MODÈLE À VARIABLE DÉPENDANTE LIMITÉE
Le modèle Tobit généralisé (Type II Tobit, ou modèle Heckit à sélection d’échantillon)
Réalisé par
La SG-SERVICE
Date :
01 juin 2025
INTRODUCTION
Le modèle Tobit généralisé ou Type II Tobit, également appelé modèle Heckit est :
- Une extension du Tobit simple (Type I).
- Surtout adapté dans le cas où il y a des données tronquées.
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Rappel : Les données tronquées sont des observations manquantes ou incomplètes sur la variable d’outcome, \(Y\), et/ou sur certaines variables \(X_i\), à cause d’un biais de sélection de l’échantillon.
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Deux cas de sélection : Le biais de sélection peut survenir à deux niveaux :
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La constitution de l’échantillon (sujets sélectionnés vs. non sélectionnés).
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Les groupes analysés (sujets répondants vs. non répondants).
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Probit prédisant la non-réponse (équation de participation ou de sélection) :
\[ y_{1i} = \begin{cases} 1, & \text{si } y_{1i}^* > 0 \\ 0, & \text{sinon} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad y_{1i}^* = \mathbf{z}\boldsymbol{\gamma} + v \tag{1} \]
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Linéaire sur le sous-échantillon des données disponibles (équation d’intérêt) :
\[ y_{2i} = \begin{cases} y_{2i}^*, & \text{si } y_{1i}^* > 0 \\ -, & \text{sinon} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad y_{2i}^* = \mathbf{x}\boldsymbol{\beta} + u \tag{2} \]
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Le vecteur de \(\boldsymbol{x}\) doit être un sous-ensemble inclus dans le vecteur de \(\boldsymbol{z}\).
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Avoir au moins un élément de \(\boldsymbol{z}\) qui n’est pas dans \(\boldsymbol{x}\) (affectant la sélection \(\boldsymbol{y_{1i}}\), mais n’a pas d’effet sur \(\boldsymbol{y_{2i}}\)) n’est généralement pas nécessaire pour estimer le Heckit.
- Les termes d’erreur, \(v\) et \(u\), des deux équations suivent une distribution normale bivariée.
- Cette hypothèse permet une corrélation entre \(v\) et \(u\), et donc la possibilité du biais de sélection de l’échantillon.
- L’espérance conditionnelle de l’équation d’outcome (2) est :
- Si \(\rho_{vu} = 0\), le terme \(\lambda(w_v)\) n’apparaît pas dans l’équation (3).
- Les MCO de \(y_2\) sur \(\mathbf{x}\) sur l’échantillon sélectionné estiment les coefficients \(\boldsymbol{\beta}\) de manière convergente.
- Si \(\rho_{vu} \ne 0\), biais d’une variable omise, \(\lambda(\cdot)\).
- Estimer le modèle sans \(\lambda(\cdot)\) conduit à un biais d’une variable omise (⇒ problème de sélection de l’échantillon).
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Heckman a montré que le biais de sélection d’échantillon peut être considéré comme un biais de variable omise, où la variable omise est λ(·).
\[ \mathbb{E}(y_2 \mid y_1^* > 0) = \mathbf{x} \boldsymbol{\beta} + \sigma_{vu} \lambda(w_v) \tag{4} \]
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Donc, il y a deux composantes de l’effet sur y2 :Effet direct via β (équation 4 : y2* = xβ + u), qui reflète l’impact des variables explicatives sur y2 dans la sous-population sélectionnée ;Effet indirect : une variable ayant un effet sur la probabilité y1* > 0 influence également y2 via λ(·) (effet de sélection).Le modèle de Heckman (ou modèle Heckit) est estimé par la technique de full-information maximum likelihood, qui maximise la log-vraisemblance de la distribution jointe de y1 et y2.
CAS PRATIQUE :
Modèle Tobit généralisé→ Package nécessaire :
install.packages("sampleSelection") # Installer au besoin library(sampleSelection) # Charger les packages→ Préparer les données :
data("Mroz87",package="sampleSelection") # Charger la base # Affichage des données du jeu de données kable(Mroz87[1:8, 1:5])lfp hours kids5 kids618 age 1 1610 1 0 32 1 1656 0 2 30 1 1980 1 3 35 1 456 0 3 34 1 1568 1 2 31 1 2032 0 0 54 1 1440 0 2 37 1 1020 0 0 54 → Ajustement du modèle Tobit généralisé :
# Création de la variable Mroz87$expersq <- Mroz87$exper^2 # Modèle de Heckman : sélection = lfp, outcome = wage model_heckman <- selection( selection = lfp ~ age + educ + kids5 + kids618 + huswage, outcome = wage ~ educ + exper + expersq, data = Mroz87, method = "2step") # Affihage des résultats summary(model_heckman)## -------------------------------------------- ## Tobit 2 model (sample selection model) ## 2-step Heckman / heckit estimation ## 753 observations (325 censored and 428 observed) ## 13 free parameters (df = 741) ## Probit selection equation: ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) 0.582748 0.468543 1.244 0.213986 ## age -0.037070 0.007514 -4.933 9.99e-07 *** ## educ 0.144492 0.023520 6.143 1.32e-09 *** ## kids5 -0.890015 0.113394 -7.849 1.47e-14 *** ## kids618 -0.053683 0.040190 -1.336 0.182050 ## huswage -0.041469 0.012389 -3.347 0.000857 *** ## Outcome equation: ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## (Intercept) -3.9122739 1.3441735 -2.911 0.00372 ** ## educ 0.5568889 0.0785780 7.087 3.19e-12 *** ## exper 0.0447469 0.0612940 0.730 0.46560 ## expersq -0.0006785 0.0018326 -0.370 0.71130 ## Multiple R-Squared:0.1252, Adjusted R-Squared:0.1169 ## Error terms: ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) ## invMillsRatio 1.0076 0.6829 1.475 0.141 ## sigma 3.1801 NA NA NA ## rho 0.3168 NA NA NA ## --------------------------------------------→ Les résultats du modèle Tobit généralisé en image :
→ Interprétation des résultats du modèle Heckit :
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Équation de sélection (probit) : elle modélise la probabilité que la femme participe au marché du travail (
lfp = 1) en fonction de caractéristiques personnelles et familiales :-
Âge (
age) : coefficient négatif significatif (p < 0.001) ⇒ Les femmes plus âgées sont moins susceptibles de participer au marché du travail. -
Éducation (
educ) : coefficient positif significatif (p < 0.001) ⇒ Les femmes plus éduquées sont plus susceptibles de travailler. -
Enfants de moins de 5 ans (
kids5) : effet très négatif et significatif (p < 0.001) ⇒ Avoir de jeunes enfants réduit fortement la probabilité de travailler.
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Âge (
-
Suite Équation de sélection (probit) :
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Enfants de 6 à 18 ans (
kids618) : non significatif (p = 0.18) ⇒ Pas d’effet significatif. -
Salaire du mari (
huswage) : coefficient négatif significatif (t = -3.35, p < 0.001) ⇒ Un revenu plus élevé du mari réduit la probabilité que la femme travaille. - Conclusion (sélection) : Les femmes jeunes, diplômées, sans jeunes enfants, et dont le mari gagne moins sont plus susceptibles de participer au marché du travail.
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Enfants de 6 à 18 ans (
-
Équation de résultat (log-salaire conditionnel) : elle
estime le logarithme du salaire horaire pour les femmes ayant un emploi
(
lfp = 1).-
Éducation (
educ) : effet positif et significatif (p < 0.001) ⇒ Un niveau d’éducation plus élevé est associé à un meilleur salaire. -
Expérience (
exper) : effet non significatif (p = 0.465) ⇒ Pas d’effet significatif. -
Carré de l’expérience (
expersq) : également non significatif (p = 0.711) ⇒ Pas d’évidence de rendement croissant ou décroissant.
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Éducation (
- Conclusion (résultat) : L’éducation semble être le facteur dominant dans la détermination du salaire.
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Termes d’erreurs et biais de sélection
- Lambda (invMillsRatio) : 1.0076, non significatif (p = 0.141) ⇒ pas de biais de sélection détecté.
- Rho (ρ) : 0.317 ⇒ Corrélation modérée entre les erreurs.
- Sigma (σ) : 3.18 ⇒ Écart-type des erreurs.
- Conclusion (sélection vs OLS) : L’absence de significativité du terme de correction (Lambda) indique que le biais de sélection n’est pas un problème majeur.
MERCI POUR VOTRE ATTENTION !!!
DÉFINITION
Le modèle Heckit se compose de deux équations :
→ Restriction d’exclusion :
→ Les hypothèses sur la distribution des termes d’erreurs :
→ Suite : Les hypothèses sur la distribution des termes d’erreurs
\[ \begin{bmatrix} y_{1i}^* \\ y_{2i}^* \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma z_i \\ \beta x_i \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_i \\ u_i \end{bmatrix} ; \quad \begin{bmatrix} v_i \\ u_i \end{bmatrix} \sim \mathcal{N}\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \rho_{vu} \\ \rho_{vu} & \sigma_u^2 \end{bmatrix} \right) \]
où le zéro désigne la moyenne de deux termes d’erreur ; \(v \sim \mathcal{N}(0,1)\) ; \(u \sim \mathcal{N}(0, \sigma_u)\) et \(\rho_{vu}\) est le coefficient de corrélation entre les deux termes d’erreur.
ESPÉRANCE CONDITIONNELLE
L’espérance conditionnelle de l’équation d’outcome (2) est donnée par :
\[ \mathbb{E}(y_2 \mid y_1^* > 0) = \mathbb{E}(y_2 \mid v > - z\gamma) = \mathbb{E}(x\beta + u \mid v > - z\gamma) \]
\[ = x\beta + \mathbb{E}(u \mid v > - z\gamma) = x\beta + \rho_{vu} \sigma_u \lambda(w_v) \]
\[ \mathbb{E}(y_2 \mid y_1^* > 0) = x\beta + \sigma_{vu} \lambda(w_v) \]
\[ \text{où } \sigma_{vu} = \rho_{vu} \sigma_u, \quad \rho_{vu} = \frac{\sigma_{vu}}{\sigma_v \sigma_u}, \quad \lambda(w_v) = \frac{\varphi(z\gamma)}{\Phi(z\gamma)} \]
avec \(\varphi\) la densité et \(\Phi\) la fonction de répartition de la loi normale standard.
\[ \mathbb{E}(y_2 \mid y_1^* > 0) = \mathbf{x} \boldsymbol{\beta} + \underbrace{\sigma_{vu}}_{\rho_{vu} \sigma_v \sigma_u = \rho_{vu} \sigma_u} \lambda(w_v) \tag{3} \]