, 4))
## La probabilidad de recibir más de 10 llamadas en 5 minutos es: 0.9892

##PROBLEMA 4 Una compañía telefónica recibe llamadas a razón de 4 por minuto. calcular la probabilidad de recibir menos de 10 llamadas en 5 minuto.

Planteamiento del problema Tasa de llamadas: 4 por minuto Intervalo de observación: 5 minutos Entonces, la media esperada de llamadas en 5 minutos es: λ=4×5=20 λ=4×5=20 Variable aleatoria: X∼Poisson(20)X∼Poisson(20) Queremos encontrar: P(X<10)=P(X≤9) P(X<10)=P(X≤9)

# Tasa de llamadas por minuto
tasa_por_minuto <- 4

# Tiempo total en minutos
tiempo_minutos <- 5

# Media (lambda) esperada en 5 minutos
lambda <- tasa_por_minuto * tiempo_minutos
lambda
## [1] 20
prob_menos_de_10 <- ppois(q = 9, lambda = lambda)
prob_menos_de_10
## [1] 0.004995412
cat("La probabilidad de recibir menos de 10 llamadas en 5 minutos es:", round(prob_menos_de_10, 4))
## La probabilidad de recibir menos de 10 llamadas en 5 minutos es: 0.005

##PROBLEMA 5 Un embarque de 80 alarmas contra robo contiene 4 que son defectuosas. Si del embarque se seleccionan al azar 3 de ellas y son enviadas a un cliente. ¿Encuentre la probabilidad de que el cliente reciba exactamente una alarma defectuosa?

Planteamiento del problema Total de alarmas: N = 80 Alarmas defectuosas: D = 4 Alarmas no defectuosas: N - D = 76 Se seleccionan: n = 3 alarmas Queremos calcular la probabilidad de que exactamente 1 sea defectuosa

Esto corresponde a una variable aleatoria hipergeométrica: X∼Hipergeomeˊtrica(N=80,K=4,n=3) X∼Hipergeomeˊtrica(N=80,K=4,n=3)

Y queremos: P(X=1) P(X=1)

N <- 80     # total de alarmas
K <- 4      # número de alarmas defectuosas
n <- 3      # número de alarmas seleccionadas
x <- 1      # número de defectuosas deseadas
probabilidad <- dhyper(x = x, m = K, n = N - K, k = n)
probabilidad
## [1] 0.1387537
cat("La probabilidad de que el cliente reciba exactamente una alarma defectuosa es:", round(probabilidad, 4))
## La probabilidad de que el cliente reciba exactamente una alarma defectuosa es: 0.1388

##PROBLEMA 6 Una caja de focos contiene 12 unidades, 3 de los cuales están fundidos. De la caja, se elige al azar una muestra de 4 focos. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente uno de los focos seleccionados este fundido?

Planteamiento del problema Total de focos en la caja: N = 12 Focos fundidos: K = 3 Focos buenos: N - K = 9 Tamaño de la muestra: n = 4 Queremos calcular: P(X=1) P(X=1) donde XX es el número de focos fundidos seleccionados.

Esto es una distribución hipergeométrica: X∼Hipergeomeˊtrica(N=12, K=3, n=4) X∼Hipergeomeˊtrica(N=12, K=3, n=4)

N <- 12    # Total de focos
K <- 3     # Focos fundidos
n <- 4     # Tamaño de la muestra
x <- 1     # Focos fundidos deseados en la muestra
probabilidad <- dhyper(x = x, m = K, n = N - K, k = n)
probabilidad
## [1] 0.5090909
cat("La probabilidad de seleccionar exactamente un foco fundido es:", round(probabilidad, 4))
## La probabilidad de seleccionar exactamente un foco fundido es: 0.5091

##PROBLEMA 7 Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿Cuáles son las probabilidades de que reciba, no mas de cuatro cheques sin fondo en un día dado?

Planteamiento del problema Promedio de cheques sin fondo por día: λ=6λ=6 Queremos calcular: P(X≤4) P(X≤4) donde X∼Poisson(6)X∼Poisson(6)

lambda <- 6  # promedio de cheques sin fondo por día
probabilidad <- ppois(q = 4, lambda = lambda)
probabilidad
## [1] 0.2850565
cat("La probabilidad de recibir no más de 4 cheques sin fondo en un día es:", round(probabilidad, 4))
## La probabilidad de recibir no más de 4 cheques sin fondo en un día es: 0.2851

##PROBLEMA 8 La Compañía D afirma que 85% de las semillas de maíz que venden, germina. Pepito tiene que hacer un experimento para su escuela y decide hacer un germinador, en donde siembra 10 semillas de maíz de la compañía D, y desea conocer, ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 9 semillas germinen?

Planteamiento del problema Número de semillas sembradas: n=10n=10 Probabilidad de que una semilla germine: p=0.85p=0.85 Queremos calcular: P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10) P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10) donde X∼Binomial(n=10,p=0.85)X∼Binomial(n=10,p=0.85)

n <- 10      # número total de semillas sembradas
p <- 0.85    # probabilidad de que una semilla germine
# P(X = 9)
prob_9 <- dbinom(x = 9, size = n, prob = p)

# P(X = 10)
prob_10 <- dbinom(x = 10, size = n, prob = p)

# P(X >= 9)
prob_al_menos_9 <- prob_9 + prob_10
prob_al_menos_9
## [1] 0.5442998
cat("La probabilidad de que germinen al menos 9 semillas es:", round(prob_al_menos_9, 4))
## La probabilidad de que germinen al menos 9 semillas es: 0.5443

##PROBLEMA 9 Entre los 120 solicitantes para un trabajo, solo 80 son realmente aptos. Si 5 de los solicitantes se seleccionan al azar para una entrevista más extensa, ¿Encuentre la probabilidad de que no menos 2 de los 5 sean aptos para el trabajo?

Planteamiento del problema Total de solicitantes: N = 120 Aptos: K = 80 No aptos: N - K = 40 Se seleccionan: n = 5 solicitantes Queremos la probabilidad de que no menos de 2 (es decir, 2, 3, 4 o 5) de ellos sean aptos.

Esto significa: P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

Alternativamente: P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1) P(X≥2)=1−P(X=0)−P(X=1)

N <- 120     # Total de solicitantes
K <- 80      # Solicitantes aptos
n <- 5       # Tamaño de la muestra
# P(X = 0): ninguno apto
p0 <- dhyper(x = 0, m = K, n = N - K, k = n)

# P(X = 1): solo uno apto
p1 <- dhyper(x = 1, m = K, n = N - K, k = n)

# P(X ≥ 2)
p_al_menos_2 <- 1 - (p0 + p1)
p_al_menos_2
## [1] 0.958184
cat("La probabilidad de que al menos 2 de los 5 seleccionados sean aptos es:", round(p_al_menos_2, 4))
## La probabilidad de que al menos 2 de los 5 seleccionados sean aptos es: 0.9582

##PROBLEMA 10 La probabilidad de que un estudiante elegido al azar apruebe el segundo parcial de probabilidad y estadística es de 0.8.¿Cuál es la probabilidad de que el quinto estudiante elegido al azar sea el tercero en aprobar el examen?

Planteamiento del problema

Probabilidad de aprobar: p=0.8p=0.8 Buscamos que el tercer éxito (estudiante que aprueba) ocurra exactamente en el quinto intento. Esto es: P(X=5 para el tercer aprobado)=dnbinom(x=2,size=3,prob=0.8) P(X=5 para el tercer aprobado)=dnbinom(x=2,size=3,prob=0.8)

p <- 0.8         # Probabilidad de aprobar
r <- 3           # Número de aprobados deseados (éxitos)
x <- 5 - r       # Número de desaprobados antes del tercer aprobado
probabilidad <- dnbinom(x = x, size = r, prob = p)
probabilidad
## [1] 0.12288
cat("La probabilidad de que el quinto estudiante sea el tercero en aprobar es:", round(probabilidad, 4))
## La probabilidad de que el quinto estudiante sea el tercero en aprobar es: 0.1229