Teste Dickey-Fuller Aumentado

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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)

## Estacionariedade em Séries Temporais

Autores: José Marcus & Demetrios  
Disciplina: IN1119 Princípios e Técnicas da Análise Estatística Experimental  
Professora: Renata Souza

Maio/2025

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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
## Por que estudar séries temporais?

- Preços, produção, consumo, temperatura, dólar...
- Muitas séries têm **tendência**, sazonalidade ou comportamento instável.
- Antes de prever, precisamos saber: essa série é **estável** ao longo do tempo?

📌 Isso nos leva ao conceito de **estacionariedade**.

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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
## O que é uma série estacionária?

- Média constante
- Variância constante
- Sem tendência

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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
## O que é o teste Dickey-Fuller Aumentado?

O Teste Dickey-Fuller Aumentado (Augmented Dickey-Fuller, ADF) é um teste estatístico 
utilizado para verificar se uma série temporal possui raiz unitária, ou seja, se ela 
é não estacionária (apresenta tendência e/ou variância crescente ao longo do tempo).

A presença de uma raíz unitária implica que choques passados têm efeito permanente, 
o que inviabiliza muitos métodos tradicionais de previsão e modelagem de séries temporais.
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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
## Por que "Aumentado" ?
O Teste Dickey-Fuller simples considera apenas um processo autorregressivo de ordem 1 [AR(1)].
No entanto, na prática, os resíduos podem apresentar autocorrelação (dependência temporal de ordem superior).
O teste ADF é uma extensão que inclui termos adicionais de defasagens da variável dependente, justamente para 
capturar essa autocorrelação dos resíduos e tornar o teste mais robusto.

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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
## Estrutura das equações

Dickey-Fuller simples:

`$$\Delta y_t = \alpha + \beta t + \gamma y_{t-1} + \varepsilon_t$$`

Dickey-Fuller Aumentado (ADF):

`$$\Delta y_t = \alpha + \beta t + \gamma y_{t-1} + \sum_{i=1}^p \delta_i \Delta y_{t-i} + \varepsilon_t$$`

A diferença fundamental: o ADF inclui o somatório das defasagens `$\Delta y_{t-i}$`.
Assim, o ADF controla para autocorrelação nos erros.
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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
## onde ...

`$\Delta y_t$` = `$y_t - y_{t-1}$` (primeira diferença)

`$\alpha$`: termo constante (drift)

`$\beta t$`: tendência temporal (opcional)

`$\gamma$`: coeficiente de interesse (se γ=0, há raiz unitária)

`$\delta_i$`: termos de diferenças defasadas

`$\varepsilon_t$`: termo de erro

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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
![](termosdaeq.png)

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## Exemplo:

|Data       |  `$y_t$`| `$y_{t-1}$`|  `$Δy_t$`| `$Δy_{t-1}$`|
|:----------|------:|---------:|-------:|----------:|
|2024-01-02 | 4.8524|    4.8505|  0.0019|         NA|
|2024-01-03 | 4.9225|    4.8524|  0.0701|     0.0019|
|2024-01-04 | 4.9192|    4.9225| -0.0033|     0.0701|
|2024-01-05 | 4.8956|    4.9192| -0.0236|    -0.0033|
|2024-01-08 | 4.8607|    4.8956| -0.0349|    -0.0236|
`$y_t$`: Valor do dólar no dia `$t$`
`$y_{t-1}$`: Valor do dólar no dia anterior
`$\Delta y_t$`: Diferença do valor do dólar entre os dias `$t$` e `$t-1$`
`$\Delta y_{t-1}$`: Diferença do dólar entre os dias `$t-1$` e `$t-2$`

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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
## Em resumo...

O Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF) é uma extensão do teste Dickey-Fuller clássico que adiciona defasagens das diferenças da série para eliminar autocorrelação nos resíduos do modelo, tornando o teste mais eficaz para avaliar estacionariedade em séries temporais reais.

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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
## Interpretando os Resultados

📊 Comparar com os valores críticos (Mackinnon)

![](adf_mackinnon60.png)
> A estatística de Dickey-Fuller aumentada (ADF), usada no teste, é um número negativo. Quanto mais negativo for, mais forte será a rejeição da
> hipótese de que existe uma raiz unitária,(não estacionariedade) em algum nível de confiança.
> Nas linhas temos as faixas de tamanho da amostra e nas colunas o nível de significância para 1% e 5%.

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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
## Exemplo: Cotação do dólar (USD/BRL)

Vamos analisar uma série real de preços do dólar para o ano de 2024.

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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
## Teste ADF

``` r
library(urca)
dolar_adf <- ur.df(dolar$close, type = "drift")
cat("Valor do teste:", dolar_adf@teststat, "\n")
```

``` scroll-200
## Valor do teste: -0.1261454 2.108834
```

``` r
cat("Valores críticos:\n")
```

``` scroll-200
## Valores críticos:
```

``` r
print(dolar_adf@cval)
```

``` scroll-200
##       1pct  5pct 10pct
## tau2 -3.44 -2.87 -2.57
## phi1  6.47  4.61  3.79
```

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## Interpretando a estatística do teste: Dólar 2024
> O valor do teste Dickey-Fuller é -0.12, maior que os valores críticos para 1% e 5%. 
> Portanto, não rejeitamos a hipótese nula de raiz unitária. 
> Implica dizer que a série é não estacionária.

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## Tornando a série estacionária

Usamos a **diferença de primeira ordem**:

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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
## ADF após diferenciação

Aplicamos o teste na série transformada:

```
## Valor do teste: -12.53335 78.54637
```

```
## Valores críticos:
```

```
##       1pct  5pct 10pct
## tau2 -3.44 -2.87 -2.57
## phi1  6.47  4.61  3.79
```

> Agora a estatística do teste está mais negativa que os valores críticos e rejeitamos a hipótese nula de não estacionariedade.

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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
## Conclusão

> O teste ADF é essencial para garantir a estacionariedade antes de aplicar modelos como ARIMA e realizar previsões econômicas confiáveis.
> Séries não estacionárias podem comprometer a validade das análises e previsões financeiras.
> Diferenciação e testes estatísticos são etapas imprescindíveis no tratamento adequado de séries temporais.

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## Exemplo de uso em Artigo Científico
### Testing Purchasing Power Parity in the Long Run
> Taylor, M. P. Testing purchasing power parity: New evidence from a panel of real exchange rates, Journal of International Money and Finance, 11(5), 1992, pp. 553-563.

Testa estacionariedade das taxas de câmbio reais utilizando o teste ADF para avaliar a Paridade do Poder de Compra.

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# Teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF)
## Exemplo de uso em Artigo Científico
### Testing Purchasing Power Parity in the Long Run

“Para examinar se as taxas de câmbio reais são estacionárias, o teste Dickey-Fuller Aumentado (ADF) é aplicado ao logaritmo de cada série de taxa de câmbio real. O teste envolve a estimação da seguinte equação de regressão:

`$$\Delta y_t = \alpha + \gamma t + \beta y_{t-1} + \sum_{i=1}^k \delta_i \Delta y_{t-i} + \epsilon_t$$`

> em que `$y_t$` representa o log da taxa de câmbio real, `$t$` é uma tendência temporal, e `$k$` é o número de defasagens selecionado para garantir resíduos white noise. A hipótese nula é que `$\beta = 0$`, o que implica raiz unitária (não estacionariedade). A alternativa é `$\beta < 0$`, indicando estacionariedade. O número de defasagens foi determinado pelo critério de informação de Akaike (AIC). Os valores críticos para o teste t são os calculados por MacKinnon (1991).”

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## Exemplo de uso em Artigo Científico
### Testing Purchasing Power Parity in the Long Run

A teoria da Paridade do Poder de Compra (PPC) exige que as taxas de câmbio reais sejam estacionárias no longo prazo, ou seja, que choques exógenos tenham apenas efeitos transitórios.
Por isso, Taylor aplicou o teste ADF para verificar a presença de raiz unitária (não estacionariedade) nessas séries.
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## Exemplo de uso em Artigo Científico
### Testing Purchasing Power Parity in the Long Run

Teste em Painel para fundamentar o PPC

> Testa uma hipótese conjunta:  
> H0 (nula): Todas as séries possuem raiz unitária (não estacionárias).  
> H1: Pelo menos uma série é estacionária.  
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## Exemplo de uso em Artigo Científico
### Testing Purchasing Power Parity in the Long Run

- Taylor aplicou o teste Dickey-Fuller aumentado (ADF) em cada série individualmente.  
- Depois, analisou conjuntamente os resultados das estatísticas ADF dessas séries, verificando a distribuição do número de rejeições da hipótese nula sob a suposição de independência — ou seja, ele comparou a frequência observada de rejeição com a esperada pelo acaso.  
- Taylor basicamente somou os resultados individuais e analisou se esse total sugeria evidência conjunta de estacionariedade maior do que o esperado se todas as séries tivessem raiz unitária.  
- Não usou os painéis formalizados por testes como Levin-Lin-Chu ou Im-Pesaran-Shin por não existirem à época.  
- Ele cita (original article, p.556):   
“...the null hypothesis that all the real exchange rates are non-stationary can be strongly rejected with the use of the pooled Dickey-Fuller test statistics...”

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## Exemplo de uso em Artigo Científico
### Testing Purchasing Power Parity in the Long Run

- Como ficou conhecida a abordagem do Taylor:  
> Pooled Dickey-Fuller test (teste agrupado): Somar ou combinar as estatísticas dos testes ADF individuais e comparar com o comportamento esperado sob a hipótese nula.  Esta abordagem ficou conhecida como uma análise "pooling" ou "Simes test", sendo precursora dos testes de painel.

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## Exemplo de uso em Artigo Científico
### Testing Purchasing Power Parity in the Long Run

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## Referências

- DICKEY, D. A.; FULLER, W. A. Distribution of the estimators for autoregressive time series with a unit root. Journal of the American Statistical Association, v. 74, n. 366, p. 427–431, 1979. DOI: 10.2307/2286348.
- Hyndman & Athanasopoulos – Forecasting: Principles and PracticeWIKIPEDIA. Augmented Dickey–Fuller test. Disponível em: https://en.wikipedia.org/wiki/ 
- Augmented_Dickey%E2%80%93Fuller_test. Acesso em: 20 mai. 2025.
- KHOSO, Waseem. Forecasting Pakistan’s Economic Growth: An ARIMA Analysis of GDP Projections from 2023 to 2030. SSRN, 2025. Disponível em: https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=5208462. Acesso em: 4 jun. 2025
- Khoso, W. (2025). Forecasting Pakistan’s Economic Growth: An ARIMA Analysis of GDP Projections from 2023 to 2030. SSRN. Recuperado de https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=5208462

- `tseries`, `tidyquant`, `ggplot2` – pacotes R

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## OBRIGADO!
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