Les regles

Tirem tants daus com vulguem, però si traiem un 6 en un d’ells, ens quedem amb zero punts.

Quants punts traurem?

Si tirem \(n\) daus i no surt cap 6 traurem \(3 \cdot n\) punts de mitjana, i la probabilitat de no treure cap sis és \((5/6)^n\). Aleshores, en cada tirada podem esperar \(3 \cdot n \cdot (5/6)^n\) punts de de mitjana.

n <- 1:20
enozero <- 3*n
pzero <- 1-(5/6)^n
etot <- enozero*(1-pzero)
plot(n, pzero, ylim=c(0,1),
     xlab="daus", ylab="probabilitat de treure un zero",
     main="Probabilitat de zero punts")

plot(n, etot, ylim=c(0,6.5),
     xlab="daus", ylab="esperança del nombre de punts",
     col="red", 
     main="Esperança")

knitr::kable(data.frame(daus=n, `mitjana si no zero`=enozero, `probabilitat(0)`=pzero, `probabilitat no zero`=1-pzero, `esperança(punts)`=etot))
daus mitjana.si.no.zero probabilitat.0. probabilitat.no.zero esperança.punts.
1 3 0.1666667 0.8333333 2.500000
2 6 0.3055556 0.6944444 4.166667
3 9 0.4212963 0.5787037 5.208333
4 12 0.5177469 0.4822531 5.787037
5 15 0.5981224 0.4018776 6.028164
6 18 0.6651020 0.3348980 6.028164
7 21 0.7209184 0.2790816 5.860715
8 24 0.7674320 0.2325680 5.581633
9 27 0.8061933 0.1938067 5.232781
10 30 0.8384944 0.1615056 4.845167
11 33 0.8654120 0.1345880 4.441403
12 36 0.8878433 0.1121567 4.037640
13 39 0.9065361 0.0934639 3.645091
14 42 0.9221134 0.0778866 3.271236
15 45 0.9350945 0.0649055 2.920746
16 48 0.9459121 0.0540879 2.596219
17 51 0.9549268 0.0450732 2.298735
18 54 0.9624390 0.0375610 2.028296
19 57 0.9686991 0.0313009 1.784149
20 60 0.9739159 0.0260841 1.565043

Amb una simulació

N0 <- 1e6
nmax <- 10
talls <- (-.5:(5*nmax+.5))
# amb simulació zero al sis
for (n in 1:nmax) {
  N <- N0/n
  mostra <- replicate(N, {
    daus <- sample(1:6, n, replace=TRUE)
    if (max(daus)==6) {0} else {sum(daus)}
  } )
  hist(mostra, breaks=talls, freq = FALSE, main=paste(n, "daus"),
       xlab="punts", ylab="probabilitat")
  abline(v=mean(mostra), col="red", lty=2)
  abline(v=mean(mostra[mostra>0]), col="blue", lty=2)
  print(summary(mostra))
  pzero <- sum(mostra==0)/N
  cat("Mitjana de punts si no és zero:", round(mean(mostra[mostra>0])),"\n")
  cat("Probabilitat de treure zero:", round(pzero*100,1), "%\n")
  cat("Probabilitat de no treure zero:", round((1-pzero)*100,1), "%\n")
  cat("Mitjana de punts total:", round(mean(mostra),2),"\n")
}

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.000   1.000   2.000   2.498   4.000   5.000 
## Mitjana de punts si no és zero: 3 
## Probabilitat de treure zero: 16.7 %
## Probabilitat de no treure zero: 83.3 %
## Mitjana de punts total: 2.5

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.000   0.000   5.000   4.174   7.000  10.000 
## Mitjana de punts si no és zero: 6 
## Probabilitat de treure zero: 30.5 %
## Probabilitat de no treure zero: 69.5 %
## Mitjana de punts total: 4.17

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.000   0.000   6.000   5.215   9.000  15.000 
## Mitjana de punts si no és zero: 9 
## Probabilitat de treure zero: 42.1 %
## Probabilitat de no treure zero: 57.9 %
## Mitjana de punts total: 5.22

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.000   0.000   0.000   5.763  12.000  20.000 
## Mitjana de punts si no és zero: 12 
## Probabilitat de treure zero: 51.9 %
## Probabilitat de no treure zero: 48.1 %
## Mitjana de punts total: 5.76

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.000   0.000   0.000   6.025  14.000  25.000 
## Mitjana de punts si no és zero: 15 
## Probabilitat de treure zero: 59.8 %
## Probabilitat de no treure zero: 40.2 %
## Mitjana de punts total: 6.02

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##    0.00    0.00    0.00    6.02   16.00   30.00 
## Mitjana de punts si no és zero: 18 
## Probabilitat de treure zero: 66.6 %
## Probabilitat de no treure zero: 33.4 %
## Mitjana de punts total: 6.02

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.000   0.000   0.000   5.898  16.000  34.000 
## Mitjana de punts si no és zero: 21 
## Probabilitat de treure zero: 71.9 %
## Probabilitat de no treure zero: 28.1 %
## Mitjana de punts total: 5.9

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.000   0.000   0.000   5.585   0.000  38.000 
## Mitjana de punts si no és zero: 24 
## Probabilitat de treure zero: 76.7 %
## Probabilitat de no treure zero: 23.3 %
## Mitjana de punts total: 5.59

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.000   0.000   0.000   5.249   0.000  43.000 
## Mitjana de punts si no és zero: 27 
## Probabilitat de treure zero: 80.5 %
## Probabilitat de no treure zero: 19.5 %
## Mitjana de punts total: 5.25

##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   0.000   0.000   0.000   4.798   0.000  48.000 
## Mitjana de punts si no és zero: 30 
## Probabilitat de treure zero: 84 %
## Probabilitat de no treure zero: 16 %
## Mitjana de punts total: 4.8