Tugas Analisis Log Linear Poisson
Farhan Alkarimi
140610230028
Model log-linier adalah bentuk khusus dari Generalized Linear Model (GLM) yang digunakan pada frekuensi sel dalam tabel kontingensi dan mengasumsikan distribusi Poisson. Tidak seperti regresi logistik, model log-linier tidak menetapkan variabel mana yang dependen dan mana yang independen, karena seluruh variabel diperlakukan secara simetris. Model ini lebih cocok ketika tujuan analisis adalah untuk memahami struktur asosiasi atau independensi antar variabel, bukan untuk prediksi.
Struktur model log-linier ditentukan berdasarkan efek utama dari masing-masing variabel serta interaksi di antara variabel-variabel tersebut. Misalnya, dalam tabel kontingensi tiga arah (misalnya: jenis kelamin, status merokok, dan penyakit paru), model log-linier dapat membedakan apakah interaksi dua variabel cukup menjelaskan data, ataukah diperlukan interaksi tiga arah untuk menangkap struktur asosiasinya. Penyesuaian model dapat dilakukan menggunakan metode likelihood ratio test untuk membandingkan model sederhana dengan model lebih kompleks.
Di sisi lain, regresi logistik adalah pendekatan paling umum ketika terdapat satu variabel kategorik yang secara eksplisit dianggap sebagai variabel dependen (misalnya, kejadian penyakit: ya/tidak), dan satu atau lebih variabel kategorik atau numerik sebagai prediktor. Model ini memodelkan logit dari probabilitas kejadian (yaitu log odds), dan sangat berguna dalam studi observasional dan eksperimental untuk menjelaskan atau memprediksi peluang suatu outcome. Regresi logistik juga memiliki ekstensi untuk outcome kategorik lebih dari dua kelas, seperti regresi logistik multinomial dan regresi logistik ordinal.
Tabel Kontingensi
Tabel Kontingensi menyajikan frekuensi dari kombinasi kategori variabel. Contoh
table_data <- matrix(c(30, 20, 50, 70), nrow=2,
dimnames = list(Obat = c("Timolol", "Placebo"),
Serangan = c("Ya", "Tidak")))
table_data## Serangan
## Obat Ya Tidak
## Timolol 30 50
## Placebo 20 70Model Log Linear
Model loglinear memodelkan logaritma dari ekspektasi frekuensi sel dalam tabel kontingensi.
\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda^A_i + \lambda^B_j + \lambda^{AB}_{ij} \]
Model ini cocok untuk menyelidiki asosiasi dan independensi antar variabel. Tidak ada membedakan secara jelas mana yang variabel respon mana penjelas serta umum digunakan pada tabel multi dimensi.
library(MASS)
loglm(~ Obat * Serangan, data = table_data)## Call:
## loglm(formula = ~Obat * Serangan, data = table_data)
##
## Statistics:
## X^2 df P(> X^2)
## Likelihood Ratio 0 0 1
## Pearson 0 0 1Model Regresi Logistik
Ini digunakan untuk data respon biner dengan
\[ \log\left(\frac{p}{1 - p}\right) = \beta_0 + \beta_1 x \]
Model ini bertujuan untuk memprediksi peluang suatu outcome dan sering digunakan pada studi observasional atau eksperimental.
data_glm <- data.frame(
Serangan = c(1, 0, 1, 0),
Obat = factor(c("Timolol", "Timolol", "Placebo", "Placebo")),
Frek = c(30, 20, 50, 70)
)
model_logit <- glm(Serangan ~ Obat, weights = Frek, family = binomial, data = data_glm)
summary(model_logit)##
## Call:
## glm(formula = Serangan ~ Obat, family = binomial, data = data_glm,
## weights = Frek)
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -0.3365 0.1852 -1.817 0.0692 .
## ObatTimolol 0.7419 0.3430 2.163 0.0305 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 235.08 on 3 degrees of freedom
## Residual deviance: 230.31 on 2 degrees of freedom
## AIC: 234.31
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4Perbandingan Ketika Pendekatan
| Aspek | Tabel Kontingensi | Model Loglinear | Regresi Logistik |
|---|---|---|---|
| Tujuan | Deskripsi frekuensi | Deteksi asosiasi | Prediksi probabilitas |
| Variabel dependen | Tidak ada | Tidak ada (simetris) | Ada (eksplisit) |
| Distribusi | Tidak diasumsikan | Poisson (frekuensi sel) | Binomial (probabilitas) |
| Bentuk Model | Tidak ada | GLM: log(mu) ~ efek | GLM: logit(p) ~ prediktor |
| Cocok untuk | Eksplorasi awal | Tabel > 2 variabel | Studi prediktif |
Tabel kontingensi menyajikan frekuensi dari kombinasi kategori antar dua atau lebih variabel. Misal:
# Contoh tabel 2x2
matrix(c(30, 20, 50, 70), nrow=2,
dimnames = list(Obat = c("Timolol", "Placebo"),
Serangan = c("Ya", "Tidak")))## Serangan
## Obat Ya Tidak
## Timolol 30 50
## Placebo 20 70Model log-linier untuk tabel I x J dapat dituliskan:
\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda^T_i + \lambda^R_j + \lambda^{TR}_{ij} \]
Model saturated atau model penuh menyertakan seluruh efek utama dan interaksi sehingga cocok sempurna terhadap data dan tidak mengasumsikan independensi antar variabel
Contoh formulasi untuk tabel 2x2:
# Data
library(MASS)
data <- matrix(c(35, 65, 45, 55), nrow=2, byrow=TRUE)
dimnames(data) <- list(Obat = c("Timolol", "Placebo"), Serangan = c("Ya", "Tidak"))
ftable(data)## Serangan Ya Tidak
## Obat
## Timolol 35 65
## Placebo 45 55Model saturated dapat dipasang dengan loglm dari
package {MASS}:
model_saturated <- loglm(~ Obat * Serangan, data = data)
summary(model_saturated)## Formula:
## ~Obat * Serangan
## attr(,"variables")
## list(Obat, Serangan)
## attr(,"factors")
## Obat Serangan Obat:Serangan
## Obat 1 0 1
## Serangan 0 1 1
## attr(,"term.labels")
## [1] "Obat" "Serangan" "Obat:Serangan"
## attr(,"order")
## [1] 1 1 2
## attr(,"intercept")
## [1] 1
## attr(,"response")
## [1] 0
## attr(,".Environment")
## <environment: R_GlobalEnv>
##
## Statistics:
## X^2 df P(> X^2)
## Likelihood Ratio 0 0 1
## Pearson 0 0 1Model independen mengasumsikan bahwa tidak ada interaksi antara variabel:
\[ \log(\mu_{ij}) = \mu + \lambda^T_i + \lambda^R_j \]
Model ini menguji hipotesis bahwa variabel X dan Y saling independen.
model_indep <- loglm(~ Obat + Serangan, data = data)
summary(model_indep)## Formula:
## ~Obat + Serangan
## attr(,"variables")
## list(Obat, Serangan)
## attr(,"factors")
## Obat Serangan
## Obat 1 0
## Serangan 0 1
## attr(,"term.labels")
## [1] "Obat" "Serangan"
## attr(,"order")
## [1] 1 1
## attr(,"intercept")
## [1] 1
## attr(,"response")
## [1] 0
## attr(,".Environment")
## <environment: R_GlobalEnv>
##
## Statistics:
## X^2 df P(> X^2)
## Likelihood Ratio 2.087576 1 0.1485015
## Pearson 2.083333 1 0.1489147Odd Rasio untuk tabel 2x2 :
\[ \text{OR} = \frac{n_{11} \cdot n_{22}}{n_{12} \cdot n_{21}} \]
Interpretasi nilai OR:
OR = 1: Tidak ada asosiasi
OR > 1: Asosiasi positif
OR < 1: Asosiasi negatif
Dalam model saturated, estimasi dilakukan dengan pembatasan seperti sum-to-zero dan estimasi parameter juga dilakukan dengan iterative proportional fitting (IPF)
# Estimasi odds ratio dan log-odds
logOR <- log((data[1,1] * data[2,2]) / (data[1,2] * data[2,1]))
logOR## [1] -0.4183685Perbandingan antar model dilakukan dengan menggunakan statistik deviance (G²) atau likelihood ratio test.
anova(model_indep, model_saturated)## LR tests for hierarchical log-linear models
##
## Model 1:
## ~Obat + Serangan
## Model 2:
## ~Obat * Serangan
##
## Deviance df Delta(Dev) Delta(df) P(> Delta(Dev)
## Model 1 2.087576 1
## Model 2 0.000000 0 2.087576 1 0.1485
## Saturated 0.000000 0 0.000000 0 1.0000Studi dari Agresti (2019) membahas hubungan antara kebahagiaan dan kepercayaan terhadap kehidupan akhirat.
data_survey <- matrix(c(32,190,
113,611,
51,326),
nrow = 3, byrow = TRUE,
dimnames = list(Kebahagiaan = c("Tidak", "Cukup", "Sangat"),
Surga = c("Tidak Percaya", "Percaya")))
ftable(data_survey)## Surga Tidak Percaya Percaya
## Kebahagiaan
## Tidak 32 190
## Cukup 113 611
## Sangat 51 326loglm(~ Kebahagiaan + Surga, data = data_survey)## Call:
## loglm(formula = ~Kebahagiaan + Surga, data = data_survey)
##
## Statistics:
## X^2 df P(> X^2)
## Likelihood Ratio 0.8911136 2 0.6404675
## Pearson 0.8836760 2 0.6428538P value untuk kedua uji jauh lebih besar dari 0,05 yang berarti tidak ada bukti untuk menolak hipotesis null. Artinya tidak ada hubungan secara statstik antara kebahagiaan dengan kepercayaan terhadap surga.
Model log-linear adalah model yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara dua atau lebih variabel kategorik yang disajikan dalam tabel kontingensi. Model ini mengasumsikan bahwa logaritma dari nilai ekspektasi frekuensi sel (μijμij) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan efek variabel dan (bila perlu) interaksinya. Untuk tabel 2x2:
\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda^A_i + \lambda^B_j + \lambda^{AB}_{ij} \]
Model log-linear digunakan untuk memodelkan frekuensi (count) pada tabel kontingensi dan menguji asosiasi antar variabel kategorik, tanpa menganggap ada variabel respon dan prediktor.
Model regresi logistik digunakan untuk memodelkan probabilitas kejadian suatu outcome (biner) berdasarkan satu atau lebih prediktor (bisa kategorik maupun kontinu).
Sistem Persamaan Log Linear dan constraint sum to zero
\[ \begin{aligned} \log(\mu_{11}) &= \lambda + \lambda^A_1 + \lambda^B_1 + \lambda^{AB}_{11} \\ \log(\mu_{12}) &= \lambda + \lambda^A_1 + \lambda^B_2 + \lambda^{AB}_{12} \\ \log(\mu_{21}) &= \lambda + \lambda^A_2 + \lambda^B_1 + \lambda^{AB}_{21} \\ \log(\mu_{22}) &= \lambda + \lambda^A_2 + \lambda^B_2 + \lambda^{AB}_{22} \\ \\ \lambda^A_1 + \lambda^A_2 &= 0 \\ \lambda^B_1 + \lambda^B_2 &= 0 \\ \lambda^{AB}_{11} + \lambda^{AB}_{12} + \lambda^{AB}_{21} + \lambda^{AB}_{22} &= 0 \end{aligned} \]
Rumus estimasi parameter dengan sum to zero constraint
\[ \lambda^A_1 = \frac{1}{2} \left[ (\log \mu_{11} + \log \mu_{12}) - (\log \mu_{21} + \log \mu_{22}) \right] \]
\[ \lambda^B_1 = \frac{1}{2} \left[ (\log \mu_{11} + \log \mu_{21}) - (\log \mu_{12} + \log \mu_{22}) \right] \]
\[ \lambda^{AB}_{12} = \frac{1}{4} \left[ \log \mu_{12} - \log \mu_{11} - \log \mu_{22} + \log \mu_{21} \right] \]
Diberikan data:
| Merokok | Sakit | Sehat |
|---|---|---|
| Ya | 30 | 20 |
| Tidak | 10 | 40 |
model log linearnya adalah
\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda^T_i + \lambda^R_j + \lambda^{TR}_{ij} \]
dengan constraint sum to zero :
\[ \sum_i \lambda^A_i = 0 \] \[ \sum_j \lambda^B_j = 0 \]
\[ \sum_{i,j} \lambda^{AB}_{ij} = 0 \]
Misal
A1 = Merokok (Ya), A2 = Tidak
B1 = Sakit, B2 = Sehat
Observasi:
n11=30, n12=20n
n21=10, n22=40n
\[ \begin{aligned} \log(\mu_{11}) &= \lambda + \lambda^A_1 + \lambda^B_1 + \lambda^{AB}_{11} \\ \log(\mu_{12}) &= \lambda + \lambda^A_1 + \lambda^B_2 + \lambda^{AB}_{12} \\ \log(\mu_{21}) &= \lambda + \lambda^A_2 + \lambda^B_1 + \lambda^{AB}_{21} \\ \log(\mu_{22}) &= \lambda + \lambda^A_2 + \lambda^B_2 + \lambda^{AB}_{22} \\ \\ \lambda^A_1 + \lambda^A_2 &= 0 \\ \lambda^B_1 + \lambda^B_2 &= 0 \\ \lambda^{AB}_{11} + \lambda^{AB}_{12} + \lambda^{AB}_{21} + \lambda^{AB}_{22} &= 0 \end{aligned} \]
Langkah-langkah:
\[ \lambda = \frac{1}{4} \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \log(n_{ij}) = \frac{1}{4} \big[ \log(30) + \log(20) + \log(10) + \log(40) \big] = 3.0971 \]
\[ \begin{aligned} \lambda^A_1 &= \frac{1}{2} \big[ (\log 30 + \log 20) - (\log 10 + \log 40) \big] \\ &= \frac{1}{2} \big[ (3.4012 + 2.9957) - (2.3026 + 3.6889) \big] \\ &= \frac{1}{2} (6.3969 - 5.9915) \\ &= \frac{1}{2} (0.4054) \\ &= 0.2027 \\ \lambda^A_2 &= -0.2027 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda^B_1 &= \frac{1}{2} \big[ (\log 30 + \log 10) - (\log 20 + \log 40) \big] \\ &= \frac{1}{2} \big[ (3.4012 + 2.3026) - (2.9957 + 3.6889) \big] \\ &= \frac{1}{2} (5.7038 - 6.6846) \\ &= \frac{1}{2} (-0.9808) \\ &= -0.4904 \\ \lambda^B_2 &= +0.4904 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \lambda^{AB}_{11} &= \frac{1}{4} \big[ \log(30) - \log(20) - \log(10) + \log(40) \big] \\ &= \frac{1}{4} \big[ 3.4012 - 2.9957 - 2.3026 + 3.6889 \big] \\ &= \frac{1}{4} (1.7918) \\ &= 0.4479 \\ \lambda^{AB}_{12} &= -\lambda^{AB}_{11} = -0.4479 \\ \lambda^{AB}_{21} &= -0.4479 \\ \lambda^{AB}_{22} &= +0.4479 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \text{OR} &= \frac{n_{11} n_{22}}{n_{12} n_{21}} = \frac{30 \times 40}{20 \times 10} = \frac{1200}{200} = 6 \end{aligned} \]
Log odds ratio:
\[ \log(\text{OR}) = \log(6) = 1.7918 \] Standard error (SE):
\[ \begin{aligned} SE &= \sqrt{\frac{1}{n_{11}} + \frac{1}{n_{12}} + \frac{1}{n_{21}} + \frac{1}{n_{22}}} \\ &= \sqrt{\frac{1}{30} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10} + \frac{1}{40}} \\ &= \sqrt{0.0333 + 0.05 + 0.1 + 0.025} \\ &= \sqrt{0.2083} \\ &= 0.4564 \end{aligned} \]
95% Confidence Interval for log(OR):
\[ \begin{aligned} \log(\text{OR}) \pm 1.96 \times SE &= 1.7918 \pm 1.96 \times 0.4564 \\ &= (1.7918 - 0.895), (1.7918 + 0.895) \\ &= (0.8968, 2.6868) \end{aligned} \]
Back-transform to get CI for OR:
\[ \begin{aligned} \text{Lower} &= \exp(0.8968) = 2.452 \\ \text{Upper} &= \exp(2.6868) = 14.68 \end{aligned} \]
Jadi, OR = 6 (95% CI: 2.45 – 14.68)
# Data 2x2
tabel <- matrix(c(30, 20, 10, 40), nrow = 2, byrow = TRUE)
colnames(tabel) <- c("Sakit", "Sehat")
rownames(tabel) <- c("Ya", "Tidak")
tabel## Sakit Sehat
## Ya 30 20
## Tidak 10 40data <- as.data.frame(as.table(tabel))
colnames(data) <- c("Merokok", "Status", "Freq")
data## Merokok Status Freq
## 1 Ya Sakit 30
## 2 Tidak Sakit 10
## 3 Ya Sehat 20
## 4 Tidak Sehat 40# Model tanpa interaksi
fit_no_inter <- glm(Freq ~ Merokok + Status, family = poisson, data = data)
summary(fit_no_inter)##
## Call:
## glm(formula = Freq ~ Merokok + Status, family = poisson, data = data)
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 2.996e+00 1.871e-01 16.013 <2e-16 ***
## MerokokTidak 3.892e-10 2.000e-01 0.000 1.000
## StatusSehat 4.055e-01 2.041e-01 1.986 0.047 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 21.288 on 3 degrees of freedom
## Residual deviance: 17.261 on 1 degrees of freedom
## AIC: 43.036
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4# Model dengan interaksi
fit_inter <- glm(Freq ~ Merokok * Status, family = poisson, data = data)
summary(fit_inter)##
## Call:
## glm(formula = Freq ~ Merokok * Status, family = poisson, data = data)
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 3.4012 0.1826 18.629 < 2e-16 ***
## MerokokTidak -1.0986 0.3651 -3.009 0.00262 **
## StatusSehat -0.4055 0.2887 -1.405 0.16015
## MerokokTidak:StatusSehat 1.7918 0.4564 3.926 8.65e-05 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 2.1288e+01 on 3 degrees of freedom
## Residual deviance: 3.9968e-15 on 0 degrees of freedom
## AIC: 27.775
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 3Parameter utama (intercept) menunjukkan rata-rata log frekuensi sel.
Efek “Merokok” dan “Status” menunjukkan perbedaan log frekuensi antar kategori.
Interaksi signifikan menunjukkan adanya asosiasi antara Merokok dan Status.
Nilai log(6) =1.79 itu sama dengan efek interaksi ouput R
Suatu survei dilakukan untuk mengetahui hubungan antara Jenis Kelamin (Laki-laki/Perempuan) dan Kategori BMI (Kurus/Normal/Gemuk):
| Kurus | Normal | Gemuk | |
|---|---|---|---|
| Laki-laki | 12 | 20 | 8 |
| Perempuan | 18 | 24 | 10 |
Bentuk umum model log-linear untuk tabel 2x3 (dengan sum-to-zero constraint):
\[ \log(\mu_{ij}) = \lambda + \lambda^A_i + \lambda^B_j + \lambda^{AB}_{ij} \]
# Membuat data frame dari tabel
tabel2x3 <- matrix(c(12, 20, 8, 18, 24, 10), nrow = 2, byrow = TRUE)
colnames(tabel2x3) <- c("Kurus", "Normal", "Gemuk")
rownames(tabel2x3) <- c("Laki-laki", "Perempuan")
tabel2x3## Kurus Normal Gemuk
## Laki-laki 12 20 8
## Perempuan 18 24 10# Ubah menjadi data.frame untuk glm
data2x3 <- as.data.frame(as.table(tabel2x3))
colnames(data2x3) <- c("JenisKelamin", "BMI", "Freq")
data2x3## JenisKelamin BMI Freq
## 1 Laki-laki Kurus 12
## 2 Perempuan Kurus 18
## 3 Laki-laki Normal 20
## 4 Perempuan Normal 24
## 5 Laki-laki Gemuk 8
## 6 Perempuan Gemuk 10# Model log-linear tanpa interaksi (asumsi independen)
fit_no_inter <- glm(Freq ~ JenisKelamin + BMI, family = poisson, data = data2x3)
summary(fit_no_inter)##
## Call:
## glm(formula = Freq ~ JenisKelamin + BMI, family = poisson, data = data2x3)
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 2.5683 0.2179 11.789 <2e-16 ***
## JenisKelaminPerempuan 0.2624 0.2103 1.248 0.2122
## BMINormal 0.3830 0.2368 1.618 0.1058
## BMIGemuk -0.5108 0.2981 -1.713 0.0866 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 13.06443 on 5 degrees of freedom
## Residual deviance: 0.22527 on 2 degrees of freedom
## AIC: 35.26
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 3# Model log-linear dengan interaksi (untuk cek asosiasi)
fit_inter <- glm(Freq ~ JenisKelamin * BMI, family = poisson, data = data2x3)
summary(fit_inter)##
## Call:
## glm(formula = Freq ~ JenisKelamin * BMI, family = poisson, data = data2x3)
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 2.4849 0.2887 8.608 <2e-16 ***
## JenisKelaminPerempuan 0.4055 0.3727 1.088 0.277
## BMINormal 0.5108 0.3651 1.399 0.162
## BMIGemuk -0.4055 0.4564 -0.888 0.374
## JenisKelaminPerempuan:BMINormal -0.2231 0.4802 -0.465 0.642
## JenisKelaminPerempuan:BMIGemuk -0.1823 0.6032 -0.302 0.762
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 1.3064e+01 on 5 degrees of freedom
## Residual deviance: -9.0719e-30 on 0 degrees of freedom
## AIC: 39.034
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 3Model tanpa interaksi: - Jika deviance tidak signifikan, maka Jenis Kelamin dan BMI independen.
Intercept: log frekuensi pada kategori referensi (Laki-laki, Kurus)
Koefisien JenisKelaminPerempuan: perbedaan log-frekuensi antara Perempuan vs Laki-laki (pada Kurus)
Koefisien BMI: perbedaan log-frekuensi kategori BMI (Normal/Gemuk) terhadap Kurus (pada Laki-laki)
Model dengan interaksi:
Contoh interpretasi hasil (misal):
Jika koefisien JenisKelaminPerempuan negatif: proporsi Perempuan pada kategori referensi lebih kecil dibanding Laki-laki.
Jika koefisien BMI_Normal positif: kemungkinan seseorang Normal lebih tinggi daripada Kurus (pada Laki-laki).
Jika model interaksi signifikan, pola distribusi BMI berbeda antara Laki-laki dan Perempuan.
Pada pembahasan sebelumnya, kita telah memahami bahwa salah satu tujuan utama dari penyusunan model log linear adalah untuk mengestimasi parameter-parameter yang menjelaskan hubungan di antara variabel-variabel kategorik.
Pada materi kali ini, kita akan membahas model log linear yang lebih kompleks, yaitu model log linear untuk tabel kontingensi tiga arah. Model ini melibatkan tiga variabel kategorik, sehingga kemungkinan interaksi yang dapat terjadi di dalam model pun menjadi lebih banyak. Dalam konteks ini, interaksi paling tinggi yang dapat dimodelkan adalah interaksi tiga arah, yaitu interaksi yang melibatkan ketiga variabel secara bersamaan.
Model log-linear yang melibatkan tiga variabel kategorik (misal: X, Y, dan Z) dapat dibangun dalam berbagai bentuk model, tergantung pada tingkat interaksi yang ingin dimasukkan. Berikut adalah beberapa alternatif model log-linear yang umum digunakan:
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} + \lambda^{XYZ}_{ijk} \] Model ini memuat semua kemungkinan interaksi, termasuk interaksi tiga arah (X, Y, dan Z).
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} \]
Model ini hanya mengakomodasi interaksi dua arah antar variabel tanpa memasukkan interaksi tiga arah.
Conditional pada X:
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} \]
Memuat interaksi X dengan Y dan X dengan Z.
Conditional pada Y:
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{YZ}_{jk} \] Memuat interaksi Y dengan X dan Y dengan Z.
Conditional pada Z:
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} \]
Memuat interaksi Z dengan X dan Z dengan Y.
Independensi antara X & Y:
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} \]
Independensi antara X & Z:
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XZ}_{ik} \] Z
Independensi antara Y & Z:
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{YZ}_{jk} \] Z
Model Tanpa Interaksi
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k \]
Model ini hanya memasukkan efek utama tanpa interaksi antar variabel.
Dalam analisis model log-linear tiga arah, pengujian interaksi dilakukan untuk mengetahui ada atau tidaknya interaksi antar variabel. Pengujian ini dilakukan secara bertahap, dimulai dari tingkat interaksi tertinggi ke yang lebih rendah. Untuk model log-linear dengan tiga peubah (X, Y, dan Z), tahapan pengujian meliputi:
Pengujian Interaksi Tiga Arah (XYZ):
Pengujian Interaksi Dua Arah (XY, XZ, YZ):
Bandingkan model homogenous dengan model conditional.
Bandingkan model conditional dengan model joint independence.
Bandingkan model joint independence dengan model tanpa interaksi.
Setiap tahapan pengujian dilakukan untuk menilai kecocokan model dan menentukan struktur interaksi mana yang paling sesuai dengan data yang diamati.
Gunakan Program R untuk menyelesaikan soal berikut:
Tabel berikut menyajikan data dari survei General Social Survey (GSS) tahun 1994 mengenai jenis kelamin responden, tingkat fundamentalisme, dan sikap terhadap hukuman mati untuk kasus pembunuhan. Susun dan interpretasikan model log-linear paling sederhana (paling parsimonious) untuk data ini. Jelaskan proses yang Anda lakukan dalam menentukan model terbaik serta asosiasi apa saja yang teridentifikasi. Tunjukkan juga bagaimana nilai yang diprediksi dari model menggambarkan asosiasi tersebut.
| Fundamentalisme | Jenis Kelamin | Mendukung | Menolak | Total |
|---|---|---|---|---|
| Fundamentalist | Laki-laki | 128 | 32 | 160 |
| Fundamentalist | Perempuan | 123 | 73 | 196 |
| Fundamentalist | Total | 251 | 105 | 356 |
| Moderate | Laki-laki | 182 | 56 | 238 |
| Moderate | Perempuan | 168 | 105 | 273 |
| Moderate | Total | 350 | 161 | 511 |
| Liberal | Laki-laki | 119 | 49 | 168 |
| Liberal | Perempuan | 111 | 70 | 181 |
| Liberal | Total | 230 | 119 | 349 |
Keterangan:
Fundamentalisme: Fundamentalist, Moderate, Liberal
Jenis Kelamin: Laki-laki, Perempuan
Sikap: Mendukung (Favor), Menolak (Oppose) hukuman mati
library("epitools")
library("DescTools")## Warning: package 'DescTools' was built under R version 4.4.3library("lawstat")## Warning: package 'lawstat' was built under R version 4.4.3# Input data sesuai tabel praktikum
z.fund <- factor(rep(c("1fund", "2mod", "3lib"), each = 4))
x.sex <- factor(rep(c("1M", "2F"), each = 2, times = 3))
y.fav <- factor(rep(c("1fav", "2opp"), times = 6))
counts <- c(128, 32, 123, 73, 182, 56, 168, 105, 119, 49, 111, 70)
data <- data.frame(
Fundamentalisme = z.fund,
Jenis_Kelamin = x.sex,
Sikap = y.fav,
Frekuensi = counts
)
data## Fundamentalisme Jenis_Kelamin Sikap Frekuensi
## 1 1fund 1M 1fav 128
## 2 1fund 1M 2opp 32
## 3 1fund 2F 1fav 123
## 4 1fund 2F 2opp 73
## 5 2mod 1M 1fav 182
## 6 2mod 1M 2opp 56
## 7 2mod 2F 1fav 168
## 8 2mod 2F 2opp 105
## 9 3lib 1M 1fav 119
## 10 3lib 1M 2opp 49
## 11 3lib 2F 1fav 111
## 12 3lib 2F 2opp 70# Membuat tabel 3d
table3d <- xtabs(Frekuensi ~ Fundamentalisme + Jenis_Kelamin + Sikap, data = data)
ftable(table3d)## Sikap 1fav 2opp
## Fundamentalisme Jenis_Kelamin
## 1fund 1M 128 32
## 2F 123 73
## 2mod 1M 182 56
## 2F 168 105
## 3lib 1M 119 49
## 2F 111 70Analisis Log-Linear: Tahap Pemodelan Kita akan memodelkan tabel ini menggunakan beberapa model log-linear dan membandingkan kecocokan model (parsimonious model):
##=============================##
# Penentuan kategori reference
##=============================##
x.sex <- relevel(x.sex, ref = "2F")
y.fav <- relevel(y.fav, ref = "2opp")
z.fund <- relevel(z.fund, ref = "3lib")Model Saturated Model log-linear saturated memasukkan semua interaksi hingga tiga arah:
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} + \lambda^{XYZ}_{ijk} \]
# Model saturated
model_saturated <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
x.sex*y.fav + x.sex*z.fund + y.fav*z.fund +
x.sex*y.fav*z.fund,
family = poisson(link = "log"))
summary(model_saturated)##
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav +
## x.sex * z.fund + y.fav * z.fund + x.sex * y.fav * z.fund,
## family = poisson(link = "log"))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 4.248495 0.119523 35.545 < 2e-16 ***
## x.sex1M -0.356675 0.186263 -1.915 0.05551 .
## y.fav1fav 0.461035 0.152626 3.021 0.00252 **
## z.fund1fund 0.041964 0.167285 0.251 0.80193
## z.fund2mod 0.405465 0.154303 2.628 0.00860 **
## x.sex1M:y.fav1fav 0.426268 0.228268 1.867 0.06185 .
## x.sex1M:z.fund1fund -0.468049 0.282210 -1.659 0.09721 .
## x.sex1M:z.fund2mod -0.271934 0.249148 -1.091 0.27507
## y.fav1fav:z.fund1fund 0.060690 0.212423 0.286 0.77511
## y.fav1fav:z.fund2mod 0.008969 0.196903 0.046 0.96367
## x.sex1M:y.fav1fav:z.fund1fund 0.438301 0.336151 1.304 0.19227
## x.sex1M:y.fav1fav:z.fund2mod 0.282383 0.301553 0.936 0.34905
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 2.4536e+02 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: 5.9952e-15 on 0 degrees of freedom
## AIC: 100.14
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 3exp(model_saturated$coefficients)## (Intercept) x.sex1M
## 70.0000000 0.7000000
## y.fav1fav z.fund1fund
## 1.5857143 1.0428571
## z.fund2mod x.sex1M:y.fav1fav
## 1.5000000 1.5315315
## x.sex1M:z.fund1fund x.sex1M:z.fund2mod
## 0.6262231 0.7619048
## y.fav1fav:z.fund1fund y.fav1fav:z.fund2mod
## 1.0625694 1.0090090
## x.sex1M:y.fav1fav:z.fund1fund x.sex1M:y.fav1fav:z.fund2mod
## 1.5500717 1.3262868Interpretasi Output Model Saturated ## Interpretasi Hasil Model Saturated
Model yang digunakan adalah model log-linear saturated dengan semua efek utama, interaksi dua arah, dan interaksi tiga arah. Model ini memodelkan hubungan antara jenis kelamin (x.sex), sikap terhadap hukuman mati (y.fav), dan tingkat fundamentalisme (z.fund) terhadap frekuensi responden.
| Parameter | Estimate | Std. Error | z value | Pr(> | z |
|---|---|---|---|---|---|
| (Intercept) | 4.25 | 0.12 | 35.55 | <2e-16*** | 70.00 |
| x.sex1M | -0.36 | 0.19 | -1.92 | 0.055 . | 0.70 |
| y.fav1fav | 0.46 | 0.15 | 3.02 | 0.0025 ** | 1.59 |
| z.fund1fund | 0.04 | 0.17 | 0.25 | 0.80 | 1.04 |
| z.fund2mod | 0.41 | 0.15 | 2.63 | 0.0086 ** | 1.50 |
| x.sex1M:y.fav1fav | 0.43 | 0.23 | 1.87 | 0.062 . | 1.53 |
| x.sex1M:z.fund1fund | -0.47 | 0.28 | -1.66 | 0.097 . | 0.63 |
| x.sex1M:z.fund2mod | -0.27 | 0.25 | -1.09 | 0.28 | 0.76 |
| y.fav1fav:z.fund1fund | 0.06 | 0.21 | 0.29 | 0.78 | 1.06 |
| y.fav1fav:z.fund2mod | 0.01 | 0.20 | 0.05 | 0.96 | 1.01 |
| x.sex1M:y.fav1fav:z.fund1fund | 0.44 | 0.34 | 1.30 | 0.19 | 1.55 |
| x.sex1M:y.fav1fav:z.fund2mod | 0.28 | 0.30 | 0.94 | 0.35 | 1.33 |
(Intercept): Rata-rata log jumlah kasus untuk kategori referensi (Perempuan, Menolak hukuman mati, Liberal) adalah 4.25 (atau μ≈70μ≈70). x.sex1M: Laki-laki memiliki expected count sekitar 0.7 kali Perempuan dalam kategori referensi lainnya, namun hanya mendekati signifikansi (p = 0.055). y.fav1fav: Mereka yang mendukung hukuman mati memiliki expected count sekitar 1.59 kali lipat dibanding yang menolak (signifikan, p = 0.0025). z.fund1fund: Kelompok Fundamentalist tidak berbeda nyata dari Liberal (exp(0.04)≈1.04exp(0.04)≈1.04; p = 0.80). z.fund2mod: Kelompok Moderate memiliki expected count 1.5 kali lebih besar dibanding Liberal (signifikan, p = 0.0086). Interaksi dua & tiga arah: Sebagian besar tidak signifikan (p > 0.05), artinya tidak ada bukti kuat adanya efek gabungan antar variabel.
Residual deviance ≈0≈0 menandakan model saturated benar-benar fit terhadap data (seluruh variasi data dijelaskan oleh model). AIC = 100.14 dapat digunakan untuk perbandingan dengan model yang lebih sederhana.
Model saturated ini sangat fit dengan data, namun tidak semua parameter/interaksi signifikan.
Efek utama yang paling signifikan adalah:
Sikap mendukung hukuman mati (expected count 1.6x lebih tinggi dari yang menolak)
Kelompok Moderate (expected count 1.5x lebih tinggi dari Liberal)
Tidak ditemukan bukti kuat interaksi dua atau tiga arah yang signifikan.
Model yang lebih sederhana (tanpa interaksi tiga arah) perlu dipertimbangkan untuk model final yang lebih parsimonious.
Catatan interpretasi:
Nilai exp(coef) menyatakan rasio
ekspektasi (expected count ratio) dibandingkan
baseline.
Efek positif → menaikkan expected count; Efek negatif → menurunkan expected count.
Koefisien signifikan pada p-value < 0.05.
Model log-linear homogenous memasukkan semua efek utama dan semua interaksi dua arah, tanpa interaksi tiga arah. Secara matematis, model ini dapat dituliskan sebagai berikut:
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} \]
# Homogenous Model
model_homogenous <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
x.sex*y.fav + x.sex*z.fund + y.fav*z.fund,
family = poisson(link = "log"))
summary(model_homogenous)##
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav +
## x.sex * z.fund + y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 4.31096 0.10522 40.972 < 2e-16 ***
## x.sex1M -0.51575 0.13814 -3.733 0.000189 ***
## y.fav1fav 0.35707 0.12658 2.821 0.004788 **
## z.fund1fund -0.06762 0.14452 -0.468 0.639854
## z.fund2mod 0.33196 0.13142 2.526 0.011540 *
## x.sex1M:y.fav1fav 0.66406 0.12728 5.217 1.81e-07 ***
## x.sex1M:z.fund1fund -0.16201 0.15300 -1.059 0.289649
## x.sex1M:z.fund2mod -0.08146 0.14079 -0.579 0.562887
## y.fav1fav:z.fund1fund 0.23873 0.16402 1.455 0.145551
## y.fav1fav:z.fund2mod 0.13081 0.14951 0.875 0.381614
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 245.361 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: 1.798 on 2 degrees of freedom
## AIC: 97.934
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 3Pengujian ini menggunakan residual deviance dari kedua model (saturated dan homogenous).
Hipotesis
H0: Tidak ada interaksi tiga arah (model homogenous sudah cukup)
H1: Ada interaksi tiga arah (model saturated diperlukan)
Hitung Selisih Deviance
# Deviance antar model
Deviance.model <- model_homogenous$deviance - model_saturated$deviance
Deviance.model## [1] 1.797977# Hitung derajat bebas
# Derajat bebas = db model homogenous - db model saturated
derajat.bebas <- (model_homogenous$df.residual - model_saturated$df.residual)
derajat.bebas## [1] 2# Chisquare
chi.tabel <- qchisq(1 - 0.05, df = derajat.bebas)
chi.tabel## [1] 5.991465# Keputusan
Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima H0", "Tolak H0")
Keputusan## [1] "Terima H0"Interpretasi Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0 atau dapat dikatakan bahwa tidak ada interaksi tiga arah antara jenis kelamin, fundamentalisme, dan pendapat mengenai hukuman mati.
Catatan:
Model pengurang adalah model yang lebih lengkap (lebih banyak parameter, df lebih kecil), yaitu model saturated.
Derajat bebas dihitung dari selisih derajat bebas model homogenous dan saturated.
Keputusan berdasarkan perbandingan deviance model dengan chi-square tabel.
Dari perhitungan tersebut, maka dapat diuji hipotesisnya yakni :
Hipotesis
H0 : (Tidak ada interaksi tiga arah; model yang terbentuk adalah model homogenous)
H1 : (Ada interaksi tiga arah; model yang terbentuk adalah model saturated)
Tingkat Signifikansi
α=5%
Statistik Uji
ΔDeviance=Deviance model homogenous−Deviance model saturated
=1.798−0.00
=1.798
db = db model homogenous−db model saturated
=2−0
=2
Daerah Penolakan
Tolak H0 jika ΔDeviance>χ20.05,
db=χ20.05,2
= 5.991
Keputusan
Karena 1.798<5.991, maka terima H0
Interpretasi
Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0 atau dapat dikatakan bahwa tidak ada interaksi tiga arah antara jenis kelamin, fundamentalisme, dan pendapat mengenai hukuman mati.
Catatan Perhitungan Derajat Bebas dan Selisih Deviance
Ingat, dalam membuat selisih deviance, model yang menjadi pengurang adalah model yang lebih lengkap (parameter yang lebih banyak atau derajat bebasnya lebih kecil).
Makin banyak parameter, makin kecil derajat bebasnya, karena:
Cek di output R ada berapa banyak coefficients-nya (termasuk intercept) untuk menghitung derajat bebas yang benar.
Model log-linear conditional pada X memasukkan efek utama dan interaksi dua arah antara X dengan Y dan X dengan Z, tanpa interaksi antara Y dengan Z maupun interaksi tiga arah.
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{XZ}_{ik} \]
# Conditional Association on X
model_conditional_X <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
x.sex*y.fav + x.sex*z.fund,
family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_X)##
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav +
## x.sex * z.fund, family = poisson(link = "log"))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 4.23495 0.08955 47.293 < 2e-16 ***
## x.sex1M -0.52960 0.13966 -3.792 0.000149 ***
## y.fav1fav 0.48302 0.08075 5.982 2.20e-09 ***
## z.fund1fund 0.07962 0.10309 0.772 0.439916
## z.fund2mod 0.41097 0.09585 4.288 1.81e-05 ***
## x.sex1M:y.fav1fav 0.65845 0.12708 5.181 2.20e-07 ***
## x.sex1M:z.fund1fund -0.12841 0.15109 -0.850 0.395405
## x.sex1M:z.fund2mod -0.06267 0.13908 -0.451 0.652274
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 245.3612 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: 3.9303 on 4 degrees of freedom
## AIC: 96.067
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4Pengujian Ada Tidaknya Interaksi Antara Y dan Z (Homogenous Model vs Conditional Association on X)
Hipotesis
H0 : (Tidak ada interaksi antara pendapat hukuman mati (Y) dan fundamentalisme (Z))
H1 : (Ada interaksi antara pendapat hukuman mati (Y) dan fundamentalisme (Z))
Tingkat Signifikansi
α=5%
Statistik Uji
ΔDeviance =Deviance model conditional on X−Deviance model homogenous
=3.903−1.798
=2.132
db =db model conditional on X−db model homogenous
=4−2
=2
Daerah Penolakan
Tolak H0 jika ΔDeviance >χ20.05,2
=5.991
Keputusan
Karena 2.132<5.991, maka terima H0
Kesimpulan
Dengan taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0H0 atau dapat dikatakan bahwa tidak ada interaksi antara pendapat tentang hukuman mati dan fundamentalisme. Dengan kata lain, model yang terbentuk adalah model tanpa parameter λ
# Pengujian hipotesis
# Deviance of Model
Deviance.model <- model_conditional_X$deviance - model_homogenous$deviance # model_conditional_X: conditional on X, model_homogenous: homogenous
Deviance.model## [1] 2.132302Langkah-langkah uji hipotesis menggunakan residual deviance:
# Selisih deviance antar model
Deviance.model <- model_conditional_X$deviance - model_homogenous$deviance
Deviance.model## [1] 2.132302# Chi Square tabel dengan alpha = 0.05
derajat.bebas <- (4 - 2)
derajat.bebas## [1] 2chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel## [1] 5.991465Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")
Keputusan## [1] "Terima"Interpretasi Karena nilai Deviance.model = 2.13 lebih kecil dari nilai kritis chi-square tabel = 5.99 (dengan df = 2, alpha = 0.05), maka keputusan uji adalah “Terima”.
Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0, atau dengan kata lain tidak ada interaksi antara pendapat mengenai hukuman mati (Y) dan fundamentalisme (Z). Model yang terbentuk cukup hanya sampai dua interaksi dengan X (conditional on X), sehingga interaksi Y*Z tidak signifikan secara statistik.
Model log-linear conditional pada Y memasukkan efek utama dan interaksi dua arah antara X dengan Y dan Y dengan Z, tanpa interaksi antara X dengan Z maupun interaksi tiga arah.
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} + \lambda^{YZ}_{jk} \]
# Conditional Association on Y
model_conditional_Y <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
x.sex*y.fav + y.fav*z.fund,
family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_Y)##
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav +
## y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 4.33931 0.09919 43.748 < 2e-16 ***
## x.sex1M -0.59345 0.10645 -5.575 2.48e-08 ***
## y.fav1fav 0.37259 0.12438 2.996 0.00274 **
## z.fund1fund -0.12516 0.13389 -0.935 0.34989
## z.fund2mod 0.30228 0.12089 2.500 0.01240 *
## x.sex1M:y.fav1fav 0.65845 0.12708 5.181 2.20e-07 ***
## y.fav1fav:z.fund1fund 0.21254 0.16205 1.312 0.18966
## y.fav1fav:z.fund2mod 0.11757 0.14771 0.796 0.42606
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 245.3612 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: 2.9203 on 4 degrees of freedom
## AIC: 95.057
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4Pengujian Ada Tidaknya Interaksi antara X dan Z (Homogenous model vs Conditional Association on Y)
Hipotesis
H0 : (Tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z))
H1 : (Ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z))
Tingkat Signifikansi
Statistik Uji
ΔDeviance = Deviance model conditional on Y−Deviance model homogenous
=2.9203−1.798
=1.1223
db =db model conditional on Y−db model homogenous
=4−2
=2
Daerah Penolakan
Tolak H0 jika ΔDeviance>χ20.05,2
=5.991
Keputusan
Kesimpulan
# Deviance of Model
Deviance.model <- model_conditional_Y$deviance - model_homogenous$deviance # model_conditional_Y: conditional on Y, model_homogenous: homogenous
Deviance.model## [1] 1.122315derajat.bebas <- (4 - 2)
derajat.bebas## [1] 2chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel## [1] 5.991465Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")
Keputusan## [1] "Terima"Interpretasi Karena nilai Deviance.model = 1.12 lebih kecil dari nilai kritis chi-square tabel = 5.99 (df = 2, alpha = 0.05), maka keputusan uji adalah “Terima”.
Kesimpulan: Pada taraf nyata 5%, belum cukup bukti untuk menolak H0H0. Artinya, tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan fundamentalisme (Z) yang signifikan secara statistik. Model tanpa parameter λXZikλikXZ sudah cukup baik untuk data ini.
Model log-linear conditional pada Z memasukkan efek utama dan interaksi dua arah antara X dengan Z dan Y dengan Z, tanpa interaksi antara X dengan Y maupun interaksi tiga arah.
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XZ}_{ik} + \lambda^{YZ}_{jk} \]
# Conditional Association on Z
model_conditional_Z <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
x.sex*z.fund + y.fav*z.fund,
family = poisson(link = "log"))
summary(model_conditional_Z)##
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * z.fund +
## y.fav * z.fund, family = poisson(link = "log"))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 4.12255 0.10518 39.195 < 2e-16 ***
## x.sex1M -0.07453 0.10713 -0.696 0.487
## y.fav1fav 0.65896 0.11292 5.836 5.36e-09 ***
## z.fund1fund -0.06540 0.15126 -0.432 0.665
## z.fund2mod 0.33196 0.13777 2.410 0.016 *
## x.sex1M:z.fund1fund -0.12841 0.15109 -0.850 0.395
## x.sex1M:z.fund2mod -0.06267 0.13908 -0.451 0.652
## y.fav1fav:z.fund1fund 0.21254 0.16205 1.312 0.190
## y.fav1fav:z.fund2mod 0.11757 0.14771 0.796 0.426
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 245.361 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: 29.729 on 3 degrees of freedom
## AIC: 123.87
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4Pengujian Ada Tidaknya Interaksi antara X dan Y (Homogenous model vs Conditional Association on Z)
Hipotesis
H0 : (Tidak ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y))
H1 : (Ada interaksi antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y))
Tingkat Signifikansi
Statistik Uji
ΔDeviance= Deviance model conditional on Z−Deviance model homogenous
=29.729−1.798
=27.931
db=db model conditional on Z−db model homogenous
=3−2
=1
Daerah Penolakan
Tolak H0 jika ΔDeviance>χ20.05,1
=3.841
Keputusan
Kesimpulan
# Deviance of Model
Deviance.model <- model_conditional_Z$deviance - model_homogenous$deviance # model_conditional_Z: conditional on Z, model_homogenous: homogenous
Deviance.model## [1] 27.93095derajat.bebas <- (3 - 2)
derajat.bebas## [1] 1chi.tabel <- qchisq((1 - 0.05), df = derajat.bebas)
chi.tabel## [1] 3.841459Keputusan <- ifelse(Deviance.model <= chi.tabel, "Terima", "Tolak")
Keputusan## [1] "Tolak"Interpretasi Karena nilai Deviance.model = 27.93 jauh lebih besar dari nilai kritis chi-square tabel = 3.84 (df = 1, alpha = 0.05), maka keputusan uji adalah “Tolak”.
Kesimpulan: Pada taraf nyata 5%, terdapat bukti yang cukup untuk menolak H0H0. Artinya, ada interaksi yang signifikan antara jenis kelamin (X) dan pendapat tentang hukuman mati (Y). Dengan kata lain, model terbaik yang terbentuk adalah model yang menyertakan parameter interaksi λXYijλijXY.
| Model | Parameter | Deviance | Jumlah Parameter | df | AIC |
|---|---|---|---|---|---|
| Saturated | λ+λXi+λYj+λZk+λXYij+λXZik+λYZjk+λXYZijkλ+λiX+λjY+λkZ+λijXY+λikXZ+λjkYZ+λijkXYZ | 0.00 | 12 | 0 | 100.14 |
| Homogenous | λ+λXi+λYj+λZk+λXYij+λXZik+λYZjkλ+λiX+λjY+λkZ+λijXY+λikXZ+λjkYZ | 1.798 | 10 | 2 | 97.934 |
| Conditional on X | λ+λXi+λYj+λZk+λXYij+λXZikλ+λiX+λjY+λkZ+λijXY+λikXZ | 3.9303 | 8 | 4 | 96.067 |
| Conditional on Y | λ+λXi+λYj+λZk+λXYij+λYZjkλ+λiX+λjY+λkZ+λijXY+λjkYZ | 2.9203 | 8 | 4 | 95.057 |
| Conditional on Z | λ+λXi+λYj+λZk+λXZik+λYZjkλ+λiX+λjY+λkZ+λikXZ+λjkYZ | 29.729 | 9 | 3 | 123.87 |
| Interaksi | Pengujian | ΔΔ deviance | ΔΔ df | Chi-square Tabel | Keputusan | Keterangan |
|---|---|---|---|---|---|---|
| XYZ | Saturated vs Homogenous | 1.798 | 2 | 5.991 | Tidak Tolak H0 | tidak ada interaksi |
| YZ | Conditional on X vs Homogenous | 2.1323 | 2 | 5.991 | Tidak Tolak H0 | tidak ada interaksi |
| XZ | Conditional on Y vs Homogenous | 1.1223 | 2 | 5.991 | Tidak Tolak H0 | tidak ada interaksi |
| XY | Conditional on Z vs Homogenous | 27.931 | 1 | 3.841 | Tolak H0 | ada interaksi |
Dari hasil di atas diketahui bahwa asosiasi yang nyata hanya terdapat antara jenis kelamin dan pendapat mengenai hukuman mati. Sehingga, model terbaik adalah:
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} \]
Model terbaik adalah model log-linear tanpa interaksi tiga arah dan hanya memuat interaksi dua arah antara jenis kelamin dan sikap terhadap hukuman mati.
Model terbaik dipilih berdasarkan pengujian interaksi yang signifikan, yaitu hanya interaksi dua arah antara jenis kelamin (X) dan sikap terhadap hukuman mati (Y):
\[ \log(\mu_{ijk}) = \lambda + \lambda^X_i + \lambda^Y_j + \lambda^Z_k + \lambda^{XY}_{ij} \]
# Model Terbaik
bestmodel <- glm(counts ~ x.sex + y.fav + z.fund +
x.sex*y.fav,
family = poisson(link = "log"))
summary(bestmodel)##
## Call:
## glm(formula = counts ~ x.sex + y.fav + z.fund + x.sex * y.fav,
## family = poisson(link = "log"))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 4.26518 0.07794 54.721 < 2e-16 ***
## x.sex1M -0.59345 0.10645 -5.575 2.48e-08 ***
## y.fav1fav 0.48302 0.08075 5.982 2.20e-09 ***
## z.fund1fund 0.01986 0.07533 0.264 0.792
## z.fund2mod 0.38130 0.06944 5.491 4.00e-08 ***
## x.sex1M:y.fav1fav 0.65845 0.12708 5.181 2.20e-07 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
##
## Null deviance: 245.3612 on 11 degrees of freedom
## Residual deviance: 4.6532 on 6 degrees of freedom
## AIC: 92.79
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4Dari summary model diatas terlihat bahwa best model memiliki AIC yang lebih rendah dibandingkan saturated, homogeneous, dan conditional model
# Interpretasi koefisien model terbaik
data.frame(
koef = bestmodel$coefficients,
exp_koef = exp(bestmodel$coefficients)
)## koef exp_koef
## (Intercept) 4.26517861 71.1776316
## x.sex1M -0.59344782 0.5524194
## y.fav1fav 0.48302334 1.6209677
## z.fund1fund 0.01985881 1.0200573
## z.fund2mod 0.38129767 1.4641834
## x.sex1M:y.fav1fav 0.65845265 1.9318008exp(λX1M)=exp(−0,593)=0,552 → nilai odds
Tanpa memperhatikan fundamentalisme dan pendapat mengenai hukuman mati,
peluang seseorang berjenis kelamin laki-laki adalah 0,55 kali
dibandingkan perempuan.
Atau, peluang seseorang berjenis kelamin perempuan adalah
1/0,55=1,811/0,55=1,81 kali dibandingkan laki-laki.
exp(λY1fav)=exp(0,483)=1,621→ nilai odds
Tanpa memperhatikan jenis kelamin dan fundamentalisme, peluang seseorang
mendukung hukuman mati adalah 1,621 kali dibandingkan yang
menolak.
exp(λZ1fund)=exp(0,01986)=1,02→ nilai odds
Tanpa memperhatikan jenis kelamin dan pendapat mengenai hukuman mati,
peluang seseorang fundamentalist adalah 1,02 kali dibandingkan
liberal.
exp(λZ2mod)=exp(0,381)=1,464→ nilai odds
Tanpa memperhatikan jenis kelamin dan pendapat mengenai hukuman mati,
peluang seseorang moderate adalah 1,464 kali dibandingkan
liberal.
exp(λXY1M,1fav)=exp(0,658)=1,932→ nilai odds
ratio
Tanpa memperhatikan fundamentalisme, odds mendukung hukuman mati
(dibandingkan menolak) jika dia laki-laki adalah 1,932 kali dibandingkan
odds yang sama jika dia perempuan.
# Fitted values dari model terbaik
data.frame(
Fund = z.fund,
sex = x.sex,
favor = y.fav,
counts = counts,
fitted = bestmodel$fitted.values
)## Fund sex favor counts fitted
## 1 1fund 1M 1fav 128 125.59539
## 2 1fund 1M 2opp 32 40.10855
## 3 1fund 2F 1fav 123 117.69079
## 4 1fund 2F 2opp 73 72.60526
## 5 2mod 1M 1fav 182 180.27878
## 6 2mod 1M 2opp 56 57.57155
## 7 2mod 2F 1fav 168 168.93257
## 8 2mod 2F 2opp 105 104.21711
## 9 3lib 1M 1fav 119 123.12582
## 10 3lib 1M 2opp 49 39.31990
## 11 3lib 2F 1fav 111 115.37664
## 12 3lib 2F 2opp 70 71.17763Secara manual, nilai fitted value diperoleh dengan cara sebagai berikut:
\[ \hat{\mu}_{111} = \exp(\lambda + \lambda_{x_{1m}} + \lambda_{y_{1fav}} + \lambda_{z_{fund}} + \lambda_{xy_{1m,1fav}}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0.483 + 0.01986 + 0.658) = \exp(4.833) = 125.595 \]
\[ \hat{\mu}_{112} = \exp(\lambda + \lambda_{x_{1m}} + \lambda_{y_{1fav}} + \lambda_{z_{2mod}} + \lambda_{xy_{1m,1fav}}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0.483 + 0.381 + 0.658) = \exp(5.195) = 180.279 \]
\[ \hat{\mu}_{113} = \exp(\lambda + \lambda_{x_{1m}} + \lambda_{y_{1fav}} + \lambda_{z_{lib}} + \lambda_{xy_{1m,1fav}}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0.483 + 0 + 0.658) = \exp(4.813) = 123.126 \]
\[ \hat{\mu}_{121} = \exp(\lambda + \lambda_{x_{1m}} + \lambda_{y_{2opp}} + \lambda_{z_{fund}} + \lambda_{xy_{1m,2opp}}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0 + 0.01986 + 0) = \exp(3.692) = 40.109 \]
\[ \hat{\mu}_{122} = \exp(\lambda + \lambda_{x_{1m}} + \lambda_{y_{2opp}} + \lambda_{z_{2mod}} + \lambda_{xy_{1m,2opp}}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0 + 0.381 + 0) = \exp(4.053) = 57.572 \]
\[ \hat{\mu}_{123} = \exp(\lambda + \lambda_{x_{1m}} + \lambda_{y_{2opp}} + \lambda_{z_{lib}} + \lambda_{xy_{1m,2opp}}) = \exp(4.265 - 0.593 + 0 + 0 + 0) = \exp(3.672) = 39.320 \]
\[ \hat{\mu}_{211} = \exp(\lambda + \lambda_{x_{2f}} + \lambda_{y_{1fav}} + \lambda_{z_{fund}} + \lambda_{xy_{2f,1fav}}) = \exp(4.265 + 0 + 0.483 + 0.01986 + 0) = \exp(4.768) = 117.691 \]
\[ \hat{\mu}_{212} = \exp(\lambda + \lambda_{x_{2f}} + \lambda_{y_{1fav}} + \lambda_{z_{2mod}} + \lambda_{xy_{2f,1fav}}) = \exp(4.265 + 0 + 0.483 + 0.381 + 0) = \exp(5.1295) = 168.933 \]
\[ \hat{\mu}_{213} = \exp(\lambda + \lambda_{x_{2f}} + \lambda_{y_{1fav}} + \lambda_{z_{lib}} + \lambda_{xy_{2f,1fav}}) = \exp(4.265 + 0 + 0.483 + 0 + 0) = \exp(4.748) = 115.377 \]
\[ \hat{\mu}_{221} = \exp(\lambda + \lambda_{x_{2f}} + \lambda_{y_{2opp}} + \lambda_{z_{fund}} + \lambda_{xy_{2f,2opp}}) = \exp(4.265 + 0 + 0 + 0.01986 + 0) = \exp(4.285) = 72.605 \]
\[ \hat{\mu}_{222} = \exp(\lambda + \lambda_{x_{2f}} + \lambda_{y_{2opp}} + \lambda_{z_{2mod}} + \lambda_{xy_{2f,2opp}}) = \exp(4.265 + 0 + 0 + 0.381 + 0) = \exp(4.646) = 104.217 \]
\[ \hat{\mu}_{223} = \exp(\lambda + \lambda_{x_{2f}} + \lambda_{y_{2opp}} + \lambda_{z_{lib}} + \lambda_{xy_{2f,2opp}}) = \exp(4.265 + 0 + 0 + 0 + 0) = \exp(4.265) = 71.178 \]
Keterangan:
Nilai μijkμijk akan sama apapun referensi dari kategori
peubahnya yang kita gunakan.