1 Log Linear Model

Analisis data kategorik memainkan peran penting dalam statistika terapan karena banyak fenomena dalam kehidupan nyata menghasilkan data dalam bentuk kategori, seperti jenis kelamin, status pekerjaan, tingkat pendidikan, preferensi konsumen, atau hasil diagnosis medis. Untuk menganalisis data semacam ini, umumnya digunakan pendekatan seperti tabel kontingensi, model log-linier, dan regresi logistik. Setiap metode memiliki keunggulan dan keterbatasan masing-masing, tergantung pada tujuan analisis serta struktur data yang dimiliki.

Tabel kontingensi sering menjadi langkah awal dalam analisis data kategorik untuk mengamati hubungan antara dua atau lebih variabel. Misalnya, dalam penelitian mengenai pengaruh obat terhadap serangan jantung, tabel kontingensi dapat menunjukkan jumlah pasien yang mengalami atau tidak mengalami serangan berdasarkan jenis obat yang digunakan. Analisis ini membantu mengidentifikasi pola hubungan awal dan menghitung ukuran asosiasi seperti odds ratio, risk ratio, serta statistik chi-kuadrat untuk menguji independensi antar variabel.

Untuk analisis yang lebih kompleks, terutama ketika ingin mempertimbangkan banyak variabel secara bersamaan serta interaksinya, model log-linier menjadi alat yang lebih tepat. Model ini merupakan bentuk khusus dari Generalized Linear Model (GLM) yang digunakan untuk memodelkan frekuensi dalam tabel kontingensi dan mengasumsikan distribusi Poisson. Berbeda dengan regresi logistik, model log-linier memperlakukan semua variabel secara setara, tanpa membedakan antara variabel dependen dan independen. Model ini lebih cocok untuk mengeksplorasi struktur asosiasi atau independensi di antara variabel-variabel kategorik.

Struktur dalam model log-linier dibentuk dari efek utama masing-masing variabel serta interaksi antara variabel. Misalnya, dalam tabel tiga arah (seperti jenis kelamin, kebiasaan merokok, dan penyakit paru), model ini bisa menentukan apakah cukup dengan mempertimbangkan interaksi dua variabel, atau perlu mempertimbangkan interaksi tiga arah. Evaluasi terhadap model biasanya dilakukan menggunakan likelihood ratio test untuk membandingkan antara model sederhana dan model yang lebih kompleks.

Sementara itu, regresi logistik merupakan metode yang paling umum digunakan ketika satu variabel kategorik dianggap sebagai variabel dependen (contohnya, status penyakit: ya atau tidak), dan satu atau lebih variabel kategorik atau numerik sebagai prediktor. Model ini memodelkan logit dari probabilitas kejadian (yakni log dari odds) dan sangat berguna dalam studi observasional maupun eksperimental, baik untuk menjelaskan maupun memprediksi kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Regresi logistik juga memiliki varian untuk outcome yang terdiri dari lebih dari dua kategori, seperti regresi logistik multinomial dan ordinal.

Dengan demikian, meskipun ketiganya berfokus pada data kategorik, masing-masing metode memiliki orientasi yang berbeda: tabel kontingensi bersifat deskriptif, model log-linier bersifat eksploratif untuk memahami hubungan antar variabel secara simetris, dan regresi logistik bersifat prediktif terhadap outcome. Pemilihan metode tergantung pada tujuan analisis, apakah untuk menggambarkan data, mengeksplorasi struktur hubungan, atau memprediksi hasil berdasarkan variabel penjelas. Dalam praktik, ketiganya sering digunakan secara terpadu untuk mendapatkan pemahaman menyeluruh terhadap data kategorik yang dianalisis.

Ringkasan

Dalam analisis data kategorik, terdapat beberapa pendekatan statistik yang umum digunakan, antara lain:

Tabel Kontingensi: penyajian frekuensi gabungan dari dua atau lebih variabel kategorik.
Model Loglinear: digunakan untuk memodelkan struktur asosiasi di dalam tabel kontingensi tanpa menganggap ada variabel dependen.
Model Regresi Logistik: digunakan untuk memodelkan probabilitas dari kategori variabel dependen berdasarkan variabel independen.

Meskipun ketiganya dapat digunakan pada data kategorik, pendekatan dan interpretasinya sangat berbeda.

1.1 Tabel Kontingensi

Tabel kontingensi menyajikan jumlah frekuensi dari kombinasi kategori antar variabel.

Contoh tabel 2x2:

table_data <- matrix(c(30, 20, 50, 70), nrow=2, dimnames = list(Obat = c("Timolol", "Placebo"), Serangan = c("Ya", "Tidak")))
table_data

##          Serangan
## Obat      Ya Tidak
##   Timolol 30    50
##   Placebo 20    70

Tabel kontingensi bersifat deskriptif dan tidak melibatkan pemodelan probabilitas.

1.2 Model Loglinear

Model loglinear memodelkan logaritma dari ekspektasi frekuensi sel dalam tabel kontingensi.

\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda_{i}^{A} + \lambda_{j}^{B} + \lambda_{ij}^{AB} \]

Cocok untuk menyelidiki asosiasi dan independensi antar variabel.
Tidak membedakan antara variabel respon dan penjelas.
Umumnya digunakan pada tabel multi-dimensi (2 arah, 3 arah, dst).

library(MASS)
loglm(~ Obat * Serangan, data = table_data)

## Call:
## loglm(formula = ~Obat * Serangan, data = table_data)
## 
## Statistics:
##                  X^2 df P(> X^2)
## Likelihood Ratio   0  0        1
## Pearson            0  0        1

1.3 Model Regresi Logistik

Model Regresi Logistik Biner:

\[ \log\left(\frac{p}{1-p}\right) = \beta_0 + \beta_1x \]

Digunakan jika ada variabel dependen kategorik (biasanya biner).
Bertujuan untuk memprediksi probabilitas suatu outcome.
Umumnya digunakan dalam studi observasional atau eksperimental.

Contoh:

data_glm <- data.frame(
  Serangan = c(1, 0, 1, 0),
  Obat = factor(c("Timolol", "Timolol", "Placebo", "Placebo")),
  Frek = c(30, 20, 50, 70)
)
model_logit <- glm(Serangan ~ Obat, weights = Frek, family = binomial, data = data_glm)
summary(model_logit)

## 
## Call:
## glm(formula = Serangan ~ Obat, family = binomial, data = data_glm, 
##     weights = Frek)
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  
## (Intercept)  -0.3365     0.1852  -1.817   0.0692 .
## ObatTimolol   0.7419     0.3430   2.163   0.0305 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 235.08  on 3  degrees of freedom
## Residual deviance: 230.31  on 2  degrees of freedom
## AIC: 234.31
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

1.4 Perbandingan Ketiga Pendekatan

Aspek	Tabel Kontingensi	Model Loglinear	Regresi Logistik
Tujuan	Deskripsi frekuensi	Deteksi asosiasi	Prediksi probabilitas
Variabel dependen	Tidak ada	Tidak ada (simetris)	Ada (eksplisit)
Distribusi	Tidak diasumsikan	Poisson (frekuensi sel)	Binomial (probabilitas)
Bentuk Model	Tidak ada	GLM: $\log(\mu) \sim \text{efek}$	GLM: $\log\left(\frac{p}{1-p}\right) \sim \text{prediktor}$
Cocok untuk	Eksplorasi awal	Tabel > 2 variabel	Studi prediktif

1.5 Tabel Kontingensi dan Model Loglinier

Tabel kontingensi menyajikan frekuensi dari kombinasi kategori antar dua atau lebih variabel. Misal:

# Contoh tabel 2x2
matrix(c(30, 20, 50, 70), nrow=2, dimnames = list(Obat = c("Timolol", "Placebo"), Serangan = c("Ya", "Tidak")))

##          Serangan
## Obat      Ya Tidak
##   Timolol 30    50
##   Placebo 20    70

1.6 Model Log-linier untuk Tabel $I \times J$

Model log-linier untuk tabel $I \times J$ dapat dituliskan:

\[ \log(\mu_{ij})=\lambda+\lambda_i^T+\lambda_j^R+\lambda_{ij}^{TR} \]

1.7 Model Saturated

Model saturated atau model penuh menyertakan seluruh efek utama dan interaksi:

Cocok sempurna terhadap data
Tidak mengasumsikan independensi antar variabel

Contoh formulasi untuk tabel 2x2:

# Data
library(MASS)
data <- matrix(c(35, 65, 45, 55), nrow=2, byrow=TRUE)
dimnames(data) <- list(Obat = c("Timolol", "Placebo"), Serangan = c("Ya", "Tidak"))
ftable(data)

##         Serangan Ya Tidak
## Obat                     
## Timolol          35    65
## Placebo          45    55

# Model saturated
model_saturated <- loglm(~ Obat * Serangan, data = data)
summary(model_saturated)

## Formula:
## ~Obat * Serangan
## attr(,"variables")
## list(Obat, Serangan)
## attr(,"factors")
##          Obat Serangan Obat:Serangan
## Obat        1        0             1
## Serangan    0        1             1
## attr(,"term.labels")
## [1] "Obat"          "Serangan"      "Obat:Serangan"
## attr(,"order")
## [1] 1 1 2
## attr(,"intercept")
## [1] 1
## attr(,"response")
## [1] 0
## attr(,".Environment")
## <environment: R_GlobalEnv>
## 
## Statistics:
##                  X^2 df P(> X^2)
## Likelihood Ratio   0  0        1
## Pearson            0  0        1

1.8 Model Independent

Model independen mengasumsikan bahwa tidak ada interaksi antara variabel:

\[ \log(\mu_{ij})=\mu+\lambda_i^T+\lambda_j^R \]

Model ini menguji hipotesis bahwa variabel X dan Y saling independen.

model_indep <- loglm(~ Obat + Serangan, data = data)
summary(model_indep)

## Formula:
## ~Obat + Serangan
## attr(,"variables")
## list(Obat, Serangan)
## attr(,"factors")
##          Obat Serangan
## Obat        1        0
## Serangan    0        1
## attr(,"term.labels")
## [1] "Obat"     "Serangan"
## attr(,"order")
## [1] 1 1
## attr(,"intercept")
## [1] 1
## attr(,"response")
## [1] 0
## attr(,".Environment")
## <environment: R_GlobalEnv>
## 
## Statistics:
##                       X^2 df  P(> X^2)
## Likelihood Ratio 2.087576  1 0.1485015
## Pearson          2.083333  1 0.1489147

1.9 Odds Ratio dan Interpretasi

Odds ratio untuk tabel 2x2:

\[ \text{OR}=\frac{n_{11}n_{22}}{n_{12}n_{21}} \]

Interpretasi nilai OR:

OR = 1: Tidak ada asosiasi
OR > 1: Asosiasi positif
OR < 1: Asosiasi negatif

1.10 Estimasi Parameter

Dalam model saturated:

Estimasi dilakukan dengan pembatasan seperti sum-to-zero
Estimasi parameter dilakukan dengan iterative proportional fitting (IPF)

# Estimasi odds ratio dan log-odds
logOR <- log((data[1,1] * data[2,2]) / (data[1,2] * data[2,1]))
logOR

## [1] -0.4183685

1.11 Model Lebih Sederhana dan Perbandingan Model

Perbandingan antar model dilakukan dengan menggunakan statistik deviance ($G^2$) atau likelihood ratio test.

anova(model_indep, model_saturated)

## LR tests for hierarchical log-linear models
## 
## Model 1:
##  ~Obat + Serangan 
## Model 2:
##  ~Obat * Serangan 
## 
##           Deviance df Delta(Dev) Delta(df) P(> Delta(Dev)
## Model 1   2.087576  1                                    
## Model 2   0.000000  0   2.087576         1         0.1485
## Saturated 0.000000  0   0.000000         0         1.0000

1.12 Studi Kasus: Kepercayaan terhadap Surga

Studi dari Agresti (2019) membahas hubungan antara kebahagiaan dan kepercayaan terhadap kehidupan akhirat.

data_survey <- matrix(c(32,190,113,611,51,326), nrow = 3, byrow = TRUE, dimnames = list(Kebahagiaan = c("Tidak", "Cukup", "Sangat"), Surga = c("Tidak Percaya", "Percaya")))
ftable(data_survey)

##             Surga Tidak Percaya Percaya
## Kebahagiaan                            
## Tidak                        32     190
## Cukup                       113     611
## Sangat                       51     326

loglm(~ Kebahagiaan + Surga, data = data_survey)

## Call:
## loglm(formula = ~Kebahagiaan + Surga, data = data_survey)
## 
## Statistics:
##                        X^2 df  P(> X^2)
## Likelihood Ratio 0.8911136  2 0.6404675
## Pearson          0.8836760  2 0.6428538

2 Rangkuman Model Log Linear 2 Arah

2.1 Model log-linear pada tabel kontingensi

Model log-linear adalah model yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua atau lebih variabel kategorik yang disajikan dalam tabel kontingensi. Model ini mengasumsikan bahwa logaritma dari nilai ekspektasi frekuensi sel ($\mu_{ij}$) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan efek variabel dan (bila perlu) interaksinya. Untuk tabel 2x2:

\[ \log(\mu_{ij})=\lambda+\lambda_i^A+\lambda_j^B+\lambda_{ij}^{AB} \]

2.2 Perbedaan utama antara model log-linear dan model regresi logistik

Model log-linear digunakan untuk memodelkan frekuensi (count) pada tabel kontingensi dan menguji asosiasi antar variabel kategorik, tanpa menganggap ada variabel respon dan prediktor.

Model regresi logistik digunakan untuk memodelkan probabilitas kejadian suatu outcome (biner) berdasarkan satu atau lebih prediktor (bisa kategorik maupun kontinu).

2.3 Estimasi Parameter log linear 2 arah

Sistem Persamaan Model Log-Linear

\[ \begin{aligned} \log(\mu_{11}) &= \lambda+\lambda_1^A+\lambda_1^B+\lambda_{11}^{AB} \\ \log(\mu_{12}) &= \lambda+\lambda_1^A+\lambda_2^B+\lambda_{12}^{AB} \\ \log(\mu_{21}) &= \lambda+\lambda_2^A+\lambda_1^B+\lambda_{21}^{AB} \\ \log(\mu_{22}) &= \lambda+\lambda_2^A+\lambda_2^B+\lambda_{22}^{AB} \end{aligned} \]

Constraint Sum-to-Zero

\[ \lambda_1^A+\lambda_2^A=0, \quad \lambda_1^B+\lambda_2^B=0, \quad \lambda_{11}^{AB}+\lambda_{12}^{AB}+\lambda_{21}^{AB}+\lambda_{22}^{AB}=0 \]

Rumus Estimasi Parameter dengan Sum-to-Zero Constraint

\[ \begin{aligned} \lambda_1^A &= \frac{1}{2} \left[ (\log \mu_{11} + \log \mu_{12}) - (\log \mu_{21} + \log \mu_{22}) \right] \\ \lambda_1^B &= \frac{1}{2} \left[ (\log \mu_{11} + \log \mu_{21}) - (\log \mu_{12} + \log \mu_{22}) \right] \\ \lambda_{12}^{AB} &= \frac{1}{4} \left[ \log \mu_{12} - \log \mu_{11} - \log \mu_{22} + \log \mu_{21} \right] \end{aligned} \]

2.4 Analisis Data Tabel Kontingensi 2x2

Diberikan data:

Merokok	Sakit	Sehat
Ya	30	20
Tidak	10	40

2.5 Bentuk Model Log-Linear

Model log-linear pada tabel 2x2:

\[ \log(\mu_{ij})=\lambda+\lambda_i^A+\lambda_j^B+\lambda_{ij}^{AB} \]

dengan constraint sum-to-zero:

\[ \sum_i \lambda_i^A=0, \quad \sum_j \lambda_j^B=0, \quad \sum_{i,j} \lambda_{ij}^{AB}=0 \]

2.6 Estimasi Parameter Model (Manual, Sum-to-zero)

Misalkan:

$A_1$ = Merokok (Ya), $A_2$ = Tidak
$B_1$ = Sakit, $B_2$ = Sehat

Observasi:

$n_{11}=30$, $n_{12}=20$
$n_{21}=10$, $n_{22}=40$

Constraint sum-to-zero:

\[ \lambda_1^A+\lambda_2^A=0 \]

\[ \lambda_1^B+\lambda_2^B=0 \]

\[ \lambda_{11}^{AB}+\lambda_{12}^{AB}+\lambda_{21}^{AB}+\lambda_{22}^{AB}=0 \]

Langkah-langkah:

Hitung rata-rata log frekuensi sel:

\[ \lambda = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \log(n_{ij}) = \frac{1}{4} \left[ \log(30) + \log(20) + \log(10) + \log(40) \right] = 3.0971 \]

Efek utama A (Merokok):

\[ \begin{aligned} \lambda_1^A &= \frac{1}{2} \left[ (\log(30) + \log(20)) - (\log(10) + \log(40)) \right] \\ &= \frac{1}{2} \left[ (3.4012 + 2.9957) - (2.3026 + 3.6889) \right] \\ &= \frac{1}{2} (6.3969 - 5.9915) = \frac{1}{2} (0.4054) = 0.2027 \\ \lambda_2^A &= -0.2027 \end{aligned} \]

Efek utama B (Status):

\[ \begin{aligned} \lambda_1^B &= \frac{1}{2} \left[ (\log(30) + \log(10)) - (\log(20) + \log(40)) \right] \\ &= \frac{1}{2} \left[ (3.4012 + 2.3026) - (2.9957 + 3.6889) \right] \\ &= \frac{1}{2} (5.7038 - 6.6846) = \frac{1}{2} (-0.9808) = -0.4904 \\ \lambda_2^B &= +0.4904 \end{aligned} \]

Efek interaksi:

\[ \begin{aligned} \lambda_{11}^{AB} &= \frac{1}{4} \left[ \log(30) - \log(20) - \log(10) + \log(40) \right] \\ &= \frac{1}{4} \left[ 3.4012 - 2.9957 - 2.3026 + 3.6889 \right] \\ &= \frac{1}{4} (3.4012 - 2.9957 - 2.3026 + 3.6889) = \frac{1}{4} (1.7918) = 0.4479 \\ \lambda_{12}^{AB} &= -\lambda_{11}^{AB} = -0.4479 \\ \lambda_{21}^{AB} &= -0.4479 \\ \lambda_{22}^{AB} &= +0.4479 \end{aligned} \]

Ringkasan parameter:

$\lambda = 3.0971$
$\lambda_1^A = 0.2027$, $\lambda_2^A = -0.2027$
$\lambda_1^B = -0.4904$, $\lambda_2^B = 0.4904$
$\lambda_{11}^{AB} = 0.4479$, $\lambda_{12}^{AB} = -0.4479$, $\lambda_{21}^{AB} = -0.4479$, $\lambda_{22}^{AB} = 0.4479$

2.7 Hitung Odds Ratio dan Interval Kepercayaan

\[ \text{OR} = \frac{n_{11}n_{22}}{n_{12}n_{21}} = \frac{30 \times 40}{20 \times 10} = \frac{1200}{200} = 6 \]

Log odds ratio:

\[ \log(\text{OR}) = \log(6) = 1.7918 \]

Standard error (SE):

\[ \text{SE} = \sqrt{\frac{1}{n_{11}} + \frac{1}{n_{12}} + \frac{1}{n_{21}} + \frac{1}{n_{22}}} = \sqrt{\frac{1}{30} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10} + \frac{1}{40}} = \sqrt{0.0333 + 0.05 + 0.1 + 0.025} = \sqrt{0.2083} = 0.4564 \]

95% Confidence Interval for log(OR):

\[ \log(\text{OR}) \pm 1.96 \times \text{SE} = 1.7918 \pm 1.96 \times 0.4564 = (1.7918 - 0.895, 1.7918 + 0.895) = (0.8968, 2.6868) \]

Back-transform to get CI for OR:

\[ \text{Lower} = \exp(0.8968) = 2.452, \quad \text{Upper} = \exp(2.6868) = 14.68 \]

Jadi, OR = 6 (95% CI: 2.45 – 14.68)

2.8 Fitting Model Log-Linear dengan R

# Data 2x2
tabel <- matrix(c(30, 20, 10, 40), nrow = 2, byrow = TRUE)
colnames(tabel) <- c("Sakit", "Sehat")
rownames(tabel) <- c("Ya", "Tidak")
data <- as.data.frame(as.table(tabel))
colnames(data) <- c("Merokok", "Status", "Freq")

# Model tanpa interaksi
fit_no_inter <- glm(Freq ~ Merokok + Status, family = poisson, data = data)
summary(fit_no_inter)

## 
## Call:
## glm(formula = Freq ~ Merokok + Status, family = poisson, data = data)
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)  2.996e+00  1.871e-01  16.013   <2e-16 ***
## MerokokTidak 3.892e-10  2.000e-01   0.000    1.000    
## StatusSehat  4.055e-01  2.041e-01   1.986    0.047 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 21.288  on 3  degrees of freedom
## Residual deviance: 17.261  on 1  degrees of freedom
## AIC: 43.036
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

# Model dengan interaksi
fit_inter <- glm(Freq ~ Merokok * Status, family = poisson, data = data)
summary(fit_inter)

## 
## Call:
## glm(formula = Freq ~ Merokok * Status, family = poisson, data = data)
## 
## Coefficients:
##                          Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)                3.4012     0.1826  18.629  < 2e-16 ***
## MerokokTidak              -1.0986     0.3651  -3.009  0.00262 ** 
## StatusSehat               -0.4055     0.2887  -1.405  0.16015    
## MerokokTidak:StatusSehat   1.7918     0.4564   3.926 8.65e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 2.1288e+01  on 3  degrees of freedom
## Residual deviance: 3.9968e-15  on 0  degrees of freedom
## AIC: 27.775
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

2.9 Interpretasi Parameter

Parameter utama (intercept) menunjukkan rata-rata log frekuensi sel.
Efek “Merokok” dan “Status” menunjukkan perbedaan log frekuensi antar kategori.
Interaksi signifikan menunjukkan adanya asosiasi antara Merokok dan Status.
Nilai $\log(6) = 1.79$ itu sama dengan efek interaksi output R.

2.10 Analisis Data Tabel Kontingensi 2x3

Suatu survei dilakukan untuk mengetahui hubungan antara Jenis Kelamin (Laki-laki/Perempuan) dan Kategori BMI (Kurus/Normal/Gemuk):

	Kurus	Normal	Gemuk
Laki-laki	12	20	8
Perempuan	18	24	10

2.11 Bentuk Model Log-Linear untuk Tabel 2x3

Bentuk umum model log-linear untuk tabel 2x3 (dengan sum-to-zero constraint):

\[ \log(\mu_{ij})=\lambda+\lambda_i^A+\lambda_j^B+\lambda_{ij}^{AB} \]

dengan:

$\mu_{ij}$: ekspektasi frekuensi pada baris ke-$i$, kolom ke-$j$
$A$: Jenis Kelamin ($i=1$: Laki-laki, $i=2$: Perempuan)
$B$: Kategori BMI ($j=1$: Kurus, $j=2$: Normal, $j=3$: Gemuk)

Constraint:

\[ \sum_i \lambda_i^A=0, \quad \sum_j \lambda_j^B=0, \quad \sum_i \lambda_{ij}^{AB}=0, \quad \sum_j \lambda_{ij}^{AB}=0 \]

Secara eksplisit:

\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda_1^A \text{(Laki-laki)}, \lambda_2^A \text{(Perempuan)} + \lambda_1^B \text{(Kurus)}, \lambda_2^B \text{(Normal)}, \lambda_3^B \text{(Gemuk)} + \lambda_{ij}^{AB} \text{(interaksi jika ada)} \]

2.12 Fitting Model Log-Linear di R

# Membuat data frame dari tabel
tabel2x3 <- matrix(c(12, 20, 8, 18, 24, 10), nrow = 2, byrow = TRUE)
colnames(tabel2x3) <- c("Kurus", "Normal", "Gemuk")
rownames(tabel2x3) <- c("Laki-laki", "Perempuan")
data2x3 <- as.data.frame(as.table(tabel2x3))
colnames(data2x3) <- c("JenisKelamin", "BMI", "Freq")

# Model log-linear tanpa interaksi (asumsi independen)
fit_no_inter <- glm(Freq ~ JenisKelamin + BMI, family = poisson, data = data2x3)
summary(fit_no_inter)

## 
## Call:
## glm(formula = Freq ~ JenisKelamin + BMI, family = poisson, data = data2x3)
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)             2.5683     0.2179  11.789   <2e-16 ***
## JenisKelaminPerempuan   0.2624     0.2103   1.248   0.2122    
## BMINormal               0.3830     0.2368   1.618   0.1058    
## BMIGemuk               -0.5108     0.2981  -1.713   0.0866 .  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 13.06443  on 5  degrees of freedom
## Residual deviance:  0.22527  on 2  degrees of freedom
## AIC: 35.26
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

# Model log-linear dengan interaksi (untuk cek asosiasi)
fit_inter <- glm(Freq ~ JenisKelamin * BMI, family = poisson, data = data2x3)
summary(fit_inter)

## 
## Call:
## glm(formula = Freq ~ JenisKelamin * BMI, family = poisson, data = data2x3)
## 
## Coefficients:
##                                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)                       2.4849     0.2887   8.608   <2e-16 ***
## JenisKelaminPerempuan             0.4055     0.3727   1.088    0.277    
## BMINormal                         0.5108     0.3651   1.399    0.162    
## BMIGemuk                         -0.4055     0.4564  -0.888    0.374    
## JenisKelaminPerempuan:BMINormal  -0.2231     0.4802  -0.465    0.642    
## JenisKelaminPerempuan:BMIGemuk   -0.1823     0.6032  -0.302    0.762    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance:  1.3064e+01  on 5  degrees of freedom
## Residual deviance: -9.0719e-30  on 0  degrees of freedom
## AIC: 39.034
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

2.13 Interpretasi

Model tanpa interaksi:
- Jika deviance tidak signifikan, maka Jenis Kelamin dan BMI independen.

Intercept: log frekuensi pada kategori referensi (Laki-laki, Kurus)

Koefisien JenisKelaminPerempuan: perbedaan log-frekuensi antara Perempuan vs Laki-laki (pada Kurus)

Koefisien BMI: perbedaan log-frekuensi kategori BMI (Normal/Gemuk) terhadap Kurus (pada Laki-laki)

Model dengan interaksi:

Jika koefisien interaksi signifikan, berarti ada hubungan/asosiasi antara Jenis Kelamin dan BMI. Artinya distribusi BMI berbeda antara Laki-laki dan Perempuan.

Contoh interpretasi hasil (misal):

Jika koefisien JenisKelaminPerempuan negatif: proporsi Perempuan pada kategori referensi lebih kecil dibanding Laki-laki.
Jika koefisien BMI_Normal positif: kemungkinan seseorang Normal lebih tinggi daripada Kurus (pada Laki-laki).
Jika model interaksi signifikan, pola distribusi BMI berbeda antara Laki-laki dan Perempuan.

3 Model Log Linear Tiga Arah

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah memahami bahwa salah satu tujuan utama dari penyusunan model log linear adalah untuk mengestimasi parameter-parameter yang menjelaskan hubungan di antara variabel-variabel kategorik.

Pada materi kali ini, kita akan membahas model log linear yang lebih kompleks, yaitu model log linear untuk tabel kontingensi tiga arah. Model ini melibatkan tiga variabel kategorik, sehingga kemungkinan interaksi yang dapat terjadi di dalam model pun menjadi lebih banyak. Dalam konteks ini, interaksi paling tinggi yang dapat dimodelkan adalah interaksi tiga arah, yaitu interaksi yang melibatkan ketiga variabel secara bersamaan.

3.1 Model Log-Linear untuk Tabel Tiga Arah

Model log-linear yang melibatkan tiga variabel kategorik (misal: X, Y, dan Z) dapat dibangun dalam berbagai bentuk model, tergantung pada tingkat interaksi yang ingin dimasukkan. Berikut adalah beberapa alternatif model log-linear yang umum digunakan:

Model Saturated

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{ik}^{XZ}+\lambda_{jk}^{YZ}+\lambda_{ijk}^{XYZ} \]

Model ini memuat semua kemungkinan interaksi, termasuk interaksi tiga arah (X, Y, dan Z).

Model Homogen

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{ik}^{XZ}+\lambda_{jk}^{YZ} \]

Model ini hanya mengakomodasi interaksi dua arah antar variabel tanpa memasukkan interaksi tiga arah.

Model Conditional

Conditional pada X:

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{ik}^{XZ} \]

Memuat interaksi X dengan Y dan X dengan Z.

Conditional pada Y:

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{jk}^{YZ} \]

Memuat interaksi Y dengan X dan Y dengan Z.

Conditional pada Z:

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ik}^{XZ}+\lambda_{jk}^{YZ} \]

Memuat interaksi Z dengan X dan Z dengan Y.

Model Joint Independence

Independensi antara X & Y:

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY} \]

Independensi antara X & Z:

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ik}^{XZ} \]

Independensi antara Y & Z:

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{jk}^{YZ} \]

Model Tanpa Interaksi

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z \]

Model ini hanya memasukkan efek utama tanpa interaksi antar variabel.

3.2 Pengujian Interaksi dalam Model Log-Linear Tiga Arah

Dalam analisis model log-linear tiga arah, pengujian interaksi dilakukan untuk mengetahui ada atau tidaknya interaksi antar variabel. Pengujian ini dilakukan secara bertahap, dimulai dari tingkat interaksi tertinggi ke yang lebih rendah. Untuk model log-linear dengan tiga peubah (X, Y, dan Z), tahapan pengujian meliputi:

Pengujian Interaksi Tiga Arah (XYZ):

Bandingkan model saturated dengan model homogenous.

Pengujian Interaksi Dua Arah (XY, XZ, YZ):

Bandingkan model homogenous dengan model conditional.
Bandingkan model conditional dengan model joint independence.
Bandingkan model joint independence dengan model tanpa interaksi.

Setiap tahapan pengujian dilakukan untuk menilai kecocokan model dan menentukan struktur interaksi mana yang paling sesuai dengan data yang diamati.

3.3 Soal Praktikum

Gunakan Program R untuk menyelesaikan soal berikut:

3.3.1 Soal

Tabel berikut menyajikan data dari survei General Social Survey (GSS) tahun 1994 mengenai jenis kelamin responden, tingkat fundamentalisme, dan sikap terhadap hukuman mati untuk kasus pembunuhan. Susun dan interpretasikan model log-linear paling sederhana (paling parsimonious) untuk data ini. Jelaskan proses yang Anda lakukan dalam menentukan model terbaik serta asosiasi apa saja yang teridentifikasi. Tunjukkan juga bagaimana nilai yang diprediksi dari model menggambarkan asosiasi tersebut.

3.3.2 Tabel Data Survei

Fundamentalisme	Jenis Kelamin	Mendukung	Menolak	Total
Fundamentalist	Laki-laki	128	32	160
Fundamentalist	Perempuan	123	73	196
Fundamentalist	Total	251	105	356
Moderate	Laki-laki	182	56	238
Moderate	Perempuan	168	105	273
Moderate	Total	350	161	511
Liberal	Laki-laki	119	49	168
Liberal	Perempuan	111	70	181
Liberal	Total	230	119	349

Keterangan:

Fundamentalisme: Fundamentalist, Moderate, Liberal
Jenis Kelamin: Laki-laki, Perempuan
Sikap: Mendukung (Favor), Menolak (Oppose) hukuman mati

3.4 Analisis Log-Linear untuk Tabel Tiga Arah

3.4.1 Package yang Digunakan

library("epitools")
library("DescTools")

## Warning: package 'DescTools' was built under R version 4.3.3

library("lawstat")

## Warning: package 'lawstat' was built under R version 4.3.3

Input Data

# Input data sesuai tabel praktikum
z.fund <- factor(rep(c("1fund", "2mod", "3lib"), each = 4))
x.sex  <- factor(rep(c("1M", "2F"), each = 2, times = 3))
y.fav  <- factor(rep(c("1fav", "2opp"), times = 6))
counts <- c(128, 32, 123, 73, 182, 56, 168, 105, 119, 49, 111, 70)

data <- data.frame(
  Fundamentalisme = z.fund,
  Jenis_Kelamin   = x.sex,
  Sikap           = y.fav,
  Frekuensi       = counts
)

# Membentuk Tabel Kontingensi 3 Arah
table3d <- xtabs(Frekuensi ~ Fundamentalisme + Jenis_Kelamin + Sikap, data = data)
ftable(table3d)

##                               Sikap 1fav 2opp
## Fundamentalisme Jenis_Kelamin                
## 1fund           1M                   128   32
##                 2F                   123   73
## 2mod            1M                   182   56
##                 2F                   168  105
## 3lib            1M                   119   49
##                 2F                   111   70

3.4.2 Analisis Log-Linear: Tahap Pemodelan

Kita akan memodelkan tabel ini menggunakan beberapa model log-linear dan membandingkan kecocokan model (parsimonious model):

4 Uji Model Interaksi Tiga Arah (Saturated vs Homogenous)

4.0.1 Penentuan Kategori Referensi

# Penentuan kategori reference
x.sex  <- relevel(x.sex, ref = "2F")
y.fav  <- relevel(y.fav, ref = "2opp")
z.fund <- relevel(z.fund, ref = "3lib")

Model Saturated

Model log-linear saturated memasukkan semua interaksi hingga tiga arah:

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{ik}^{XZ}+\lambda_{jk}^{YZ}+\lambda_{ijk}^{XYZ} \]

# Model saturated
model_saturated <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
             x.sex*y.fav + x.sex*z.fund + y.fav*z.fund +
             x.sex*y.fav*z.fund,
             family = poisson(link = "log"))
summary(model_saturated)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav + 
##     x.sex * z.fund + y.fav * z.fund + x.sex * y.fav * z.fund, 
##     family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                                Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)                    4.248495   0.119523  35.545  < 2e-16 ***
## x.sex1M                       -0.356675   0.186263  -1.915  0.05551 .  
## y.fav1fav                      0.461035   0.152626   3.021  0.00252 ** 
## z.fund1fund                    0.041964   0.167285   0.251  0.80193    
## z.fund2mod                     0.405465   0.154303   2.628  0.00860 ** 
## x.sex1M:y.fav1fav              0.426268   0.228268   1.867  0.06185 .  
## x.sex1M:z.fund1fund           -0.468049   0.282210  -1.659  0.09721 .  
## x.sex1M:z.fund2mod            -0.271934   0.249148  -1.091  0.27507    
## y.fav1fav:z.fund1fund          0.060690   0.212423   0.286  0.77511    
## y.fav1fav:z.fund2mod           0.008969   0.196903   0.046  0.96367    
## x.sex1M:y.fav1fav:z.fund1fund  0.438301   0.336151   1.304  0.19227    
## x.sex1M:y.fav1fav:z.fund2mod   0.282383   0.301553   0.936  0.34905    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 2.4536e+02  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance: 5.9952e-15  on  0  degrees of freedom
## AIC: 100.14
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

4.0.2 Ringkasan Model

Model yang digunakan adalah model log-linear saturated dengan semua efek utama, interaksi dua arah, dan interaksi tiga arah. Model ini memodelkan hubungan antara jenis kelamin (x.sex), sikap terhadap hukuman mati (y.fav), dan tingkat fundamentalisme (z.fund) terhadap frekuensi responden.

4.0.3 Hasil Estimasi Koefisien

Parameter	Estimate	Std. Error	z value	Pr(>	z
(Intercept)	4.25	0.12	35.55	<2e-16 ***	70.00
x.sex1M	-0.36	0.19	-1.92	0.055 .	0.70
y.fav1fav	0.46	0.15	3.02	0.0025 **	1.59
z.fund1fund	0.04	0.17	0.25	0.80	1.04
z.fund2mod	0.41	0.15	2.63	0.0086 **	1.50
x.sex1M:y.fav1fav	0.43	0.23	1.87	0.062 .	1.53
x.sex1M:z.fund1fund	-0.47	0.283	-1.66	0.097 .	0.63
x.sex1M:z.fundadorable	f 0.28	0.30	0.94	0.35	1.33
y.fav1fav:z.fund1fund	0.06	0.21	0.29	0.78	1.06
y.fav1fav:z.fav z	0.01	0.20	0.05	0.96	1.01
x.sex1M:y.fav1fav:z.fund1	0.44	0.34	1.30	0.194
x.sex1M:y.fav1fav:z.fund2mod	f0.28	0.30	0.943	0.346	1.33

4.0.4 Interpretasi Koefisien

(Intercept): Rata-rata log jumlah kasus untuk kategori referensi (Perempuan, Menolak hukuman mati Liberal) adalah 4.25 (atau $\mu\approx 70}$).
**x.sex1M Laki-laki memiliki expected count sekitar 0.7 kali Perempuan dalam kategori referensi lainnya, namun hanya mendekati singnifikansi (p=0.055).
y.fav1fav: Mereka yang mendukung hukuman mati expected count sekitar 1.59 kali lipat dibandingkan yang menolak (signifikan, p=0.0025).
z.fund1fund: Kelompok Fundamentalist tidak berbeda nyata dari Liberal ($\exp(0.04) \approx 1.04$; p=0.80).
z.fund2mod: Kelompok Moderate memiliki expected count 1.5 kali lebih besar dibanding Liberal (signifikan, p=0.0086).
Interaksi dua & tiga arah: Sebagian besar tidak signifikan (p>0.05), artinya tidak ada bukti kuat adanya efek gabungan antar variabel.

4.0.5 Goodness-of-Fit

Residual deviance $\approx 0$ menandakan model saturated benar-benar fit terhadap data (seluruh variasi data dijelaskan oleh model).
AIC = 100.14 dapat digunakan untuk perbandingan dengan model yang lebih sederhana.

4.0.6 Kesimpulan

Model saturated ini sangat fit dengan data, namun tidak semua parameter/interaksi signifikan.

Efek utama yang paling signifikan adalah:

Sikap mendukung hukuman mati (expected count 1.6x lebih tinggi dari yang menolak)
Kelompok Moderate (expected count 1.5x lebih tinggi dari Liberal)

Tidak ditemukan bukti kuat interaksi dua atau tiga arah yang signifikan.

Model yang lebih sederhana (tanpa interaksi tiga arah) perlu dipertimbangkan untuk model final yang lebih parsimonious.

Catatan interpretasi:

Nilai $\exp(\text{coef})$ menyatakan rasio ekspektasi (expected count ratio) dibandingkan baseline.
Efek positif $\to$ menaikkan expected count; Efek negatif $\to$ menurunkan expected count.
Koefisien signifikan pada p-value < 0.05.

4.1 Model Homogenous

Model log-linear homogenous memasukkan semua efek utama dan semua interaksi dua arah, tanpa interaksi tiga arah:

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{ik}^{XZ}+\lambda_{jk}^{YZ} \]

# Homogenous Model
model_homogenous <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
              x.sex*y.fav + x.sex*z.fund + y.fav*z.fund,
              family = poisson(link = "log"))
summary(model_homogenous)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav + 
##     x.sex * z.fund + y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)            4.31096    0.10522  40.972  < 2e-16 ***
## x.sex1M               -0.51575    0.13814  -3.733 0.000189 ***
## y.fav1fav              0.35707    0.12658   2.821 0.004788 ** 
## z.fund1fund           -0.06762    0.14452  -0.468 0.639854    
## z.fund2mod             0.33196    0.13142   2.526 0.011540 *  
## x.sex1M:y.fav1fav      0.66406    0.12728   5.217 1.81e-07 ***
## x.sex1M:z.fund1fund   -0.16201    0.15300  -1.059 0.289649    
## x.sex1M:z.fund2mod    -0.08146    0.14079  -0.579 0.562887    
## y.fav1fav:z.fund1fund  0.23873    0.16402   1.455 0.145551    
## y.fav1fav:z.fund2mod   0.13081    0.14951   0.875 0.381614    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.361  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:   1.798  on  2  degrees of freedom
## AIC: 97.934
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

4.2 Uji Hipotesis: Apakah Ada Interaksi Tiga Arah? (Saturated vs Homogenous)

4.2.1 Langkah-Langkah Pengujian

4.2.1.1 Hipotesis

$H_0$: Tidak ada interaksi tiga arah (model homogenous sudah cukup)
$H_1$: Ada interaksi tiga arah (model saturated diperlukan)

4.2.1.2 Hitung Selisih Deviance

# Deviance antar model
Deviance.model <- model_homogenous$deviance - model_saturated$deviance
Deviance.model

## [1] 1.797977

4.2.1.3 Hitung Derajat Bebas

# Derajat bebas = db model homogenous - db model saturated
derajat.bebas <- (model_homogenous$df.residual - model_saturated$df.residual)
derajat.bebas

## [1] 2

4.2.1.4 Chi-Square Tabel ($\alpha=0.05$)

chi.tabel <- qchisq(1 - 0.05, df = derajat.bebas)
chi.tabel

## [1] 5.991465

4.2.1.5 Keputusan Uji

Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima H0", "Tolak H0")
Keputusan

## [1] "Terima H0"

Interpretasi

Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak $H_0$ atau dapat dikatakan bahwa tidak ada interaksi tiga arah antara jenis kelamin, fundamentalisme, dan pendapat mengenai hukuman mati.

Catatan:

Model pengurang adalah model yang lebih lengkap (lebih banyak parameter, df lebih kecil), yaitu model saturated.
Derajat bebas dihitung dari selisih derajat bebas model homogenous dan saturated.
Keputusan berdasarkan perbandingan deviance model dengan chi-square tabel.

4.2.2 Rangkuman Pengujian Ada Tidaknya Interaksi Tiga Arah (Saturated Model vs Homogenous Model)

Hipotesis

$H_0$: $\lambda_{ijk}^{XYZ}=0$ (Tidak ada interaksi tiga arah; model yang terbentuk adalah model homogenous)
$H_1$: $\lambda_{ijk}^{XYZ} \neq 0$ (Ada interaksi tiga arah; model yang terbentuk adalah model saturated)

Tingkat Signifikansi

$\alpha = 5\%$

Statistik Uji

\[ \Delta \text{Deviance} = \text{Deviance model homogenous} - \text{Deviance model saturated} \]

Daerah Penolakan

Tolak $H_0$ jika $\Delta \text{Deviance} > \chi^2_{0.05, \text{2}} = 4.991$

Interpretasi

Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak $H_0$ atau dapat dikatakan bahwa tidak ada interaksi tiga arah antara jenis kelamin, fundamentalisme, dan pendapat mengenai hukuman mati.

Catatan Perhitungan Derajat Bebas dan Selisih Deviance

Ingat, dalam membuat selisih deviance, model yang menjadi pengurang adalah model yang lebih lengkap (parameter yang lebih banyak atau derajat bebasnya lebih kecil).

Makin banyak parameter, makin kecil derajat bebasnya, karena:
- $\text{df} =$ banyaknya amatan (atau perkalian dimensi tabel kontingensi, misal $2 $\times$ 3 = 12$) dikurangi banyaknya parameter (koefisien, termasuk intercept).

Cek di output R ada berapa banyak coefficients-nya (termasuk intercept) untuk menghitung derajat bebas yang benar.

4.3 Uji Model Interaksi Dua Arah (Homogenous vs Conditional on X)

4.3.1 Model Conditional on X

Model log-linear conditional pada X memasukkan efek utama dan interaksi dua arah antara X dengan Y dan X dengan Z, tanpa interaksi antara Y dengan Z maupun interaksi tiga arah.

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{ik}^{XZ} \]

# Conditional Association on X
model_conditional_X <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
              x.sex*y.fav + x.sex*z.fund,
              family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_X)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav + 
##     x.sex * z.fund, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                     Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)          4.23495    0.08955  47.293  < 2e-16 ***
## x.sex1M             -0.52960    0.13966  -3.792 0.000149 ***
## y.fav1fav            0.48302    0.08075   5.982 2.20e-09 ***
## z.fund1fund          0.07962    0.10309   0.772 0.439916    
## z.fund2mod           0.41097    0.09585   4.288 1.81e-05 ***
## x.sex1M:y.fav1fav    0.65845    0.12708   5.181 2.20e-07 ***
## x.sex1M:z.fund1fund -0.12841    0.15109  -0.850 0.395405    
## x.sex1M:z.fund2mod  -0.06267    0.13908  -0.451 0.652274    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.3612  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:   3.9303  on  4  degrees of freedom
## AIC: 96.067
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

Pengujian Ada Tidaknya Interaksi Antara Y dan Z (Homogenous Model vs Conditional Association on X)

Hipotesis

$H_0$:$\lambda_{jk}^{YZ}=0$ (Tidak ada interaksi antara pendapat hukuman mati (Y) dan fundamentalisme (Z))
$H_1$: $\lambda_{jk}^{YZ} \neq 0$ (Ada interaksi antara pendapat hukuman mati (Y) dan fundamentalisme (Z))

Tingkat Signifikansi

$\alpha = 5\%$

Statistik Uji

\[ \Delta \text{Deviance} = \text{Deviance model conditional on X} - \text{Deviance model homogenous} \]

Daerah Penolakan

Tolak $H_0$ jika $\Delta \text{Deviance} > \chi^2_{0.05, 2} = 5.991$

Pengujian Hipotesis

# Selisih deviance antar model
Deviance.model <- model_conditional_X$deviance - model_homogenous$deviance
Deviance.model

## [1] 2.132302

# Hitung Derajat Bebas
derajat.bebas <- (4 - 2)
derajat.bebas

## [1] 2

# Nilai Chi-Square Tabel
chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel

## [1] 5.991465

# Keputusan Uji
Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Ada")
Keputusan

## [1] "Terima"

Interpretasi

Karena nilai $\text{Deviance.model} = 2.13$ lebih kecil dari nilai kritis chi-square tabel = 5.99 (dengan df=2, alpha=0.05), maka keputusan uji adalah “Terima”.

Kesimpulan: Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak $H_0}$, atau dengan kata lain tidak ada interaksi antara pendapat mengenai hukuman mati (Y) dan fundamentalisme (Z). Model yang terbentuk cukup hanya sampai dua interaksi dengan X (conditional on X), sehingga interaksi Y*Z tidak signifikan secara statistik.

4.4 Uji Model Interaksi Dua Arah (Homogenous vs Conditional on Y)

4.4.1 Model Conditional on Y

Model log-linear conditional pada Y memasukkan efek utama dan interaksi dua arah antara X dengan Y dan Y dengan Z, tanpa interaksi antara X dengan Z maupun interaksi tiga arah.

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{jk}^{YZ} \]

# Conditional Association on Y
model_conditional_Y <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
              x.sex*y.fav + y.fav*z.fund,
              family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_Y)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav + 
##     y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)            4.33931    0.09919  43.748  < 2e-16 ***
## x.sex1M               -0.59345    0.10645  -5.575 2.48e-08 ***
## y.fav1fav              0.37259    0.12438   2.996  0.00274 ** 
## z.fund1fund           -0.12516    0.13389  -0.935  0.34989    
## z.fund2mod             0.30228    0.12089   2.500  0.01240 *  
## x.sex1M:y.fav1fav      0.65845    0.12708   5.181 2.20e-07 ***
## y.fav1fav:z.fund1fund  0.21254    0.16205   1.312  0.18966    
## y.fav1fav:z.fund2mod   0.11757    0.14771   0.796  0.42606    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.3612  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:   2.9203  on  4  degrees of freedom
## AIC: 95.057
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

Pengujian Ada Tidaknya Interaksi antara X dan Z (Homogenous model vs Conditional Association on Y)

Hipotesis

$H_0$: $\lambda_{ik}^{XZ}=0$ (Tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z))
$H_1$: $\lambda_{ik}^{XZ} \neq 0$ (Ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z))

Tingkat Signifikansi

$\alpha = 5\%$

Statistik Uji

\[ \Delta \text{Deviance} = \text{Deviance model conditional on Y} - \text{Deviance model homogenous} \]

Daerah Penolakan

Tolak $H_0$ jika $\Delta \text{0.05, 2} = 5.991$

Pengujian Hipotesis

{r}
# Deviance of Model
Deviance.model <- model_conditional_Y$deviance - model_homogenous$deviance
Deviance.model

# Hitung Derajat Bebas
derajat.bebas <- (4 - 2)
derajat.bebas

# Nilai Chi-Square Tabel
chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel

# Keputusan Uji
Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")
Keputusan

Interpretasi

Karena nilai $\text{Deviance.model} = 1.12$ lebih kecil dari nilai kritis chi-square tabel = 5.99 (df = 2, alpha = 0.05), maka keputusan uji adalah “Terima”.

Kesimpulan: Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak $H_0$. Artinya, tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z) yang signifikan secara statistik. Model tanpa parameter $\lambda_{ik}^{XZ}$ sudah cukup baik untuk data ini.

4.5 Uji Model Interaksi Dua Arah (Homogenous vs Conditional on Z)

4.5.1 Model Conditional on Z

Model log-linear conditional pada Z memasukkan efek utama dan interaksi dua arah antara X dengan Z dan Y dengan Z, tanpa interaksi antara X dengan Y maupun interaksi tiga arah.

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ik}^{XZ}+\lambda_{jk}^{YZ} \]

# Conditional Association on Z
model_conditional_Z <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
              x.sex*z.fund + y.fav*z.fund,
             family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_Z)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * z.fund + 
##     y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)            4.12255    0.10518  39.195  < 2e-16 ***
## x.sex1M               -0.07453    0.10713  -0.696    0.487    
## y.fav1fav              0.65896    0.11292   5.836 5.36e-09 ***
## z.fund1fund           -0.06540    0.15126  -0.432    0.665    
## z.fund2mod             0.33196    0.13777   2.410    0.016 *  
## x.sex1M:z.fund1fund   -0.12841    0.15109  -0.850    0.395    
## x.sex1M:z.fund2mod    -0.06267    0.13908  -0.451    0.652    
## y.fav1fav:z.fund1fund  0.21254    0.16205   1.312    0.190    
## y.fav1fav:z.fund2mod   0.11757    0.14771   0.796    0.426    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.361  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:  29.729  on  3  degrees of freedom
## AIC: 123.87
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

Pengujian Ada Tidaknya Interaksi antara X dan Y (Homogenous model vs Conditional Association on Z)

Hipotesis

$H_0$: $\lambda_{ij}^{XY}=0$ (Tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y))
$H_1$: $\lambda_{ij}^{XY} \neq 0$ (Ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y))

Tingkat Signifikasi

$\alpha = 5\%$

Statistik Uji

\[ \Delta \text{Deviance} = \text{Deviance model conditional on Z} - \text{Deviance model homogenous} \]

Daerah Penolakan

Tolak $H_0$ jika $\Delta \text{Deviance} > \chi^2_{0.05, 1} = 3.841$

Pengujian Hipotesis

# Deviance of Model
Deviance.model <- model_conditional_Z$deviance - model_homogenous$deviance
Deviance.model

## [1] 27.93095

# Hitung Derajat Bebas
derajat.bebas <- (3 - 2)
derajat.bebas

## [1] 1

# Nilai Chi-Square Tabel
chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel

## [1] 3.841459

# Keputusan Uji
Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")
Keputusan

## [1] "Tolak"

Interpretasi

Karena nilai $\text{Deviance.model} = 27.93$ jauh lebih besar dari nilai kritis chi-square tabel = 3.841 (df = 1, alpha = 0.05), maka keputusan uji adalah “Tolak”.

Kesimpulan: Pada taraf nyata 5%, terdapat bukti yang cukup untuk menolak $H_0$. Artinya, ada interaksi yang signifikan antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y). Dengan kata lain, model terbaik yang terbentuk adalah model yang menyertakan parameter interaksi $\lambda_{ij}^{XY}$.

5 Pemilihan Model Terbaik

5.1 Ringkasan Model Log Linear

Model	Parameter	Deviance	Jumlah Parameter	df	AIC
Saturated	$\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{ik}^{XZ}+\lambda_{jk}^{YZ}+\lambda_{ijk}^{XYZ}$	0.00	12	0	100.14
Homogenous	$\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{ik}^{XZ}+\lambda_{jk}^{YZ}$	1.798	10	2	97.934
Conditional on X	$\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{ik}^{XZ}$	3.9303	8	4	96.067
Conditional on Y	$\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{jk}^{YZ}$	2.9203	8	4	95.057
Conditional on Z	$\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ik}^{XZ}+\lambda_{jk}^{YZ}$	29.729	9	3	123.87

5.2 Ringkasan Pengujian Interaksi 3 Arah dan 2 Arah

Interaksi	Pengujian	$\Delta$ deviance	$\Delta$ df	Chi-square Tabel	Keputusan	Keterangan
XYZ	Saturated vs Homogenous	1.798	2	5.991	Tidak Tolak	tidak ada interaksi
YZ	Conditional on X vs Homogenous	2.1323	2	5.991	Tidak Tolak	tidak ada interaksi
XZ	Conditional on Y vs Homogenous	1.1223	2	5.991	Tidak Tolak	tidak ada interaksi
XY	Conditional on Z vs Homogenous	27.931	1	3.841	Tolak	ada interaksi

5.3 Kesimpulan Pemilihan Model Terbaik

Dari hasil di atas diketahui bahwa asosiasi yang nyata hanya terdapat antara jenis kelamin dan pendapat mengenai hukuman mati. Sehingga, model ini adalah:

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY} \]

Model terbaik adalah model log-linear tanpa interaksi tiga arah dan hanya memuat interaksi dua arah antara jenis kelamin dan sikap terhadap hukuman mati.

6 Model Terbaik

Model terbaik dipilih berdasarkan pengujian interaksi yang signifikan, yaitu hanya interaksi dua arah antara jenis kelamin (X) dan sikap terhadap hukuman mati (Y):

\[ \log(\mu_{ijk})=\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY} \]

# Model Terbaik
bestmodel <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex*y.fav,
                 family = poisson(link = "log"))
summary(bestmodel)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav, 
##     family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                   Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)        4.26518    0.07794  54.721  < 2e-16 ***
## x.sex1M           -0.59345    0.10645  -5.575 2.48e-08 ***
## y.fav1fav          0.48302    0.08075   5.982 2.20e-09 ***
## z.fund1fund        0.01986    0.07533   0.264    0.792    
## z.fund2mod         0.38130    0.06944   5.491 4.00e-08 ***
## x.sex1M:y.fav1fav  0.65845    0.12708   5.181 2.20e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.3612  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:   4.6532  on  6  degrees of freedom
## AIC: 92.79
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

7 Interpretasi Koefisien Model Terbaik

# Interpretasi koefisien model terbaik
data.frame(
  koef = bestmodel$coefficients,
  exp_koef = exp(bestmodel$coefficients)
)

##                          koef   exp_koef
## (Intercept)        4.26517861 71.1776316
## x.sex1M           -0.59344782  0.5524194
## y.fav1fav          0.48302334  1.6209677
## z.fund1fund        0.01985881  1.0200573
## z.fund2mod         0.38129767  1.4641834
## x.sex1M:y.fav1fav  0.65845265  1.9318008

7.1 Interpretasi Koefisien Model Terbaik

$\exp(\lambda_{X_{1M}}) = \exp(-0.593) = 0.552 \to$ nilai odds
Tanpa memperhatikan fundamentalisme dan pendapat mengenai hukuman mati, peluang seseorang berjenis kelamin laki-laki adalah 0.55 kali dibandingkan perempuan. Atau, peluang seseorang berjenis kelamin perempuan adalah $1/0.55 = 1.81$ kali dibandingkan laki-laki.
$\exp(\lambda_{Y_{1fav}}) = \exp(0.483) = 1.621 \to$ nilai odds
Tanpa memperhatikan jenis kelamin dan fundamentalisme, peluang seseorang mendukung hukuman mati adalah 1.621 kali dibandingkan yang menolak.
$\exp(\lambda_{Z_{1fund}}) = \exp(0.01986) = 1.02 \to$ nilai odds
Tanpa memperhatikan jenis kelamin dan pendapat mengenai hukuman mati, peluang seseorang fundamentalist adalah 1.02 kali dibandingkan liberal.
$\exp(\lambda_{Z_{2mod}}) = \exp(0.381) = 1.464 \to$ nilai odds
Tanpa memperhatikan jenis kelamin dan pendapat mengenai hukuman mati, peluang seseorang moderate adalah 1.464 kali dibandingkan liberal.
$\exp(\lambda_{XY_{1M,1fav}}) = \exp(0.658) = 1.932 \to$ nilai odds ratio
Tanpa memperhatikan fundamentalisme, odds mendukung hukuman mati (dibandingkan menolak) jika dia laki-laki adalah 1.932 kali dibandingkan odds yang sama jika dia perempuan.

8 Nilai Dugaan Model Terbaik

# Fitted values dari model terbaik
data.frame(
  Fund = z.fund,
  sex = x.sex,
  favor = y.fav,
  counts = counts,
  fitted = bestmodel$fitted.values
)

##     Fund sex favor counts    fitted
## 1  1fund  1M  1fav    128 125.59539
## 2  1fund  1M  2opp     32  40.10855
## 3  1fund  2F  1fav    123 117.69079
## 4  1fund  2F  2opp     73  72.60526
## 5   2mod  1M  1fav    182 180.27878
## 6   2mod  1M  2opp     56  57.57155
## 7   2mod  2F  1fav    168 168.93257
## 8   2mod  2F  2opp    105 104.21711
## 9   3lib  1M  1fav    119 123.12582
## 10  3lib  1M  2opp     49  39.31990
## 11  3lib  2F  1fav    111 115.37664
## 12  3lib  2F  2opp     70  71.17763

8.1 Perhitungan Manual Nilai Dugaan (Fitted Value) Model Terbaik

Secara manual, nilai dugaan (fitted values) dihitung sebagai berikut:

\[ \begin{aligned} \hat{\mu}_{111} &= \exp(\lambda + \lambda_{x_{1m}} + \lambda_{y_{1fav}} + \lambda_{z_{fund}} + \lambda_{xy_{1m,1fav}}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0.483 + 0.01986 + 0.658) = \exp(4.833) = 125.595 \\ \hat{\mu}_{112} &= \exp(\lambda + \lambda_{x_{1m}} + \lambda_{y_{1fav}} + \lambda_{z_{2mod}} + \lambda_{xy_{1m,1fav}}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0.483 + 0.381 + 0.658) = \exp(5.194) = 180.279 \\ \hat{\mu}_{113} &= \exp(\lambda + \lambda_{x_{1m}} + \lambda_{y_{1fav}} + \lambda_{z_{lib}} + \lambda_{xy_{1m,1fav}}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0.483 + 0 + 0.658) = \exp(4.813) = 123.126 \\ \hat{\mu}_{121} &= \exp(\lambda + \lambda_{x_{1m}} + \lambda_{y_{2opp}} + \lambda_{z_{fund}} + \lambda_{xy_{1m,2opp}}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0 + 0.01986 + 0) = \exp(3.692) = 40.109 \\ \hat{\mu}_{122} &= \exp(\lambda + \lambda_{x_{1m}} + \lambda_{y_{2opp}} + \lambda_{z_{2mod}} + \lambda_{xy_{1m,2opp}}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0 + 0.381 + 0) = \exp(4.053) = 57.572 \\ \hat{\mu}_{123} &= \exp(\lambda + \lambda_{x_{1m}} + \lambda_{y_{2opp}} + \lambda_{z_{lib}} + \lambda_{xy_{1m,2opp}}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0 + 0 + 0) = \exp(3.672) = 39.320 \\ \hat{\mu}_{211} &= \exp(\lambda + \lambda_{x_{2f}} + \lambda_{y_{1fav}} + pathway\lambda_{z_{fund}} + \lambda_{xy_{2f,1fav}}) = \exp(4.265 + 0 + 0.483 + 0.01986 + 0) = \exp(4.768) = 117.691 \\ \hat{\mu}_{212} &= \exp(\lambda + \lambda_{x_{2f}} + \lambda_{y_{1fav}} + \lambda_{z_{2mod}} + \lambda_{xy_{2f,1fav}}) = \exp(4.265 + 0 + 0.483 + 0.381 + 0) = \exp(5.129) = 168.933 \\ \hat{\mu}_{213} &= \exp(\lambda + \lambda_{x_{2f}} + \lambda_{y_{1fav}} + \lambda_{z_{lib}} + \lambda_{xy_{2f,1fav}}) = \exp(4.265 + 0 + 0.483 + 0 + 0) = \exp(4.748) = 115.377 \\ \hat{\mu}_{221} &= \exp(\lambda + \lambda_{x_{2f}} + \lambda_{y_{2opp}} + \lambda_{z_{fund}} + \lambda_{xy_{2f,2opp}}) = \exp(4.265 + 0 + 0 + 0.01986 + 0) = \exp(4.285) = 72.605 \\ \hat{\mu}_{222} &= \exp(\lambda + \lambda_{x_{2f}} + \lambda_{y_{2opp}} + \lambda_{z_{2mod}} + \lambda_{xy_{2f,2opp}}) = \exp(4.265 + 0 + 0 + 0.381 + 0) = \exp(4.646) = 104.217 \\ \hat{\mu}_{223} &= \exp(\lambda + \lambda_{x_{2f}} + \lambda_{y_{2opp}} + \lambda_{z_{lib}} + \exp(4.265 + 0 + 0 + 0 + 0) = \exp(4.265) = 71.178 \end{aligned} \]

Keterangan:
Nilai $\hat{\mu}_{ijk}$ akan sama apapun referensi dari kategori peubahnya yang kita gunakan.

Sumber: Reni Amelia (2022) https://rpubs.com/reniamelia/responsi5adk

Model	Parameter	Deviance	Jumlah Parameter	df	AIC
Saturated	\(\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{ik}^{XZ}+\lambda_{jk}^{YZ}+\lambda_{ijk}^{XYZ}\)	0.00	12	0	100.14
Homogenous	\(\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{ik}^{XZ}+\lambda_{jk}^{YZ}\)	1.798	10	2	97.934
Conditional on X	\(\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{ik}^{XZ}\)	3.9303	8	4	96.067
Conditional on Y	\(\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ij}^{XY}+\lambda_{jk}^{YZ}\)	2.9203	8	4	95.057
Conditional on Z	\(\lambda+\lambda_i^X+\lambda_j^Y+\lambda_k^Z+\lambda_{ik}^{XZ}+\lambda_{jk}^{YZ}\)	29.729	9	3	123.87

Analisis Log Linear Poisson Untuk Tabel Kontingensi 2 & 3 Arah

Godjhonson Fransiscus Nainggolan

2025-05-29

1 Log Linear Model

1.1 Tabel Kontingensi

1.2 Model Loglinear

1.3 Model Regresi Logistik

1.4 Perbandingan Ketiga Pendekatan

1.5 Tabel Kontingensi dan Model Loglinier

1.6 Model Log-linier untuk Tabel \(I \times J\)

1.7 Model Saturated

1.8 Model Independent

1.9 Odds Ratio dan Interpretasi

1.10 Estimasi Parameter

1.11 Model Lebih Sederhana dan Perbandingan Model

1.12 Studi Kasus: Kepercayaan terhadap Surga

2 Rangkuman Model Log Linear 2 Arah

2.1 Model log-linear pada tabel kontingensi

2.2 Perbedaan utama antara model log-linear dan model regresi logistik

2.3 Estimasi Parameter log linear 2 arah

2.4 Analisis Data Tabel Kontingensi 2x2

2.5 Bentuk Model Log-Linear

2.6 Estimasi Parameter Model (Manual, Sum-to-zero)

2.7 Hitung Odds Ratio dan Interval Kepercayaan

2.8 Fitting Model Log-Linear dengan R

2.9 Interpretasi Parameter

2.10 Analisis Data Tabel Kontingensi 2x3

2.11 Bentuk Model Log-Linear untuk Tabel 2x3

2.12 Fitting Model Log-Linear di R

2.13 Interpretasi

3 Model Log Linear Tiga Arah

3.1 Model Log-Linear untuk Tabel Tiga Arah

3.2 Pengujian Interaksi dalam Model Log-Linear Tiga Arah

3.3 Soal Praktikum

3.3.1 Soal

3.3.2 Tabel Data Survei

3.4 Analisis Log-Linear untuk Tabel Tiga Arah

3.4.1 Package yang Digunakan

3.4.2 Analisis Log-Linear: Tahap Pemodelan

4 Uji Model Interaksi Tiga Arah (Saturated vs Homogenous)

4.0.1 Penentuan Kategori Referensi

4.0.2 Ringkasan Model

4.0.3 Hasil Estimasi Koefisien

4.0.4 Interpretasi Koefisien

4.0.5 Goodness-of-Fit

4.0.6 Kesimpulan

4.1 Model Homogenous

4.2 Uji Hipotesis: Apakah Ada Interaksi Tiga Arah? (Saturated vs Homogenous)

4.2.1 Langkah-Langkah Pengujian

4.2.1.1 Hipotesis

4.2.1.2 Hitung Selisih Deviance

4.2.1.3 Hitung Derajat Bebas

4.2.1.4 Chi-Square Tabel (\(\alpha=0.05\))

4.2.1.5 Keputusan Uji

4.2.2 Rangkuman Pengujian Ada Tidaknya Interaksi Tiga Arah (Saturated Model vs Homogenous Model)

4.3 Uji Model Interaksi Dua Arah (Homogenous vs Conditional on X)

4.3.1 Model Conditional on X

4.4 Uji Model Interaksi Dua Arah (Homogenous vs Conditional on Y)

4.4.1 Model Conditional on Y

4.5 Uji Model Interaksi Dua Arah (Homogenous vs Conditional on Z)

4.5.1 Model Conditional on Z

5 Pemilihan Model Terbaik

5.1 Ringkasan Model Log Linear

5.2 Ringkasan Pengujian Interaksi 3 Arah dan 2 Arah

5.3 Kesimpulan Pemilihan Model Terbaik

6 Model Terbaik

7 Interpretasi Koefisien Model Terbaik

7.1 Interpretasi Koefisien Model Terbaik

8 Nilai Dugaan Model Terbaik

8.1 Perhitungan Manual Nilai Dugaan (Fitted Value) Model Terbaik