1. Log Linear Model

Analisis data kategorik merupakan bagian penting dalam statistika terapan karena banyak fenomena di dunia nyata yang menghasilkan data dalam bentuk kategori, seperti jenis kelamin, status pekerjaan, tingkat pendidikan, preferensi konsumen, atau hasil diagnosis medis. Data kategori ini umumnya dianalisis menggunakan tabel kontingensi, model log-linier, dan model regresi logistik. Masing-masing pendekatan memiliki kekuatan dan kelemahan tergantung pada tujuan analisis dan struktur data.

Tabel kontingensi digunakan sebagai langkah awal eksplorasi untuk melihat hubungan antara dua atau lebih variabel kategorik. Misalnya, dalam studi tentang efek obat terhadap serangan jantung, tabel kontingensi dapat menyajikan jumlah pasien yang mengalami atau tidak mengalami serangan jantung, berdasarkan jenis obat yang dikonsumsi. Tabel ini membantu mengidentifikasi pola awal dan menghitung ukuran asosiasi seperti odds ratio, risk ratio, dan chi-square statistic untuk menguji independensi antar variabel.

Namun, ketika ingin membangun model statistik yang dapat mengendalikan efek dari banyak variabel dan interaksinya secara simultan, maka model log-linier menjadi sangat berguna. Model log-linier adalah bentuk khusus dari Generalized Linear Model (GLM) yang digunakan pada frekuensi sel dalam tabel kontingensi dan mengasumsikan distribusi Poisson. Tidak seperti regresi logistik, model log-linier tidak menetapkan variabel mana yang dependen dan mana yang independen, karena seluruh variabel diperlakukan secara simetris. Model ini lebih cocok ketika tujuan analisis adalah untuk memahami struktur asosiasi atau independensi antar variabel, bukan untuk prediksi.

Struktur model log-linier ditentukan berdasarkan efek utama dari masing-masing variabel serta interaksi di antara variabel-variabel tersebut. Misalnya, dalam tabel kontingensi tiga arah (misalnya: jenis kelamin, status merokok, dan penyakit paru), model log-linier dapat membedakan apakah interaksi dua variabel cukup menjelaskan data, ataukah diperlukan interaksi tiga arah untuk menangkap struktur asosiasinya. Penyesuaian model dapat dilakukan menggunakan metode likelihood ratio test untuk membandingkan model sederhana dengan model lebih kompleks.

Di sisi lain, regresi logistik adalah pendekatan paling umum ketika terdapat satu variabel kategorik yang secara eksplisit dianggap sebagai variabel dependen (misalnya, kejadian penyakit: ya/tidak), dan satu atau lebih variabel kategorik atau numerik sebagai prediktor. Model ini memodelkan logit dari probabilitas kejadian (yaitu log odds), dan sangat berguna dalam studi observasional dan eksperimental untuk menjelaskan atau memprediksi peluang suatu outcome. Regresi logistik juga memiliki ekstensi untuk outcome kategorik lebih dari dua kelas, seperti regresi logistik multinomial dan regresi logistik ordinal.

Dengan demikian, meskipun ketiganya beroperasi pada data kategorik, tabel kontingensi bersifat deskriptif, model log-linier bersifat eksploratif terhadap hubungan simetris, sedangkan regresi logistik bersifat prediktif terhadap outcome kategorik. Pemilihan metode tergantung pada apakah fokus utama analisis adalah deskripsi, eksplorasi struktur, atau prediksi hasil berdasarkan variabel penjelas. Kombinasi dari ketiganya sering digunakan dalam praktik untuk memperoleh pemahaman komprehensif dari data kategorik yang dianalisis.

Ringkasan Dalam analisis data kategorik, terdapat beberapa pendekatan statistik yang umum digunakan, antara lain:

Tabel Kontingensi: penyajian frekuensi gabungan dari dua atau lebih variabel kategorik.
Model Loglinear: digunakan untuk memodelkan struktur asosiasi di dalam tabel kontingensi tanpa menganggap ada variabel dependen.
Model Regresi Logistik: digunakan untuk memodelkan probabilitas dari kategori variabel dependen berdasarkan variabel independen. Meskipun ketiganya dapat digunakan pada data kategorik, pendekatan dan interpretasinya sangat berbeda.”

Tabel Kontingensi

Tabel kontingensi menyajikan jumlah frekuensi dari kombinasi kategori antar variabel.

Contoh tabel 2x2:

table_data <- matrix(c(30, 20, 50, 70), nrow=2, 
       dimnames = list(Obat = c("Timolol", "Placebo"),
                       Serangan = c("Ya", "Tidak")))
table_data

##          Serangan
## Obat      Ya Tidak
##   Timolol 30    50
##   Placebo 20    70

Tabel kontingensi bersifat deskriptif dan tidak melibatkan pemodelan probabilitas.

Model Log Linier

Model loglinear memodelkan logaritma dari ekspektasi frekuensi sel dalam tabel kontingensi.

\[ log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda_i^A + \lambda_j^B + \lambda_{ij}^{AB} \]

Cocok untuk menyelidiki asosiasi dan independensi antar variabel.
Tidak membedakan antara variabel respon dan penjelas.
Umumnya digunakan pada tabel multi-dimensi (2 arah, 3 arah, dst).

library(MASS)
loglm(~ Obat * Serangan, data = table_data)

## Call:
## loglm(formula = ~Obat * Serangan, data = table_data)
## 
## Statistics:
##                  X^2 df P(> X^2)
## Likelihood Ratio   0  0        1
## Pearson            0  0        1

Model Regresi Logistik

Model regresi logistik biner:

\[ log(\frac{p}{1-p}) = \beta_0 + \beta_1x \]

Digunakan jika ada variabel dependen kategorik (biasanya biner).
Bertujuan untuk memprediksi probabilitas suatu outcome.
Umumnya digunakan dalam studi observasional atau eksperimental.

Contoh:

data_glm <- data.frame(
  Serangan = c(1, 0, 1, 0),
  Obat = factor(c("Timolol", "Timolol", "Placebo", "Placebo")),
  Frek = c(30, 20, 50, 70)
)
model_logit <- glm(Serangan ~ Obat, weights = Frek, family = binomial, data = data_glm)
summary(model_logit)

## 
## Call:
## glm(formula = Serangan ~ Obat, family = binomial, data = data_glm, 
##     weights = Frek)
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  
## (Intercept)  -0.3365     0.1852  -1.817   0.0692 .
## ObatTimolol   0.7419     0.3430   2.163   0.0305 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 235.08  on 3  degrees of freedom
## Residual deviance: 230.31  on 2  degrees of freedom
## AIC: 234.31
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

Perbandingan Ketiga Pendekatan

Aspek	Tabel Kontingensi	Model Loglinear	Regresi Logistik
Tujuan	Deskripsi frekuensi	Deteksi asosiasi	Prediksi probabilitas
Variabel dependen	Tidak ada	Tidak ada (simetris)	Ada (eksplisit)
Distribusi	Tidak diasumsikan	Poisson (frekuensi sel)	Binomial (probabilitas)
Bentuk Model	Tidak ada	GLM: $\log(\mu) \sim$ efek	GLM: $logit(p) \sim$ prediktor
Cocok untuk	Eksplorasi awal	Tabel $>$ 2 variabel	Studi prediktif

1.1 Tabel Kontingensi dan Model Loglinier

Tabel kontingensi menyajikan frekuensi dari kombinasi kategori antar dua atau lebih variabel. Misal:

# Contoh tabel 2x2
matrix(c(30, 20, 50, 70), nrow=2,
       dimnames = list(Obat = c("Timolol", "Placebo"),
                       Serangan = c("Ya", "Tidak")))

##          Serangan
## Obat      Ya Tidak
##   Timolol 30    50
##   Placebo 20    70

Model log-linier untuk tabel I x J dapat dituliskan:

\[ log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda_i^T + \lambda_j^R + \lambda_{ij}^{TR} \]

1.2 Model Saturated

Model saturated atau model penuh menyertakan seluruh efek utama dan interaksi:

Cocok sempurna terhadap data
Tidak mengasumsikan independensi antar variabel

Contoh formulasi untuk tabel 2x2:

# Data
library(MASS)
data <- matrix(c(35, 65, 45, 55), nrow=2, byrow=TRUE)
dimnames(data) <- list(Obat = c("Timolol", "Placebo"), Serangan = c("Ya", "Tidak"))
ftable(data)

##         Serangan Ya Tidak
## Obat                     
## Timolol          35    65
## Placebo          45    55

Model saturated dapat dipasang dengan loglm dari package {MASS}:

model_saturated <- loglm(~ Obat * Serangan, data = data)
summary(model_saturated)

## Formula:
## ~Obat * Serangan
## attr(,"variables")
## list(Obat, Serangan)
## attr(,"factors")
##          Obat Serangan Obat:Serangan
## Obat        1        0             1
## Serangan    0        1             1
## attr(,"term.labels")
## [1] "Obat"          "Serangan"      "Obat:Serangan"
## attr(,"order")
## [1] 1 1 2
## attr(,"intercept")
## [1] 1
## attr(,"response")
## [1] 0
## attr(,".Environment")
## <environment: R_GlobalEnv>
## 
## Statistics:
##                  X^2 df P(> X^2)
## Likelihood Ratio   0  0        1
## Pearson            0  0        1

1.3 Model Independent

Model independen mengasumsikan bahwa tidak ada interaksi antara variabel:

\[ log(\mu_{ij}) = \mu + \lambda_i^T + \lambda_j^R \]

Model ini menguji hipotesis bahwa variabel X dan Y saling independen.

model_indep <- loglm(~ Obat + Serangan, data = data)
summary(model_indep)

## Formula:
## ~Obat + Serangan
## attr(,"variables")
## list(Obat, Serangan)
## attr(,"factors")
##          Obat Serangan
## Obat        1        0
## Serangan    0        1
## attr(,"term.labels")
## [1] "Obat"     "Serangan"
## attr(,"order")
## [1] 1 1
## attr(,"intercept")
## [1] 1
## attr(,"response")
## [1] 0
## attr(,".Environment")
## <environment: R_GlobalEnv>
## 
## Statistics:
##                       X^2 df  P(> X^2)
## Likelihood Ratio 2.087576  1 0.1485015
## Pearson          2.083333  1 0.1489147

1.4 Odds Ratio dan Interpretasi

Odds ratio untuk tabel 2x2:

\[ OR = \frac{n_{11}n_{22}}{n_{12}n_{21}} \]

Interpretasi nilai OR:

OR = 1: Tidak ada asosiasi
OR > 1: Asosiasi positif
OR < 1: Asosiasi negatif

Estimasi Parameter

Dalam model saturated:

Estimasi dilakukan dengan pembatasan seperti sum-to-zero
Estimasi parameter dilakukan dengan iterative proportional fitting (IPF)

# Estimasi odds ratio dan log-odds
logOR <- log((data[1,1] * data[2,2]) / (data[1,2] * data[2,1]))
logOR

## [1] -0.4183685

1.6 Model Lebih Sederhana dan Perbandingan Model

Perbandingan antar model dilakukan dengan menggunakan statistik deviance (G²) atau likelihood ratio test.

anova(model_indep, model_saturated)

## LR tests for hierarchical log-linear models
## 
## Model 1:
##  ~Obat + Serangan 
## Model 2:
##  ~Obat * Serangan 
## 
##           Deviance df Delta(Dev) Delta(df) P(> Delta(Dev)
## Model 1   2.087576  1                                    
## Model 2   0.000000  0   2.087576         1         0.1485
## Saturated 0.000000  0   0.000000         0         1.0000

1.7 Studi Kasus: Kepercayaan terhadap Surga

Studi dari Agresti (2019) membahas hubungan antara kebahagiaan dan kepercayaan terhadap kehidupan akhirat.

data_survey <- matrix(c(32,190,
                        113,611,
                        51,326),
                      nrow = 3, byrow = TRUE,
                      dimnames = list(Kebahagiaan = c("Tidak", "Cukup", "Sangat"),
                                      Surga = c("Tidak Percaya", "Percaya")))
ftable(data_survey)

##             Surga Tidak Percaya Percaya
## Kebahagiaan                            
## Tidak                        32     190
## Cukup                       113     611
## Sangat                       51     326

loglm(~ Kebahagiaan + Surga, data = data_survey)

## Call:
## loglm(formula = ~Kebahagiaan + Surga, data = data_survey)
## 
## Statistics:
##                        X^2 df  P(> X^2)
## Likelihood Ratio 0.8911136  2 0.6404675
## Pearson          0.8836760  2 0.6428538

2. RANGKUMAN MODEL LOG LINEAR 2 ARAH

2.1 Model log-linear pada tabel kontingensi

Model log-linear adalah model yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua atau lebih variabel kategorik yang disajikan dalam tabel kontingensi. Model ini mengasumsikan bahwa logaritma dari nilai ekspektasi frekuensi sel (μij ) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan efek variabel dan (bila perlu) interaksinya. Untuk tabel 2x2:

\[ log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda_i^A + \lambda_j^B + \lambda_{ij}^{AB} \]

2.2 Perbedaan utama antara model log-linear dan model regresi logistik

Model log-linear digunakan untuk memodelkan frekuensi (count) pada tabel kontingensi dan menguji asosiasi antar variabel kategorik, tanpa menganggap ada variabel respon dan prediktor.
Model regresi logistik digunakan untuk memodelkan probabilitas kejadian suatu outcome (biner) berdasarkan satu atau lebih prediktor (bisa kategorik maupun kontinu).

2.3 Estimasi Parameter log linear 2 arah

Sistem Persamaan Model Log-Linear

\[ log(\mu_{11}) = \lambda + \lambda_1^A + \lambda_1^B + \lambda_{11}^{AB} \]

\[ log(\mu_{12}) = \lambda + \lambda_1^A + \lambda_2^B + \lambda_{12}^{AB} \]

\[ log(\mu_{21}) = \lambda + \lambda_2^A + \lambda_1^B + \lambda_{21}^{AB} \]

\[ log(\mu_{22}) = \lambda + \lambda_2^A + \lambda_2^B + \lambda_{22}^{AB} \]

Constraint Sum-to-Zero

\[ \lambda_1^A + \lambda_2^A = 0 \]

\[ \lambda_1^B + \lambda_2^B = 0 \]

\[ \lambda_{11}^{AB} + \lambda_{12}^{AB} + \lambda_{21}^{AB} + \lambda_{22}^{AB} = 0 \]

Rumus Estimasi Parameter dengan Sum-to-Zero Constraint

\[ \lambda_1^A = \frac{1}{2} [(log\mu_{11} + log\mu_{12}) - (log\mu_{21} + log\mu_{22})] \]

\[ \lambda_1^B = \frac{1}{2} [(log\mu_{11} + log\mu_{21}) - (log\mu_{12} + log\mu_{22})] \]

\[ \lambda_{12}^{AB} = \frac{1}{4} [log\mu_{12} - log\mu_{11} - log\mu_{22} + log\mu_{21}] \]

2.4 Analisis Data Tabel Kontingensi 2x2

Diberikan data:

Merokok	Sakit	Sehat
Ya	30	20
Tidak	10	40

2.5 Bentuk Model Log-Linear

Model log-linear pada tabel 2x2:

\[ log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda_i^A + \lambda_j^B + \lambda_{ij}^{AB} \]

dengan constraint sum-to-zero:

\[ \sum_i\lambda_i^A = 0, \sum_j\lambda_j^B = 0, \sum_{i,j}\lambda_{ij}^{AB} = 0 \]

2.6 Estimasi Parameter Model (Manual, Sum-to-zero)

Misalkan:

A1 = Merokok (Ya), A2 = Tidak
B1 = Sakit, B2 = Sehat

Observasi:

$n_{11}$ = 30, $n_{12}$ = 20
$n_{21}$ = 10, $n_{22}$ = 40

\[ log(\mu_{11}) = \lambda + \lambda_1^A + \lambda_1^B + \lambda_{11}^{AB} \]

\[ log(\mu_{12}) = \lambda + \lambda_1^A + \lambda_2^B + \lambda_{12}^{AB} \]

\[ log(\mu_{21}) = \lambda + \lambda_2^A + \lambda_1^B + \lambda_{21}^{AB} \]

\[ log(\mu_{22}) = \lambda + \lambda_2^A + \lambda_2^B + \lambda_{22}^{AB} \]

Constraint sum-to-zero:

\[ \lambda_1^A + \lambda_2^A = 0 \]

\[ \lambda_1^B + \lambda_2^B = 0 \]

\[ \lambda_{11}^{AB} + \lambda_{12}^{AB} + \lambda_{21}^{AB} + \lambda_{22}^{AB} = 0 \]

Langkah-langkah:

Hitung rata-rata log frekuensi sel:

\[ \lambda = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \log(n_{ij}) \\ = \frac{1}{4} [\log(30) + \log(20) + \log(10) + \log(40)] \\ = 3.0971 \]

Efek utama A (Merokok):

\[ \lambda_1^A = \frac{1}{2} \left[(\log(30) + \log(20)) - (\log(10) + \log(40)) \right] \\ = \frac{1}{2} \left[(3.4012 + 2.9957) - (2.3026 + 3.6889) \right] \\ = \frac{1}{2} (6.3969 - 5.9915) \\ = \frac{1}{2} (0.4054) \\ = 0.2027 \]

\[ \lambda_2^A = -0.2027 \]

Efek utama B (Status):

\[ \lambda_1^B = \frac{1}{2} \left[(\log(30) + \log(10)) - (\log(20) + \log(40)) \right] \\ = \frac{1}{2} \left[(3.4012 + 2.3026) - (2.9957 + 3.6889) \right] \\ = \frac{1}{2} (5.7038 - 6.6846) \\ = \frac{1}{2} (-0.9808) \\ = -0.4904 \]

\[ \lambda_2^B = +0.4904 \]

Efek interaksi:

\[ \lambda_{11}^{AB} = \frac{1}{4} \left[\log(30) - \log(20) - \log(10) + \log(40)\right] \\ = \frac{1}{4} \left[3.4012 - 2.9957 - 2.3026 + 3.6889 \right] \\ = \frac{1}{4} (1.7918) \\ = 0.4479 \]

\[ \lambda_{12}^{AB} = -\lambda_{11}^{AB} = -0.4479 \\ \lambda_{21}^{AB} = -0.4479 \\ \lambda_{22}^{AB} = +0.4479 \]

Ringkasan parameter:

$ = 3.0971 $
$ _1^A = 0.2027,_2^A = -0.2027 $
$ _1^B = -0.4904,_2^B = 0.4904 $
$ *{11}^{AB} = 0.4479,^{AB} = -0.4479,*{21}^{AB} = -0.4479,^{AB} = 0.4479 $

2.7 Hitung Odds Ratio dan Interval Kepercayaan

\[ OR = \frac{n_{11}n_{22}}{n_{12}n_{21}} = \frac{30 \times 40}{20 \times 10} = \frac{1200}{200} = 6 \]

Log odds ratio:

\[ \log(OR) = \log(6) = 1.7918 \]

Standard error (SE):

\[ SE = \sqrt{ \frac{1}{n_{11}} + \frac{1}{n_{12}} + \frac{1}{n_{21}} + \frac{1}{n_{22}} } = \sqrt{ \frac{1}{30} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10} + \frac{1}{40} } = \sqrt{0.0333 + 0.05 + 0.1 + 0.025} = \sqrt{0.2083} = 0.4564 \]

95% Confidence Interval untuk log(OR):

\[ \log(OR) \pm 1.96 \times SE = 1.7918 \pm 1.96 \times 0.4564\\ = (1.7918 - 0.895,\ 1.7918 + 0.895)\\ = (0.8968,\ 2.6868) \]

Back-transform untuk Confidence Interval dari OR:

\[ \text{Lower} = \exp(0.8968) = 2.452\\ \text{Upper} = \exp(2.6868) = 14.68 \]

Jadi, OR = 6 (95% CI: 2.45 – 14.68)

2.8 Fitting Model Log-Linear dengan R

# Data 2x2
tabel <- matrix(c(30, 20, 10, 40), nrow = 2, byrow = TRUE)
colnames(tabel) <- c("Sakit", "Sehat")
rownames(tabel) <- c("Ya", "Tidak")
tabel

##       Sakit Sehat
## Ya       30    20
## Tidak    10    40

data <- as.data.frame(as.table(tabel))
colnames(data) <- c("Merokok", "Status", "Freq")
data

##   Merokok Status Freq
## 1      Ya  Sakit   30
## 2   Tidak  Sakit   10
## 3      Ya  Sehat   20
## 4   Tidak  Sehat   40

# Model tanpa interaksi
fit_no_inter <- glm(Freq ~ Merokok + Status, family = poisson, data = data)
summary(fit_no_inter)

## 
## Call:
## glm(formula = Freq ~ Merokok + Status, family = poisson, data = data)
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)  2.996e+00  1.871e-01  16.013   <2e-16 ***
## MerokokTidak 3.892e-10  2.000e-01   0.000    1.000    
## StatusSehat  4.055e-01  2.041e-01   1.986    0.047 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 21.288  on 3  degrees of freedom
## Residual deviance: 17.261  on 1  degrees of freedom
## AIC: 43.036
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

# Model dengan interaksi
fit_inter <- glm(Freq ~ Merokok * Status, family = poisson, data = data)
summary(fit_inter)

## 
## Call:
## glm(formula = Freq ~ Merokok * Status, family = poisson, data = data)
## 
## Coefficients:
##                          Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)                3.4012     0.1826  18.629  < 2e-16 ***
## MerokokTidak              -1.0986     0.3651  -3.009  0.00262 ** 
## StatusSehat               -0.4055     0.2887  -1.405  0.16015    
## MerokokTidak:StatusSehat   1.7918     0.4564   3.926 8.65e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 2.1288e+01  on 3  degrees of freedom
## Residual deviance: 3.9968e-15  on 0  degrees of freedom
## AIC: 27.775
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

2.9 Intepretasi Parameter

Parameter utama (intercept) menunjukkan rata-rata log frekuensi sel.
Efek “Merokok” dan “Status” menunjukkan perbedaan log frekuensi antar kategori.
Interaksi signifikan menunjukkan adanya asosiasi antara Merokok dan Status.

Nilai log(6) = 1.79 itu sama dengan efek interaksi ouput R

2.10 Analisis Data Tabel Kontingensi 2x3

Suatu survei dilakukan untuk mengetahui hubungan antara Jenis Kelamin (Laki-laki/Perempuan) dan Kategori BMI (Kurus/Normal/Gemuk):

Jenis Kelamin	Kurus	Normal	Gemuk
Laki-laki	12	20	8
Perempuan	18	24	10

2.11 Bentuk Model Log-Linear untuk Tabel 2x3

Bentuk umum model log-linear untuk tabel 2x3 (dengan sum-to-zero constraint):

\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda^A_i + \lambda^B_j + \lambda^{AB}_{ij} \] \]

dengan:

$\mu_{ij}$: ekspektasi frekuensi pada baris ke-$i$, kolom ke-$j$
$A$: Jenis Kelamin ($i = 1$: Laki-laki, $i = 2$: Perempuan)
$B$: Kategori BMI ($j = 1$: Kurus, $j = 2$: Normal, $j = 3$: Gemuk)
Constraint: $\sum_i \lambda^A_i = 0,\quad \sum_j \lambda^B_j = 0,\quad \sum_i \lambda^{AB}_{ij} = 0,\quad \sum_j \lambda^{AB}_{ij} = 0$

Secara eksplisit:

\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda \\ + \lambda^A_1\ \text{(Laki-laki)},\ \lambda^A_2\ \text{(Perempuan)} \\ + \lambda^B_1\ \text{(Kurus)},\ \lambda^B_2\ \text{(Normal)},\ \lambda^B_3\ \text{(Gemuk)} \\ + \lambda^{AB}_{ij}\ \text{(interaksi jika ada)} \]

2.12 Fitting Model Log-Linear di R

# Membuat data frame dari tabel
tabel2x3 <- matrix(c(12, 20, 8, 18, 24, 10), nrow = 2, byrow = TRUE)
colnames(tabel2x3) <- c("Kurus", "Normal", "Gemuk")
rownames(tabel2x3) <- c("Laki-laki", "Perempuan")
tabel2x3

##           Kurus Normal Gemuk
## Laki-laki    12     20     8
## Perempuan    18     24    10

# Ubah menjadi data.frame untuk glm
data2x3 <- as.data.frame(as.table(tabel2x3))
colnames(data2x3) <- c("JenisKelamin", "BMI", "Freq")
data2x3

##   JenisKelamin    BMI Freq
## 1    Laki-laki  Kurus   12
## 2    Perempuan  Kurus   18
## 3    Laki-laki Normal   20
## 4    Perempuan Normal   24
## 5    Laki-laki  Gemuk    8
## 6    Perempuan  Gemuk   10

# Model log-linear tanpa interaksi (asumsi independen)
fit_no_inter <- glm(Freq ~ JenisKelamin + BMI, family = poisson, data = data2x3)
summary(fit_no_inter)

## 
## Call:
## glm(formula = Freq ~ JenisKelamin + BMI, family = poisson, data = data2x3)
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)             2.5683     0.2179  11.789   <2e-16 ***
## JenisKelaminPerempuan   0.2624     0.2103   1.248   0.2122    
## BMINormal               0.3830     0.2368   1.618   0.1058    
## BMIGemuk               -0.5108     0.2981  -1.713   0.0866 .  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 13.06443  on 5  degrees of freedom
## Residual deviance:  0.22527  on 2  degrees of freedom
## AIC: 35.26
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

# Model log-linear dengan interaksi (untuk cek asosiasi)
fit_inter <- glm(Freq ~ JenisKelamin * BMI, family = poisson, data = data2x3)
summary(fit_inter)

## 
## Call:
## glm(formula = Freq ~ JenisKelamin * BMI, family = poisson, data = data2x3)
## 
## Coefficients:
##                                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)                       2.4849     0.2887   8.608   <2e-16 ***
## JenisKelaminPerempuan             0.4055     0.3727   1.088    0.277    
## BMINormal                         0.5108     0.3651   1.399    0.162    
## BMIGemuk                         -0.4055     0.4564  -0.888    0.374    
## JenisKelaminPerempuan:BMINormal  -0.2231     0.4802  -0.465    0.642    
## JenisKelaminPerempuan:BMIGemuk   -0.1823     0.6032  -0.302    0.762    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance:  1.3064e+01  on 5  degrees of freedom
## Residual deviance: -9.0719e-30  on 0  degrees of freedom
## AIC: 39.034
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

Interpretasi

Model tanpa interaksi:

Jika deviance tidak signifikan, maka Jenis Kelamin dan BMI independen.
Intercept: log frekuensi pada kategori referensi (Laki-laki, Kurus)
Koefisien JenisKelaminPerempuan: perbedaan log-frekuensi antara Perempuan vs Laki-laki (pada Kurus)
Koefisien BMI: perbedaan log-frekuensi kategori BMI (Normal/Gemuk) terhadap Kurus (pada Laki-laki)

Model dengan interaksi:

Jika koefisien interaksi signifikan, berarti ada hubungan/asosiasi antara Jenis Kelamin dan BMI. Artinya distribusi BMI berbeda antara Laki-laki dan Perempuan.

Contoh interpretasi hasil (misal):

Jika koefisien JenisKelaminPerempuan negatif: proporsi Perempuan pada kategori referensi lebih kecil dibanding Laki-laki.
Jika koefisien BMI_Normal positif: kemungkinan seseorang Normal lebih tinggi daripada Kurus (pada Laki-laki).
Jika model interaksi signifikan, pola distribusi BMI berbeda antara Laki-laki dan Perempuan.

3. Model Log Linear Tiga Arah

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah memahami bahwa salah satu tujuan utama dari penyusunan model log linear adalah untuk mengestimasi parameter-parameter yang menjelaskan hubungan di antara variabel-variabel kategorik.

Pada materi kali ini, kita akan membahas model log linear yang lebih kompleks, yaitu model log linear untuk tabel kontingensi tiga arah. Model ini melibatkan tiga variabel kategorik, sehingga kemungkinan interaksi yang dapat terjadi di dalam model pun menjadi lebih banyak. Dalam konteks ini, interaksi paling tinggi yang dapat dimodelkan adalah interaksi tiga arah, yaitu interaksi yang melibatkan ketiga variabel secara bersamaan.

3.1 Model Log-Linear untuk Tabel Tiga Arah

Model log-linear yang melibatkan tiga variabel kategorik (misal: X, Y, dan Z) dapat dibangun dalam berbagai bentuk model, tergantung pada tingkat interaksi yang ingin dimasukkan. Berikut adalah beberapa alternatif model log-linear yang umum digunakan:

Model Saturated

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} + \lambda^{XYZ}_{ijk} \]

Model ini memuat semua kemungkinan interaksi, termasuk interaksi tiga arah (X, Y, dan Z).

Model Homogen

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} \]

Model ini hanya mengakomodasi interaksi dua arah antar variabel tanpa memasukkan interaksi tiga arah.

Model Conditional

Conditional pada X:

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} \]

Memuat interaksi X dengan Y dan X dengan Z.

Conditional pada Y:

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{YZ}_{jk} \]

Memuat interaksi Y dengan X dan Y dengan Z.

Conditional pada Z:

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} \]

Memuat interaksi Z dengan X dan Z dengan Y.

Model Joint Independence

Independensi antara X & Y:

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} \]

Independensi antara X & Z:

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XZ}_{ik} \]

Independensi antara Y & Z:

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{YZ}_{jk} \]

Model Tanpa Interaksi

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k \]

Model ini hanya memasukkan efek utama tanpa interaksi antar variabel.

3.2 Pengujian Interaksi dalam Model Log-Linear Tiga Arah

Dalam analisis model log-linear tiga arah, pengujian interaksi dilakukan untuk mengetahui ada atau tidaknya interaksi antar variabel. Pengujian ini dilakukan secara bertahap, dimulai dari tingkat interaksi tertinggi ke yang lebih rendah. Untuk model log-linear dengan tiga peubah (X, Y, dan Z), tahapan pengujian meliputi:

Pengujian Interaksi Tiga Arah (XYZ):

Bandingkan model saturated dengan model homogenous.

Pengujian Interaksi Dua Arah (XY, XZ, YZ):

Bandingkan model homogenous dengan model conditional.
Bandingkan model conditional dengan model joint independence.
Bandingkan model joint independence dengan model tanpa interaksi.

Setiap tahapan pengujian dilakukan untuk menilai kecocokan model dan menentukan struktur interaksi mana yang paling sesuai dengan data yang diamati.

3.3 Soal Praktikum

Gunakan Program R untuk menyelesaikan soal berikut:

3.3.1 Soal

Tabel berikut menyajikan data dari survei General Social Survey (GSS) tahun 1994 mengenai jenis kelamin responden, tingkat fundamentalisme, dan sikap terhadap hukuman mati untuk kasus pembunuhan. Susun dan interpretasikan model log-linear paling sederhana (paling parsimonious) untuk data ini. Jelaskan proses yang Anda lakukan dalam menentukan model terbaik serta asosiasi apa saja yang teridentifikasi. Tunjukkan juga bagaimana nilai yang diprediksi dari model menggambarkan asosiasi tersebut.

3.3.2 Tabel Data Survei

Fundamentalisme	Jenis Kelamin	Mendukung	Menolak	Total
Fundamentalist	Laki-laki	128	32	160
Fundamentalist	Perempuan	123	73	196
Fundamentalist	Total	251	105	356
Moderate	Laki-laki	182	56	238
Moderate	Perempuan	168	105	273
Moderate	Total	350	161	511
Liberal	Laki-laki	119	49	168
Liberal	Perempuan	111	70	181
Liberal	Total	230	119	349

Keterangan:

Fundamentalisme: Fundamentalist, Moderate, Liberal
Jenis Kelamin: Laki-laki, Perempuan
Sikap: Mendukung (Favor), Menolak (Oppose) hukuman mati

3.4 Analisis Log-Linear untuk Tabel Tiga Arah

3.4.1 Package yang Digunakan

library("epitools")
library("DescTools")
library("lawstat")

## Warning: package 'lawstat' was built under R version 4.4.3

Input Data

# Input data sesuai tabel praktikum
z.fund <- factor(rep(c("1fund", "2mod", "3lib"), each = 4))
x.sex  <- factor(rep(c("1M", "2F"), each = 2, times = 3))
y.fav  <- factor(rep(c("1fav", "2opp"), times = 6))
counts <- c(128, 32, 123, 73, 182, 56, 168, 105, 119, 49, 111, 70)

data <- data.frame(
  Fundamentalisme = z.fund,
  Jenis_Kelamin   = x.sex,
  Sikap           = y.fav,
  Frekuensi       = counts

)
data

##    Fundamentalisme Jenis_Kelamin Sikap Frekuensi
## 1            1fund            1M  1fav       128
## 2            1fund            1M  2opp        32
## 3            1fund            2F  1fav       123
## 4            1fund            2F  2opp        73
## 5             2mod            1M  1fav       182
## 6             2mod            1M  2opp        56
## 7             2mod            2F  1fav       168
## 8             2mod            2F  2opp       105
## 9             3lib            1M  1fav       119
## 10            3lib            1M  2opp        49
## 11            3lib            2F  1fav       111
## 12            3lib            2F  2opp        70

Membentuk Tabel Kontingensi 3 Arah

table3d <- xtabs(Frekuensi ~ Fundamentalisme + Jenis_Kelamin + Sikap, data = data)
ftable(table3d)

##                               Sikap 1fav 2opp
## Fundamentalisme Jenis_Kelamin                
## 1fund           1M                   128   32
##                 2F                   123   73
## 2mod            1M                   182   56
##                 2F                   168  105
## 3lib            1M                   119   49
##                 2F                   111   70

Analisis Log-Linear: Tahap Pemodelan Kita akan memodelkan tabel ini menggunakan beberapa model log-linear dan membandingkan kecocokan model (parsimonious model):

4. UJI MODEL INTERAKSI TIGA ARAH (SATURATED VS HOMOGENOUS)

4.0.1 Penentuan Kategori Referensi

##=============================##
# Penentuan kategori reference
##=============================##
x.sex  <- relevel(x.sex, ref = "2F")
y.fav  <- relevel(y.fav, ref = "2opp")
z.fund <- relevel(z.fund, ref = "3lib")

Model Saturated Model log-linear saturated memasukkan semua interaksi hingga tiga arah:

\[ log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{jk}^{YZ} + \lambda_{ijk}^{XYZ} \]

# Model saturated
model_saturated <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
             x.sex*y.fav + x.sex*z.fund + y.fav*z.fund +
             x.sex*y.fav*z.fund,
             family = poisson(link = "log"))
summary(model_saturated)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav + 
##     x.sex * z.fund + y.fav * z.fund + x.sex * y.fav * z.fund, 
##     family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                                Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)                    4.248495   0.119523  35.545  < 2e-16 ***
## x.sex1M                       -0.356675   0.186263  -1.915  0.05551 .  
## y.fav1fav                      0.461035   0.152626   3.021  0.00252 ** 
## z.fund1fund                    0.041964   0.167285   0.251  0.80193    
## z.fund2mod                     0.405465   0.154303   2.628  0.00860 ** 
## x.sex1M:y.fav1fav              0.426268   0.228268   1.867  0.06185 .  
## x.sex1M:z.fund1fund           -0.468049   0.282210  -1.659  0.09721 .  
## x.sex1M:z.fund2mod            -0.271934   0.249148  -1.091  0.27507    
## y.fav1fav:z.fund1fund          0.060690   0.212423   0.286  0.77511    
## y.fav1fav:z.fund2mod           0.008969   0.196903   0.046  0.96367    
## x.sex1M:y.fav1fav:z.fund1fund  0.438301   0.336151   1.304  0.19227    
## x.sex1M:y.fav1fav:z.fund2mod   0.282383   0.301553   0.936  0.34905    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 2.4536e+02  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance: 5.9952e-15  on  0  degrees of freedom
## AIC: 100.14
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

exp(model_saturated$coefficients)

##                   (Intercept)                       x.sex1M 
##                    70.0000000                     0.7000000 
##                     y.fav1fav                   z.fund1fund 
##                     1.5857143                     1.0428571 
##                    z.fund2mod             x.sex1M:y.fav1fav 
##                     1.5000000                     1.5315315 
##           x.sex1M:z.fund1fund            x.sex1M:z.fund2mod 
##                     0.6262231                     0.7619048 
##         y.fav1fav:z.fund1fund          y.fav1fav:z.fund2mod 
##                     1.0625694                     1.0090090 
## x.sex1M:y.fav1fav:z.fund1fund  x.sex1M:y.fav1fav:z.fund2mod 
##                     1.5500717                     1.3262868

Interpretasi Hasil Model Saturated

4.0.2 Ringkasan Model

Model yang digunakan adalah model log-linear saturated dengan semua efek utama, interaksi dua arah, dan interaksi tiga arah. Model ini memodelkan hubungan antara jenis kelamin (x.sex), sikap terhadap hukuman mati (y.fav), dan tingkat fundamentalisme (z.fund) terhadap frekuensi responden.

4.0.3 Hasil Estimasi Koefisien

Parameter	Estimate	Std. Error	z value	Pr(> z)	z
(Intercept)	4.25	0.12	35.55	<2e-16***	70.00
x.sex1M	-0.36	0.19	-1.92	0.055 .	0.70
y.fav1fav	0.46	0.15	3.02	0.0025 **	1.59
z.fund1fund	0.04	0.17	0.25	0.80	1.04
z.fund2mod	0.41	0.15	2.63	0.0086 **	1.50
x.sex1M:y.fav1fav	0.43	0.23	1.87	0.062 .	1.53
x.sex1M:z.fund1fund	-0.47	0.28	-1.66	0.097 .	0.63
x.sex1M:z.fund2mod	-0.27	0.25	-1.09	0.28	0.76
y.fav1fav:z.fund1fund	0.06	0.21	0.29	0.78	1.06
y.fav1fav:z.fund2mod	0.01	0.20	0.05	0.96	1.01
x.sex1M:y.fav1fav:z.fund1fund	0.44	0.34	1.30	0.19	1.55
x.sex1M:y.fav1fav:z.fund2mod	0.28	0.30	0.94	0.35	1.33

4.0.4 Interpretasi Koefisien

(Intercept): Rata-rata log jumlah kasus untuk kategori referensi (Perempuan, Menolak hukuman mati, Liberal) adalah 4.25 (atau $\mu \approx$ 70).
x.sex1M: Laki-laki memiliki expected count sekitar 0.7 kali Perempuan dalam kategori referensi lainnya, namun hanya mendekati signifikansi (p = 0.055).
y.fav1fav: Mereka yang mendukung hukuman mati memiliki expected count sekitar 1.59 kali lipat dibanding yang menolak (signifikan, p = 0.0025).
z.fund1fund: Kelompok Fundamentalist tidak berbeda nyata dari Liberal (exp(0.04) $\approx$ 1.04 ; p = 0.80).
z.fund2mod: Kelompok Moderate memiliki expected count 1.5 kali lebih besar dibanding Liberal (signifikan, p = 0.0086).
Interaksi dua & tiga arah: Sebagian besar tidak signifikan (p > 0.05), artinya tidak ada bukti kuat adanya efek gabungan antar variabel.

4.0.5 Goodness-of-Fit

Residual deviance $\approx$ 0 menandakan model saturated benar-benar fit terhadap data (seluruh variasi data dijelaskan oleh model).
AIC = 100.14 dapat digunakan untuk perbandingan dengan model yang lebih sederhana.

4.0.6 Kesimpulan

Model saturated ini sangat fit dengan data, namun tidak semua parameter/interaksi signifikan.
Efek utama yang paling signifikan adalah:
- Sikap mendukung hukuman mati (expected count 1.6x lebih tinggi dari yang menolak)
- Kelompok Moderate (expected count 1.5x lebih tinggi dari Liberal)
Tidak ditemukan bukti kuat interaksi dua atau tiga arah yang signifikan.
Model yang lebih sederhana (tanpa interaksi tiga arah) perlu dipertimbangkan untuk model final yang lebih parsimonious.

Catatan interpretasi:

Nilai exp(coef) menyatakan rasio ekspektasi (expected count ratio) dibandingkan baseline.
Efek positif -> menaikkan expected count; Efek negatif -> menurunkan expected count.
Koefisien signifikan pada p-value < 0.05.

4.1 Model Homogenous

Model log-linear homogenous memasukkan semua efek utama dan semua interaksi dua arah, tanpa interaksi tiga arah. Secara matematis, model ini dapat dituliskan sebagai berikut:

\[ log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ} \]

# Homogenous Model
model_homogenous <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
              x.sex*y.fav + x.sex*z.fund + y.fav*z.fund,
              family = poisson(link = "log"))
summary(model_homogenous)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav + 
##     x.sex * z.fund + y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)            4.31096    0.10522  40.972  < 2e-16 ***
## x.sex1M               -0.51575    0.13814  -3.733 0.000189 ***
## y.fav1fav              0.35707    0.12658   2.821 0.004788 ** 
## z.fund1fund           -0.06762    0.14452  -0.468 0.639854    
## z.fund2mod             0.33196    0.13142   2.526 0.011540 *  
## x.sex1M:y.fav1fav      0.66406    0.12728   5.217 1.81e-07 ***
## x.sex1M:z.fund1fund   -0.16201    0.15300  -1.059 0.289649    
## x.sex1M:z.fund2mod    -0.08146    0.14079  -0.579 0.562887    
## y.fav1fav:z.fund1fund  0.23873    0.16402   1.455 0.145551    
## y.fav1fav:z.fund2mod   0.13081    0.14951   0.875 0.381614    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.361  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:   1.798  on  2  degrees of freedom
## AIC: 97.934
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

4.2 Uji Hipotesis: Apakah Ada Interaksi Tiga Arah? (Saturated vs Homogenous)

Pengujian ini menggunakan residual deviance dari kedua model (saturated dan homogenous).

4.2.1 Langkah-Langkah Pengujian

4.2.1.1 1. Hipotesis

H0: Tidak ada interaksi tiga arah (model homogenous sudah cukup)
H1: Ada interaksi tiga arah (model saturated diperlukan)

4.2.1.2 2. Hitung Selisih Deviance

# Deviance antar model
Deviance.model <- model_homogenous$deviance - model_saturated$deviance
Deviance.model

## [1] 1.797977

4.2.1.3 3. Hitung Derajat Bebas

# Derajat bebas = db model homogenous - db model saturated
derajat.bebas <- (model_homogenous$df.residual - model_saturated$df.residual)
derajat.bebas

## [1] 2

4.2.1.4 4. Chi-Square Tabel (α = 0.05)

chi.tabel <- qchisq(1 - 0.05, df = derajat.bebas)
chi.tabel

## [1] 5.991465

4.2.1.5 5. Keputusan Uji

Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima H0", "Tolak H0")
Keputusan

## [1] "Terima H0"

Interpretasi Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0 atau dapat dikatakan bahwa tidak ada interaksi tiga arah antara jenis kelamin, fundamentalisme, dan pendapat mengenai hukuman mati.

Catatan:

Model pengurang adalah model yang lebih lengkap (lebih banyak parameter, df lebih kecil), yaitu model saturated.
Derajat bebas dihitung dari selisih derajat bebas model homogenous dan saturated.
Keputusan berdasarkan perbandingan deviance model dengan chi-square tabel.

Rangkuman

Pengujian Ada Tidaknya Interaksi Tiga Arah (Saturated Model vs Homogenous Model)

Hipotesis

$H_0: \lambda_{ijk}^{XYZ} = 0$ (Tidak ada interaksi tiga arah; model yang terbentuk adalah model homogenous)

$H_1: \lambda_{ijk}^{XYZ} \neq 0$ (Ada interaksi tiga arah; model yang terbentuk adalah model saturated)

Tingkat Signifikansi

$\alpha = 5\%$

Statistik Uji

$\Delta$Deviance = Deviance model homogenous - Deviance model saturated

= 1.798 − 0.00 = 1.798

db = db model homogenous − db model saturated = 2 − 0 = 2

Daerah Penolakan

Tolak $H_0$ jika $\Delta$Deviance > $\chi^2_{0.05,db} = \chi^2_{0.05,2} = 5.991$

Keputusan

Karena 1.798 < 5.991, maka tidak tolak H0

Interpretasi

Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0 atau dapat dikatakan bahwa tidak ada interaksi tiga arah antara jenis kelamin, fundamentalisme, dan pendapat mengenai hukuman mati.

Catatan Perhitungan Derajat Bebas dan Selisih Deviance

Ingat, dalam membuat selisih deviance, model yang menjadi pengurang adalah model yang lebih lengkap (parameter yang lebih banyak atau derajat bebasnya lebih kecil).

Makin banyak parameter, makin kecil derajat bebasnya, karena:

db = banyaknya amatan (atau perkalian dimensi tabel kontingensi, misal 2 x 2 x 3 = 12) dikurangi banyaknya parameter (koefisien, termasuk intercept).

Cek di output R ada berapa banyak coefficients-nya (termasuk intercept) untuk menghitung derajat bebas yang benar.

4.3 UJI MODEL INTERAKSI DUA ARAH (HOMOGENOUS VS CONDITIONAL ON X)

4.3.1 Model Conditional on X

Model log-linear conditional pada X memasukkan efek utama dan interaksi dua arah antara X dengan Y dan X dengan Z, tanpa interaksi antara Y dengan Z maupun interaksi tiga arah.

\[ log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ} \]

# Conditional Association on X
model_conditional_X <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
              x.sex*y.fav + x.sex*z.fund,
              family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_X)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav + 
##     x.sex * z.fund, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                     Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)          4.23495    0.08955  47.293  < 2e-16 ***
## x.sex1M             -0.52960    0.13966  -3.792 0.000149 ***
## y.fav1fav            0.48302    0.08075   5.982 2.20e-09 ***
## z.fund1fund          0.07962    0.10309   0.772 0.439916    
## z.fund2mod           0.41097    0.09585   4.288 1.81e-05 ***
## x.sex1M:y.fav1fav    0.65845    0.12708   5.181 2.20e-07 ***
## x.sex1M:z.fund1fund -0.12841    0.15109  -0.850 0.395405    
## x.sex1M:z.fund2mod  -0.06267    0.13908  -0.451 0.652274    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.3612  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:   3.9303  on  4  degrees of freedom
## AIC: 96.067
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

Pengujian Ada Tidaknya Interaksi Antara Y dan Z (Homogenous Model vs Conditional Association on X)

Hipotesis

$H_0: \lambda_{jk}^{YZ} = 0$ (Tidak ada interaksi antara pendapat hukuman mati (Y) dan fundamentalisme (Z))

$H_1: \lambda_{jk}^{YZ} \neq 0$ (Ada interaksi antara pendapat hukuman mati (Y) dan fundamentalisme (Z))

Tingkat Signifikansi

$\alpha = 5\%$

Statistik Uji

$\Delta$Deviance = Deviance model conditional on X − Deviance model homogenous

= 3.903 − 1.798 = 2.132

db = db model conditional on X − db model homogenous = 4 − 2 = 2

Daerah Penolakan

Tolak $H_0$ jika $\Delta Deviance > \chi^2_{0.05,2} = 5.991$

Keputusan

Karena 2.132 < 5.991, maka tidak tolak H0

Kesimpulan

Dengan taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0 atau dapat dikatakan bahwa tidak ada interaksi antara pendapat tentang hukuman mati dan fundamentalisme. Dengan kata lain, model yang terbentuk adalah model tanpa parameter $\lambda_{jk}^{YZ}$.

# Pengujian hipotesis

# Deviance of Model
Deviance.model <- model_conditional_X$deviance - model_homogenous$deviance   # model_conditional_X: conditional on X, model_homogenous: homogenous
Deviance.model

## [1] 2.132302

Pengujian Selisih Deviance (Conditional on X vs Homogenous)

Langkah-langkah uji hipotesis menggunakan residual deviance:

# Selisih deviance antar model
Deviance.model <- model_conditional_X$deviance - model_homogenous$deviance
Deviance.model

## [1] 2.132302

Hitung Derajat Bebas

# Chi Square tabel dengan alpha = 0.05
derajat.bebas <- (4 - 2)
derajat.bebas

## [1] 2

Nilai Chi-Square Tabel

chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel

## [1] 5.991465

Keputusan Uji

Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")
Keputusan

## [1] "Terima"

Interpretasi Karena nilai Deviance.model = 2.13 lebih kecil dari nilai kritis chi-square tabel = 5.99 (dengan df = 2, alpha = 0.05), maka keputusan uji adalah “Terima”.

Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0, atau dengan kata lain tidak ada interaksi antara pendapat mengenai hukuman mati (Y) dan fundamentalisme (Z). Model yang terbentuk cukup hanya sampai dua interaksi dengan X (conditional on X), sehingga interaksi Y*Z tidak signifikan secara statistik.

4.4 UJI MODEL INTERAKSI DUA ARAH (HOMOGENOUS VS CONDITIONAL ON Y)

4.4.1 Model Conditional on Y

Model log-linear conditional pada Y memasukkan efek utama dan interaksi dua arah antara X dengan Y dan Y dengan Z, tanpa interaksi antara X dengan Z maupun interaksi tiga arah.

\[ log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{jk}^{YZ} \]

# Conditional Association on Y
model_conditional_Y <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
              x.sex*y.fav + y.fav*z.fund,
              family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_Y)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav + 
##     y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)            4.33931    0.09919  43.748  < 2e-16 ***
## x.sex1M               -0.59345    0.10645  -5.575 2.48e-08 ***
## y.fav1fav              0.37259    0.12438   2.996  0.00274 ** 
## z.fund1fund           -0.12516    0.13389  -0.935  0.34989    
## z.fund2mod             0.30228    0.12089   2.500  0.01240 *  
## x.sex1M:y.fav1fav      0.65845    0.12708   5.181 2.20e-07 ***
## y.fav1fav:z.fund1fund  0.21254    0.16205   1.312  0.18966    
## y.fav1fav:z.fund2mod   0.11757    0.14771   0.796  0.42606    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.3612  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:   2.9203  on  4  degrees of freedom
## AIC: 95.057
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

Pengujian Ada Tidaknya Interaksi antara X dan Z (Homogenous model vs Conditional Association on Y)

Hipotesis

$H_0: \lambda_{ik}^{XZ} = 0$ (Tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z))

$H_1: \lambda_{ik}^{XZ} \neq 0$ (Ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z))

Tingkat Signifikansi

$\alpha = 5\%$

Statistik Uji

$\Delta$Deviance = Deviance model conditional on Y − Deviance model homogenous

= 2.9203 − 1.798 = 1.1223

db = db model conditional on Y − db model homogenous = 4 − 2 = 2

Daerah Penolakan

Tolak $H_0$ jika $\Delta Deviance > \chi^2_{0.05,2} = 5.991$

Keputusan

Karena 1.1223 < 5.991, maka tidak tolak H0

Kesimpulan

Dengan taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0 atau dapat dikatakan bahwa tidak ada interaksi antara jenis kelamin dan fundamentalisme. Dengan kata lain, model yang terbentuk adalah model tanpa parameter $\lambda_{ik}^{XZ}$.

Pengujian Hipotesis Interaksi X dan Z (Conditional on Y vs Homogenous)

# Deviance of Model
Deviance.model <- model_conditional_Y$deviance - model_homogenous$deviance   # model_conditional_Y: conditional on Y, model_homogenous: homogenous
Deviance.model

## [1] 1.122315

Hitung Derajat Bebas

derajat.bebas <- (4 - 2)
derajat.bebas

## [1] 2

Nilai Chi-Square Tabel

chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel

## [1] 5.991465

Keputusan Uji

Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")
Keputusan

## [1] "Terima"

Interpretasi Karena nilai Deviance.model = 1.12 lebih kecil dari nilai kritis chi-square tabel = 5.99 (df = 2, alpha = 0.05), maka keputusan uji adalah “Terima”.

Kesimpulan: Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0. Artinya, tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z) yang signifikan secara statistik. Model tanpa parameter $\lambda_{ik}^{XZ}$ sudah cukup baik untuk data ini.

4.5 UJI MODEL INTERAKSI DUA ARAH (HOMOGENOUS VS CONDITIONAL ON Z)

4.5.1 Model Conditional on Z

Model log-linear conditional pada Z memasukkan efek utama dan interaksi dua arah antara X dengan Z dan Y dengan Z, tanpa interaksi antara X dengan Y maupun interaksi tiga arah.

\[ log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ} \]

# Conditional Association on Z
model_conditional_Z <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
              x.sex*z.fund + y.fav*z.fund,
              family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_Z)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * z.fund + 
##     y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)            4.12255    0.10518  39.195  < 2e-16 ***
## x.sex1M               -0.07453    0.10713  -0.696    0.487    
## y.fav1fav              0.65896    0.11292   5.836 5.36e-09 ***
## z.fund1fund           -0.06540    0.15126  -0.432    0.665    
## z.fund2mod             0.33196    0.13777   2.410    0.016 *  
## x.sex1M:z.fund1fund   -0.12841    0.15109  -0.850    0.395    
## x.sex1M:z.fund2mod    -0.06267    0.13908  -0.451    0.652    
## y.fav1fav:z.fund1fund  0.21254    0.16205   1.312    0.190    
## y.fav1fav:z.fund2mod   0.11757    0.14771   0.796    0.426    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.361  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:  29.729  on  3  degrees of freedom
## AIC: 123.87
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

Pengujian Ada Tidaknya Interaksi antara X dan Y (Homogenous model vs Conditional Association on Z)

Hipotesis

$H_0: \lambda_{ij}^{XY} = 0$ (Tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y))

$H_1: \lambda_{ij}^{XY} \neq 0$ (Ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y))

Tingkat Signifikansi

$\alpha = 5\%$

Statistik Uji

$\Delta$Deviance = Deviance model conditional on Z − Deviance model homogenous

= 29.729 − 1.798 = 27.931

db = db model conditional on Z − db model homogenous = 3 − 2 = 1

Daerah Penolakan

Tolak $H_0$ jika $\Delta Deviance > \chi^2_{0.05,1} = 3.841$

Keputusan

Karena 27.931>3.841, maka tolak H0

Kesimpulan

Dengan taraf nyata 5 persen, ada interaksi antara jenis kelamin dan pendapat tentang hukuman mati. Dengan kata lain, model yang terbentuk adalah model dengan parameter $\lambda_{ij}^{XY}$.

Pengujian Hipotesis Interaksi X dan Y (Conditional on Z vs Homogenous)

# Deviance of Model
Deviance.model <- model_conditional_Z$deviance - model_homogenous$deviance   # model_conditional_Z: conditional on Z, model_homogenous: homogenous
Deviance.model

## [1] 27.93095

Hitung Derajat Bebas

derajat.bebas <- (3 - 2)
derajat.bebas

## [1] 1

Nilai Chi-Square Tabel

chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel

## [1] 3.841459

Keputusan Uji

Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")
Keputusan

## [1] "Tolak"

Interpretasi: Karena nilai Deviance.model = 27.93 jauh lebih besar dari nilai kritis chi-square tabel = 3.84 (df = 1, alpha = 0.05), maka keputusan uji adalah “Tolak”.

Kesimpulan: Pada taraf nyata 5%, terdapat bukti yang cukup untuk menolak H0. Artinya, ada interaksi yang signifikan antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y). Dengan kata lain, model terbaik yang terbentuk adalah model yang menyertakan parameter interaksi $\lambda_{ij}^{XY}$.

5. PEMILIHAN MODEL TERBAIK

5.1 Ringkasan Model Log Linier

Model	Parameter	Deviance	Jumlah Parameter	df	AIC
Saturated	$\lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ} + \lambda_{ijk}^{XYZ}$	0.000	12	0	100.14
Homogenous	$\lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ}$	1.798	10	2	97.934
Conditional on X	$\lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ}$	3.9303	8	4	96.067
Conditional on Y	$\lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{jk}^{YZ}$	2.9203	8	4	95.057
Conditional on Z	$\lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ}$	29.729	9	3	123.87

5.2 Ringkasan Pengujian Interaksi 3 Arah dan 2 Arah

Interaksi	Pengujian	$\Delta$ deviance	$\Delta$ df	Chi-square Tabel	Keputusan	Keterangan
XYZ	Saturated vs Homogenous	1.798	2	5.991	Tidak Tolak H0	tidak ada interaksi
YZ	Conditional on X vs Homogenous	2.1323	2	5.991	Tidak Tolak H0	tidak ada interaksi
XZ	Conditional on Y vs Homogenous	1.1223	2	5.991	Tidak Tolak H0	tidak ada interaksi
XY	Conditional on Z vs Homogenous	27.931	1	3.841	Tolak H0	ada interaksi

5.3 Kesimpulan Pemilihan Model Terbaik

Dari hasil di atas diketahui bahwa asosiasi yang nyata hanya terdapat antara jenis kelamin dan pendapat mengenai hukuman mati. Sehingga, model terbaik adalah:

\[ log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} \]

Model terbaik adalah model log-linear tanpa interaksi tiga arah dan hanya memuat interaksi dua arah antara jenis kelamin dan sikap terhadap hukuman mati.

6. MODEL TERBAIK

Model terbaik dipilih berdasarkan pengujian interaksi yang signifikan, yaitu hanya interaksi dua arah antara jenis kelamin (X) dan sikap terhadap hukuman mati (Y):

\[ log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} \]

# Model Terbaik
bestmodel <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
                 x.sex*y.fav,
                 family = poisson(link = "log"))
summary(bestmodel)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav, 
##     family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                   Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)        4.26518    0.07794  54.721  < 2e-16 ***
## x.sex1M           -0.59345    0.10645  -5.575 2.48e-08 ***
## y.fav1fav          0.48302    0.08075   5.982 2.20e-09 ***
## z.fund1fund        0.01986    0.07533   0.264    0.792    
## z.fund2mod         0.38130    0.06944   5.491 4.00e-08 ***
## x.sex1M:y.fav1fav  0.65845    0.12708   5.181 2.20e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.3612  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:   4.6532  on  6  degrees of freedom
## AIC: 92.79
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

Dari summary model diatas terlihat bahwa best model memiliki AIC yang lebih rendah dibandingkan saturated, homogeneous, dan conditional model.

7. INTERPRETASI KOEFISIEN MODEL TERBAIK

# Interpretasi koefisien model terbaik
data.frame(
  koef = bestmodel$coefficients,
  exp_koef = exp(bestmodel$coefficients)
)

##                          koef   exp_koef
## (Intercept)        4.26517861 71.1776316
## x.sex1M           -0.59344782  0.5524194
## y.fav1fav          0.48302334  1.6209677
## z.fund1fund        0.01985881  1.0200573
## z.fund2mod         0.38129767  1.4641834
## x.sex1M:y.fav1fav  0.65845265  1.9318008

7.1 Interpretasi Koefisien Model Terbaik

$exp(\lambda_{1M}^X) = exp(-0,593) = 0,552$ -> nilai odds

Tanpa memperhatikan fundamentalisme dan pendapat mengenai hukuman mati, peluang seseorang berjenis kelamin laki-laki adalah 0,55 kali dibandingkan perempuan. Atau, peluang seseorang berjenis kelamin perempuan adalah $\frac{1}{0,55} = 1,81$ kali dibandingkan laki-laki.

$exp(\lambda_{1fav}^Y) = exp(0,483) = 1,621$ -> nilai odds

Tanpa memperhatikan jenis kelamin dan fundamentalisme, peluang seseorang mendukung hukuman mati adalah 1,621 kali dibandingkan yang menolak.

$exp(\lambda_{1fund}^Z) = exp(-0,01986) = 1,02$ -> nilai odds

Tanpa memperhatikan jenis kelamin dan pendapat mengenai hukuman mati, peluang seseorang fundamentalist adalah 1,02 kali dibandingkan liberal.

$exp(\lambda_{1M,1fav}^{XY}) = exp(0,658) = 1,932$ -> nilai odds ratio

Tanpa memperhatikan fundamentalisme, odds mendukung hukuman mati (dibandingkan menolak) jika dia laki-laki adalah 1,932 kali dibandingkan odds yang sama jika dia perempuan.

8. NILAI DUGAAN MODEL TERBAIK

# Fitted values dari model terbaik
data.frame(
  Fund = z.fund,
  sex = x.sex,
  favor = y.fav,
  counts = counts,
  fitted = bestmodel$fitted.values
)

##     Fund sex favor counts    fitted
## 1  1fund  1M  1fav    128 125.59539
## 2  1fund  1M  2opp     32  40.10855
## 3  1fund  2F  1fav    123 117.69079
## 4  1fund  2F  2opp     73  72.60526
## 5   2mod  1M  1fav    182 180.27878
## 6   2mod  1M  2opp     56  57.57155
## 7   2mod  2F  1fav    168 168.93257
## 8   2mod  2F  2opp    105 104.21711
## 9   3lib  1M  1fav    119 123.12582
## 10  3lib  1M  2opp     49  39.31990
## 11  3lib  2F  1fav    111 115.37664
## 12  3lib  2F  2opp     70  71.17763

8.1 Perhitungan Manual Nilai Dugaan (Fitted Value) Model Terbaik

Secara manual, nilai fitted value diperoleh dengan cara sebagai berikut:

\[ \hat{\mu}_{111} = \exp(\lambda + \lambda^{x}_{1m} + \lambda^{y}_{1fav} + \lambda^{z}_{fund} + \lambda^{xy}_{1m,1fav}) \\ = \exp(4.265 - 0.593 + 0.483 + 0.01986 + 0.658) \\ = \exp(4.833) = 125.595 \]

\[ \hat{\mu}_{112} = \exp(\lambda + \lambda^{x}_{1m} + \lambda^{y}_{1fav} + \lambda^{z}_{2mod} + \lambda^{xy}_{1m,1fav}) \\ = \exp(4.265 - 0.593 + 0.483 + 0.381 + 0.658) \\ = \exp(5.195) = 180.279 \]

\[ \hat{\mu}_{113} = \exp(\lambda + \lambda^{x}_{1m} + \lambda^{y}_{1fav} + \lambda^{z}_{lib} + \lambda^{xy}_{1m,1fav}) \\ = \exp(4.265 - 0.593 + 0.483 + 0 + 0.658) \\ = \exp(4.813) = 123.126 \]

\[ \hat{\mu}_{121} = \exp(\lambda + \lambda^{x}_{1m} + \lambda^{y}_{2opp} + \lambda^{z}_{fund} + \lambda^{xy}_{1m,2opp}) \\ = \exp(4.265 - 0.593 + 0 + 0.01986 + 0) \\ = \exp(3.692) = 40.109 \]

\[ \hat{\mu}_{122} = \exp(\lambda + \lambda^{x}_{1m} + \lambda^{y}_{2opp} + \lambda^{z}_{2mod} + \lambda^{xy}_{1m,2opp}) \\ = \exp(4.265 - 0.593 + 0 + 0.381 + 0) \\ = \exp(4.053) = 57.572 \]

\[ \hat{\mu}_{123} = \exp(\lambda + \lambda^{x}_{1m} + \lambda^{y}_{2opp} + \lambda^{z}_{lib} + \lambda^{xy}_{1m,2opp}) \\ = \exp(4.265 - 0.593 + 0 + 0 + 0) \\ = \exp(3.672) = 39.320 \]

\[ \hat{\mu}_{211} = \exp(\lambda + \lambda^{x}_{2f} + \lambda^{y}_{1fav} + \lambda^{z}_{fund} + \lambda^{xy}_{2f,1fav}) \\ = \exp(4.265 + 0 + 0.483 + 0.01986 + 0) \\ = \exp(4.768) = 117.691 \]

\[ \hat{\mu}_{212} = \exp(\lambda + \lambda^{x}_{2f} + \lambda^{y}_{1fav} + \lambda^{z}_{2mod} + \lambda^{xy}_{2f,1fav}) \\ = \exp(4.265 + 0 + 0.483 + 0.381 + 0) \\ = \exp(5.1295) = 168.933 \]

\[ \hat{\mu}_{213} = \exp(\lambda + \lambda^{x}_{2f} + \lambda^{y}_{1fav} + \lambda^{z}_{lib} + \lambda^{xy}_{2f,1fav}) \\ = \exp(4.265 + 0 + 0.483 + 0 + 0) \\ = \exp(4.748) = 115.377 \]

\[ \hat{\mu}_{221} = \exp(\lambda + \lambda^{x}_{2f} + \lambda^{y}_{2opp} + \lambda^{z}_{fund} + \lambda^{xy}_{2f,2opp}) \\ = \exp(4.265 + 0 + 0 + 0.01986 + 0) \\ = \exp(4.285) = 72.605 \]

\[ \hat{\mu}_{222} = \exp(\lambda + \lambda^{x}_{2f} + \lambda^{y}_{2opp} + \lambda^{z}_{2mod} + \lambda^{xy}_{2f,2opp}) \\ = \exp(4.265 + 0 + 0 + 0.381 + 0) \\ = \exp(4.646) = 104.217 \]

\[ \hat{\mu}_{223} = \exp(\lambda + \lambda^{x}_{2f} + \lambda^{y}_{2opp} + \lambda^{z}_{lib} + \lambda^{xy}_{2f,2opp}) \\ = \exp(4.265 + 0 + 0 + 0 + 0) \\ = \exp(4.265) = 71.178 \]

Keterangan:

Nilai $\hat{\mu}_{ijk}$ akan sama apapun referensi dari kategori peubahnya yang kita gunakan.

Model	Parameter	Deviance	Jumlah Parameter	df	AIC
Saturated	\(\lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ} + \lambda_{ijk}^{XYZ}\)	0.000	12	0	100.14
Homogenous	\(\lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ}\)	1.798	10	2	97.934
Conditional on X	\(\lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ}\)	3.9303	8	4	96.067
Conditional on Y	\(\lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{jk}^{YZ}\)	2.9203	8	4	95.057
Conditional on Z	\(\lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ}\)	29.729	9	3	123.87

Analisis Log Linear Poisson Untuk Tabel Kontingensi 2 & 3 Arah

Ghaitsa Shafiyyah

2025-05-29

1. Log Linear Model

1.1 Tabel Kontingensi dan Model Loglinier

1.2 Model Saturated

1.3 Model Independent

1.4 Odds Ratio dan Interpretasi

Estimasi Parameter

1.6 Model Lebih Sederhana dan Perbandingan Model

1.7 Studi Kasus: Kepercayaan terhadap Surga

2. RANGKUMAN MODEL LOG LINEAR 2 ARAH

2.1 Model log-linear pada tabel kontingensi

2.2 Perbedaan utama antara model log-linear dan model regresi logistik

2.3 Estimasi Parameter log linear 2 arah

2.4 Analisis Data Tabel Kontingensi 2x2

2.5 Bentuk Model Log-Linear

2.6 Estimasi Parameter Model (Manual, Sum-to-zero)

2.7 Hitung Odds Ratio dan Interval Kepercayaan

2.8 Fitting Model Log-Linear dengan R

2.9 Intepretasi Parameter

2.10 Analisis Data Tabel Kontingensi 2x3

2.11 Bentuk Model Log-Linear untuk Tabel 2x3

2.12 Fitting Model Log-Linear di R

Interpretasi

3. Model Log Linear Tiga Arah

3.1 Model Log-Linear untuk Tabel Tiga Arah

3.2 Pengujian Interaksi dalam Model Log-Linear Tiga Arah

3.3 Soal Praktikum

3.3.1 Soal

3.3.2 Tabel Data Survei

3.4 Analisis Log-Linear untuk Tabel Tiga Arah

3.4.1 Package yang Digunakan

4. UJI MODEL INTERAKSI TIGA ARAH (SATURATED VS HOMOGENOUS)

4.0.1 Penentuan Kategori Referensi

4.0.2 Ringkasan Model

4.0.3 Hasil Estimasi Koefisien

4.0.4 Interpretasi Koefisien

4.0.5 Goodness-of-Fit

4.0.6 Kesimpulan

4.1 Model Homogenous

4.2 Uji Hipotesis: Apakah Ada Interaksi Tiga Arah? (Saturated vs Homogenous)

4.2.1 Langkah-Langkah Pengujian

4.2.1.1 1. Hipotesis

4.2.1.2 2. Hitung Selisih Deviance

4.2.1.3 3. Hitung Derajat Bebas

4.2.1.4 4. Chi-Square Tabel (α = 0.05)

4.2.1.5 5. Keputusan Uji

4.3 UJI MODEL INTERAKSI DUA ARAH (HOMOGENOUS VS CONDITIONAL ON X)

4.3.1 Model Conditional on X

4.4 UJI MODEL INTERAKSI DUA ARAH (HOMOGENOUS VS CONDITIONAL ON Y)

4.4.1 Model Conditional on Y

4.5 UJI MODEL INTERAKSI DUA ARAH (HOMOGENOUS VS CONDITIONAL ON Z)

4.5.1 Model Conditional on Z

5. PEMILIHAN MODEL TERBAIK

5.1 Ringkasan Model Log Linier

5.2 Ringkasan Pengujian Interaksi 3 Arah dan 2 Arah

5.3 Kesimpulan Pemilihan Model Terbaik

6. MODEL TERBAIK

7. INTERPRETASI KOEFISIEN MODEL TERBAIK

7.1 Interpretasi Koefisien Model Terbaik

8. NILAI DUGAAN MODEL TERBAIK

8.1 Perhitungan Manual Nilai Dugaan (Fitted Value) Model Terbaik