La Distribution Normale

DJIBRINE ISSA ISSA

2025-06-01

Définition:

La distribution normale, également appelée loi normale ou courbe de Gauss, est une distribution de probabilité continue en forme de cloche, qui décrit la façon dont les valeurs d’une variable aléatoire sont réparties autour de la moyenne.La distribution normale est très utilisée en statistiques, en sciences naturelles et sociales, car de nombreuses variables (comme la taille, le poids, les erreurs de mesure) ont une répartition qui tend vers une loi normale, notamment grâce au théorème central limite.

Formule mathématique :

plot(1, type = "n", axes = FALSE, xlab = "", ylab = "")
text(1, 1, expression(f(x) == frac(1, sigma * sqrt(2 * pi)) * 
     exp(- (x - mu)^2 / (2 * sigma^2))), cex = 1.5)

μ est la moyenne (mean)

σ est l’écart-type (standard deviation)

x est la variable aléatoire

Avant de commencer l’analyse des données, vous pouvez déterminer si vos données ont une distribution normale de deux façons. 1- Méthodes graphiques (histogramme, etc.) 2- Méthodes statistiques (test de Hapiro-Wilk et test de Kolmogorov-Smirnov)

Graphique de Histogramme

#### Avant de commencer l’analyse des données, vous pouvez déterminer si vos données ont une distribution normale, c’est-à-dire un contrôle de normalité de deux manières.

Méthodes de test de normalité dans R

1. Les méthodes graphiques permettent de se faire une idée rapide de la normalité ou non de la distribution (par exemple, le tracé d’un histogramme).

2. Sur le plan statistique, nous appliquons des tests de normalité pour vérifier si les données sont normalement distribuées (par exemple, le test de Shapiro-Wilk et le test de Kolmogorov-Smirnov).

1- Dessiner un histogramme en R

notes_de_Examen<-c(40, 52, 65, 15, 30, 100, 90, 55, 45, 74, 80, 36, 25, 65, 60, 40, 45, 78, 50, 70)
hist(notes_de_Examen, breaks = "Sturges", freq = NULL, right = TRUE, col = c('#5799c6'), main="Notes d'Examen ")

En jetant un coup d’œil rapide à ce graphique, on peut faire une certaine interprétation de la distribution normale, mais nous pouvons effectuer un test statistique distinct.

2- Test de normalité de Shapiro-Wilk

notes_de_Examen<-c(40, 52, 65, 15, 30, 100, 90, 55, 45, 74, 80, 36, 25, 65, 60, 40, 45, 78, 50, 70)
shapiro.test(notes_de_Examen)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  notes_de_Examen
## W = 0.99021, p-value = 0.9984

Hypothèse

Tout d’abord, formulons notre hypothèse :

H0 : Les données sont normalement distribuées.

H1 : Les données ne sont pas normalement distribuées.

Commentaire :

Probabilité d’erreur : α = 0,05 a été choisi comme probabilité d’erreur (le niveau de signification p a été fixé à 5 %).

La valeur p = 0,9984, étant donné que cette valeur est supérieure à la probabilité d’erreur (0,9984 > 0,05), l’hypothèse H0 ne peut être rejetée. En d’autres termes, au niveau de signification α = 0,05 (niveau de confiance de 95 %), nous pouvons dire que les données ont une distribution normale.

Explication claire et concrète de la distribution normale (ou loi normale) avec des exemples de la vie réelle et professionnelle, pour bien comprendre à quoi elle sert.

Pourquoi est-elle si importante ?

Parce que de nombreux phénomènes naturels, humains, économiques et techniques suivent approximativement cette distribution, surtout quand ils sont influencés par de nombreux petits facteurs aléatoires.

Exemples dans la vie réelle

1. Taille des êtres humains

Si tu mesures la taille de milliers de personnes dans un pays, tu vas obtenir une courbe en cloche.

Exemple : moyenne de 170 cm, avec un écart-type de 7 cm.

La majorité des gens sont proches de la moyenne, et très peu mesurent 140 cm ou 200 cm.

2. Notes d’examen

Si un examen est bien équilibré, les résultats suivent souvent une loi normale :

Beaucoup d’élèves autour de la moyenne (ex : 10/20)

Peu d’excellents (19-20) ou de très mauvais (0-1)

Exemples dans la vie professionnelle

1. Finance & risque (actuariat, banque, assurance)

Les rendements journaliers de certaines actions sont approximativement normaux à court terme.

Les modèles de VaR (Value at Risk) partent parfois d’une hypothèse de normalité.

En actuariat, on suppose que certaines variables (comme le nombre moyen de sinistres ou des montants assurés transformés) sont normales.

2. Contrôle qualité en industrie

Les mesures d’un produit fabriqué (ex : diamètre d’un roulement à billes) varient un peu à cause des machines → souvent selon une distribution normale.

En résumé

La loi normale est un outil fondamental car :

Elle modélise bien des phénomènes naturels

Elle permet de prendre des décisions (ex : seuils, tests)

Elle est au cœur de nombreuses méthodes statistiques : estimation, tests d’hypothèse, intervalles de confiance…