Tarea técnicas de conteo

Ejercicio 3.9

La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{2(x+2)}{5}, & 0 < x < 1 \\\\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \] a) Demuestre que \(P(0 < X < 1) = 1\)

2. Calcule la probabilidad de que más de 1/4 pero menos de 1/2 de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta

##

Solución

Parte a

# Se Verifica que f(x) es una función de densidad válida

f.x <- function(x){
  ifelse(x > 0 & x < 1, (2*(x + 2))/5, 0)
}

# La integral de f(x) entre 0 y 1

resultado_a <- integrate(f.x, lower = 0, upper = 1)

cat("P(0 < X < 1) =", resultado_a$value)

## P(0 < X < 1) = 1

Parte b

# Se calcula la probabilidad de que X esté entre 1/4 y 1/2

f.x <- function(x){
  ifelse(x > 0 & x < 1, (2*(x + 2))/5, 0)}

# La integral entre 1/4 y 1/2

resultado_b <- integrate(f.x, lower = 1/4, upper = 1/2)


library(MASS)
cat("P(1/4 < X < 1/2) =", resultado_b$value, "\n")

## P(1/4 < X < 1/2) = 0.2375

cat("Fracción equivalente: ")

## Fracción equivalente:

print(fractions(resultado_b$value))

## [1] 19/80

#

Ejercicio 3.15

Calcule la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X que represente el número de unidades defectuosas en el ejercicio 3.11. Luego, utilice F(x) para calcular

1. \(P(X = 1)\);

2. \(P(0 < X \leq 2)\).

##

Solución

Función de distribución acumulativa del ejercicio 3.11

library(MASS)

F_x <- function(x) {
  if (x < 0) {
    return(0)
  } else if (x < 1) {
    return(2/7)
  } else if (x < 2) {
    return(6/7)
  } else {
    return(1)}}

Parte a

P_X_1 <- F_x(1) - F_x(0)
cat("a) P(X = 1) =", P_X_1, "\n")

## a) P(X = 1) = 0.5714286

Parte b

P_0_X_2 <- F_x(2) - F_x(0)
cat("b) P(0 < X ≤ 2) =", P_0_X_2, "\n")

## b) P(0 < X ≤ 2) = 0.7142857

#

Ejercicio 3.21

Considere la función de densidad

\[ f(x) = \begin{cases} k \sqrt{x}, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{en otro caso}. \end{cases} \]

Parte a

1. Evalúe k.

\[ \int_0^1 k \sqrt{x} = 1 \]

Si es una función de densidad su integral debe dar 1

\[ k\int_0^1\sqrt{x} = 1 \]

valor <- integrate(function(x){sqrt(x)} , lower = 0, upper = 1)$value
library(MASS)
fractions(valor)

## [1] 2/3

\[ k \times \frac{2}{3} = 1 \]

k <- 1/(2/3)
fractions(k)

## [1] 3/2

Parte b

Calcule F(x) y utilice el resultado para evaluar ( P(0.3 < X < 0.6).

f.x <- function(x){sqrt(x)}
F.x <- function(x){integrate(f.x,lower = 0,upper = x)$value} #0 < x < 1
P_0.3_0.6 <- F.x(0.6) - F.x(0.3)
cat("b) P(0.3 < X < 0.6) =", P_0.3_0.6, "\n")

## b) P(0.3 < X < 0.6) = 0.2002942

#

Ejercicio 3.27

El tiempo que pasa, en horas, antes de que una parte importante de un equipo electrónico que se utiliza para fabricar un reproductor de DVD empiece a fallar tiene la siguiente función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2000} \exp\left(-\frac{x}{2000}\right), & x \geq 0, \\ 0, & x < 0. \end{cases} \]

Parte a

1. Calcule F(x).

   # La función de distribución acumulada F(x) es:
   # F(x) = 1 - exp(-x/2000),  para x >= 0
   #        0               ,  para x < 0
   
   F <- function(x) {
     ifelse(x >= 0, 1 - exp(-x / 2000), 0)
   }

   Parte b

2. Determine la probabilidad de que el componente (y, por lo tanto, el reproductor de DVD) funcione durante más de 1000 horas antes de que sea necesario reemplazar el componente.

   # Queremos calcular: P(X > 1000) = 1 - F(1000) = exp(-1000/2000)
   
   lambda <- 1 / 2000  # tasa de la distribución exponencial
   
   P_mas_1000 <- exp(-1000 * lambda)
   
   cat("b) P(X > 1000):\n")

   ## b) P(X > 1000):

   cat(sprintf("P(X > 1000) ≈ %.4f (%.2f%%)\n\n", P_mas_1000, P_mas_1000 * 100))

   ## P(X > 1000) ≈ 0.6065 (60.65%)

   Parte c

3. Determine la probabilidad de que el componente falle antes de 2000 horas.

   # Queremos calcular: P(X < 2000) = F(2000) = 1 - exp(-2000/2000)
   
   P_menos_2000 <- 1 - exp(-2000 * lambda)
   
   cat("c) P(X < 2000):\n")

   ## c) P(X < 2000):

   cat(sprintf("P(X < 2000) ≈ %.4f (%.2f%%)\n\n", P_menos_2000, P_menos_2000 * 100))

   ## P(X < 2000) ≈ 0.6321 (63.21%)

Gráfica

# Gráfica de la función de densidad
curve(dexp(x, rate = lambda), from = 0, to = 10000,
      col = "#6A5ACD", lwd = 2, ylab = "f(x)",
      main = "Función de Densidad Exponencial")
abline(v = c(1000, 2000), col = "#d6336c", lty = 2)

# Gráfica de la función de distribución acumulada
curve(pexp(x, rate = lambda), from = 0, to = 10000,
      col = "#FFB6C1", lwd = 2, ylab = "F(x)",
      main = "Función de Distribución Acumulada")
abline(v = c(1000, 2000), col = "#d6336c", lty = 2)

#

Ejercicio 3.33

Suponga que cierto tipo de pequeñas empresas de procesamiento de datos están tan especializadas que algunas tienen dificultades para obtener utilidades durante su primer año de operación. La función de densidad de probabilidad que caracteriza la proporción Y que obtiene utilidades está dada por :

\[ f(x) = \begin{cases} ky^4(1 −y)^3, 0≤y ≤1, \\ 0, \text{en otro caso}. \end{cases} \]

1. ¿Cuál es el valor de k que hace de la anterior una función de densidad válida ?
2. Calcule la probabilidad de que al menos 50% de las empresas tenga utilidades durante el primer año.
3. Calcule la probabilidad de que al menos 80% de las empresas tenga utilidades durante el primer año.

Parte a

# Integramos simbólicamente f(y) sin k para encontrar su integral en [0,1]

f_base <- function(y) { y^4 * (1 - y)^3 }

integral_base <- integrate(f_base, lower = 0, upper = 1)$value
k <- 1 / integral_base
cat("a) La constante k es:", k, "\n")

## a) La constante k es: 280

### Definir la función de densidad completa f(y)
f.y <- function(y){
  ifelse(y >= 0 & y <= 1, k * y^4 * (1 - y)^3, 0)
}

# Verificar si la integral en [0,1] es 1, esto nos demuestra si es una función de densidad valida 
verificacion <- integrate(f.y, lower = 0, upper = 1)

# Mostrar el resultado
cat("La integral de f(y) en [0,1] es:", verificacion$value, "\n")

## La integral de f(y) en [0,1] es: 1

Parte b

Se usa el integrate() para calcular el área bajo la curva entre 0.5 y 1

\[ P(Y \geq 0.5) = \int_{0.5}^{1} f(y)\,dy \]

#Se usa el integrate() para calcular el área bajo la curva entre 0.5 y 1
prob_b <- integrate(f.y, lower = 0.5, upper = 1)$value
cat("b) La probabilidad de que Y ≥ 0.5 es:", prob_b, "\n")

## b) La probabilidad de que Y ≥ 0.5 es: 0.6367188

#Esta área representa la proporción de empresas que tienen utilidades iguales o mayores al 50%

Parte c

Al igual que el punto anterior se usa el area bajo la curva con la función establecido en R Study, área bajo la curva de la función de densidad desde 𝑦=0.5 hasta y=1

\[ P(Y \geq 0.8) = \int_{0.8}^{1} f(y)\,dy \]

prob_c <- integrate(f.y, lower = 0.8, upper = 1)$value
cat("c) La probabilidad de que Y ≥ 0.8 es:", prob_c, "\n")

## c) La probabilidad de que Y ≥ 0.8 es: 0.0562816