Analisis data kategorik berperan penting dalam statistik terapan karena banyak fenomena di dunia nyata menghasilkan data dalam bentuk kategori, seperti jenis kelamin, status pekerjaan, dan tingkat pendidikan.
Pendekatan statistik yang umum digunakan dalam analisis data kategorik meliputi:
Tabel Kontingensi
Digunakan untuk eksplorasi hubungan antar dua atau lebih variabel
kategorik dengan cara menyajikan frekuensi gabungan. Tabel ini bisa
dilengkapi dengan uji asosiasi seperti chi-square untuk mengetahui
hubungan antar variabel.
Model Log-linear
Digunakan untuk menganalisis struktur asosiasi dari tabel kontingensi
tanpa variabel dependen. Model ini cocok untuk memahami interaksi antar
variabel kategorik dan dapat diuji menggunakan likelihood ratio
test.
Model Regresi Logistik
Cocok digunakan saat ada variabel kategorik sebagai variabel dependen
(contoh: sakit/tidak). Model ini memodelkan peluang terjadinya suatu
kejadian (log odds) berdasarkan variabel independen dan dapat diperluas
menjadi regresi logistik multinomial atau ordinal.
Perbandingan
Kesimpulan
Pemilihan pendekatan tergantung pada tujuan analisis: apakah untuk deskripsi, eksplorasi struktur, atau prediksi. Kombinasi pendekatan sering digunakan untuk pemahaman yang lebih komprehensif terhadap data kategorik.
Tabel Kontingensi
Tabel kontingensi menyajikan jumlah frekuensi dari kombinasi kategori antar variabel.
Contoh:
table_data <- matrix(c(30, 20, 50, 70), nrow=2,
dimnames = list(Obat = c("Timolol", "Placebo"),
Serangan = c("Ya", "Tidak")))
table_data## Serangan
## Obat Ya Tidak
## Timolol 30 50
## Placebo 20 70Tabel kontingensi bersifat deskriptif dan tidak melibatkan pemodelan probabilitas.
Model Loglinear
Model loglinear memodelkan logaritma dari ekspektasi frekuensi sel dalam tabel kontingensi.
\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda_i^{A} + \lambda_j^{B} + \lambda_{ij}^{AB} \]
library(MASS)
loglm(~ Obat * Serangan, data = table_data)## Call:
## loglm(formula = ~Obat * Serangan, data = table_data)
##
## Statistics:
## X^2 df P(> X^2)
## Likelihood Ratio 0 0 1
## Pearson 0 0 1Model Regresi Logistik
Model regresi logistik biner:
\[ \log\left( \frac{p}{1 - p} \right) = \beta_0 + \beta_1 x \]
Digunakan jika ada variabel dependen kategorik (biasanya biner).
Bertujuan untuk memprediksi probabilitas suatu outcome.
Umumnya digunakan dalam studi observasional atau eksperimental. Contoh:
data_glm <- data.frame(
Serangan = c(1, 0, 1, 0),
Obat = factor(c("Timolol", "Timolol", "Placebo", "Placebo")),
Frek = c(30, 20, 50, 70)
)
model_logit <- glm(Serangan ~ Obat, weights = Frek, family = binomial, data = data_glm)
summary(model_logit)##
## Call:
## glm(formula = Serangan ~ Obat, family = binomial, data = data_glm,
## weights = Frek)
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -0.3365 0.1852 -1.817 0.0692 .
## ObatTimolol 0.7419 0.3430 2.163 0.0305 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 235.08 on 3 degrees of freedom
## Residual deviance: 230.31 on 2 degrees of freedom
## AIC: 234.31
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4| Aspek | Tabel Kontingensi | Model Loglinear | Regresi Logistik |
|---|---|---|---|
| Tujuan | Deskripsi frekuensi | Deteksi asosiasi | Prediksi probabilitas |
| Variabel Dependen | Tidak ada | Tidak ada (simetris) | Ada (eksplisit) |
| Distribusi | Tidak diasumsikan | Poisson (frekuensi sel) | Binomial (probabilitas) |
| Bentuk Model | Tidak ada | GLM: log(μ) ~ efek | GLM: logit(p) ~ prediktor |
| Cocok untuk | Eksplorasi awal | Tabel > 2 variabel | Studi prediktif |
Tabel kontingensi menyajikan frekuensi dari kombinasi kategori antar dua atau lebih variabel. Misal:
# Contoh tabel 2x2
matrix(c(30, 20, 50, 70), nrow=2,
dimnames = list(Obat = c("Timolol", "Placebo"),
Serangan = c("Ya", "Tidak")))## Serangan
## Obat Ya Tidak
## Timolol 30 50
## Placebo 20 70Model log-linier untuk tabel I x J dapat dituliskan: \[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda_i^{T} + \lambda_j^{R} + \lambda_{ij}^{TR} \]
Model saturated atau model penuh menyertakan seluruh efek utama dan interaksi:
# Data
library(MASS)
data <- matrix(c(35, 65, 45, 55), nrow=2, byrow=TRUE)
dimnames(data) <- list(Obat = c("Timolol", "Placebo"), Serangan = c("Ya", "Tidak"))
ftable(data)## Serangan Ya Tidak
## Obat
## Timolol 35 65
## Placebo 45 55Model saturated dapat dipasang dengan loglm dari package {MASS}:
model_saturated <- loglm(~ Obat * Serangan, data = data)
summary(model_saturated)## Formula:
## ~Obat * Serangan
## attr(,"variables")
## list(Obat, Serangan)
## attr(,"factors")
## Obat Serangan Obat:Serangan
## Obat 1 0 1
## Serangan 0 1 1
## attr(,"term.labels")
## [1] "Obat" "Serangan" "Obat:Serangan"
## attr(,"order")
## [1] 1 1 2
## attr(,"intercept")
## [1] 1
## attr(,"response")
## [1] 0
## attr(,".Environment")
## <environment: R_GlobalEnv>
##
## Statistics:
## X^2 df P(> X^2)
## Likelihood Ratio 0 0 1
## Pearson 0 0 1Model independen mengasumsikan bahwa tidak ada interaksi antara variabel: \[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda_i^{T} + \lambda_j^{R} \]
Model ini menguji hipotesis bahwa variabel X dan Y saling independen.
model_indep <- loglm(~ Obat + Serangan, data = data)
summary(model_indep)## Formula:
## ~Obat + Serangan
## attr(,"variables")
## list(Obat, Serangan)
## attr(,"factors")
## Obat Serangan
## Obat 1 0
## Serangan 0 1
## attr(,"term.labels")
## [1] "Obat" "Serangan"
## attr(,"order")
## [1] 1 1
## attr(,"intercept")
## [1] 1
## attr(,"response")
## [1] 0
## attr(,".Environment")
## <environment: R_GlobalEnv>
##
## Statistics:
## X^2 df P(> X^2)
## Likelihood Ratio 2.087576 1 0.1485015
## Pearson 2.083333 1 0.1489147Odds ratio untuk tabel 2x2:
\[ OR = \frac{n_{11} n_{22}}{n_{12} n_{21}} \]
Interpretasi nilai OR:
Dalam model saturated:
# Estimasi odds ratio dan log-odds
logOR <- log((data[1,1] * data[2,2]) / (data[1,2] * data[2,1]))
logOR## [1] -0.4183685Perbandingan antar model dilakukan dengan menggunakan statistik deviance (G²) atau likelihood ratio test.
anova(model_indep, model_saturated)## LR tests for hierarchical log-linear models
##
## Model 1:
## ~Obat + Serangan
## Model 2:
## ~Obat * Serangan
##
## Deviance df Delta(Dev) Delta(df) P(> Delta(Dev)
## Model 1 2.087576 1
## Model 2 0.000000 0 2.087576 1 0.1485
## Saturated 0.000000 0 0.000000 0 1.0000Studi dari Agresti (2019) membahas hubungan antara kebahagiaan dan kepercayaan terhadap kehidupan akhirat.
data_survey <- matrix(c(32,190,
113,611,
51,326),
nrow = 3, byrow = TRUE,
dimnames = list(Kebahagiaan = c("Tidak", "Cukup", "Sangat"),
Surga = c("Tidak Percaya", "Percaya")))
ftable(data_survey)## Surga Tidak Percaya Percaya
## Kebahagiaan
## Tidak 32 190
## Cukup 113 611
## Sangat 51 326loglm(~ Kebahagiaan + Surga, data = data_survey)## Call:
## loglm(formula = ~Kebahagiaan + Surga, data = data_survey)
##
## Statistics:
## X^2 df P(> X^2)
## Likelihood Ratio 0.8911136 2 0.6404675
## Pearson 0.8836760 2 0.6428538Model log-linear adalah model yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua atau lebih variabel kategorik yang disajikan dalam tabel kontingensi. Model ini mengasumsikan bahwa logaritma dari nilai ekspektasi frekuensi sel (μij ) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan efek variabel dan (bila perlu) interaksinya. Untuk tabel 2x2: \[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda_i^{A} + \lambda_j^{B} + \lambda_{ij}^{AB} \] ## Perbedaan Utama Antara Model Log Linear dan Model Regresi Logistik - Model log-linear digunakan untuk memodelkan frekuensi (count) pada tabel kontingensi dan menguji asosiasi antar variabel kategorik, tanpa menganggap ada variabel respon dan prediktor.
Sistem Persamaan Model Log-Linear \[\begin{align*} \log(\mu_{11}) &= \lambda + \lambda^A_1 + \lambda^B_1 + \lambda^{AB}_{11} \\ \\ \log(\mu_{12}) &= \lambda + \lambda^A_1 + \lambda^B_2 + \lambda^{AB}_{12} \\ \\ \log(\mu_{21}) &= \lambda + \lambda^A_2 + \lambda^B_1 + \lambda^{AB}_{21} \\ \\ \log(\mu_{22}) &= \lambda + \lambda^A_2 + \lambda^B_2 + \lambda^{AB}_{22} \\ \end{align*}\] Constraint Sum-to-Zero \[\begin{align*} \lambda_1^A + \lambda_2^A = 0 \\ \\ \lambda_1^B + \lambda_2^B = 0 \\ \\ \lambda_{11}^{AB} + \lambda_{12}^{AB} + \lambda_{21}^{AB} + \lambda_{22}^{AB} = 0 \end{align*}\] Rumus Estimasi Parameter dengan Sum-to-Zero Constraint
\[ \lambda_1^A = \frac{1}{2} \left[ (\log \mu_{11} + \log \mu_{12}) - (\log \mu_{21} + \log \mu_{22}) \right] \] \[ \lambda_1^B = \frac{1}{2} \left[ (\log \mu_{11} + \log \mu_{21}) - (\log \mu_{12} + \log \mu_{22}) \right] \] \[ \lambda_{12}^{AB} = \frac{1}{4} \left[ \log \mu_{12} - \log \mu_{11} - \log \mu_{22} + \log \mu_{21} \right] \] ## Analisis Data Tabel Kontingensi 2x2
Diberikan data:
| Merokok | Sakit | Sehat |
|---|---|---|
| Ya | 30 | 20 |
| Tidak | 10 | 40 |
Model log-linear pada tabel 2x2: \[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda_i^{A} + \lambda_j^{B} + \lambda_{ij}^{AB} \] dengan constraint sum-to-zero: \[ \sum_i \lambda_i^A = 0,\quad \sum_j \lambda_j^B = 0,\quad \sum_{i,j} \lambda_{ij}^{AB} = 0 \] ## Estimasi Parameter Model (Manual, Sum-to-zero) Misalkan: - A1 = Merokok (Ya), A2 = Tidak - B1 = Sakit, B2 = Sehat Observasi: - \(n_{11}\) = 30, \(n_{12}\) = 20 - \(n_{21}\) = 10, \(n_{22}\) = 40
\[\begin{align*} \log(\mu_{11}) &= \lambda + \lambda^A_1 + \lambda^B_1 + \lambda^{AB}_{11} \\ \\ \log(\mu_{12}) &= \lambda + \lambda^A_1 + \lambda^B_2 + \lambda^{AB}_{12} \\ \\ \log(\mu_{21}) &= \lambda + \lambda^A_2 + \lambda^B_1 + \lambda^{AB}_{21} \\ \\ \log(\mu_{22}) &= \lambda + \lambda^A_2 + \lambda^B_2 + \lambda^{AB}_{22} \\ \end{align*}\]
Constraint sum-to-zero:
\[\begin{align*} \lambda_1^A + \lambda_2^A = 0 \\ \\ \lambda_1^B + \lambda_2^B = 0 \\ \\ \lambda_{11}^{AB} + \lambda_{12}^{AB} + \lambda_{21}^{AB} + \lambda_{22}^{AB} = 0 \end{align*}\]
Langkah-langkah: 1. Hitung rata-rata log frekuensi sel: \[\begin{align*} \lambda &= \frac{1}{4} \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} \log(n_{ij}) \\ &= \frac{1}{4} [\log(30) + \log(20) + \log(10) + \log(40)] \\ &= 3.0971 \end{align*}\]
Efek Utama A (Merokok): \[\begin{align*} \lambda_1^A &= \frac{1}{2} [(\log(30) + \log(20)) - (\log(10) + \log(40))] \\ \\ &= \frac{1}{2} [(3.4012 + 2.9957) - (2.3026 + 3.6889)] \\ \\ &= \frac{1}{2} (6.3969 - 5.9915) \\ \\ &= \frac{1}{2} (0.4054) \\ \\ &= 0.2027 \\ \\ \lambda_2^A &= -0.2027 \\ \end{align*}\]
Efek Utama B (Status): \[\begin{align*} \\ \lambda_1^B &= \frac{1}{2} [(\log(30) + \log(10)) - (\log(20) + \log(40))] \\ \\ &= \frac{1}{2} [(3.4012 + 2.3026) - (2.9957 + 3.6889)] \\ \\ &= \frac{1}{2} (5.7038 - 6.6846) \\ \\ &= \frac{1}{2} (-0.9808) \\ \\ &= -0.4904 \\ \\ \lambda_2^B &= 0.2027 \\ \end{align*}\]
Efek Interaksi: \[\begin{align*} \lambda_{11}^{AB} &= \frac{1}{4} [(\log(30) - \log(20)) - \log(10) + \log(40)] \\ \\ &= \frac{1}{4} [(3.4012 - 2.9957 - 2.3026 + 3.6889)] \\ \\ &= \frac{1}{4} (-1.8971 + 3.6889) \\ \\ &= \frac{1}{4} (1.7918) \\ \\ &= 0.4479 \\ \\ \lambda_{12}^{AB} &= -0.4479 \\ \\ \lambda_{21}^{AB} &= -0.4479 \\ \\ \lambda_{22}^{AB} &= 0.4479 \\ \end{align*}\]
Ringkasan Parameter
\[ OR = \frac{n_{11} n_{22}}{n_{12} n_{21}} = \frac{30 \times 40}{20 \times 10} = \frac{1200}{200} = 6 \] Log odds ratio: \[ \log(OR) = \log(6) = 1.7918 \] Standard error (SE):
\[ SE = \sqrt{ \frac{1}{n_{11}} + \frac{1}{n_{12}} + \frac{1}{n_{21}} + \frac{1}{n_{22}} } \\ \\ = \sqrt{ \frac{1}{30} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10} + \frac{1}{40} }\\ \\ = \sqrt{0.0333 + 0.05 + 0.1 + 0.025}\\ \\ = \sqrt{0.2083}\\ \\ = 0.4564 \\ \]
95% Confidence Interval for log(OR):
\[\begin{align*} \\ \log(OR) \pm 1.96 \times SE &= 1.7918 \pm 1.96 \times 0.4564 \\ \\ &= 1.7918 \pm 0.895 \\ \\ &= (1.7918 - 0.895,\ 1.7918 + 0.895) \\ \\ &= (0.8968,\ 2.6868) \\ \end{align*}\]
Back-transform to get CI for OR:
\[\begin{align*} \\ Lower &= \exp(0.8968) = 2.452\\ \\ Upper &= \exp(2.6868) = 14.68 \\ \end{align*}\]
Jadi, OR=6 dengan taraf signifikansi 95% memiliki interval kepercayaan dalam rentang 2.452 - 14.68
# Data 2x2
tabel <- matrix(c(30, 20, 10, 40), nrow = 2, byrow = TRUE)
colnames(tabel) <- c("Sakit", "Sehat")
rownames(tabel) <- c("Ya", "Tidak")
tabel## Sakit Sehat
## Ya 30 20
## Tidak 10 40#Ubah menjadi bentuk tabel untuk glm
data <- as.data.frame(as.table(tabel))
colnames(data) <- c("Merokok", "Status", "Freq")
data## Merokok Status Freq
## 1 Ya Sakit 30
## 2 Tidak Sakit 10
## 3 Ya Sehat 20
## 4 Tidak Sehat 40# Model tanpa interaksi
fit_no_inter <- glm(Freq ~ Merokok + Status, family = poisson, data = data)
summary(fit_no_inter)##
## Call:
## glm(formula = Freq ~ Merokok + Status, family = poisson, data = data)
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 2.996e+00 1.871e-01 16.013 <2e-16 ***
## MerokokTidak 3.892e-10 2.000e-01 0.000 1.000
## StatusSehat 4.055e-01 2.041e-01 1.986 0.047 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 21.288 on 3 degrees of freedom
## Residual deviance: 17.261 on 1 degrees of freedom
## AIC: 43.036
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4# Model dengan interaksi
fit_inter <- glm(Freq ~ Merokok * Status, family = poisson, data = data)
summary(fit_inter)##
## Call:
## glm(formula = Freq ~ Merokok * Status, family = poisson, data = data)
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 3.4012 0.1826 18.629 < 2e-16 ***
## MerokokTidak -1.0986 0.3651 -3.009 0.00262 **
## StatusSehat -0.4055 0.2887 -1.405 0.16015
## MerokokTidak:StatusSehat 1.7918 0.4564 3.926 8.65e-05 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 2.1288e+01 on 3 degrees of freedom
## Residual deviance: 3.9968e-15 on 0 degrees of freedom
## AIC: 27.775
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 3Nilai \(\log(6)=1.7918\) sama dengan efek interaksi pada output R
Suatu survei dilakukan untuk mengetahui hubungan antara Jenis Kelamin (Laki-laki/Perempuan) dan Kategori BMI (Kurus/Normal/Gemuk):
| Kurus | Normal | Gemuk | |
|---|---|---|---|
| Laki-laki | 12 | 20 | 8 |
| Perempuan | 18 | 24 | 10 |
Bentuk umum model log-linear untuk tabel 2x3 (dengan sum-to-zero constraint): \[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda_i^{A} + \lambda_j^{B} + \lambda_{ij}^{AB} \] dengan: - \(\mu_{ij}\): ekspektasi frekuensi pada baris ke-i, kolom ke-j - A: Jenis Kelamin (i=1:Laki-laki, i=2:Perempuan) - B: Kategori BMI (j=1:Kurus, j=2:Normal, j=3:Gemuk) - Constraint: \[ \sum_i \lambda_i^A = 0,\quad \sum_j \lambda_j^B = 0,\quad \sum_{i} \lambda_{ij}^{AB} = 0, dan \sum_{j}\lambda_{ij}^{AB}=0 \] Secara eksplisit:
\[\begin{align*} \\ \log(\mu_{ij}) &= \lambda \\ \\ &+ \lambda^A_1(Laki-laki), \lambda_2^A(Perempuan)\\ &+ \lambda^B_1(Kurus), \lambda^B_2(Normal), \lambda^B_3(Gemuk)\\ \\ &+ \lambda^{AB}_{ij}(interaksi jika ada) \\ \end{align*}\]
Langkah-langkah perhitungan:
Hitung rata-rata log frekuensi sel: \[\begin{align*} \\ \lambda &= \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{3} \log(n_{ij}) \\ \\ &= \frac{1}{6} [\log(12) + \log(20) + \log(8) + \log(18) + \log(24) + \log(10)] \\ \\ &= \frac{1}{6} [2.4849 + 2.9957 + 2.0794 + 2.8904 + 3.1781 + 2.3026] \\ \\ &= \frac{1}{6} (15.9311) \\ \\ &= 2.6552 \\ \end{align*}\]
Efek utama A (Jenis Kelamin): \[\begin{align*} \\ \lambda_1^A &= \frac{1}{3} \left[ (\log 12 + \log 20 + \log 8) - (\log 18 + \log 24 + \log 10) \right] \\ \\ &= \frac{1}{3} [ (2.4849 + 2.9957 + 2.0794) - (2.8904 + 3.1781 + 2.3026) ] \\ \\ &= \frac{1}{3} (7.5600 - 8.3711) \\ \\ &= \frac{1}{3} (-0.8111) \\ \\ &= -0.2704 \\ \\ \lambda_2^A &= -\lambda_1^A = 0.2704 \\ \end{align*}\]
Efek utama B (Kategori BMI): \[\begin{align*} \\ \lambda_1^B &= \frac{1}{2} \left[ (\log 12 + \log 18) - (\log 20 + \log 24 + \log 8 + \log 10)/2 \right] \\ \\ &= \frac{1}{2} (2.4849 + 2.8904 - 5.7679) \\ \\ &= \frac{1}{2} (-0.3926) \\ \\ &= -0.2013 \\ \\ \lambda_2^B &= \frac{1}{2} (2.9957 + 3.1781 - 5.8669) = 0.1602 \\ \\ \lambda_3^B &= -\lambda_1^B - \lambda_2^B = 0.0411 \\ \end{align*}\]
Efek Interaksi: \[\begin{align*} \\ \lambda_{11}^{AB} &= \log(12) - \lambda - \lambda_1^A - \lambda_1^B \\ \\ &= 2.4849 - 2.6552 + 0.2704 + 0.2013 = 0.3014 \\ \\ \lambda_{12}^{AB} &= \log(20) - \lambda - \lambda_1^A - \lambda_2^B \\ \\ &= 2.9957 - 2.6552 + 0.2704 - 0.1602 = 0.4507 \\ \\ \lambda_{13}^{AB} &= \log(8) - \lambda - \lambda_1^A - \lambda_3^B \\ \\ &= 2.0794 - 2.6552 + 0.2704 - 0.0411 = -0.3465 \\ \\ \lambda_{21}^{AB} &= \log(18) - \lambda - \lambda_2^A - \lambda_1^B \\ \\ &= 2.8904 - 2.6552 - 0.2704 + 0.2013 = 0.1661 \\ \\ \lambda_{22}^{AB} &= \log(24) - \lambda - \lambda_2^A - \lambda_2^B \\ \\ &= 3.1781 - 2.6552 - 0.2704 - 0.1602 = 0.0923 \\ \\ \lambda_{23}^{AB} &= \log(10) - \lambda - \lambda_2^A - \lambda_3^B \\ \\ &= 2.3026 - 2.6552 - 0.2704 - 0.0411 = -0.6639 \\ \end{align*}\]
Hitung Odds Ratio dan Interval Kepercayaan
\[ SE = \sqrt{\frac{1}{n_{11}} + \frac{1}{n_{12}} + \frac{1}{n_{21}} + \frac{1}{n_{22}}}\\ \\ = \sqrt{\frac{1}{12} + \frac{1}{8} + \frac{1}{18} + \frac{1}{10}}\\ \\ = \sqrt{0.0833 + 0.125 + 0.0556 + 0.1}\\ \\ = \sqrt{0.3639}\\ \\ = 0.6032 \\ \]
Jadi, OR=0.8333 dengan taraf signifikansi 95% memiliki interval kepercayaan dengan rentang 0.2551 - 2.7183
# Membuat data frame dari tabel
tabel2x3 <- matrix(c(12, 20, 8, 18, 24, 10), nrow = 2, byrow = TRUE)
colnames(tabel2x3) <- c("Kurus", "Normal", "Gemuk")
rownames(tabel2x3) <- c("Laki-laki", "Perempuan")
tabel2x3## Kurus Normal Gemuk
## Laki-laki 12 20 8
## Perempuan 18 24 10# Ubah menjadi data.frame untuk glm
data2x3 <- as.data.frame(as.table(tabel2x3))
colnames(data2x3) <- c("JenisKelamin", "BMI", "Freq")
data2x3## JenisKelamin BMI Freq
## 1 Laki-laki Kurus 12
## 2 Perempuan Kurus 18
## 3 Laki-laki Normal 20
## 4 Perempuan Normal 24
## 5 Laki-laki Gemuk 8
## 6 Perempuan Gemuk 10# Model log-linear tanpa interaksi (asumsi independen)
fit_no_inter <- glm(Freq ~ JenisKelamin + BMI, family = poisson, data = data2x3)
summary(fit_no_inter)##
## Call:
## glm(formula = Freq ~ JenisKelamin + BMI, family = poisson, data = data2x3)
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 2.5683 0.2179 11.789 <2e-16 ***
## JenisKelaminPerempuan 0.2624 0.2103 1.248 0.2122
## BMINormal 0.3830 0.2368 1.618 0.1058
## BMIGemuk -0.5108 0.2981 -1.713 0.0866 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 13.06443 on 5 degrees of freedom
## Residual deviance: 0.22527 on 2 degrees of freedom
## AIC: 35.26
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 3# Model log-linear dengan interaksi (untuk cek asosiasi)
fit_inter <- glm(Freq ~ JenisKelamin * BMI, family = poisson, data = data2x3)
summary(fit_inter)##
## Call:
## glm(formula = Freq ~ JenisKelamin * BMI, family = poisson, data = data2x3)
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 2.4849 0.2887 8.608 <2e-16 ***
## JenisKelaminPerempuan 0.4055 0.3727 1.088 0.277
## BMINormal 0.5108 0.3651 1.399 0.162
## BMIGemuk -0.4055 0.4564 -0.888 0.374
## JenisKelaminPerempuan:BMINormal -0.2231 0.4802 -0.465 0.642
## JenisKelaminPerempuan:BMIGemuk -0.1823 0.6032 -0.302 0.762
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 1.3064e+01 on 5 degrees of freedom
## Residual deviance: -9.0719e-30 on 0 degrees of freedom
## AIC: 39.034
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 3Interpretasi: Model tanpa interaksi: - Jika deviance tidak signifikan, maka Jenis Kelamin dan BMI independen.
Model dengan interaksi:
Contoh interpretasi hasil (misal): - Jika koefisien JenisKelaminPerempuan negatif: proporsi Perempuan pada kategori referensi lebih kecil dibanding Laki-laki. - Jika koefisien BMI_Normal positif: kemungkinan seseorang Normal lebih tinggi daripada Kurus (pada Laki-laki). - Jika model interaksi signifikan, pola distribusi BMI berbeda antara Laki-laki dan Perempuan.
Pada pembahasan sebelumnya, kita telah memahami bahwa salah satu tujuan utama dari penyusunan model log linear adalah untuk mengestimasi parameter-parameter yang menjelaskan hubungan di antara variabel-variabel kategorik.
Pada materi kali ini, kita akan membahas model log linear yang lebih kompleks, yaitu model log linear untuk tabel kontingensi tiga arah. Model ini melibatkan tiga variabel kategorik, sehingga kemungkinan interaksi yang dapat terjadi di dalam model pun menjadi lebih banyak. Dalam konteks ini, interaksi paling tinggi yang dapat dimodelkan adalah interaksi tiga arah, yaitu interaksi yang melibatkan ketiga variabel secara bersamaan.
Model log-linear yang melibatkan tiga variabel kategorik (misal: X, Y, dan Z) dapat dibangun dalam berbagai bentuk model, tergantung pada tingkat interaksi yang ingin dimasukkan. Berikut adalah beberapa alternatif model log-linear yang umum digunakan: 1. Model Saturated \[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} + \lambda^{XYZ}_{ijk} \] Model ini memuat semua kemungkinan interaksi, termasuk interaksi tiga arah (X, Y, dan Z).
Model Homogen \[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} \] Model ini hanya mengakomodasi interaksi dua arah antar variabel tanpa memasukkan interaksi tiga arah.
Model Conditional
Conditional pada X: \[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} \] Memuat interaksi X dengan Y dan X dengan Z.
Conditional pada Y: \[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{YZ}_{jk} \] Memuat interaksi Y dengan X dan Y dengan Z.
Conditional pada Z: \[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} \] Memuat interaksi Z dengan X dan Z dengan Y.
Independensi antara X & Y: \[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{XY}_{ij} \]
Independensi antara X & Z: \[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{XZ}_{ik} \]
Independensi antara Y & Z: \[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{YZ}_{jk} \]
Dalam analisis model log-linear tiga arah, pengujian interaksi dilakukan untuk mengetahui ada atau tidaknya interaksi antar variabel. Pengujian ini dilakukan secara bertahap, dimulai dari tingkat interaksi tertinggi ke yang lebih rendah. Untuk model log-linear dengan tiga peubah (X, Y, dan Z), tahapan pengujian meliputi:
Bandingkan model homogenous dengan model conditional.
Bandingkan model conditional dengan model joint independence.
Bandingkan model joint independence dengan model tanpa interaksi.
Setiap tahapan pengujian dilakukan untuk menilai kecocokan model dan menentukan struktur interaksi mana yang paling sesuai dengan data yang diamati.
Tabel berikut menyajikan data dari survei General Social Survey (GSS) tahun 1994 mengenai jenis kelamin responden, tingkat fundamentalisme, dan sikap terhadap hukuman mati untuk kasus pembunuhan. Susun dan interpretasikan model log-linear paling sederhana (paling parsimonious) untuk data ini. Jelaskan proses yang Anda lakukan dalam menentukan model terbaik serta asosiasi apa saja yang teridentifikasi. Tunjukkan juga bagaimana nilai yang diprediksi dari model menggambarkan asosiasi tersebut.
| Fundamentalism | Jenis Kelamin | Mendukung | Menolak | Total |
|---|---|---|---|---|
| Fundamentalist | Laki-laki | 128 | 32 | 160 |
| Fundamentalist | Perempuan | 123 | 73 | 196 |
| Fundamentalist | Total | 251 | 105 | 356 |
| Moderate | Laki-laki | 182 | 56 | 238 |
| Moderate | Perempuan | 168 | 105 | 273 |
| Moderate | Total | 350 | 161 | 511 |
| Liberal | Laki-laki | 119 | 49 | 168 |
| Liberal | Perempuan | 111 | 70 | 181 |
| Liberal | Total | 230 | 119 | 349 |
Keterangan: - Fundamentalisme: Fundamentalist, Moderate, Liberal - Jenis Kelamin: Laki-laki, Perempuan - Sikap: Mendukung (Favor), Menolak (Oppose) hukuman mati
library("epitools")
library("DescTools")
library("lawstat")# Input data sesuai tabel praktikum
z.fund <- factor(rep(c("1fund", "2mod", "3lib"), each = 4))
x.sex <- factor(rep(c("1M", "2F"), each = 2, times = 3))
y.fav <- factor(rep(c("1fav", "2opp"), times = 6))
counts <- c(128, 32, 123, 73, 182, 56, 168, 105, 119, 49, 111, 70)
data <- data.frame(
Fundamentalisme = z.fund,
Jenis_Kelamin = x.sex,
Sikap = y.fav,
Frekuensi = counts
)
data## Fundamentalisme Jenis_Kelamin Sikap Frekuensi
## 1 1fund 1M 1fav 128
## 2 1fund 1M 2opp 32
## 3 1fund 2F 1fav 123
## 4 1fund 2F 2opp 73
## 5 2mod 1M 1fav 182
## 6 2mod 1M 2opp 56
## 7 2mod 2F 1fav 168
## 8 2mod 2F 2opp 105
## 9 3lib 1M 1fav 119
## 10 3lib 1M 2opp 49
## 11 3lib 2F 1fav 111
## 12 3lib 2F 2opp 70Membentuk Tabel Kontingensi 3 Arah
table3d <- xtabs(Frekuensi ~ Fundamentalisme + Jenis_Kelamin + Sikap, data = data)
ftable(table3d)## Sikap 1fav 2opp
## Fundamentalisme Jenis_Kelamin
## 1fund 1M 128 32
## 2F 123 73
## 2mod 1M 182 56
## 2F 168 105
## 3lib 1M 119 49
## 2F 111 70Analisis Log-Linear: Tahap Pemodelan Kita akan memodelkan tabel ini menggunakan beberapa model log-linear dan membandingkan kecocokan model (parsimonious model):
Penentuan Kategori Referensi
##=============================##
# Penentuan kategori reference
##=============================##
x.sex <- relevel(x.sex, ref = "2F")
y.fav <- relevel(y.fav, ref = "2opp")
z.fund <- relevel(z.fund, ref = "3lib")Model Saturated memasukkan semua interaksi hingga tiga arah: \[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} + \lambda^{XYZ}_{ijk} \]
# Model saturated
model_saturated <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
x.sex*y.fav + x.sex*z.fund + y.fav*z.fund +
x.sex*y.fav*z.fund,
family = poisson(link = "log"))
summary(model_saturated)##
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav +
## x.sex * z.fund + y.fav * z.fund + x.sex * y.fav * z.fund,
## family = poisson(link = "log"))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 4.248495 0.119523 35.545 < 2e-16 ***
## x.sex1M -0.356675 0.186263 -1.915 0.05551 .
## y.fav1fav 0.461035 0.152626 3.021 0.00252 **
## z.fund1fund 0.041964 0.167285 0.251 0.80193
## z.fund2mod 0.405465 0.154303 2.628 0.00860 **
## x.sex1M:y.fav1fav 0.426268 0.228268 1.867 0.06185 .
## x.sex1M:z.fund1fund -0.468049 0.282210 -1.659 0.09721 .
## x.sex1M:z.fund2mod -0.271934 0.249148 -1.091 0.27507
## y.fav1fav:z.fund1fund 0.060690 0.212423 0.286 0.77511
## y.fav1fav:z.fund2mod 0.008969 0.196903 0.046 0.96367
## x.sex1M:y.fav1fav:z.fund1fund 0.438301 0.336151 1.304 0.19227
## x.sex1M:y.fav1fav:z.fund2mod 0.282383 0.301553 0.936 0.34905
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 2.4536e+02 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: 5.9952e-15 on 0 degrees of freedom
## AIC: 100.14
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 3exp(model_saturated$coefficients)## (Intercept) x.sex1M
## 70.0000000 0.7000000
## y.fav1fav z.fund1fund
## 1.5857143 1.0428571
## z.fund2mod x.sex1M:y.fav1fav
## 1.5000000 1.5315315
## x.sex1M:z.fund1fund x.sex1M:z.fund2mod
## 0.6262231 0.7619048
## y.fav1fav:z.fund1fund y.fav1fav:z.fund2mod
## 1.0625694 1.0090090
## x.sex1M:y.fav1fav:z.fund1fund x.sex1M:y.fav1fav:z.fund2mod
## 1.5500717 1.3262868Model yang digunakan adalah model log-linear saturated dengan semua efek utama, interaksi dua arah, dan interaksi tiga arah. Model ini memodelkan hubungan antara jenis kelamin (x.sex), sikap terhadap hukuman mati (y.fav), dan tingkat fundamentalisme (z.fund) terhadap frekuensi responden. Dengan hasil estimasi koefisien nya sebagai berikut:
| Parameter | Estimate | Std. Error | z value | Pr(>z) |
|---|---|---|---|---|
| (Intercept) | 4.25 | 0.12 | 35.55 | <2e-16*** |
| x.sex1M | -0.36 | 0.19 | -1.92 | 0.055 . |
| y.fav1fav | 0.46 | 0.15 | 3.02 | 0.0025 ** |
| z.fund1fund | 0.04 | 0.17 | 0.25 | 0.80 |
| z.fund2mod | 0.41 | 0.15 | 2.63 | 0.0086 ** |
| x.sex1M:y.fav1fav | 0.43 | 0.23 | 1.87 | 0.062 . |
| x.sex1M:z.fund1fund | -0.47 | 0.28 | -1.66 | 0.097 . |
| x.sex1M:z.fund2mod | -0.27 | 0.25 | -1.09 | 0.28 |
| y.fav1fav:z.fund1fund | 0.06 | 0.21 | 0.29 | 0.78 |
| y.fav1fav:z.fund2mod | 0.01 | 0.20 | 0.05 | 0.96 |
| x.sex1M:y.fav1fav:z.fund1fund | 0.44 | 0.34 | 1.30 | 0.19 |
| x.sex1M:y.fav1fav:z.fund2mod | 0.28 | 0.30 | 0.94 | 0.35 |
Interpretasi Koefisien:
(Intercept): Rata-rata log jumlah kasus untuk kategori referensi (Perempuan, Menolak hukuman mati, Liberal) adalah 4.25 (atau μ≈70 ).
x.sex1M: Laki-laki memiliki expected count sekitar 0.7 kali Perempuan dalam kategori referensi lainnya, namun hanya mendekati signifikansi (p = 0.055).
y.fav1fav: Mereka yang mendukung hukuman mati memiliki expected count sekitar 1.59 kali lipat dibanding yang menolak (signifikan, p = 0.0025).
z.fund1fund: Kelompok Fundamentalist tidak berbeda nyata dari Liberal (exp(0.04)≈1.04; p = 0.80).
z.fund2mod: Kelompok Moderate memiliki expected count 1.5 kali lebih besar dibanding Liberal (signifikan, p = 0.0086).
Interaksi dua & tiga arah: Sebagian besar tidak signifikan (p > 0.05), artinya tidak ada bukti kuat adanya efek gabungan antar variabel.
Goodness-of-Fit:
Residual deviance ≈0 menandakan model saturated benar-benar fit terhadap data (seluruh variasi data dijelaskan oleh model).
AIC = 100.14 dapat digunakan untuk perbandingan dengan model yang lebih sederhana.
Kesimpulan:
Model saturated ini sangat fit dengan data, namun tidak semua parameter/interaksi signifikan.
Efek utama yang paling signifikan adalah:
Sikap mendukung hukuman mati (expected count 1.6x lebih tinggi dari yang menolak)
Kelompok Moderate (expected count 1.5x lebih tinggi dari Liberal)
Tidak ditemukan bukti kuat interaksi dua atau tiga arah yang signifikan.
Catatan Interpretasi:
Nilai exp(coef) menyatakan rasio ekspektasi (expected count ratio) dibandingkan baseline.
Efek positif -> menaikkan expected count; Efek negatif -> menurunkan expected count.
Koefisien signifikan pada p-value < 0.05
Model log-linear homogenous memasukkan semua efek utama dan semua interaksi dua arah, tanpa interaksi tiga arah. Secara matematis, model ini dapat dituliskan sebagai berikut: \[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} \]
# Homogenous Model
model_homogenous <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
x.sex*y.fav + x.sex*z.fund + y.fav*z.fund,
family = poisson(link = "log"))
summary(model_homogenous)##
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav +
## x.sex * z.fund + y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 4.31096 0.10522 40.972 < 2e-16 ***
## x.sex1M -0.51575 0.13814 -3.733 0.000189 ***
## y.fav1fav 0.35707 0.12658 2.821 0.004788 **
## z.fund1fund -0.06762 0.14452 -0.468 0.639854
## z.fund2mod 0.33196 0.13142 2.526 0.011540 *
## x.sex1M:y.fav1fav 0.66406 0.12728 5.217 1.81e-07 ***
## x.sex1M:z.fund1fund -0.16201 0.15300 -1.059 0.289649
## x.sex1M:z.fund2mod -0.08146 0.14079 -0.579 0.562887
## y.fav1fav:z.fund1fund 0.23873 0.16402 1.455 0.145551
## y.fav1fav:z.fund2mod 0.13081 0.14951 0.875 0.381614
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 245.361 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: 1.798 on 2 degrees of freedom
## AIC: 97.934
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 3Pengujian ini menggunakan residual deviance dari kedua model (saturated dan homogenous).
Langkah-Langkah Pengujian: 1. Hipotesis: - H0: Tidak ada interaksi tiga arah (model homogenous sudah cukup) - H1: Ada interaksi tiga arah (model saturated diperlukan)
# Deviance antar model
Deviance.model <- model_homogenous$deviance - model_saturated$deviance
Deviance.model## [1] 1.797977# Derajat bebas = db model homogenous - db model saturated
derajat.bebas <- (model_homogenous$df.residual - model_saturated$df.residual)
derajat.bebas## [1] 2chi.tabel <- qchisq(1 - 0.05, df = derajat.bebas)
chi.tabel## [1] 5.991465Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima H0", "Tolak H0")
Keputusan## [1] "Terima H0"Interpretasi Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0 atau dapat dikatakan bahwa tidak ada interaksi tiga arah antara jenis kelamin, fundamentalisme, dan pendapat mengenai hukuman mati.
Catatan: - Model pengurang adalah model yang lebih lengkap (lebih banyak parameter, df lebih kecil), yaitu model saturated - Derajat bebas dihitung dari selisih derajat bebas model homogenous dan saturated. - Keputusan berdasarkan perbandingan deviance model dengan chi-square tabel.
Rangkuman
Pengujian ada tidaknya interaksi tiga arah (Saturated Model vs Homogenous Model)
Hipotesis
H0: \(\lambda_{ijk}^{XYZ}=0\) (Tidak ada interaksi tiga arah; model yang terbentuk adalah model homogenous) -
H0: \(\lambda_{ijk}^{XYZ}\neq0\) (Tidak ada interaksi tiga arah; model yang terbentuk adalah model homogenous)
Tingkat Signifikansi
\(\alpha=5\%\)
Statistik Uji
\(\Delta\)Deviance = Deviance model homogenous - Deviance model saturated = 1.798 - 0.00 = 1.798
\(db\) = \(db\) model homogenous - \(db\) model saturated = 2 - 0 = 2
Daerah Penolakan
Tolak H0 jika \(\Delta\)Deviance \(\>>\) \(\chi_{0.05,db}^2 = \chi_{0.05,2}^2 = 5.991\)
Keputusan
Karena 1.798 < 5.991, maka terima H0
Interpretasi
Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0 atau dapat dikatakan bahwa tidak ada interaksi tiga arah antara jenis kelamin, fundamentalisme, dan pendapat mengenai hukuman mati.
Model log-linear conditional pada X memasukkan efek utama dan interaksi dua arah antara X dengan Y dan X dengan Z, tanpa interaksi antara Y dengan Z maupun interaksi tiga arah. \[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} \]
# Conditional Association on X
model_conditional_X <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
x.sex*y.fav + x.sex*z.fund,
family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_X)##
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav +
## x.sex * z.fund, family = poisson(link = "log"))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 4.23495 0.08955 47.293 < 2e-16 ***
## x.sex1M -0.52960 0.13966 -3.792 0.000149 ***
## y.fav1fav 0.48302 0.08075 5.982 2.20e-09 ***
## z.fund1fund 0.07962 0.10309 0.772 0.439916
## z.fund2mod 0.41097 0.09585 4.288 1.81e-05 ***
## x.sex1M:y.fav1fav 0.65845 0.12708 5.181 2.20e-07 ***
## x.sex1M:z.fund1fund -0.12841 0.15109 -0.850 0.395405
## x.sex1M:z.fund2mod -0.06267 0.13908 -0.451 0.652274
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 245.3612 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: 3.9303 on 4 degrees of freedom
## AIC: 96.067
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4Pengujian Ada Tidaknya Interaksi Antara Y dan Z (Homogenous Model vs Conditional Association on X)
Hipotesis
H0: \(\lambda_{jk}^{YZ}=0\) (Tidak ada interaksi antara pendapat hukuman mati (Y) dan fundamentalisme (Z)) -
H0: \(\lambda_{jk}^{YZ}\neq0\) (Ada interaksi antara pendapat hukuman mati (Y) dan fundamentalisme (Z))
Tingkat Signifikansi
\(\alpha=5\%\)
Statistik Uji
\(\Delta\)Deviance = Deviance model conditional on X - Deviance model homogenous = 3.903 - 1.798 = 2.132
\(db\) = \(db\) model homogenous - \(db\) model saturated = 4 - 2 = 2
Daerah Penolakan
Tolak H0 jika \(\Delta\)Deviance \(\>>\) \(\chi_{0.05,db}^2 = \chi_{0.05,2}^2 = 5.991\)
Keputusan
Karena 2.132 < 5.991, maka terima H0
Interpretasi
Dengan taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0 atau dapat dikatakan bahwa tidak ada interaksi antara pendapat tentang hukuman mati dan fundamentalisme. Dengan kata lain, model yang terbentuk adalah model tanpa parameter \(\lambda_{jk}^{YZ}\)
# Pengujian hipotesis
# Deviance of Model
Deviance.model <- model_conditional_X$deviance - model_homogenous$deviance # model_conditional_X: conditional on X, model_homogenous: homogenous
Deviance.model## [1] 2.132302# Chi Square tabel dengan alpha = 0.05
derajat.bebas <- (4 - 2)
derajat.bebas## [1] 2chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel## [1] 5.991465Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")
Keputusan## [1] "Terima"Interpretasi Karena nilai Deviance.model = 2.13 lebih kecil dari nilai kritis chi-square tabel = 5.99 (dengan df = 2, alpha = 0.05), maka keputusan uji adalah “Terima”.
Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0, atau dengan kata lain tidak ada interaksi antara pendapat mengenai hukuman mati (Y) dan fundamentalisme (Z). Model yang terbentuk cukup hanya sampai dua interaksi dengan X (conditional on X), sehingga interaksi Y*Z tidak signifikan secara statistik.
Model log-linear conditional pada Y memasukkan efek utama dan interaksi dua arah antara X dengan Y dan Y dengan Z, tanpa interaksi antara X dengan Z maupun interaksi tiga arah. \[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{YZ}_{jk} \]
# Conditional Association on Y
model_conditional_Y <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
x.sex*y.fav + y.fav*z.fund,
family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_Y)##
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav +
## y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 4.33931 0.09919 43.748 < 2e-16 ***
## x.sex1M -0.59345 0.10645 -5.575 2.48e-08 ***
## y.fav1fav 0.37259 0.12438 2.996 0.00274 **
## z.fund1fund -0.12516 0.13389 -0.935 0.34989
## z.fund2mod 0.30228 0.12089 2.500 0.01240 *
## x.sex1M:y.fav1fav 0.65845 0.12708 5.181 2.20e-07 ***
## y.fav1fav:z.fund1fund 0.21254 0.16205 1.312 0.18966
## y.fav1fav:z.fund2mod 0.11757 0.14771 0.796 0.42606
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 245.3612 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: 2.9203 on 4 degrees of freedom
## AIC: 95.057
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4Pengujian Ada Tidaknya Interaksi Antara X dan Z (Homogenous Model vs Conditional Association on Y)
Hipotesis
H0: \(\lambda_{ik}^{XZ}=0\) (Tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z)) -
H0: \(\lambda_{ik}^{XZ}\neq0\) (Ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z))
Tingkat Signifikansi
\(\alpha=5\%\)
Statistik Uji
\(\Delta\)Deviance = Deviance model conditional on Y - Deviance model homogenous = 2.9203 - 1.798 = 1.1223
\(db\) = \(db\) model homogenous - \(db\) model saturated = 4 - 2 = 2
Daerah Penolakan
Tolak H0 jika \(\Delta\)Deviance \(\>>\) \(\chi_{0.05,db}^2 = \chi_{0.05,2}^2 = 5.991\)
Keputusan
Karena 1.1223 < 5.991, maka terima H0
Interpretasi
Dengan taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0 atau dapat dikatakan bahwa tidak ada interaksi antara jenis kelamin dan fundamentalisme. Dengan kata lain, model yang terbentuk adalah model tanpa parameter \(\lambda_{ik}^{XZ}\)
# Deviance of Model
Deviance.model <- model_conditional_Y$deviance - model_homogenous$deviance # model_conditional_Y: conditional on Y, model_homogenous: homogenous
Deviance.model## [1] 1.122315# Chi Square tabel dengan alpha = 0.05
derajat.bebas <- (4 - 2)
derajat.bebas## [1] 2chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel## [1] 5.991465Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")
Keputusan## [1] "Terima"Interpretasi Karena nilai Deviance.model = 1.12 lebih kecil dari nilai kritis chi-square tabel = 5.99 (dengan df = 2, alpha = 0.05), maka keputusan uji adalah “Terima”.
Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0, atau dengan kata lain tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z). Model yang terbentuk cukup hanya sampai dua interaksi dengan Y (conditional on Y), sehingga interaksi X*Z tidak signifikan secara statistik.
Model log-linear conditional pada Z memasukkan efek utama dan interaksi dua arah antara X dengan Z dan Y dengan Z, tanpa interaksi antara X dengan Y maupun interaksi tiga arah. \[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} \]
# Conditional Association on Z
model_conditional_Z <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
x.sex*z.fund + y.fav*z.fund,
family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_Z)##
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * z.fund +
## y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 4.12255 0.10518 39.195 < 2e-16 ***
## x.sex1M -0.07453 0.10713 -0.696 0.487
## y.fav1fav 0.65896 0.11292 5.836 5.36e-09 ***
## z.fund1fund -0.06540 0.15126 -0.432 0.665
## z.fund2mod 0.33196 0.13777 2.410 0.016 *
## x.sex1M:z.fund1fund -0.12841 0.15109 -0.850 0.395
## x.sex1M:z.fund2mod -0.06267 0.13908 -0.451 0.652
## y.fav1fav:z.fund1fund 0.21254 0.16205 1.312 0.190
## y.fav1fav:z.fund2mod 0.11757 0.14771 0.796 0.426
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 245.361 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: 29.729 on 3 degrees of freedom
## AIC: 123.87
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4Pengujian Ada Tidaknya Interaksi Antara X dan Y (Homogenous Model vs Conditional Association on Z)
Hipotesis
H0: \(\lambda_{ij}^{XY}=0\) (Tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y)) -
H0: \(\lambda_{ij}^{XY}\neq0\) (Ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y))
Tingkat Signifikansi
\(\alpha=5\%\)
Statistik Uji
\(\Delta\)Deviance = Deviance model conditional on Y - Deviance model homogenous = 29.729 - 1.798 = 27.931
\(db\) = \(db\) model homogenous - \(db\) model saturated = 3 - 2 = 1
Daerah Penolakan
Tolak H0 jika \(\Delta\)Deviance \(\>>\) \(\chi_{0.05,db}^2 = \chi_{0.05,1}^2 = 3.841\)
Keputusan
Karena 27.931 > 3.841, maka tolak H0
Interpretasi
Dengan taraf nyata 5%, menolak H0 atau dapat dikatakan bahwa ada interaksi antara jenis kelamin dan pendapat tentang hukuman mati. Dengan kata lain, model yang terbentuk adalah model parameter \(\lambda_{ij}^{XY}\)
# Deviance of Model
Deviance.model <- model_conditional_Z$deviance - model_homogenous$deviance # model_conditional_Z: conditional on Z, model_homogenous: homogenous
Deviance.model## [1] 27.93095# Chi Square tabel dengan alpha = 0.05
derajat.bebas <- (3 - 2)
derajat.bebas## [1] 1chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel## [1] 3.841459Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")
Keputusan## [1] "Tolak"Interpretasi Karena nilai Deviance.model = 27.93 jauh lebih besar dari nilai kritis chi-square tabel = 3.84 (dengan df = 1, alpha = 0.05), maka keputusan uji adalah “Tolak”.
Pada taraf nyata 5%, terdapat cukup bukti untuk menolak H0, atau dengan kata lain ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y). Model terbaik yang terbentuk adalah model dengan menyertakan parameter interaksi (conditional on Z).
| Model | Parameter | Deviance | Jumlah Parameter | df | AIC |
|---|---|---|---|---|---|
| Saturated | λ + λᵢˣ + λⱼʸ + λₖᶻ + λᵢⱼˣʸ + λᵢₖˣᶻ + λⱼₖʸᶻ + λᵢⱼₖˣʸᶻ | 0.000 | 12 | 0 | 100.14 |
| Homogenous | λ + λᵢˣ + λⱼʸ + λₖᶻ + λᵢⱼˣʸ + λᵢₖˣᶻ + λⱼₖʸᶻ | 1.798 | 10 | 2 | 97.934 |
| Conditional on X | λ + λᵢˣ + λⱼʸ + λₖᶻ + λᵢⱼˣʸ + λᵢₖˣᶻ | 3.9303 | 8 | 4 | 96.067 |
| Conditional on Y | λ + λᵢˣ + λⱼʸ + λₖᶻ + λᵢⱼˣʸ + λⱼₖʸᶻ | 2.9203 | 8 | 4 | 95.057 |
| Conditional on Z | λ + λᵢˣ + λⱼʸ + λₖᶻ + λᵢₖˣᶻ + λⱼₖʸᶻ | 29.729 | 9 | 3 | 123.87 |
| Interaksi | Pengujian | \(\Delta\)Deviance | \(\Delta\)df | Chi-Square Tabel | Keputusan | Keterangan |
|---|---|---|---|---|---|---|
| XYZ | Saturated vs Homogenous | 1.798 | 2 | 5.991 | Terima H0 | tidak ada interaksi |
| YZ | Conditional on X vs Homogenous | 2.1323 | 2 | 5.991 | Terima H0 | tidak ada interaksi |
| XZ | Conditional on Y vs Homogenous | 1.1223 | 2 | 5.991 | Terima H0 | tidak ada interaksi |
| XY | Conditional on Z vs Homogenous | 27.931 | 1 | 3.841 | Tolak H0 | ada interaksi |
Dari hasil di atas diketahui bahwa asosiasi yang nyata hanya terdapat antara jenis kelamin dan pendapat mengenai hukuman mati. Sehingga, model terbaik adalah:
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{XY}_{ij} \]
Model terbaik adalah model log-linear tanpa interaksi tiga arah dan hanya memuat interaksi dua arah antara jenis kelamin (X) dan sikap terhadap hukuman mati (Y).
Model terbaik dipilih berdasarkan pengujian interaksi yang signifikan, yaitu hanya interaksi dua arah antara jenis kelamin (X) dan sikap terhadap hukuman mati (Y):
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^{X}_i + \lambda^{Y}_j + \lambda^{Z}_k + \lambda^{XY}_{ij} \]
# Model Terbaik
bestmodel <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
x.sex*y.fav,
family = poisson(link = "log"))
summary(bestmodel)##
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav,
## family = poisson(link = "log"))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 4.26518 0.07794 54.721 < 2e-16 ***
## x.sex1M -0.59345 0.10645 -5.575 2.48e-08 ***
## y.fav1fav 0.48302 0.08075 5.982 2.20e-09 ***
## z.fund1fund 0.01986 0.07533 0.264 0.792
## z.fund2mod 0.38130 0.06944 5.491 4.00e-08 ***
## x.sex1M:y.fav1fav 0.65845 0.12708 5.181 2.20e-07 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 245.3612 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: 4.6532 on 6 degrees of freedom
## AIC: 92.79
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4| Model | AIC |
|---|---|
| Saturated | 100.14 |
| Homogenous | 97.934 |
| Conditional on X | 96.067 |
| Conditional on Y | 95.057 |
| Conditional on Z | 123.87 |
| Model Terbaik | 92.79 |
Dari hasil di atas, terlihat bahwa model terbaik memiliki AIC yang lebih rendah dibandingkan dengan model lainnya seperti saturated, homogennous, dan conditional model.
# Interpretasi koefisien model terbaik
data.frame(
koef = bestmodel$coefficients,
exp_koef = exp(bestmodel$coefficients)
)## koef exp_koef
## (Intercept) 4.26517861 71.1776316
## x.sex1M -0.59344782 0.5524194
## y.fav1fav 0.48302334 1.6209677
## z.fund1fund 0.01985881 1.0200573
## z.fund2mod 0.38129767 1.4641834
## x.sex1M:y.fav1fav 0.65845265 1.9318008| Koefisien | Nilai Koefisien | Exp(Nilai Koefisien) |
|---|---|---|
| Intercept | 4.265 | 71.1776 |
| x.sex1M | -0.5934 | 0.5524 |
| y.fav1fav | 0.483 | 1.621 |
| z.fund1fund | 0.0198 | 1.02 |
| z.fund2mod | 0.3813 | 1.464 |
| x.sex1M:y.fav1fav | 0.685 | 1.9318 |
\(\exp(\lambda_{1M}^X) = \exp(-0.593) = 0.552 \rightarrow nilai odds\)
Tanpa memperhatikan fundamentalisme dan pendapat mengenai hukuman
mati, peluang seseorang berjenis kelamin laki-laki adalah 0,55 kali
dibandingkan perempuan.
Atau, peluang seseorang berjenis kelamin perempuan adalah \(1/0.55 = 1.81\) kali dibandingkan
laki-laki.
\(\exp(\lambda_{1fav}^Y) = \exp(0.483) = 1.621 \rightarrow nilai odds\)
Tanpa memperhatikan jenis kelamin dan fundamentalisme, peluang seseorang mendukung hukuman mati adalah 1,621 kali dibandingkan yang menolak.
\(\exp(\lambda_{1fund}^Z) = \exp(0.01986) = 1.02 \rightarrow nilai odds\)
Tanpa memperhatikan jenis kelamin dan pendapat mengenai hukuman mati, peluang seseorang fundamentalist adalah 1,02 kali dibandingkan liberal.
\(\exp(\lambda_{2mod}^Z) = \exp(0.381) = 1.464 \rightarrow nilai odds\)
Tanpa memperhatikan jenis kelamin dan pendapat mengenai hukuman mati, peluang seseorang moderate adalah 1,464 kali dibandingkan liberal.
\(\exp(\lambda_{1M,1fav}^XY) = \exp(0.658) = 1.932 \rightarrow nilai odds ratio\)
Tanpa memperhatikan fundamentalisme, odds mendukung hukuman mati (dibandingkan menolak) jika dia laki-laki adalah 1,932 kali dibandingkan odds yang sama jika dia perempuan.
Secara manual, nilai fitted value diperoleh dengan cara sebagai berikut:
\[\begin{align*} \\ \hat{\mu}_{111} &= \exp\left( \lambda + \lambda^{x}_{1m} + \lambda^{y}_{1fav} + \lambda^{z}_{fund} + \lambda^{xy}_{1m,1fav} \right) \\ \\ &= \exp\left( 4.265 - 0.593 + 0.483 + 0.01986 + 0.658 \right) \\ \\ &= \exp(4.833) = 125.595 \\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} \\ \hat{\mu}_{112} &= \exp\left( \lambda + \lambda^{x}_{1m} + \lambda^{y}_{1fav} + \lambda^{z}_{2mod} + \lambda^{xy}_{1m,1fav} \right) \\ \\ &= \exp\left( 4.265 - 0.593 + 0.483 + 0.381 + 0.658 \right) \\ \\ &= \exp(5.195) = 180.279 \\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} \\ \hat{\mu}_{113} &= \exp\left( \lambda + \lambda^{x}_{1m} + \lambda^{y}_{1fav} + \lambda^{z}_{3lib} + \lambda^{xy}_{1m,1fav} \right) \\ \\ &= \exp\left( 4.265 - 0.593 + 0.483 + 0 + 0.658 \right) \\ \\ &= \exp(4.813) = 123.126 \\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} \\ \hat{\mu}_{121} &= \exp\left( \lambda + \lambda^{x}_{1m} + \lambda^{y}_{2opp} + \lambda^{z}_{fund} + \lambda^{xy}_{1m,2opp} \right) \\ \\ &= \exp\left( 4.265 - 0.593 + 0 + 0.01986 + 0 \right) \\ \\ &= \exp(3.692) = 40.109 \\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} \\ \hat{\mu}_{122} &= \exp\left( \lambda + \lambda^{x}_{1m} + \lambda^{y}_{2opp} + \lambda^{z}_{2mod} + \lambda^{xy}_{1m,2opp} \right) \\ \\ &= \exp\left( 4.265 - 0.593 + 0 + 0.381 + 0 \right) \\ \\ &= \exp(4.053) = 57.572 \\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} \\ \hat{\mu}_{123} &= \exp\left( \lambda + \lambda^{x}_{1m} + \lambda^{y}_{2opp} + \lambda^{z}_{3lib} + \lambda^{xy}_{1m,2opp} \right) \\ \\ &= \exp\left( 4.265 - 0.593 + 0 + 0 + 0 \right) \\ \\ &= \exp(3.672) = 39.320 \\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} \\ \hat{\mu}_{211} &= \exp\left( \lambda + \lambda^{x}_{2f} + \lambda^{y}_{1fav} + \lambda^{z}_{fund} + \lambda^{xy}_{2f,1fav} \right) \\ \\ &= \exp\left( 4.265 + 0 + 0.483 + 0.01986 + 0 \right) \\ \\ &= \exp(4.768) = 117.691 \\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} \\ \hat{\mu}_{212} &= \exp\left( \lambda + \lambda^{x}_{2f} + \lambda^{y}_{1fav} + \lambda^{z}_{2mod} + \lambda^{xy}_{2f,1fav} \right) \\ \\ &= \exp\left( 4.265 + 0 + 0.483 + 0.381 + 0 \right) \\ \\ &= \exp(5.1295) = 168.933 \\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} \\ \hat{\mu}_{213} &= \exp\left( \lambda + \lambda^{x}_{2f} + \lambda^{y}_{1fav} + \lambda^{z}_{3lib} + \lambda^{xy}_{2f,1fav} \right) \\ \\ &= \exp\left( 4.265 + 0 + 0.483 + 0 + 0 \right) \\ \\ &= \exp(4.748) = 115.377 \\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} \\ \hat{\mu}_{221} &= \exp\left( \lambda + \lambda^{x}_{2f} + \lambda^{y}_{2opp} + \lambda^{z}_{fund} + \lambda^{xy}_{2f,2opp} \right) \\ \\ &= \exp\left( 4.265 + 0 + 0 + 0.01986 + 0 \right) \\ \\ &= \exp(4.285) = 72.605 \\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} \\ \hat{\mu}_{222} &= \exp\left( \lambda + \lambda^{x}_{2f} + \lambda^{y}_{2opp} + \lambda^{z}_{2mod} + \lambda^{xy}_{2f,2opp} \right) \\ \\ &= \exp\left( 4.265 + 0 + 0 + 0.381 + 0 \right) \\ \\ &= \exp(4.646) = 104.217 \\ \end{align*}\]
\[\begin{align*} \\ \hat{\mu}_{223} &= \exp\left( \lambda + \lambda^{x}_{2f} + \lambda^{y}_{2opp} + \lambda^{z}_{3lib} + \lambda^{xy}_{2f,2opp} \right) \\ \\ &= \exp\left( 4.265 + 0 + 0 + 0 + 0 \right) \\ \\ &= \exp(4.265) = 71.178 \\ \end{align*}\]
Keterangan: Nilai \(\hat{\mu}_{ijk}\) akan sama apapun referensi dari kategori peubahnya yang digunakan.
Dengan menggunakan R:
# Fitted values dari model terbaik
data.frame(
Fund = z.fund,
sex = x.sex,
favor = y.fav,
counts = counts,
fitted = bestmodel$fitted.values
)## Fund sex favor counts fitted
## 1 1fund 1M 1fav 128 125.59539
## 2 1fund 1M 2opp 32 40.10855
## 3 1fund 2F 1fav 123 117.69079
## 4 1fund 2F 2opp 73 72.60526
## 5 2mod 1M 1fav 182 180.27878
## 6 2mod 1M 2opp 56 57.57155
## 7 2mod 2F 1fav 168 168.93257
## 8 2mod 2F 2opp 105 104.21711
## 9 3lib 1M 1fav 119 123.12582
## 10 3lib 1M 2opp 49 39.31990
## 11 3lib 2F 1fav 111 115.37664
## 12 3lib 2F 2opp 70 71.17763