E-Book Analisis Log Linear Poisson Untuk Tabel Kontingensi 2 & 3 Arah

1. Log Linear Model

Analisis data kategorik merupakan bagian penting dalam statistika terapan karena banyak fenomena di dunia nyata yang menghasilkan data dalam bentuk kategori, seperti jenis kelamin, status pekerjaan, tingkat pendidikan, preferensi konsumen, atau hasil diagnosis medis. Data kategori ini umumnya dianalisis menggunakan tabel kontingensi, model log-linier, dan model regresi logistik. Masing-masing pendekatan memiliki kekuatan dan kelemahan tergantung pada tujuan analisis dan struktur data.

Tabel kontingensi digunakan sebagai langkah awal eksplorasi untuk melihat hubungan antara dua atau lebih variabel kategorik. Misalnya, dalam studi tentang efek obat terhadap serangan jantung, tabel kontingensi dapat menyajikan jumlah pasien yang mengalami atau tidak mengalami serangan jantung, berdasarkan jenis obat yang dikonsumsi. Tabel ini membantu mengidentifikasi pola awal dan menghitung ukuran asosiasi seperti odds ratio, risk ratio, dan chi-square statistic untuk menguji independensi antar variabel.

Namun, ketika ingin membangun model statistik yang dapat mengendalikan efek dari banyak variabel dan interaksinya secara simultan, maka model log-linier menjadi sangat berguna. Model log-linier adalah bentuk khusus dari Generalized Linear Model (GLM) yang digunakan pada frekuensi sel dalam tabel kontingensi dan mengasumsikan distribusi Poisson. Tidak seperti regresi logistik, model log-linier tidak menetapkan variabel mana yang dependen dan mana yang independen, karena seluruh variabel diperlakukan secara simetris. Model ini lebih cocok ketika tujuan analisis adalah untuk memahami struktur asosiasi atau independensi antar variabel, bukan untuk prediksi.

Struktur model log-linier ditentukan berdasarkan efek utama dari masing-masing variabel serta interaksi di antara variabel-variabel tersebut. Misalnya, dalam tabel kontingensi tiga arah (misalnya: jenis kelamin, status merokok, dan penyakit paru), model log-linier dapat membedakan apakah interaksi dua variabel cukup menjelaskan data, ataukah diperlukan interaksi tiga arah untuk menangkap struktur asosiasinya. Penyesuaian model dapat dilakukan menggunakan metode likelihood ratio test untuk membandingkan model sederhana dengan model lebih kompleks.

Di sisi lain, regresi logistik adalah pendekatan paling umum ketika terdapat satu variabel kategorik yang secara eksplisit dianggap sebagai variabel dependen (misalnya, kejadian penyakit: ya/tidak), dan satu atau lebih variabel kategorik atau numerik sebagai prediktor. Model ini memodelkan logit dari probabilitas kejadian (yaitu log odds), dan sangat berguna dalam studi observasional dan eksperimental untuk menjelaskan atau memprediksi peluang suatu outcome. Regresi logistik juga memiliki ekstensi untuk outcome kategorik lebih dari dua kelas, seperti regresi logistik multinomial dan regresi logistik ordinal.

Dengan demikian, meskipun ketiganya beroperasi pada data kategorik, tabel kontingensi bersifat deskriptif, model log-linier bersifat eksploratif terhadap hubungan simetris, sedangkan regresi logistik bersifat prediktif terhadap outcome kategorik. Pemilihan metode tergantung pada apakah fokus utama analisis adalah deskripsi, eksplorasi struktur, atau prediksi hasil berdasarkan variabel penjelas. Kombinasi dari ketiganya sering digunakan dalam praktik untuk memperoleh pemahaman komprehensif dari data kategorik yang dianalisis.

Ringkasan Dalam analisis data kategorik, terdapat beberapa pendekatan statistik yang umum digunakan, antara lain:

Tabel Kontingensi: penyajian frekuensi gabungan dari dua atau lebih variabel kategorik. Model Loglinear: digunakan untuk memodelkan struktur asosiasi di dalam tabel kontingensi tanpa menganggap ada variabel dependen. Model Regresi Logistik: digunakan untuk memodelkan probabilitas dari kategori variabel dependen berdasarkan variabel independen. Meskipun ketiganya dapat digunakan pada data kategorik, pendekatan dan interpretasinya sangat berbeda.”

Tabel Kontingensi

Tabel kontingensi menyajikan jumlah frekuensi dari kombinasi kategori antar variabel.

Contoh tabel 2x2:

table_data <- matrix(c(30, 20, 50, 70), nrow=2, 
       dimnames = list(Obat = c("Timolol", "Placebo"),
                       Serangan = c("Ya", "Tidak")))
table_data

##          Serangan
## Obat      Ya Tidak
##   Timolol 30    50
##   Placebo 20    70

Tabel kontingensi bersifat deskriptif dan tidak melibatkan pemodelan probabilitas.

Model Loglinear

\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda^{A}_i + \lambda^{B}_j + \lambda^{AB}_{ij} \]

Model loglinear memodelkan logaritma dari ekspektasi frekuensi sel dalam tabel kontingensi.

• Cocok untuk menyelidiki asosiasi dan independensi antar variabel.

• Tidak membedakan antara variabel respon dan penjelas.

• Umumnya digunakan pada tabel multi-dimensi (2 arah, 3 arah, dst).

library(MASS)
loglm(~ Obat * Serangan, data = table_data)

## Call:
## loglm(formula = ~Obat * Serangan, data = table_data)
## 
## Statistics:
##                  X^2 df P(> X^2)
## Likelihood Ratio   0  0        1
## Pearson            0  0        1

Model Regresi Logistik

Model regresi logistik biner:

\[ \log \left(\frac{p}{1 - p}\right) = \beta_0 + \beta_1 x \]

• Digunakan jika ada variabel dependen kategorik (biasanya biner).

• Bertujuan untuk memprediksi probabilitas suatu outcome.

• Umumnya digunakan dalam studi observasional atau eksperimental.

data_glm <- data.frame(
  Serangan = c(1, 0, 1, 0),
  Obat = factor(c("Timolol", "Timolol", "Placebo", "Placebo")),
  Frek = c(30, 20, 50, 70)
)
model_logit <- glm(Serangan ~ Obat, weights = Frek, family = binomial, data = data_glm)
summary(model_logit)

## 
## Call:
## glm(formula = Serangan ~ Obat, family = binomial, data = data_glm, 
##     weights = Frek)
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  
## (Intercept)  -0.3365     0.1852  -1.817   0.0692 .
## ObatTimolol   0.7419     0.3430   2.163   0.0305 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 235.08  on 3  degrees of freedom
## Residual deviance: 230.31  on 2  degrees of freedom
## AIC: 234.31
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

1.1 Tabel Kontingensi dan Model Loglinier

Tabel kontingensi menyajikan frekuensi dari kombinasi kategori antar dua atau lebih variabel. Misal:

# Contoh tabel 2x2
matrix(c(30, 20, 50, 70), nrow=2,
       dimnames = list(Obat = c("Timolol", "Placebo"),
                       Serangan = c("Ya", "Tidak")))

##          Serangan
## Obat      Ya Tidak
##   Timolol 30    50
##   Placebo 20    70

Model log-linier untuk tabel I x J dapat dituliskan:

\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda^{T}_i + \lambda^{R}_j + \lambda^{TR}_{ij} \]

1.2 Model Saturated

Model saturated atau model penuh menyertakan seluruh efek utama dan interaksi:

• Cocok sempurna terhadap data

• Tidak mengasumsikan independensi antar variabel

Contoh formulasi untuk tabel 2x2:

Model saturated dapat dipasang dengan loglm dari package {MASS}

# Data
library(MASS)
data <- matrix(c(35, 65, 45, 55), nrow=2, byrow=TRUE)
dimnames(data) <- list(Obat = c("Timolol", "Placebo"), Serangan = c("Ya", "Tidak"))
ftable(data)

##         Serangan Ya Tidak
## Obat                     
## Timolol          35    65
## Placebo          45    55

model_saturated <- loglm(~ Obat * Serangan, data = data)
summary(model_saturated)

## Formula:
## ~Obat * Serangan
## attr(,"variables")
## list(Obat, Serangan)
## attr(,"factors")
##          Obat Serangan Obat:Serangan
## Obat        1        0             1
## Serangan    0        1             1
## attr(,"term.labels")
## [1] "Obat"          "Serangan"      "Obat:Serangan"
## attr(,"order")
## [1] 1 1 2
## attr(,"intercept")
## [1] 1
## attr(,"response")
## [1] 0
## attr(,".Environment")
## <environment: R_GlobalEnv>
## 
## Statistics:
##                  X^2 df P(> X^2)
## Likelihood Ratio   0  0        1
## Pearson            0  0        1

1.3 Model Independent

Model independen mengasumsikan bahwa tidak ada interaksi antara variabel:

\[ \log(\mu_{ij}) = \mu + \lambda^{T}_i + \lambda^{R}_j \]

Model ini menguji hipotesis bahwa variabel X dan Y saling independen.

model_indep <- loglm(~ Obat + Serangan, data = data)
summary(model_indep)

## Formula:
## ~Obat + Serangan
## attr(,"variables")
## list(Obat, Serangan)
## attr(,"factors")
##          Obat Serangan
## Obat        1        0
## Serangan    0        1
## attr(,"term.labels")
## [1] "Obat"     "Serangan"
## attr(,"order")
## [1] 1 1
## attr(,"intercept")
## [1] 1
## attr(,"response")
## [1] 0
## attr(,".Environment")
## <environment: R_GlobalEnv>
## 
## Statistics:
##                       X^2 df  P(> X^2)
## Likelihood Ratio 2.087576  1 0.1485015
## Pearson          2.083333  1 0.1489147

1.4 Odds Ratio dan Interpretasi

Odds ratio untuk tabel 2x2:

\[ OR = \frac{n_{11} n_{22}}{n_{12} n_{21}} \]

Interpretasi nilai OR:

• OR = 1: Tidak ada asosiasi

• OR > 1: Asosiasi positif

• OR < 1: Asosiasi negatif

1.5 Estimasi Parameter

Dalam model saturated:

• Estimasi dilakukan dengan pembatasan seperti sum-to-zero

• Estimasi parameter dilakukan dengan iterative proportional fitting (IPF)

# Estimasi odds ratio dan log-odds
logOR <- log((data[1,1] * data[2,2]) / (data[1,2] * data[2,1]))
logOR

## [1] -0.4183685

1.6 Model Lebih Sederhana dan Perbandingan Model

Perbandingan antar model dilakukan dengan menggunakan statistik deviance (G²) atau likelihood ratio test.

anova(model_indep, model_saturated)

## LR tests for hierarchical log-linear models
## 
## Model 1:
##  ~Obat + Serangan 
## Model 2:
##  ~Obat * Serangan 
## 
##           Deviance df Delta(Dev) Delta(df) P(> Delta(Dev)
## Model 1   2.087576  1                                    
## Model 2   0.000000  0   2.087576         1         0.1485
## Saturated 0.000000  0   0.000000         0         1.0000

1.7 Studi Kasus: Kepercayaan terhadap Surga

Studi dari Agresti (2019) membahas hubungan antara kebahagiaan dan kepercayaan terhadap kehidupan akhirat.

data_survey <- matrix(c(32,190,
                        113,611,
                        51,326),
                      nrow = 3, byrow = TRUE,
                      dimnames = list(Kebahagiaan = c("Tidak", "Cukup", "Sangat"),
                                      Surga = c("Tidak Percaya", "Percaya")))
ftable(data_survey)

##             Surga Tidak Percaya Percaya
## Kebahagiaan                            
## Tidak                        32     190
## Cukup                       113     611
## Sangat                       51     326

loglm(~ Kebahagiaan + Surga, data = data_survey)

## Call:
## loglm(formula = ~Kebahagiaan + Surga, data = data_survey)
## 
## Statistics:
##                        X^2 df  P(> X^2)
## Likelihood Ratio 0.8911136  2 0.6404675
## Pearson          0.8836760  2 0.6428538

2 MODEL LOG LINEAR 2 ARAH

2.1 Model log-linear pada tabel kontingensi

Model log-linear adalah model yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua atau lebih variabel kategorik yang disajikan dalam tabel kontingensi. Model ini mengasumsikan bahwa logaritma dari nilai ekspektasi frekuensi sel (μij ) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan efek variabel dan (bila perlu) interaksinya. Untuk tabel 2x2:

\[ Log(\mu_{ij})=\lambda+\lambda_i^A+\lambda_j^B+\lambda_{ij}^{AB} \]

2.2 Perbedaan utama antara model log-linear dan model regresi logistik

• Model log-linear digunakan untuk memodelkan frekuensi (count) pada tabel kontingensi dan menguji asosiasi antar variabel kategorik, tanpa menganggap ada variabel respon dan prediktor.

• Model regresi logistik digunakan untuk memodelkan probabilitas kejadian suatu outcome (biner) berdasarkan satu atau lebih prediktor (bisa kategorik maupun kontinu).

2.3 Estimasi Parameter log linear 2 arah

Sistem Persamaan Model Log-Linear

\[ Log(\mu_{11})=\lambda+\lambda_1^A+\lambda_1^B+\lambda_{11}^{AB} \]

\[ Log(\mu_{12})=\lambda+\lambda_1^A+\lambda_2^B+\lambda_{12}^{AB} \]

\[ Log(\mu_{21})=\lambda+\lambda_2^A+\lambda_1^B+\lambda_{21}^{AB} \]

\[ Log(\mu_{22})=\lambda+\lambda_2^A+\lambda_2^B+\lambda_{22}^{AB} \]

Constraint Sum-to-Zero

\[ \lambda_1^A+\lambda_2^A=0 \]

\[ \lambda_1^B+\lambda_2^B=0 \]

\[ \lambda_{11}^{AB}+\lambda_{12}^{AB}+\lambda_{21}^{AB}+\lambda_{22}^{AB}=0 \]

Rumus Estimasi Parameter dengan Sum-to-Zero Constraint

\[ \lambda_1^A=1/2[(\log\mu_{11}+\log\mu_{12})-(\log\mu_{21}+\log\mu_{22})] \]

\[ \lambda_1^B=1/2[(\log\mu_{11}+\log\mu_{12})-(\log\mu_{21}+\log\mu_{22})] \]

\[ \lambda_{12}^{AB}=1/4[\log\mu_{12}-\log\mu_{11}-\log\mu_{22}-\log\mu_{21}] \]

2.4 Analisis Data Tabel Kontingensi 2x2

Diberikan data:

Merokok	Sakit	Sehat
Ya	30	20
Tidak	10	40

2.5 Bentuk Model Log-Linear

Model log-linear pada tabel 2x2:

\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda^A_i + \lambda^B_j + \lambda^{AB}_{ij} \]

dengan constraint sum-to-zero:

\[ \sum_i \lambda^A_i = 0, \quad \sum_j \lambda^B_j = 0, \quad \sum_{i,j} \lambda^{AB}_{ij} = 0 \]

2.6 Estimasi Parameter Model (Manual, Sum-to-zero)

Misalkan:

• A1 = Merokok (Ya), A2 = Tidak
  
• B1 = Sakit, B2 = Sehat

Observasi:

• \(n_{11} = 30, \quad n_{12} = 20\)
• \(n_{21} = 10, \quad n_{22} = 40\)

Model log-linear:

\[ \begin{aligned} \log(\mu_{11}) &= \lambda + \lambda^A_1 + \lambda^B_1 + \lambda^{AB}_{11} \\ \log(\mu_{12}) &= \lambda + \lambda^A_1 + \lambda^B_2 + \lambda^{AB}_{12} \\ \log(\mu_{21}) &= \lambda + \lambda^A_2 + \lambda^B_1 + \lambda^{AB}_{21} \\ \log(\mu_{22}) &= \lambda + \lambda^A_2 + \lambda^B_2 + \lambda^{AB}_{22} \end{aligned} \]

Constraint sum-to-zero:

\[ \begin{aligned} \lambda^A_1 + \lambda^A_2 &= 0 \\ \lambda^B_1 + \lambda^B_2 &= 0 \\ \lambda^{AB}_{11} + \lambda^{AB}_{12} + \lambda^{AB}_{21} + \lambda^{AB}_{22} &= 0 \end{aligned} \]

Langkah-langkah:

1. Hitung rata-rata log frekuensi sel:

\[ \begin{aligned} \lambda &= \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} \log(n_{ij}) \\ &= \frac{1}{4} \left[ \log(30) + \log(20) + \log(10) + \log(40) \right] \\ &= 3.0971 \end{aligned} \]

2. Efek utama A (Merokok):

\[ \begin{aligned} \lambda^A_1 &= \frac{1}{2} \left[ (\log(30) + \log(20)) - (\log(10) + \log(40)) \right] \\ &= \frac{1}{2} \left[ (3.4012 + 2.9957) - (2.3026 + 3.6889) \right] \\ &= \frac{1}{2} (6.3969 - 5.9915) \\ &= \frac{1}{2} (0.4054) \\ &= 0.2027 \\ \lambda^A_2 &= -0.2027 \end{aligned} \]

3. Efek utama B (Status):

\[ \begin{aligned} \lambda^B_1 &= \frac{1}{2} \left[ \log(30) + \log(10) - (\log(20) + \log(40)) \right] \\ &= \frac{1}{2} \left[ (3.4012 + 2.3026) - (2.9957 + 3.6889) \right] \\ &= \frac{1}{2} \left[ 5.7038 - 6.6846 \right] \\ &= \frac{1}{2} (-0.9808) \\ &= -0.4904 \\ \lambda^B_2 &= +0.4904 \end{aligned} \]

4. Efek Interaksi:

\[ \begin{aligned} \lambda^{AB}_{11} &= \frac{1}{4} \left[\log(30) - \log(20) - \log(10) + \log(40)\right] \\ &= \frac{1}{4} \left[3.4012 - 2.9957 - 2.3026 + 3.6889\right] \\ &= \frac{1}{4} \left(3.4012 - 2.9957 - 2.3026 + 3.6889\right) \\ &= \frac{1}{4} (1.7918) \\ &= 0.4479 \\ \\ \lambda^{AB}_{12} &= -\lambda^{AB}_{11} = -0.4479 \\ \lambda^{AB}_{21} &= -0.4479 \\ \lambda^{AB}_{22} &= +0.4479 \end{aligned} \]

Ringkasan parameter:

• \(\lambda = 3.0971\)

• \(\lambda^A_1 = 0.2027,\quad \lambda^A_2 = -0.2027\)

• \(\lambda^B_1 = -0.4904,\quad \lambda^B_2 = 0.4904\)

• \(\lambda^{AB}_{11} = 0.4479,\quad \lambda^{AB}_{12} = -0.4479,\quad \lambda^{AB}_{21} = -0.4479,\quad \lambda^{AB}_{22} = 0.4479\)

2.7 Hitung Odds Ratio dan Interval Kepercayaan

OR = \(\frac{n_{11}n_{22}}{n_{12}n_{21}}\) = \(\frac{30 \times 40}{20 \times 10}\) = \(\frac{1200}{200}\) = 6

Log odds ratio:

\[ \log(OR) = \log(6) = 1.7918 \]

Standard error (SE):

\[ SE = \sqrt{\frac{1}{n_{11}} + \frac{1}{n_{12}} + \frac{1}{n_{21}} + \frac{1}{n_{22}}} = \sqrt{\frac{1}{30} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10} + \frac{1}{40}} = \sqrt{0.0333 + 0.05 + 0.1 + 0.025} = \sqrt{0.2083} = 0.4564 \]

95% Confidence Interval for log(OR):

\[ \log(OR) \pm 1.96 \times SE = 1.7918 \pm 1.96 \times 0.4564 \]

\[ = (1.7918 - 0.895),\ (1.7918 + 0.895) \]

\[ = (0.8968,\ 2.6868) \]

Back-transform to get CI for OR:

Lower = \(\exp(0.8968) = 2.452\)

Upper = \(\exp(2.6868) = 14.68\)

Jadi, OR = 6 (95% CI: 2.45 - 14.68)

2.8 Fitting Model Log-Linear dengan R

# Data 2x2
tabel <- matrix(c(30, 20, 10, 40), nrow = 2, byrow = TRUE)
colnames(tabel) <- c("Sakit", "Sehat")
rownames(tabel) <- c("Ya", "Tidak")
tabel

##       Sakit Sehat
## Ya       30    20
## Tidak    10    40

data <- as.data.frame(as.table(tabel))
colnames(data) <- c("Merokok", "Status", "Freq")
data

##   Merokok Status Freq
## 1      Ya  Sakit   30
## 2   Tidak  Sakit   10
## 3      Ya  Sehat   20
## 4   Tidak  Sehat   40

# Model tanpa interaksi
fit_no_inter <- glm(Freq ~ Merokok + Status, family = poisson, data = data)
summary(fit_no_inter)

## 
## Call:
## glm(formula = Freq ~ Merokok + Status, family = poisson, data = data)
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)  2.996e+00  1.871e-01  16.013   <2e-16 ***
## MerokokTidak 3.892e-10  2.000e-01   0.000    1.000    
## StatusSehat  4.055e-01  2.041e-01   1.986    0.047 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 21.288  on 3  degrees of freedom
## Residual deviance: 17.261  on 1  degrees of freedom
## AIC: 43.036
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

# Model dengan interaksi
fit_inter <- glm(Freq ~ Merokok * Status, family = poisson, data = data)
summary(fit_inter)

## 
## Call:
## glm(formula = Freq ~ Merokok * Status, family = poisson, data = data)
## 
## Coefficients:
##                          Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)                3.4012     0.1826  18.629  < 2e-16 ***
## MerokokTidak              -1.0986     0.3651  -3.009  0.00262 ** 
## StatusSehat               -0.4055     0.2887  -1.405  0.16015    
## MerokokTidak:StatusSehat   1.7918     0.4564   3.926 8.65e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 2.1288e+01  on 3  degrees of freedom
## Residual deviance: 3.9968e-15  on 0  degrees of freedom
## AIC: 27.775
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

2.9 Intepretasi Parameter

• Parameter utama (intercept) menunjukkan rata-rata log frekuensi sel.
• Efek “Merokok” dan “Status” menunjukkan perbedaan log frekuensi antar kategori.
• Interaksi signifikan menunjukkan adanya asosiasi antara Merokok dan Status.

Nilai\(log(6) = 1.79\) itu sama dengan efek interaksi output R

2.10 Analisis Data Tabel Kontingensi 2x3

Suatu survei dilakukan untuk mengetahui hubungan antara Jenis Kelamin (Laki-laki/Perempuan) dan Kategori BMI (Kurus/Normal/Gemuk):

	Kurus	Normal	Gemuk
Laki-laki	12	20	8
Perempuan	18	24	10

2.11 Bentuk Model Log-Linear untuk Tabel 2x3

Bentuk umum model log-linear untuk tabel 2x3 (dengan sum-to-zero constraint):

\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda_i^A + \lambda_j^B + \lambda_{ij}^{AB} \]

dengan:

• \(\mu_{ij}\): ekspektasi frekuensi pada baris ke-\(i\), kolom ke-\(j\)

• \(A\): Jenis Kelamin (\(i = 1\): Laki-laki, \(i = 2\): Perempuan)

• \(B\): Kategori BMI (\(j = 1\): Kurus, \(j = 2\): Normal, \(j = 3\): Gemuk)

• Constraint: \(\sum_i \lambda_i^A = 0\), \(\sum_j \lambda_j^B = 0\), \(\sum_i \lambda_{ij}^{AB} = 0\) dan \(\sum_j \lambda_{ij}^{AB} = 0\)

Secara eksplisit:

\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda_1^A \text{(Laki-laki)}, \lambda_2^A \text{(Perempuan)} + \lambda_1^B \text{(Kurus)}, \lambda_2^B \text{(Normal)}, \lambda_3^B \text{(Gemuk)} \]

2.12 Fitting Model Log-Linear di R

# Membuat data frame dari tabel
tabel2x3 <- matrix(c(12, 20, 8, 18, 24, 10), nrow = 2, byrow = TRUE)
colnames(tabel2x3) <- c("Kurus", "Normal", "Gemuk")
rownames(tabel2x3) <- c("Laki-laki", "Perempuan")
tabel2x3

##           Kurus Normal Gemuk
## Laki-laki    12     20     8
## Perempuan    18     24    10

# Ubah menjadi data.frame untuk glm
data2x3 <- as.data.frame(as.table(tabel2x3))
colnames(data2x3) <- c("JenisKelamin", "BMI", "Freq")
data2x3

##   JenisKelamin    BMI Freq
## 1    Laki-laki  Kurus   12
## 2    Perempuan  Kurus   18
## 3    Laki-laki Normal   20
## 4    Perempuan Normal   24
## 5    Laki-laki  Gemuk    8
## 6    Perempuan  Gemuk   10

# Model log-linear tanpa interaksi (asumsi independen)
fit_no_inter <- glm(Freq ~ JenisKelamin + BMI, family = poisson, data = data2x3)
summary(fit_no_inter)

## 
## Call:
## glm(formula = Freq ~ JenisKelamin + BMI, family = poisson, data = data2x3)
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)             2.5683     0.2179  11.789   <2e-16 ***
## JenisKelaminPerempuan   0.2624     0.2103   1.248   0.2122    
## BMINormal               0.3830     0.2368   1.618   0.1058    
## BMIGemuk               -0.5108     0.2981  -1.713   0.0866 .  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 13.06443  on 5  degrees of freedom
## Residual deviance:  0.22527  on 2  degrees of freedom
## AIC: 35.26
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

# Model log-linear dengan interaksi (untuk cek asosiasi)
fit_inter <- glm(Freq ~ JenisKelamin * BMI, family = poisson, data = data2x3)
summary(fit_inter)

## 
## Call:
## glm(formula = Freq ~ JenisKelamin * BMI, family = poisson, data = data2x3)
## 
## Coefficients:
##                                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)                       2.4849     0.2887   8.608   <2e-16 ***
## JenisKelaminPerempuan             0.4055     0.3727   1.088    0.277    
## BMINormal                         0.5108     0.3651   1.399    0.162    
## BMIGemuk                         -0.4055     0.4564  -0.888    0.374    
## JenisKelaminPerempuan:BMINormal  -0.2231     0.4802  -0.465    0.642    
## JenisKelaminPerempuan:BMIGemuk   -0.1823     0.6032  -0.302    0.762    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance:  1.3064e+01  on 5  degrees of freedom
## Residual deviance: -9.0719e-30  on 0  degrees of freedom
## AIC: 39.034
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

3 Model Log Linear Tiga Arah

Pada pembahasan sebelumnya, telah dijelaskan bahwa salah satu tujuan utama dalam pengembangan model log-linear adalah untuk mengestimasi parameter-parameter yang merepresentasikan hubungan antar variabel kategorik.

Pada bagian ini, akan dibahas bentuk model log-linear yang lebih kompleks, yakni model log-linear untuk tabel kontingensi tiga dimensi. Model ini melibatkan tiga variabel kategorik, sehingga jumlah kemungkinan interaksi yang dapat dimasukkan ke dalam model menjadi lebih beragam. Dalam konteks ini, bentuk interaksi tertinggi yang dapat dimodelkan adalah interaksi tiga arah, yaitu interaksi yang mencakup ketiga variabel secara simultan.

3.1 Model Log-Linear untuk Tabel Tiga Arah

Model log-linear yang melibatkan tiga variabel kategorik (misal: X, Y, dan Z) dapat dibangun dalam berbagai bentuk model, tergantung pada tingkat interaksi yang ingin dimasukkan. Berikut adalah beberapa alternatif model log-linear yang umum digunakan:

1. Model Saturated

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ} + \lambda_{ijk}^{XYZ} \]

Model ini memuat semua kemungkinan interaksi, termasuk interaksi tiga arah (X, Y, dan Z).

2. Model Homogen

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ} \]

Model ini hanya mengakomodasi interaksi dua arah antar variabel tanpa memasukkan interaksi tiga arah.

3. Model Conditional

• Conditional pada X:

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ} \]

Memuat interaksi X dengan Y dan X dengan Z.

• Conditional pada Y:

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{jk}^{YZ} \]

Memuat interaksi Y dengan X dan Y dengan Z.

• Conditional pada Z:

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ} \]

Memuat interaksi Z dengan X dan Z dengan Y.

4. Model Joint Independence

• Independensi antara X & Y:

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} \]

• Independensi antara X & Z:

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ik}^{XZ} \]

• Independensi antara Y & Z:

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{jk}^{YZ} \]

5. Model Tanpa Interaksi

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z \]

Model ini hanya memasukkan efek utama tanpa interaksi antar variabel.

3.2 Pengujian Interaksi dalam Model Log-Linear Tiga Arah

Dalam analisis model log-linear tiga arah, pengujian interaksi dilakukan untuk mengetahui ada atau tidaknya interaksi antar variabel. Pengujian ini dilakukan secara bertahap, dimulai dari tingkat interaksi tertinggi ke yang lebih rendah. Untuk model log-linear dengan tiga peubah (X, Y, dan Z), tahapan pengujian meliputi:

1. Pengujian Interaksi Tiga Arah (XYZ):
   • Bandingkan model saturated dengan model homogenous.
2. Pengujian Interaksi Dua Arah (XY, XZ, YZ):
   • Bandingkan model homogenous dengan model conditional.
   • Bandingkan model conditional dengan model joint independence.
   • Bandingkan model joint independence dengan model tanpa interaksi.

Setiap tahapan pengujian dilakukan untuk menilai kecocokan model dan menentukan struktur interaksi mana yang paling sesuai dengan data yang diamati.

3.3 Soal Praktikum

Gunakan Program R untuk menyelesaikan soal berikut:

3.3.1 Soal

Tabel berikut menyajikan data dari survei General Social Survey (GSS) tahun 1994 mengenai jenis kelamin responden, tingkat fundamentalisme, dan sikap terhadap hukuman mati untuk kasus pembunuhan. Susun dan interpretasikan model log-linear paling sederhana (paling parsimonious) untuk data ini. Jelaskan proses yang Anda lakukan dalam menentukan model terbaik serta asosiasi apa saja yang teridentifikasi. Tunjukkan juga bagaimana nilai yang diprediksi dari model menggambarkan asosiasi tersebut.

3.3.2 Tabel Data Survei

Fundamentalisme	Jenis Kelamin	Mendukung	Menolak	Total
Fundamentalis	Laki-laki	128	32	160
Fundamentalis	Perempuan	123	73	196
Fundamentalis	Total	251	105	356
Moderate	Laki-laki	182	56	238
Moderate	Perempuan	168	105	273
Moderate	Total	350	161	511
Liberal	Laki-laki	119	49	168
Liberal	Perempuan	111	70	181
Liberal	Total	230	119	349

Keterangan:

• Fundamentalisme: Fundamentalist, Moderate, Liberal
  
• Jenis Kelamin: Laki-laki, Perempuan
  
• Sikap: Mendukung (Favor), Menolak (Oppose) hukuman mati

3.4 Analisis Log-Linear untuk Tabel Tiga Arah

3.4.1 Package yang Digunakan

library("epitools")
library("DescTools")

## Warning: package 'DescTools' was built under R version 4.3.3

library("lawstat")

## Warning: package 'lawstat' was built under R version 4.3.3

# Input data sesuai tabel praktikum
z.fund <- factor(rep(c("1fund", "2mod", "3lib"), each = 4))
x.sex  <- factor(rep(c("1M", "2F"), each = 2, times = 3))
y.fav  <- factor(rep(c("1fav", "2opp"), times = 6))
counts <- c(128, 32, 123, 73, 182, 56, 168, 105, 119, 49, 111, 70)

data <- data.frame(
  Fundamentalisme = z.fund,
  Jenis_Kelamin   = x.sex,
  Sikap           = y.fav,
  Frekuensi       = counts
  
)
data

##    Fundamentalisme Jenis_Kelamin Sikap Frekuensi
## 1            1fund            1M  1fav       128
## 2            1fund            1M  2opp        32
## 3            1fund            2F  1fav       123
## 4            1fund            2F  2opp        73
## 5             2mod            1M  1fav       182
## 6             2mod            1M  2opp        56
## 7             2mod            2F  1fav       168
## 8             2mod            2F  2opp       105
## 9             3lib            1M  1fav       119
## 10            3lib            1M  2opp        49
## 11            3lib            2F  1fav       111
## 12            3lib            2F  2opp        70

#Membentuk Tabel Kontingensi 3 Arah
table3d <- xtabs(Frekuensi ~ Fundamentalisme + Jenis_Kelamin + Sikap, data = data)
ftable(table3d)

##                               Sikap 1fav 2opp
## Fundamentalisme Jenis_Kelamin                
## 1fund           1M                   128   32
##                 2F                   123   73
## 2mod            1M                   182   56
##                 2F                   168  105
## 3lib            1M                   119   49
##                 2F                   111   70

Analisis Log-Linear: Tahap Pemodelan Kita akan memodelkan tabel ini menggunakan beberapa model log-linear dan membandingkan kecocokan model (parsimonious model):

4 UJI MODEL INTERAKSI TIGA ARAH (SATURATED VS HOMOGENOUS)

4.0.1 Penentuan Kategori Referensi

# Penentuan kategori reference
x.sex  <- relevel(x.sex, ref = "2F")
y.fav  <- relevel(y.fav, ref = "2opp")
z.fund <- relevel(z.fund, ref = "3lib")

Model Saturated Model log-linear saturated memasukkan semua interaksi hingga tiga arah:

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ} + \lambda_{ijk}^{XYZ} \]

# Model saturated
model_saturated <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
             x.sex*y.fav + x.sex*z.fund + y.fav*z.fund +
             x.sex*y.fav*z.fund,
             family = poisson(link = "log"))
summary(model_saturated)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav + 
##     x.sex * z.fund + y.fav * z.fund + x.sex * y.fav * z.fund, 
##     family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                                Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)                    4.248495   0.119523  35.545  < 2e-16 ***
## x.sex1M                       -0.356675   0.186263  -1.915  0.05551 .  
## y.fav1fav                      0.461035   0.152626   3.021  0.00252 ** 
## z.fund1fund                    0.041964   0.167285   0.251  0.80193    
## z.fund2mod                     0.405465   0.154303   2.628  0.00860 ** 
## x.sex1M:y.fav1fav              0.426268   0.228268   1.867  0.06185 .  
## x.sex1M:z.fund1fund           -0.468049   0.282210  -1.659  0.09721 .  
## x.sex1M:z.fund2mod            -0.271934   0.249148  -1.091  0.27507    
## y.fav1fav:z.fund1fund          0.060690   0.212423   0.286  0.77511    
## y.fav1fav:z.fund2mod           0.008969   0.196903   0.046  0.96367    
## x.sex1M:y.fav1fav:z.fund1fund  0.438301   0.336151   1.304  0.19227    
## x.sex1M:y.fav1fav:z.fund2mod   0.282383   0.301553   0.936  0.34905    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 2.4536e+02  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance: 5.9952e-15  on  0  degrees of freedom
## AIC: 100.14
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

exp(model_saturated$coefficients)

##                   (Intercept)                       x.sex1M 
##                    70.0000000                     0.7000000 
##                     y.fav1fav                   z.fund1fund 
##                     1.5857143                     1.0428571 
##                    z.fund2mod             x.sex1M:y.fav1fav 
##                     1.5000000                     1.5315315 
##           x.sex1M:z.fund1fund            x.sex1M:z.fund2mod 
##                     0.6262231                     0.7619048 
##         y.fav1fav:z.fund1fund          y.fav1fav:z.fund2mod 
##                     1.0625694                     1.0090090 
## x.sex1M:y.fav1fav:z.fund1fund  x.sex1M:y.fav1fav:z.fund2mod 
##                     1.5500717                     1.3262868

Interpretasi Output Model Saturated

4.0.2 Ringkasan Model

Model yang digunakan adalah model log-linear saturated dengan semua efek utama, interaksi dua arah, dan interaksi tiga arah. Model ini memodelkan hubungan antara jenis kelamin (x.sex), sikap terhadap hukuman mati (y.fav), dan tingkat fundamentalisme (z.fund) terhadap frekuensi responden.

4.0.3 Hasil Estimasi Koefisien

Parameter	Estimate	Std. Error	z value	Pr(>|z|)	z
(Intercept)	4.25	0.12	35.55	<2e-16 ***	70.00
x.sex1M	-0.36	0.19	-1.92	0.055 .	0.70
y.fav1fav	0.46	0.15	3.02	0.0025 **	1.59
z.fund1fund	0.04	0.17	0.25	0.80	1.04
z.fund2mod	0.41	0.15	2.63	0.0086 **	1.50
x.sex1M:y.fav1fav	0.43	0.23	1.87	0.062 .	1.53
x.sex1M:z.fund1fund	-0.47	0.28	-1.66	0.097 .	0.63
x.sex1M:z.fund2mod	-0.27	0.25	-1.09	0.28	0.76
y.fav1fav:z.fund1fund	0.06	0.21	0.29	0.78	1.06
y.fav1fav:z.fund2mod	0.01	0.20	0.05	0.96	1.01
x.sex1M:y.fav1fav:z.fund1fund	0.44	0.30	1.30	0.19	1.55
x.sex1M:y.fav1fav:z.fund2mod	0.28	0.30	0.94	0.35	1.33

Keterangan:
- *** signifikan pada α = 0.001
- ** signifikan pada α = 0.01
- . marginally signifikan pada α = 0.1

4.1

# Homogenous Model
model_homogenous <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
                          x.sex*y.fav + x.sex*z.fund + y.fav*z.fund,
                        family = poisson(link = "log"))
summary(model_homogenous)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav + 
##     x.sex * z.fund + y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)            4.31096    0.10522  40.972  < 2e-16 ***
## x.sex1M               -0.51575    0.13814  -3.733 0.000189 ***
## y.fav1fav              0.35707    0.12658   2.821 0.004788 ** 
## z.fund1fund           -0.06762    0.14452  -0.468 0.639854    
## z.fund2mod             0.33196    0.13142   2.526 0.011540 *  
## x.sex1M:y.fav1fav      0.66406    0.12728   5.217 1.81e-07 ***
## x.sex1M:z.fund1fund   -0.16201    0.15300  -1.059 0.289649    
## x.sex1M:z.fund2mod    -0.08146    0.14079  -0.579 0.562887    
## y.fav1fav:z.fund1fund  0.23873    0.16402   1.455 0.145551    
## y.fav1fav:z.fund2mod   0.13081    0.14951   0.875 0.381614    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.361  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:   1.798  on  2  degrees of freedom
## AIC: 97.934
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 3

#4.2

# Deviance antar model
Deviance.model <- model_homogenous$deviance - model_saturated$deviance
Deviance.model

## [1] 1.797977

# Derajat bebas = db model homogenous - db model saturated
derajat.bebas <- (model_homogenous$df.residual - model_saturated$df.residual)
derajat.bebas 

## [1] 2

chi.tabel <- qchisq(1 - 0.05, df = derajat.bebas)
chi.tabel

## [1] 5.991465

Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima H0", "Tolak H0")
Keputusan

## [1] "Terima H0"

#4.3 Conditional Association on X

model_conditional_X <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
                             x.sex*y.fav + x.sex*z.fund,
                           family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_X)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav + 
##     x.sex * z.fund, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                     Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)          4.23495    0.08955  47.293  < 2e-16 ***
## x.sex1M             -0.52960    0.13966  -3.792 0.000149 ***
## y.fav1fav            0.48302    0.08075   5.982 2.20e-09 ***
## z.fund1fund          0.07962    0.10309   0.772 0.439916    
## z.fund2mod           0.41097    0.09585   4.288 1.81e-05 ***
## x.sex1M:y.fav1fav    0.65845    0.12708   5.181 2.20e-07 ***
## x.sex1M:z.fund1fund -0.12841    0.15109  -0.850 0.395405    
## x.sex1M:z.fund2mod  -0.06267    0.13908  -0.451 0.652274    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.3612  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:   3.9303  on  4  degrees of freedom
## AIC: 96.067
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

Pengujian hipotesis

# Deviance of Model
Deviance.model <- model_conditional_X$deviance - model_homogenous$deviance   # model_conditional_X: conditional on X, model_homogenous: homogenous
Deviance.model

## [1] 2.132302

# Selisih deviance antar model
Deviance.model <- model_conditional_X$deviance - model_homogenous$deviance
Deviance.model

## [1] 2.132302

# Chi Square tabel dengan alpha = 0.05
derajat.bebas <- (4 - 2)
derajat.bebas

## [1] 2

chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel

## [1] 5.991465

Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")
Keputusan

## [1] "Terima"

4.4

Conditional Association on Y

model_conditional_Y <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
                             x.sex*y.fav + y.fav*z.fund,
                           family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_Y)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav + 
##     y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)            4.33931    0.09919  43.748  < 2e-16 ***
## x.sex1M               -0.59345    0.10645  -5.575 2.48e-08 ***
## y.fav1fav              0.37259    0.12438   2.996  0.00274 ** 
## z.fund1fund           -0.12516    0.13389  -0.935  0.34989    
## z.fund2mod             0.30228    0.12089   2.500  0.01240 *  
## x.sex1M:y.fav1fav      0.65845    0.12708   5.181 2.20e-07 ***
## y.fav1fav:z.fund1fund  0.21254    0.16205   1.312  0.18966    
## y.fav1fav:z.fund2mod   0.11757    0.14771   0.796  0.42606    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.3612  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:   2.9203  on  4  degrees of freedom
## AIC: 95.057
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

## Deviance of Model
Deviance.model <- model_conditional_Y$deviance - model_homogenous$deviance   # model_conditional_Y: conditional on Y, model_homogenous: homogenous
Deviance.model

## [1] 1.122315

derajat.bebas <- (4 - 2)
derajat.bebas

## [1] 2

chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel

## [1] 5.991465

Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")
Keputusan

## [1] "Terima"

#4.5 Conditional Association on Z

model_conditional_Z <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
                             x.sex*z.fund + y.fav*z.fund,
                           family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_Z)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * z.fund + 
##     y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)            4.12255    0.10518  39.195  < 2e-16 ***
## x.sex1M               -0.07453    0.10713  -0.696    0.487    
## y.fav1fav              0.65896    0.11292   5.836 5.36e-09 ***
## z.fund1fund           -0.06540    0.15126  -0.432    0.665    
## z.fund2mod             0.33196    0.13777   2.410    0.016 *  
## x.sex1M:z.fund1fund   -0.12841    0.15109  -0.850    0.395    
## x.sex1M:z.fund2mod    -0.06267    0.13908  -0.451    0.652    
## y.fav1fav:z.fund1fund  0.21254    0.16205   1.312    0.190    
## y.fav1fav:z.fund2mod   0.11757    0.14771   0.796    0.426    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.361  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:  29.729  on  3  degrees of freedom
## AIC: 123.87
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

## Deviance of Model

Deviance.model <- model_conditional_Z$deviance - model_homogenous$deviance   # model_conditional_Z: conditional on Z, model_homogenous: homogenous
Deviance.model

## [1] 27.93095

derajat.bebas <- (3 - 2)
derajat.bebas

## [1] 1

chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel

## [1] 3.841459

Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")
Keputusan

## [1] "Tolak"

4.4 UJI MODEL INTERAKSI DUA ARAH (HOMOGENOUS VS CONDITIONAL ON Y)

4.4.1 Model Conditional on Y

Model log-linear conditional pada Y memasukkan efek utama dan interaksi dua arah antara X dengan Y dan Y dengan Z, tanpa interaksi antara X dengan Z maupun interaksi tiga arah.

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{jk}^{YZ} \]

# Conditional Association on Y
model_conditional_Y <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
              x.sex*y.fav + y.fav*z.fund,
              family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_Y)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav + 
##     y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)            4.33931    0.09919  43.748  < 2e-16 ***
## x.sex1M               -0.59345    0.10645  -5.575 2.48e-08 ***
## y.fav1fav              0.37259    0.12438   2.996  0.00274 ** 
## z.fund1fund           -0.12516    0.13389  -0.935  0.34989    
## z.fund2mod             0.30228    0.12089   2.500  0.01240 *  
## x.sex1M:y.fav1fav      0.65845    0.12708   5.181 2.20e-07 ***
## y.fav1fav:z.fund1fund  0.21254    0.16205   1.312  0.18966    
## y.fav1fav:z.fund2mod   0.11757    0.14771   0.796  0.42606    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.3612  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:   2.9203  on  4  degrees of freedom
## AIC: 95.057
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

Pengujian Ada Tidaknya Interaksi antara X dan Z (Homogenous model vs Conditional Association on Y)

• Hipotesis

  • \(H_0 : \lambda_{ik}^{XZ} = 0) \text{(Tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z)}\)

  • \(H_1 : \lambda_{ik}^{XZ} \neq 0) \text{(Ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z)}\)

• Tingkat Signifikansi

  • \(\alpha = 5\%\)

• Statistik Uji

  • \(\Delta \text{Deviance}\)

  • \(=\text{Deviance model conditional on Y} - \text{Deviance model homogenous}\)

  • \(= 2.9203 - 1.798 = 1.1223\)

  • \(db = db \text{ model conditional on Y} - db \text{ model homogenous}\)

  • \(= 4 - 2 = 2\)

• Daerah Penolakan

  • Tolak \(H_0\) jika \(\Delta \text{Deviance} > \chi_{0.05,2}^2 = 5.991\)

• Keputusan

  • Karena 1.1223 < 5.991, maka tidak tolak (H_0)

• Kesimpulan

  • Dengan taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak (H_0) atau dapat dikatakan bahwa tidak ada interaksi antara jenis kelamin dan fundamentalisme. Dengan kata lain, model yang terbentuk adalah model tanpa parameter \(\lambda_{ik}^{XZ}\).

Pengujian Hipotesis Interaksi X dan Z (Conditional on Y vs Homogenous)

# Deviance of Model
Deviance_model <- - model_conditional_Y$deviance - model_homogenous$deviance
# model_conditional_Y: conditional on Y, model_homogenous: homogenous

Deviance_model

## [1] -4.718268

Hitung Derajat Bebas

derajat.bebas <- (4 - 2)

derajat.bebas

## [1] 2

Nilai Chi-Square Tabel

chi.tabel <- qchisq(1 - 0.05, df = derajat.bebas)

chi.tabel

## [1] 5.991465

Keputusan Uji

Keputusan <- ifelse(Deviance_model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")

Keputusan

## [1] "Terima"

Interpretasi Karena nilai Deviance_model = 1.12 lebih kecil dari nilai kritis chi-square tabel = 5.99 (df = 2, alpha = 0.05), maka keputusan uji adalah “Terima”.

Kesimpulan: Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak (H_0). Artinya, tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z) yang signifikan secara statistik. Model tanpa parameter \(\lambda_{ik}^{XZ}\) sudah cukup baik untuk data ini.

4.5 UJI MODEL INTERAKSI DUA ARAH (HOMOGENOUS VS CONDITIONAL ON Z)

4.5.1 Model Conditional on Z

Model log-linear conditional pada Z memasukkan efek utama dan interaksi dua arah antara X dengan Z dan Y dengan Z, tanpa interaksi antara X dengan Y maupun interaksi tiga arah.

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ} \]

# Conditional Association on Y
model_conditional_Y <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
              x.sex*y.fav + y.fav*z.fund,
              family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_Y)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav + 
##     y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)            4.33931    0.09919  43.748  < 2e-16 ***
## x.sex1M               -0.59345    0.10645  -5.575 2.48e-08 ***
## y.fav1fav              0.37259    0.12438   2.996  0.00274 ** 
## z.fund1fund           -0.12516    0.13389  -0.935  0.34989    
## z.fund2mod             0.30228    0.12089   2.500  0.01240 *  
## x.sex1M:y.fav1fav      0.65845    0.12708   5.181 2.20e-07 ***
## y.fav1fav:z.fund1fund  0.21254    0.16205   1.312  0.18966    
## y.fav1fav:z.fund2mod   0.11757    0.14771   0.796  0.42606    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.3612  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:   2.9203  on  4  degrees of freedom
## AIC: 95.057
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

Pengujian Ada Tidaknya Interaksi antara X dan Y (Homogenous model vs Conditional Association on Z)

• Hipotesis

  • \(H_0 : \lambda_{ij}^{XY} = 0) \text{(Tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y)}\)

  • \(H_1 : \lambda_{ij}^{XY} \neq 0) \text{(Ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y)}\)

• Tingkat Signifikansi

  • \(\alpha = 5\%\)

• Statistik Uji

  • \(\Delta \text{Deviance}\)

  • \(= \text{Deviance model conditional on Z} - \text{Deviance model homogenous}\)

  • \(= 29.729 - 1.798 = 27.931\)

  • \(db\)

  • \(= db \text{ model conditional on Z} - db \text{ model homogenous}\)

  • \(= 3 - 2 = 1\)

• Daerah Penolakan

  • Tolak \(H_0\) jika \(\Delta \text{Deviance} > \chi_{0.05,1}^2 = 3.841\)

• Keputusan

  • Karena 27.931 > 3.841, maka tolak \(H_0\)

• Kesimpulan

  • Dengan taraf nyata 5 persen, ada interaksi antara jenis kelamin dan pendapat tentang hukuman mati. Dengan kata lain, model yang terbentuk adalah model dengan parameter \(\lambda_{ij}^{XY}\).

Pengujian Hipotesis Interaksi X dan Y (Conditional on Z vs Homogenous)

# Deviance of Model
Deviance_model <- - model_conditional_Z$deviance - model_homogenous$deviance
# model_conditional_Z: conditional on Z, model_homogenous: homogenous

Deviance_model

## [1] -31.5269

Hitung Derajat Bebas

derajat.bebas <- (3 - 2)

derajat.bebas

## [1] 1

Nilai Chi-Square Tabel

chi.tabel <- qchisq(1 - 0.05, df = derajat.bebas)

chi.tabel

## [1] 3.841459

Keputusan Uji

Keputusan <- ifelse(Deviance_model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")

Keputusan

## [1] "Terima"

Interpretasi Karena nilai Deviance_model = 27.93 jauh lebih besar dari nilai kritis chi-square tabel = 3.84 (df = 1, alpha = 0.05), maka keputusan uji adalah “Tolak”.

Kesimpulan: Pada taraf nyata 5%, terdapat bukti yang cukup untuk menolak (H_0). Artinya, ada interaksi yang signifikan antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y). Dengan kata lain, model terbaik yang terbentuk adalah model yang menyertakan parameter interaksi \(\lambda_{ij}^{XY}\).

5 PEMILIHAN MODEL TERBAIK

5.1. Ringkasan Model Log Linier

Model	Parameter	Deviance	Jumlah Parameter	df	AIC
Saturated	\[ \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ} + \lambda_{ijk}^{XYZ} \]	0.00	12	0	100.14
Homogenous	\[ \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ} \]	1.798	10	2	97.934
Conditional on X	\[ \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{ik}^{XZ} \]	3.9303	8	4	96.067
Conditional on Y	\[ \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} + \lambda_{jk}^{YZ} \]	2.9203	8	4	95.057
Conditional on Z	\[ \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ik}^{XZ} + \lambda_{jk}^{YZ} \]	29.729	9	3	123.87

5.2 Ringkasan Pengujian Interaksi 3 Arah dan 2 Arah

Interaksi	Pengujian	Δ deviance	Δ df	Chi-square Tabel	Keputusan	Keterangan
XYZ	Saturated vs Homogenous	1.798	2	5.991	Tidak Tolak H0	tidak ada interaksi
YZ	Conditional on X vs Homogenous	2.1323	2	5.991	Tidak Tolak H0	tidak ada interaksi
XZ	Conditional on Y vs Homogenous	1.1223	2	5.991	Tidak Tolak H0	tidak ada interaksi
XY	Conditional on Z vs Homogenous	27.931	1	3.841	Tolak H0	ada interaksi

5.3. Kesimpulan Pemilihan Model Terbaik

Dari hasil di atas diketahui bahwa asosiasi yang nyata hanya terdapat antara jenis kelamin dan pendapat mengenai hukuman mati. Sehingga, model terbaik adalah:

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda_i^X + \lambda_j^Y + \lambda_k^Z + \lambda_{ij}^{XY} \]

Model terbaik adalah model log-linear tanpa interaksi tiga arah dan hanya memuat interaksi dua arah antara jenis kelamin dan sikap terhadap hukuman mati.

6 MODEL TERBAIK

Model terbaik dipilih berdasarkan pengujian interaksi yang signifikan, yaitu hanya interaksi dua arah antara jenis kelamin (X) dan sikap terhadap hukuman mati (Y):

\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_{i} + \lambda^{Y}_{j} + \lambda^{Z}_{k} + \lambda^{XY}_{ij} \]

# Model Terbaik
bestmodel <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
                 x.sex*y.fav,
                 family = poisson(link = "log"))
summary(bestmodel)

## 
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav, 
##     family = poisson(link = "log"))
## 
## Coefficients:
##                   Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)        4.26518    0.07794  54.721  < 2e-16 ***
## x.sex1M           -0.59345    0.10645  -5.575 2.48e-08 ***
## y.fav1fav          0.48302    0.08075   5.982 2.20e-09 ***
## z.fund1fund        0.01986    0.07533   0.264    0.792    
## z.fund2mod         0.38130    0.06944   5.491 4.00e-08 ***
## x.sex1M:y.fav1fav  0.65845    0.12708   5.181 2.20e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 245.3612  on 11  degrees of freedom
## Residual deviance:   4.6532  on  6  degrees of freedom
## AIC: 92.79
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

Dari summary model diatas terlihat bahwa best model memiliki AIC yang lebih rendah dibandingkan saturated, homogeneous, dan conditional model

7 INTERPRETASI KOEFISIEN MODEL TERBAIK

# Interpretasi koefisien model terbaik
data.frame(
  koef = bestmodel$coefficients,
  exp_koef = exp(bestmodel$coefficients)
)

##                          koef   exp_koef
## (Intercept)        4.26517861 71.1776316
## x.sex1M           -0.59344782  0.5524194
## y.fav1fav          0.48302334  1.6209677
## z.fund1fund        0.01985881  1.0200573
## z.fund2mod         0.38129767  1.4641834
## x.sex1M:y.fav1fav  0.65845265  1.9318008

7.1 Interpretasi Koefisien Model Terbaik

• \[\exp(\lambda^X_M) = \exp(-0{,}593) = 0{,}552 \rightarrow \textbf{nilai odds}\]
  Tanpa memperhatikan fundamentalisme dan pendapat mengenai hukuman mati, peluang seseorang berjenis kelamin laki-laki adalah 0,55 kali dibandingkan perempuan.
  Atau, peluang seseorang berjenis kelamin perempuan adalah \(1 / 0{,}55 = 1{,}81\) kali dibandingkan laki-laki.

• \[\exp(\lambda^Y_{1_{fav}}) = \exp(0{,}483) = 1{,}621 \rightarrow \textbf{nilai odds}\]
  Tanpa memperhatikan jenis kelamin dan fundamentalisme, peluang seseorang mendukung hukuman mati adalah 1,621 kali dibandingkan yang menolak.

• \[\exp(\lambda^Z_{1_{fund}}) = \exp(0{,}01986) = 1{,}02 \rightarrow \textbf{nilai odds}\]
  Tanpa memperhatikan jenis kelamin dan pendapat mengenai hukuman mati, peluang seseorang fundamentalis adalah 1,02 kali dibandingkan liberal.

• \[\exp(\lambda^Z_{2_{mod}}) = \exp(0{,}381) = 1{,}464 \rightarrow \textbf{nilai odds}\]
  Tanpa memperhatikan jenis kelamin dan pendapat mengenai hukuman mati, peluang seseorang moderate adalah 1,464 kali dibandingkan liberal.

• \[\exp(\lambda^{XY}_{1M,1_{fav}}) = \exp(0{,}658) = 1{,}932 \rightarrow \textbf{nilai odds ratio}\]
  Tanpa memperhatikan fundamentalisme, odds mendukung hukuman mati (dibandingkan menolak) jika dia laki-laki adalah 1,932 kali dibandingkan odds yang sama jika dia perempuan.

8 NILAI DUGAAN MODEL TERBAIK

# Fitted values dari model terbaik
data.frame(
  Fund = z.fund,
  sex = x.sex,
  favor = y.fav,
  counts = counts,
  fitted = bestmodel$fitted.values
)

##     Fund sex favor counts    fitted
## 1  1fund  1M  1fav    128 125.59539
## 2  1fund  1M  2opp     32  40.10855
## 3  1fund  2F  1fav    123 117.69079
## 4  1fund  2F  2opp     73  72.60526
## 5   2mod  1M  1fav    182 180.27878
## 6   2mod  1M  2opp     56  57.57155
## 7   2mod  2F  1fav    168 168.93257
## 8   2mod  2F  2opp    105 104.21711
## 9   3lib  1M  1fav    119 123.12582
## 10  3lib  1M  2opp     49  39.31990
## 11  3lib  2F  1fav    111 115.37664
## 12  3lib  2F  2opp     70  71.17763

8.1 Perhitungan Manual Nilai Dugaan (Fitted Value) Model Terbaik

Secara manual, nilai fitted value diperoleh dengan cara sebagai berikut:

\[ \hat\mu_{111}=exp(\lambda+\lambda_{1m}^x+\lambda_{1fav}^y+\lambda_{fund}^z+\lambda_{1m,1fav}^{xy}) \]

\[ =exp(4.265-0.593+0.483+0.01986+0.658) \]

\[ =exp(4.833) =125.595 \]

\[ \hat\mu_{112}=exp(\lambda+\lambda_{1m}^x+\lambda_{1fav}^y+\lambda_{2mod}^z+\lambda_{1m,1fav}^{xy}) \]

\[ =exp(4.265-0.593+0.483+0.381+0.658) \]

\[ =exp(5.195) =180.279 \]

\[ \hat\mu_{113}=exp(\lambda+\lambda_{1m}^x+\lambda_{1fav}^y+\lambda_{lib}^z+\lambda_{1m,1fav}^{xy}) \]

\[ =exp(4.265-0.593+0.483+0+0.658) \]

\[ =exp(4.813) =123.126 \]

\[\hat{\mu}_{121} = \exp(\lambda + \lambda^x_{1m} + \lambda^y_{2opp} + \lambda^z_{fund} + \lambda^{xy}_{1m,2opp}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0 + 0.01986 + 0) = \exp(3.692) = 40.109 \]

\[\hat{\mu}_{122} = \exp(\lambda + \lambda^x_{1m} + \lambda^y_{2opp} + \lambda^z_{2mod} + \lambda^{xy}_{1m,2opp}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0 + 0.381 + 0) = \exp(4.053) = 57.572 \]

\[\hat{\mu}_{123} = \exp(\lambda + \lambda^x_{1m} + \lambda^y_{2opp} + \lambda^z_{lib} + \lambda^{xy}_{1m,2opp}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0 + 0 + 0) = \exp(3.672) = 39.320 \]

\[\hat{\mu}_{211} = \exp(\lambda + \lambda^x_{2f} + \lambda^y_{1fav} + \lambda^z_{fund} + \lambda^{xy}_{2f,1fav}) = \exp(4.265 + 0 + 0.483 + 0.01986 + 0) = \exp(4.768) = 117.691 \]

\[\hat{\mu}_{212} = \exp(\lambda + \lambda^x_{2f} + \lambda^y_{1fav} + \lambda^z_{2mod} + \lambda^{xy}_{2f,1fav}) = \exp(4.265 + 0 + 0.483 + 0.381 + 0) = \exp(5.1295) = 168.933 \]

\[\hat{\mu}_{213} = \exp(\lambda + \lambda^x_{2f} + \lambda^y_{1fav} + \lambda^z_{lib} + \lambda^{xy}_{2f,1fav}) = \exp(4.265 + 0 + 0.483 + 0 + 0) = \exp(4.748) = 115.377 \]

\[\hat{\mu}_{221} = \exp(\lambda + \lambda^x_{2f} + \lambda^y_{2opp} + \lambda^z_{fund} + \lambda^{xy}_{2f,2opp}) = \exp(4.265 + 0 + 0 + 0.01986 + 0) = \exp(4.285) = 72.605 \]

\[\hat{\mu}_{222} = \exp(\lambda + \lambda^x_{2f} + \lambda^y_{2opp} + \lambda^z_{2mod} + \lambda^{xy}_{2f,2opp}) = \exp(4.265 + 0 + 0 + 0.381 + 0) = \exp(4.646) = 104.217 \]

\[\hat{\mu}_{223} = \exp(\lambda + \lambda^x_{2f} + \lambda^y_{2opp} + \lambda^z_{lib} + \lambda^{xy}_{2f,2opp}) = \exp(4.265 + 0 + 0 + 0 + 0) = \exp(4.265) = 71.178 \]

Keterangan:

Nilai \[\hat\mu_{ijk}\] akan sama apapun referensi dari kategori peubahnya yang kita gunakan.